精講05,三角函數(shù)（解析版）

1、精講05,三角函數(shù)（解析版） 題 專題 05 三角函數(shù) 【專題綜述與核心素養(yǎng)要求】 三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù).在高中數(shù)學(xué)課程中，課程標(biāo)準(zhǔn)（2021 年版）把三角函數(shù)內(nèi)容安排在必修課程"主題二函數(shù)'中，把"函數(shù)概念與性質(zhì)'"冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)'"三角函數(shù)'"函數(shù)應(yīng)用'視為一個(gè)整體，同時(shí)提出通過(guò)三角函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)使學(xué)生"重點(diǎn)在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)上得到提升'.因此，在教科書(shū)的編寫(xiě)中應(yīng)遵循"注重教科書(shū)的整體結(jié)構(gòu)'"體現(xiàn)

2、內(nèi)容之間的有機(jī)銜接'"凸顯內(nèi)容和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的融合'等原則，幫助學(xué)生從整體上把握三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和應(yīng)用，理解"三角函數(shù)'與"函數(shù)概念與性質(zhì)'以及"冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)'等內(nèi)容的聯(lián)系，掌握利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法和技能，通過(guò)三角函數(shù)的定義、性質(zhì)和應(yīng)用等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 【重要知識(shí)點(diǎn)與題型快速預(yù)覽】 【知識(shí)點(diǎn)精解精析】 基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 一 ： 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 （1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 基本關(guān)系式 語(yǔ)言描述 平方關(guān)系 同一個(gè)角 的正弦、余弦的平方和等于1 商數(shù)關(guān)系 同一個(gè)角

3、的正弦、余弦的商等于角 的正切 溫馨提示 注意"同角'，這里"同角'有兩層含義，一是"角相同'，二是對(duì)"任意'一個(gè)角"在使函數(shù)有意義的前提下'關(guān)系式都成立，如 成立，但是 就不一定成立 是 的簡(jiǎn)寫(xiě)，讀作" 的平方'，不能將 寫(xiě)成 ，前者是 的正弦的平方，后者是 的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)別，并能正確書(shū)寫(xiě) 注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的， 對(duì)一切 恒成立，而 對(duì) 成立 基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)二： 特殊角的三角函數(shù)值表 角 弧度 0 正弦 0 1 0 余弦 1 0

4、0 正切 0 1 不存在 0 不存在 基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)三： 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 公式一 ， ， （其中 ） 公式二 ， ， 公式三 ， ， 公式四 ， ， 公式五 ， 公式六 ， 基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)四： 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù) 圖象 定義域 值域 最值 時(shí)， ； 時(shí)， 時(shí)， ； 時(shí)， 單調(diào)性 在 上為增函數(shù)； 在 上為增函數(shù)； 在 上為減函數(shù) 在 上為減函數(shù) 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 最小正周期 對(duì)稱性 對(duì)稱軸： ， ； 對(duì)稱中心： ， 對(duì)稱軸： ， ； 對(duì)稱中心： ， 基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)五： 由 的圖象得到 （其中 ， ）的圖象的過(guò)程 先畫(huà)出函數(shù) 的圖象，再把正弦曲線向左（右）平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

5、的圖象，然后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 ，得到函數(shù) 的圖象，最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍，得到函數(shù) 的圖象 這一過(guò)程的步驟如下： 應(yīng)注意還有一種途徑： 這兩個(gè)途徑的關(guān)鍵差別在"相位變換'這一步驟上，其實(shí)質(zhì)是要看自變量 的變化情況對(duì)于第一種途徑，在相位變換這一步中是由 變到 ，故應(yīng)為"將函數(shù) 圖象上所有點(diǎn)向左（當(dāng) 時(shí)）或向右（當(dāng) 時(shí)）平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù) 的圖象'；對(duì)于第二種途徑，在相位變換這一步中是由 到 ，即 ，實(shí)質(zhì)是 變化到 ，故應(yīng)為"將函數(shù) 的圖象上所有點(diǎn)向左（當(dāng) 時(shí)）或向右（當(dāng) ）平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù) 圖象'兩

6、者平移的方向相同，但平移的單位長(zhǎng)度不同，這是很容易出錯(cuò)的地方 溫馨提示 ， 決定"形變'， 決定"位變' 第一種途徑是先平移后伸縮，第二種途徑是先伸縮后平移，且兩種途徑平移的方向相同，但平移的單位長(zhǎng)度不同特別注意，不論是相位變換（ ）還是周期變換（ ）都是針對(duì)自變量" '而言的，變換時(shí)要注意順序 基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)六： 兩角和與差的余弦公式 ，簡(jiǎn)記作 ，簡(jiǎn)記作 上述兩個(gè)公式的記憶口訣："余余正正，符號(hào)相反' 基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)七： 兩角和與差的正弦公式 ，簡(jiǎn)記作 ，簡(jiǎn)記作 上述兩個(gè)公式的記憶口訣："正余余正，符號(hào)相同'

