材料的溫度依賴性質(zhì)對功能梯度材料梁熱彎曲行為的影響

1、 LANZHOU UNIVERSITY OF TECHNOLOGY畢業(yè)設計(論文)題 目 材料的溫度依賴性質(zhì)對功能梯度梁 熱彎曲行為的影響 學生姓名 口 永 剛 學 號 09510223 專業(yè)班級 工程力學00班 指導教師 馬 連 生 學 院 理 學 院 答辯日期 2013年6月 2蘭州理工大學畢業(yè)設計（論文）摘 要 功能梯度材料結(jié)構(gòu)沿厚度方向具有非均勻性，其力學性質(zhì)從一個表面連續(xù)而平滑地變化到另一個表面，這可以通過逐步改變材料成分的體積百分比含量而實現(xiàn)，消除了物理性能的突變，其應力分布是光滑的。因此，功能梯度材料結(jié)構(gòu)可以應用于許多特殊的工作環(huán)境和承受復雜載荷。本文研究了均勻熱載荷作用下，梁的

2、熱彎曲問題。首先基于非線性經(jīng)典梁理論，建立該問題的控制方程。然后將它化簡為一個關(guān)于橫向撓度方向的四階非線性積分-微分方程。對于本文所考慮的徑向不可移兩端簡支的邊界條件，該方程與相應的邊界條件構(gòu)成了微分特征值問題。求解該四階非線性積分-微分方程，得到熱彎曲結(jié)構(gòu)的解析解，該解是外加熱載荷的非線性函數(shù)。利用求得的解析解，用圖形表示出了在徑向不可移兩端簡支邊界條件下熱載荷與梁彎曲的關(guān)系曲線。而且通過圖形表示出了屈曲點與臨界屈曲載荷。 關(guān)鍵詞：功能梯度材料；經(jīng)典梁理論：熱彎曲：解析解：溫度依賴性質(zhì)AbstractFunctionally graded material is a kind of comp

3、osite material that are microscopically inhomogeneous, Its mechanical properties changes continuously and smoothly from one surface to the other surface, It can be achieved by gradually changing the volume percentage content of material composition. Eliminating the mutation of the physical propertie

4、s, And the stress distribution is smooth. So. The FGM structures can be used in various environment and can bear complex loads.This paper studies the thermal bending of the beam under uniform thermal loads, First, the equations governing of the beams are derived based on the nonlinear classical beam

5、 theory (CBT). The two equations are reduced to a single nonlinear fourth-order integral differential equation governing the transverse deformations. The equation and the corresponding boundary conditions lead to differential eigenvalue problem. To solve the four order nonlinear integral differentia

6、l equation, the analytical solution get thermal bending structure and the solution is heating load of the nonlinear function. Based on the analytical solution, graphing out thermal loading and thermal bending relation curves. And through the graphic indicates the buckling critical buckling load and

7、points.Keywords: Functionally graded material Classic beam theory Thermal bending analytical solution Temperature-dependent Material properties 目 錄摘 要1Abstract2第一章 緒論51.1 功能梯度材料簡介61.2 功能梯度材料梁的力學研究現(xiàn)狀61.3 本文的研究目標7第二章 問題的描述與基本方程92.1 位移場92.2 幾何方程102.3 內(nèi)力位移關(guān)系102.4 應變能及其變分：102.5 外力勢能及其變分112.6 邊界條件122.7 靜態(tài)

8、平衡方程122.8 位移形式的平衡方程122.9 無量綱控制方程13第三章 問題的解析過程153.1 方程的求解153.2 具體問題的求解163.3 數(shù)值結(jié)果及圖像分析17第四章 梁的溫度依賴性質(zhì)的研究194.1 溫度依賴性質(zhì)研究194.2 結(jié)論20參考文獻21附：外文原文及翻譯22第一章 緒論 在實際工程應用中，許多結(jié)構(gòu)件都會遇到各種復雜的服役條件，因此，要求材料的性能應隨構(gòu)件中的位置而不同。例如，一把廚房用的菜刀只需其刃部堅硬，而在其它地方，用于制造它的材料則必須具有高強度和韌性；齒輪的輪體部分要求具有很好的韌性，而輪齒表面則必須堅硬耐磨；飛行器熱障材料的主體必須高強度、高韌性和抗蠕變，而