7、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)八： 兩角和與差的正切公式 ，簡(jiǎn)記作 ，簡(jiǎn)記作 基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)九： 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ， ， 基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)十： 化簡(jiǎn)三角函數(shù)式時(shí)常用的變換技巧 （1）角的代換 將未知角用已知角表示出來(lái)，使之能直接運(yùn)用公式，像這樣的代換方法就是角的代換 常見(jiàn)的配角技巧： ； ； ； ； ； （2）公式的逆用和變形 公式的順用是常見(jiàn)的，但逆用和變形往往容易被忽視公式的逆用和變形不僅能開(kāi)拓思路，而且能培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力，只有熟悉了公式的逆用和變形，才能熟練掌握公式的應(yīng)用 逆用： 角變換后使用： 移項(xiàng)使用： ； 公式的變形： i. ii. iii. iv. v.升冪公式： ； vi.降

8、冪公式： ； "1'的變形 ， ， ， （3）輔助角公式 對(duì)于形如 的式子，可變形如下： 由于上式中的 與 的平方和為 1， 故可記 ， ， 則原式 由此有如下結(jié)論： ，其中 由 ， 來(lái)確定 通常稱式子 為輔助角公式，它可以將含多個(gè)三角式的函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形如 的函數(shù)問(wèn)題 特別地， 【必知必會(huì)題型深度講解】 必知必會(huì) 題型一 ： 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式 利用誘導(dǎo)公式可把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，即 口訣是"負(fù)化正，大化小，化到銳角再查表' 【典型例題 1 1 】 （1）求17 16 4cos sin tan6 3 3p p p æ &#

9、246; æ ö+ - - -ç ÷ ç ÷è ø è ø的值； （2）化簡(jiǎn)3sin(- )cos( )tan( )2cos( )sin( 2)a a aa a3+ -2- - 【答案】（1）3 -；（2）1. 【解析】 （1）17 5cos cos 26 6p ppæ ö= +ç ÷è ø5 3cos6 2p= = -， 16 16sin sin sin 53 3 3p p ppæ ö æ ö-

10、 = - = - +ç ÷ ç ÷è ø è ø3sin3 2p= =， 4 4tan tan tan 33 3 3p p p æ ö- = - = - = -ç ÷è ø， 所以原式( )3 33 32 2= - + - - =. （2）原式3sin2sin sin3cos2cos sinpaa apaa aæ ö-ç ÷è ø× ×æ ö-ç

11、÷è ø=(- )×sin sin sin 22( cos ) sin cos 22pa a a ppa a a pæ ö× × + -ç ÷è øæ ö- × × + -ç ÷è ø sin sin sin2( cos ) sin cos2pa a apa a aæ ö× × +ç ÷è ø=æ ö

12、;- × × +ç ÷è øsin sin cos( cos ) sin ( sin )a a aa a a× ×=- × × -1 =. 【典型例題 2 2 】 化簡(jiǎn)下列各式： （1）( ) ( ) ( )( ) ( )tan 2 sin 2 cos 6cos sin 5p a p a p aa p p a- × - - × - × -； （2）1 2sin290 cos430sin250 cos790° °° °+. 【答

13、案】（1）tan；（2）1. 【解析】 （1）原式( )( )( ) ( )( ) ( )sin 2sin coscos 2cos sin p aa ap a-× - × - × - sin sin coscos cos sina a aa a a-= - × ×- tan a =- （2）原式) ) 1 2sin(360 70 cos(360 70sin(180 70 cos(720 70 ) )° ° ° °° ° ° °+ - + + + 1 2sin70 c

14、os70sin70 cos70° °° °- +| | cos70 sin70cos70 sin70° °° °- sin70 cos70cos70 sin70° °° °- 1. 【典 型例題 3 3 】 已知sin( ) 3sin( )2( )2cos( ) cos( )2fpa p aapa p a+ + - -=+ - -. （1）化簡(jiǎn) ( ) f a ； （2）已知 tan 3 a = ，求 ( ) f a 的值. 【答案】（1）cos 3sin( )2sin co

15、sfa aaa a+=- +；（2）-2. 【解析】 （1)sin( ) 3sin( )cos 3sin2( )2sin cos2cos( ) cos( )2fpa p aa aapa aa p a+ + - -+= =- + - -; （2)由 tan3 a =，可得cos 3sin 1 3tan 10( ) 22sin cos 1 2tan 5fa a aaa a a+ += = = = - + - -. 必知必會(huì) 題型 二： 由部分圖象確定函數(shù)解析式 確定 的解析式的步驟： （1）求 ， 先確定函數(shù)的最大值 和最小值 ，則 ， （2）求 相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為 ；相鄰的

16、兩個(gè)最高點(diǎn)（或最低點(diǎn)）之間的距離為，再根據(jù) 確定 （3）求 利用峰點(diǎn)、谷點(diǎn)或零點(diǎn)列出關(guān)于 的方程，結(jié)合 的范圍解得 的值，所列方程如下： 峰點(diǎn)： ；谷點(diǎn)： 利用零點(diǎn)時(shí)，要區(qū)分該零點(diǎn)是升零點(diǎn)，還是降零點(diǎn) 升零點(diǎn)（圖象上升時(shí)與 軸的交點(diǎn)）： ； 降零點(diǎn)（圖象下降時(shí)與 軸的交點(diǎn)）： （以上 ） 【典型例題 1 1 】 已知函數(shù)( ) sin( ) 0, 0,| |2f x a x apw j w jæ ö= + > > <ç ÷è ø的部分圖象如下圖所示，則函數(shù)( ) f x 的解析式_. 【答案】 ( ) 2sin(2

17、)6f x xp= + 【解析】 由函數(shù)圖象知 ( ) f x 的最大值為 2 ，所以 2 a= ； 又54 12 6 4t p p p= - = ，所以 t p = ，則22tpw = = ， 將 ,26p æ öç ÷è ø代入得 2 26 2kp pj p ´ + = + ，解得： 26kpj p = + ， 又 | |2jp< ，所以6= j ，故 ( ) 2sin(2 )6f x xp= + . 故答案為：( ) 2sin(2 )6f x xp= + 【典型例題 2 2 】 如圖所示的圖象顯示的是相對(duì)于平均海

18、平面的某海灣的水面高度 y （單位： m ）在某天 24 小時(shí)內(nèi)的變化情況，則水面高度 y 關(guān)于從夜間 0時(shí)開(kāi)始的時(shí)間 x 的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi) 【答案】 6sin (0 24)6y x xp= - £ £ 【解析】 由圖設(shè)sin( ) y a x w j = + (0 24) x £ £ 由圖象可知 6 a= ， 12 t = ，所以26 tp pw = = ， 所以 6sin( )(0 24)6y x xpj = + £ £ 將 (9,6) 代入函數(shù)的解析式得36 6sin( )2pj = + ， 所以3sin( ) 1 cos 12

19、pj j + = = - ， 所以 jp = 所以函數(shù)關(guān)系式為 6sin 6sin (0 24)6 6y x x xp ppæ ö= + = - £ £ç ÷è ø 故答案為：6sin (0 24)6y x xp= - £ £ 【典型例題 3 3 】 已知函數(shù)sin( ) y a x b w j = + +的一部分圖像如圖所示，如果 0, 0,| |2apw j > > < ，那么以下結(jié)論： 4 a = ； 1 w = ；6= j ； 4 b = 中，正確的是_. 【答案】 【

20、解析】 由圖象可得函數(shù)sin( ) y a x b w j = + +的最大值、最小值分別為 4,0 ， 0, 4, 2, 2 a b a b a b - + = + = = = ，所以不正確； 設(shè)函數(shù)的周期為 t ，由圖象上兩點(diǎn)5( ,4),( ,2)6 12p p， 得5 2, , 24 12 6 4ttp p p pp ww= - = = = = ，所以不正確； 6xp= 時(shí)函數(shù)取得最大值， 2 2 ( )6 2k k zp pj p ´ + = + Î ， 2 ( ),6 6| | ,2k k zpjpj jpp < + = = Î ，所以正確. 故

21、答案為： 必知必會(huì) 題型 三： 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 求函數(shù) （或 ）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一般先將 的系數(shù)化為正值（通過(guò)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化），再把" '視為一個(gè)整體，結(jié)合函數(shù) （或 ）的單調(diào)性找到" '對(duì)應(yīng)的條件，通過(guò)解不等式可得單調(diào)區(qū)間 【典型例題 1 1 】 已知函數(shù) ( ) ( ) 2sin ( 0,0 ) f x x w j w j p = + > < < 最小正周期為 p ，圖象過(guò)點(diǎn), 24p æ öç ÷è ø. （1）求函數(shù) ( ) f x 解析式 （2）求函數(shù) ( ) f x

22、的單調(diào)遞增區(qū)間. 【答案】（1） ( ) 2sin(2 )4f x xp= + ；（2） ( )3,8 8k k k zp pp pé ù- + + Îê úë û. 【解析】 （1）由已知得2pp =w，解得 2 w = . 將點(diǎn) , 24p æ öç ÷è ø代入解析式， 2 2sin 24pjæ ö= ´ +ç ÷è ø，可知2cos2j =， 由 0 j p < < 可知4pj

23、 = ，于是 ( ) 2sin 24f x xp æ ö= +ç ÷è ø. （2）令 ( ) 2 2 22 4 2k x k k zp p pp p - + £ + £ + Î 解得 ( )38 8k x k k zp pp p - + £ £ + Î ， 于是函數(shù)( ) f x的單調(diào)遞增區(qū)間為( )3,8 8k k k zp pp pé ù- + + Îê úë û. 【典型例題 2 2 】 已知函數(shù)

24、( ) ( ) sin f x x w j = +02, w jæ ö> <ç ÷è ø，它的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸之間的距離為4，且函數(shù) ( ) f x 圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為,06æ ö-ç ÷è ø. （1）求 ( ) f x 的解析式； （2）確定 ( ) f x 在0,2é ùê úë û上的單調(diào)遞增區(qū)間. 【答案】（1） ( )sin 23f x xæ ö= +ç

25、; ÷è ø；（2）0,12é ùê úë û. 【解析】 （1）設(shè)函數(shù) ( ) f x 的周期為 t ，由題設(shè)得 24 4tt w = Þ = Þ = ， 又,06æ ö-ç ÷è ø為 ( ) f x 圖像的一個(gè)對(duì)稱中心， 0 sin 06 3f jæ ö æ ö- = Þ - =ç ÷ ç ÷è ø è

26、 ø， 又2j < ，3j = ，故 ( )sin 23f x xæ ö= +ç ÷è ø； （2）由 2 2 2 2 3 2k x k - £ + £ + Þ5 12 12k x k - £ £ + ， k z Î ， ( ) f x 在5 , 12 12k ké ù- +ê úë û( ) k z Î 上遞增， 當(dāng) 0 k = 時(shí)， ( ) f x 在5 ,12 12é 

27、49;-ê úë û遞增，由5 , 0, 0,12 12 2 12é ù é ù é ù- =ê ú ê ú ê úë û ë û ë û， ( ) f x在0,2é ùê úë û 上的單調(diào)遞增區(qū)間為0,12é ùê úë û 【典型例題 3 3 】 已知函

28、數(shù) ( )5sin 26f x xæ ö= +ç ÷è ø （1）求 ( ) f x 的最大值及取得最大值時(shí) x 的值； （2）求 ( ) f x 的單調(diào)遞減區(qū)間 【答案】（1）1； ( )6x k k = - Îz ；（2） , 6 3k k輊犏 - +犏臌， kÎz 【解析】 （1）令5 2 2 6 2x k + = + ，即 ( )6x k k = - Îz 時(shí)， ( ) f x 取最大值 1 （2）由 ( ) 5 32 + 2 2 2 6 2k x k k £ + £ + &#

29、206;z 得( ) f x的減區(qū)間為 , 6 3k k輊犏 - +犏臌， kÎz 必知必會(huì) 題型 四： 函數(shù) 的圖象的對(duì)稱問(wèn)題 （1）函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 （其中 滿足 ， ）對(duì)稱，也就是說(shuō)，過(guò)波峰或波谷處且與 軸垂直的直線為其對(duì)稱軸 （2）函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) （其中 滿足 ， ）中心對(duì)稱，也就是說(shuō)，函數(shù)圖象與 軸的交點(diǎn)（平衡位置點(diǎn)）是其對(duì)稱中心 【典型例題 1 1 】 求函數(shù)3sin 23y xp æ ö= +ç ÷è ø的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心. 【答案】對(duì)稱軸為 ,2 12kx k zp p= + Î ；對(duì)稱中心

30、為 ,0 ,2 6æ ö- Îç ÷è økk zp p 【解析】 由 23 2x kp pp + = + ，得 ,2 12kx k zp p= + Î ， 所以對(duì)稱軸為 ,2 12kx k zp p= + Î . 由 23x kpp + = ，得 ,2 6kx k zp p= - Î ， 所以對(duì)稱中心為,0 ,2 6kk zp p æ ö- Îç ÷è ø. 【典型例題 2 2 】 已知函數(shù)( ) sin cos f x a

31、 x b x w w = + （其中 0, 0, 0 > > > a b w ）， xÎr 它的最小正周期為 p ， 34æ ö=ç ÷è øfp，且( ) f x 的最大值為 2 （1）求( ) f x 的解析式； （2）寫(xiě)出函數(shù)( ) f x 的單調(diào)遞減區(qū)間、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心 【答案】（1） ( ) 2sin 26f x xp æ ö= +ç ÷è ø；（2）遞減區(qū)間2, ,6 3k k k zpp p pé ù+ + &#

32、206;ê úë û；對(duì)稱軸為直線,2 6kx k zp p= + Î ；對(duì)稱中心 ,0 ,2 12kk zp p æ ö- Îç ÷è ø 【解析】 解：（1）2 2( ) sin cos sin( ) f x a x b x a b x w w w j = + = + +，其中 j 為輔助角，且 tanbaj = ， 2twpp = = ， 2 w = ( ) 34fp= ， sin cos 32 2a bp p + = ，即3 a = ( ) f x 的最大值為 2，

33、2 22 a b + =，解得， 1 b = ( ) 3sin2 cos2 f x x x = + 所以 ( ) 3sin2 cos2 2sin(2 )6f x x x xp= + = + （2）由（1）得， ( ) 2sin(2 )6f x xp= + 令32 2 22 6 2k x kp p pp p + + + 剟 ， k z Î ，解得，2,6 3k x k k zp pp p + + Î 剟 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間2, ,6 3k k k zpp p pé ù+ + Îê úë û； 令 26x k

34、pp + = ， k z Î ，解得 ,2 12kx k zp p= - Î 函數(shù)的對(duì)稱中心為 ,0 ,2 12kk zp p æ ö- Îç ÷è ø； 令 26 2x kp pp + = + ， k z Î ，解得， ,2 6kx k zp p= + Î 對(duì)稱軸方程為,2 6kx k zp p= + Î 【典型例題 3 3 】 已知函數(shù) ( )2sin 26f x xp æ ö= -ç ÷è ø. （1）求函數(shù)

35、( ) f x 的對(duì)稱軸； （2）當(dāng) 0,2xp é ùÎ êúë û時(shí)，求函數(shù) ( ) f x 的最大值與最小值. 【答案】（1）對(duì)稱軸方程為：2 3kxp p= + ( k z Î )；（2）最大值為 2，最小值為 1 - . 【解析】 （1）函數(shù) ( ) 2sin 26f x xp æ ö= -ç ÷è ø. 令 26 2x kp pp - = + ( k z Î )，解得2 3kxp p= + ( k z Î )， 所以函數(shù) (

36、 ) f x 的對(duì)稱軸方程為：2 3kxp p= + ( k z Î ). （2）由于 0,2xp é ùÎ êúë û， 所以52 ,6 6 6xp p p é ù- Î -ê úë û， 故1sin 2 ,16 2xp æ ö é ù- Î -ç ÷ê úè ø ë û. 則： ( ) 1 2 f x - 

37、3; £ 故當(dāng) 0 x = 時(shí)，函數(shù)的最小值為 1 - . 當(dāng)3xp=時(shí)，函數(shù)的最大值為 2. 必知必會(huì) 題型 五： 三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有關(guān)問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 審題：把問(wèn)題提供的"條件'逐條"翻譯'成"數(shù)學(xué)語(yǔ)言'； 可通過(guò)描點(diǎn)畫(huà)圖尋找適合的數(shù)學(xué)模型； 準(zhǔn)確求出函數(shù)解析式 【典型例題 1 1 】 如圖，有一塊扇形草地 omn，已知半徑為 r，2monpÐ = ，現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場(chǎng)地 abcd 作為兒童樂(lè)園使用，其中點(diǎn) a、b 在弧 mn上，且線段 ab 平行于線段 mn （1）若點(diǎn)

38、 a為弧 mn的一個(gè)三等分點(diǎn)，求矩形 abcd的面積 s； （2）當(dāng) a在何處時(shí)，矩形 abcd的面積 s最大？最大值為多少？ 【答案】（1） ;（2） 當(dāng) a在弧 mn的四等分點(diǎn)處時(shí)， 【解析】 （1）如圖，作 oh ab 于點(diǎn) h，交線段 cd于點(diǎn) e，連接 oa、ob， 6aobpÐ = ， 2 sin , cos12 12ab r oh rp p = = ， 1sin2 12oe de ab rp= = = cos sin12 12eh oh oe rp p æ ö = - = -ç ÷è ø 2 22 sin co

39、s sin 2sin cos 2sin12 12 12 12 12 12s ab eh r r rp p p p p p æ ö æ ö= × = × - = -ç ÷ ç ÷è ø è ø 2 23 1sin cos 16 6 2r rp p - æ ö= + - =ç ÷è ø （2）設(shè) 02aobpq qæ öÐ = < <ç ÷

40、è ø 則 2 sin , cos2 2ab r oh rq q = = ，1sin2 2oe ab rq= = cos sin2 2eh oh oe rq q æ ö = - = -ç ÷è ø 2 22 sin cos sin 2sin cos 2sin2 2 2 2 2 2s ab eh r r rq q q q q q æ ö æ ö= × = × - = -ç ÷ ç ÷è ø 

41、2; ø ( )2 2sin cos 1 2sin 14r rpq q qé ù æ ö= + - = + -ç ÷ ê úè ø ë û 0,2pqæ öÎ ç÷è ø，3,4 4 4p p pqæ ö + Î ç÷è ø 4 2p pq + = 即4pq = 時(shí)， ( )2max2 1 s r = - ，此時(shí) a在弧 mn的

42、四等分點(diǎn)處 答：當(dāng) a在弧 mn的四等分點(diǎn)處時(shí)，( )2max2 1 s r = - 【典型例題 2 2 】 如圖，某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池 abcd 的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（ rt fhe d 三條邊， h 是直角頂點(diǎn)）來(lái)處理污水，管道越長(zhǎng)，污水凈化效果越好.要求管道的接口 h 是 ab的中點(diǎn)， , e f 分別落在線段 , bc ad 上，已知 20 ab = 米，10 3 ad=米，記 bhe q Ð = . (1)試將污水凈化管道的總長(zhǎng)度 l （即 rt fhe d 的周長(zhǎng)）表示為 q 的函數(shù)，并求出定義域； (2)問(wèn) q 取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)

43、管道的總長(zhǎng)度. 【答案】（1）sin cos 1l 10sin cos+ += ´×， , .6 3é ùÎ êúë û； （2）6= 或3= 時(shí)，l 取得最大值為( )20 3 1 +米. 【解析】 ( ) 1 由題意可得10ehcos= ，10fhsin= ，10efsincos= ，由于 be 10tan 10 3 = £，10af 10 3tan= £ ， 所以3tan 33£ £， ,6 3é ùÎ êú&

44、#235; û， 10 10 10lcos sin sincos = + + ， , .6 3é ùÎ êúë û 即sin cos 1l 10sin cos+ += ´×， , .6 3é ùÎ êúë û ( ) 2 設(shè) sin cos t + = ，則2t 1sincos2-= ，由于 ,6 3é ùÎ êúë û， 3 1sin cos t 2sin

45、 , 2 .4 2é ù+ æ ö + = = + Î êú ç ÷è øë û 由于20lt 1=-在3 1 , 22é ù+ê úë û上是單調(diào)減函數(shù)， 當(dāng)3 1t2+=時(shí)，即6=或3=時(shí)，l 取得最大值為( )20 3 1 +米 【典型例題 3 3 】 運(yùn)動(dòng)員小王在一個(gè)如圖所示的半圓形水域 (o 為圓心，ab 是半圓的直徑 ) 進(jìn)行體育訓(xùn)練，小王先從點(diǎn) a 出發(fā)，沿著線段 ap 游泳至半圓上某點(diǎn) p

46、處，再?gòu)狞c(diǎn) p 沿著弧 pb 跑步至點(diǎn) b 處，最后沿著線段 ba 騎自行車回到點(diǎn) a 處，本次訓(xùn)練結(jié)束.已知 1500m oa= ，小王游泳、跑步、騎自行車的平均速度分別為 2m/s ， 4m/s ， 10m /s ，設(shè) q Ð = pao 弧度. （1）試將小王本次訓(xùn)練的時(shí)間 t 表示為 q 的函數(shù) ( ) t q ，并寫(xiě)出 q 的范圍； （2）請(qǐng)判斷小王本次訓(xùn)練時(shí)間能否超過(guò) 40 分鐘，并說(shuō)明理由. （參考公式：弧長(zhǎng) l r a = ，其中 r為扇形半徑， a 為扇形圓心角.） 【答案】（1） ( ) 1500 300, 0,2 2t cosq pq q qæ 

47、46; æ ö= + + Îç ÷ ç ÷è ø è ø；（2）不能超過(guò) 40 分鐘，理由見(jiàn)解析. 【解析】 （1）在 oap 中， 2 3000 ap oacos cos q q = = ， 在扇形 opb中， ( ) 2 3000 pb oa q q = × = ， 又 2 3000 ba oa = = ， 所以小王本次訓(xùn)練的總時(shí)間： ( )2 4 10p a atb p bq = + + 3000 3000 30002 4 10cos q q= + + . 1500 3

48、002cosqqæ ö= + +ç ÷è ø， 0,2pqæ öÎ ç÷è ø （2）由（1）得 ( )1" 15002t sin q qæ ö= - -ç ÷è ø， 令 ( ) " 0 t q = ，得12sin q = ，6pq = ， 列表如下， q 0,6p æ öç ÷è ø 6p ,6 2p p æ &#

49、246;ç ÷è ø ( ) " t q + 0 - - ( ) t q 極大值 從上表可知，當(dāng)6pq = 時(shí)， ( ) t q 取得極大值，且是最大值， ( ) t q 的最大值是 1500 cos 3006 6 12tp p p æ ö æ ö= + +ç ÷ ç ÷è ø è ø 750 3 125 300 p = + +， 3 2 <， 3.2 p < ， 750 2 125 3.2 300 22021tp

50、 æ ö < ´ + ´ + =ç ÷è ø 2200 40 60 < ´ ， 小王本次訓(xùn)練時(shí)間不能超過(guò) 40 分鐘 必知必會(huì) 題型 六： 三角函數(shù)式 的化簡(jiǎn) （1）化簡(jiǎn)的方法 弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪等 在化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的過(guò)程中，要注意以下問(wèn)題： 化簡(jiǎn)要遵循"三看'原則： a.一看"角'，這是最重要的一環(huán)，通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理拆分，從而正確使用公式 b.二看"函數(shù)名稱'，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定

51、使用的公式，常見(jiàn)的有"切化弦' c.三看"結(jié)構(gòu)特征'，分析結(jié)構(gòu)特征可以幫助我們找到變形的方向，常見(jiàn)的有"遇到分式要通分' 根式的化簡(jiǎn)常常需要升冪去根號(hào)，在化簡(jiǎn)中注意角的范圍以確定三角函數(shù)值的正負(fù) 對(duì)于給角求值問(wèn)題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問(wèn)題的基本思路有： a.化為特殊角的三角函數(shù)值 b.化為正、負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值 c.化成分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)，進(jìn)行約分求值 （2）化簡(jiǎn)的要求 能求出值的應(yīng)求出值 盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少 盡量使項(xiàng)數(shù)最少 盡量使分母不含三角函數(shù) 【典型例題 1 1 】 化簡(jiǎn)：9sin(4 )costan(5 ) 21

52、1sin cos(2 ) sin(3 )sin2 2pp a ap ap pa p a p a aæ ö- +ç ÷-è ø-æ ö æ ö+ - - -ç ÷ ç ÷è ø è ø 【答案】1 【解析】 sin(4 ) sin( ) sin p a a a - = - = - ， 9cos cos 42 2p pa p aé ù æ ö æ ö+ = +

53、+ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø ë û cos sin2pa aæ ö= + = -ç ÷è ø， 11 3 3sin sin 4 sin2 2 2p p pa p a aé ù æ ö æ ö æ ö+ = + + = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ê ú&

54、#232; ø è ø è ø ë û sin sin cos2 2p pp a a aé ù æ ö æ ö= + + = - + = -ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø ë û， tan(5 ) tan( ) tan p a p a a - = - = - ， sin(3 ) sin( ) sin p a p a a - = - = ， 原式

55、22 2sin sin tan sin 1cos cos sin cos cos cosa a a aa a a a a a-= - = - +- 2 22 21 sin cos1cos cosa aa a-= = = 【典型例題 2 2 】 設(shè)3 222cos sin (2 ) sin( ) 32( )2 2cos ( ) cos( )fpq p q qqp q q+ - + + -=+ + + -，求 ( )3fp的值. 【答案】1=3 2p æ ö-ç ÷è øf . 【解析】 3 23 22 22cos sin (2 ) si

56、n 32cos sin cos 3 2( )2 2cos ( ) cos( ) 2 2cos cospq p q qq q qqp q q q qæ ö+ - + + -ç ÷+ + -è ø= =+ + + - + +f 3 222cos cos cos 22 2cos cosq q qq q- + -=+ + ( )222(cos 1) cos cos 1 cos (cos 1)2 2cos cosq q q q qq q- + + - -=+ + ( )22(cos 1) 2cos cos 22cos cos 2q q qq q

57、- + +=+ + cos 1 q = - 1cos 13 3 2p p æ ö= - = -ç ÷è øf . 【典型 例題 3 3 】 化簡(jiǎn) （1）7sin(2 )cos( )cos cos2 25cos( )sin(3 )sin( )sin2p pp a p a a app a p a p a aæ ö æ ö+ - - -ç ÷ ç ÷è ø è ø=æ ö- - - + +ç

58、÷è ø （2）2 2sin810 tan765 2 cos360 a b ab °+ °- ° . （3）若2a < < ,化簡(jiǎn)222cos sin 1 sin1 cos1 cosa a aaa-+- 【答案】(1) tan a (2) ()2a b - (3)0 【解析】 （1）7sin(2 )cos( )cos cos2 25cos( )sin(3 )sin( )sin2p pp a p a a app a p a p a aæ ö æ ö+ - - -ç ÷

59、; ç ÷è ø è ø=æ ö- - - + +ç ÷è øsin ( cos )sin ( sin )tancos sin ( sin )cosa a a aaa a a a- -= =- -， （2）2 2sin810 tan765 2 cos360 a b ab °+ °- ° 2 2sin90 tan45 2 cos0 a b ab = °+ °- ° 2 22 a b ab = + - 2( ) a b

60、= - （3）因?yàn)?a < < ， 所以 sin 0,cos 0 a a > < ， 2 22 22 2cos sin 1 sin cos sin cos1 cos sin1 cos sina a a a a aa aa a-+ = +- 2cos sin cossin sina a aa a-= + cos cossin sina aa a= - 0 = 必知必會(huì) 題型 七： 三角函數(shù)的給值求值與給值求角問(wèn)題 解決的關(guān)鍵在于把"所求角'用"已知角'表示 （1）當(dāng)"已知角'有兩個(gè)時(shí)，"所求角'一般表

61、示為兩個(gè)"已知角'的和或差的形式 （2）當(dāng)"已知角'有一個(gè)時(shí)，應(yīng)關(guān)注"所求角'與"已知角'的和或差，進(jìn)而應(yīng)用誘導(dǎo)公式把"所求角'變成"已知角' （3）解給值求角問(wèn)題的一般步驟： 求角的某一個(gè)三角函數(shù)值； 確定角的范圍； 根據(jù)角的范圍寫(xiě)出所求的角 （4）通過(guò)求角的某個(gè)三角函數(shù)值求角時(shí)，選取函數(shù)應(yīng)遵照以下原則： 已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù) 已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)若角的范圍是 ，選正、余弦函數(shù)皆可；若角的范圍是 ，選余弦函數(shù)較好；若角的范圍為 ，選正弦函數(shù)較好 【典型例題 1 1

62、 】 已知 a ， b 為銳角，且1sin7a = ，3cos( )5a b + = （1）求 sin( )6pa + 的值； （2）求 cos b 的值 【答案】（1）5 314；（2）4 12 335+ 【解析】 （1） a ， b 為銳角，1sin7a = ，24 3cos 1 sin7a a = - = sin sin cos cos sin6 6 6p p pa a aæ ö+ = +ç ÷è ø=1 3 4 3 1 5 37 2 7 2 14´ + ´ = （2） , a b 為銳角， ( ) 0, a

63、 b p + Î ， 由 ( )3cos5a b + = 得， ( ) ( )24sin 1 cos5a b a b + = - + = ( ) ( ) ( ) cos cos cos cos sin sin b a b a a b a a b a = + - = + + + é ùë û =3 4 3 4 1 4 12 35 7 5 7 35+´ + ´ = 【典型例題 2 2 】 已知1 1sin( ) ,sin( )2 3a b a b + = - = ，求tantanab的值 【答案】tan5tanab=. 【解析】

64、 解：由題意可得1sin cos cos sin2a b a b + = ， 1sin cos cos sin3a b a b - = ， 解得5sin cos12a b = ，1cos sin12a b = ， 此兩式子相除可得tan5tanab=， 故答案為： 5 【典型例題 3 3 】 已知3 5 10, , ,sin ,cos2 5 10æ öÎ = - = -ç ÷è øpa b p a b ，求角 a b - 的值. 【答案】4p- 【解析】 由于3, ,2pa b pæ öÎ &#

65、231;÷è ø，所以3,2 2 2p p pb p a b - < - < - - < - < . 所以225 2 5cos 1 sin 15 5a aæ ö= - - = - - - = -ç ÷ç ÷è ø， 2210 3 10sin 1 cos 110 10b bæ ö= - - = - - - = -ç ÷ç ÷è ø， ( )5 10 2 5 3 10sin sin co

66、s cos sin5 10 5 10a b a b a bæ ö æ ö æ ö æ ö- = - = - ´ - - - ´ -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø 5 2 30 2 250 50 2= - = -. 由于2 2p pa b - < -

67、<，所以4pa b - = -. 必知必會(huì) 題型 八： 三角恒等式的證明 恒等式包括有條件恒等式和無(wú)條件恒等式兩種 （1）無(wú)條件恒等式的證明 從角度和函數(shù)名稱出發(fā)，認(rèn)真分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點(diǎn)和關(guān)系，找出差異，尋找證明的突破口 （2）有條件恒等式的證明 一般可用消去法及基本量法消去法即用代入、加減、平方等方法消去某些量；基本量法就是適當(dāng)?shù)剡x擇題中可以獨(dú)立取值的量作為基本量，將其他的量都用基本量表示，從而轉(zhuǎn)化為研究基本量的問(wèn)題 【典型例題 1 1 】 求證：( )( )2sin cossin cos 1 sin cos 1x xx x x x + - - +1 cossinxx+. 【

68、答案】證明見(jiàn)解析. 【解析】 證明：左邊2 22sin cos2sin cos 2sin 2sin cos 2sin2 2 2 2 2 2x xx x x x x x æ öæ ö- +ç ÷ç ÷è øè ø 2 2 22sin cos4sin cos sin2 2 2x xx x x æ ö-ç ÷è ø2sin2sin2xx cos2sin2xx22cos22sin cos2 2xx x1 cossinxx+右

69、邊. 所以原等式成立. 【 典型例題 2 2 】 求證：sin 1 costan2 1 cos sina a aa a-= =+. 【答案】證明見(jiàn)解析 【解析】 2sin 2sin cossin2 2 2tan2 1 coscos 2cos2 2a a aa aa aa= = =+. 2sin 2sin1 cos2 2tan2 sincos 2sin cos2 2 2a aa aa a aa-= = = . 所以sin 1 costan2 1 cos sina a aa a-= =+ 【典型例題 3 3 】 求證：21 sin4 cos4 1 sin4 cos42tan 1 tanq q q

70、qq q+ - + +=-. 【答案】證明見(jiàn)解析 【解析】 證明：要證原式，可以證明21 sin4 cos4 2tan1 sin4 cos4 1 tanq q qq q q+ -=+ + -. 左邊( )( )sin4 1 cos4sin4 1 cos4q qq q+ -=+ + 222sin2 cos2 2sin 22sin2 cos2 2cos 2q q qq q q+=+ ( )( )2sin2 cos2 sin22cos2 sin2 cos2q q qq q q+=+ tan2 q = ， 右邊22tantan21 tanqqq= =-， 左邊 = 右邊， 原式得證. 必知必會(huì) 題型 九： 可轉(zhuǎn)化為 的函數(shù)問(wèn)題 當(dāng)求與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、值域等問(wèn)題時(shí)，一般要將函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式 若