9、它的外表必須耐磨、熱導率低和抗氧化?，F(xiàn)在許多實際應用中最需要的材料都屬于這個范疇。 眾所周知，構(gòu)件中材料成分和性能突然變化常常會導致明顯的局部應力集中，如果從一種材料過渡到另一種材料是逐步變化的，這些應力集中就會大大的降低。功能梯度材料（Functionally Graded Material）是一種復合材料，具有微觀非均勻性，其力學性質(zhì)從一個表面連續(xù)而平滑地變化到另一個表面，這可以通過逐步改變材料成分的體積百分比含量而實現(xiàn)，消除了界面問題，因此應力分布是光滑的。功能梯度材料能夠以連續(xù)的組分梯度來代替突變的界面，消除了物理性能的突變，克服了一般常規(guī)材料在基體和增強材料之間存在明顯的物理性能不連

10、續(xù)的界面，在結(jié)構(gòu)承受較高水平的機械或溫度載荷時，通常會在界面上由于應力集中和材料缺陷而引起脫層破壞或萌發(fā)裂紋的缺陷，改善構(gòu)件的熱機特征。 在技術(shù)科學領(lǐng)域里，隨著人們對結(jié)構(gòu)綜合質(zhì)量的要求越來越高，新材料，新工藝不斷涌現(xiàn)，功能梯度材料以其獨特的優(yōu)勢展現(xiàn)出日益廣泛的應用前景。近幾年來，除了航天上的應用，出現(xiàn)了特意引入梯度材料的其它許多目標應用，包括金屬和陶瓷的連接、人體器官移植、爆發(fā)內(nèi)燃機構(gòu)件、磁性裝置、切割工具、建筑中的防水物、抗接觸損傷的聚合物基復合材料和火箭推力燃燒室的襯里。其組成也有金屬-陶瓷發(fā)展成為金屬-合金、非金屬-非金屬、非金屬-陶瓷等多種組合，種類繁多。更重要的是它將性能各異的材料按

11、照設計的意愿在結(jié)構(gòu)內(nèi)部非均勻、連續(xù)地合成新型材料，將新材料的研制帶入了設計的更高層次。功能梯度材料因此成為當前結(jié)構(gòu)材料研究領(lǐng)域中的重要主題之一。 功能梯度材料結(jié)構(gòu)沿厚度方向具有非均勻性，并且其在空間位置上呈連續(xù)變化的組分體積含量，而使得功能梯度材料性質(zhì)在空間位置上也呈連續(xù)變化，消除了材料性能的突變。因此，功能梯度材料結(jié)構(gòu)可以應用于許多特殊的工作環(huán)境和承受復雜的載荷。1.1 功能梯度材料簡介 功能梯度材料（Functionally Graded Material）是一種新型的非均勻復合材料，它的概念最早是由日本科學家在1984年提出來的，它是通過特定的材料制備工藝將不同性能的兩種或兩種以上材料按

12、一定的設計規(guī)律組合起來，使材料組分按梯度連續(xù)變化，從而消除材料的不連續(xù)以使內(nèi)部界面消失。功能梯度材料梁的靜動態(tài)研究結(jié)果仍是結(jié)構(gòu)材料理論研究所關(guān)注的問題。即它的力學性質(zhì)從一個表面到另一個表面是平滑而連續(xù)變化的，它在工程應用中表現(xiàn)出很優(yōu)越的特性，例如，抵抗高溫梯度，平緩應力集中等。因此，F(xiàn)GM已被廣泛應用于航空航天，核反應堆等高溫梯度環(huán)境中工作的結(jié)構(gòu)元件。所以，功能梯度材料結(jié)構(gòu)在熱載荷下的力學行為吸引了越來越多的固體力學和材料科學的研究人員，并已成為固體力學一個新的研究方向。1.2 功能梯度材料梁的力學研究現(xiàn)狀 功能梯度材料是一種新型的非均勻復合材料，它以連續(xù)變化的材料組分梯度來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的復合材料

13、的突變界面，從而消除了其物理性質(zhì)的不連續(xù)性，并可使構(gòu)建中的熱應力集中降至最低。因此，功能梯度材料在航空航天核反應堆，內(nèi)燃機，微電機，激光加熱等工程技術(shù)領(lǐng)域中具有潛在的應用前景。功能梯度材料是其物理性質(zhì)沿著空間坐標連續(xù)變化的非均勻材料。由于物理性質(zhì)的非均勻性，功能梯度材料梁的數(shù)學模型之間的相似關(guān)系，將功能梯度材料梁的求解轉(zhuǎn)化為同樣的集合吃催。載荷工況和邊界條件下的均勻材料梁的求解以及相似轉(zhuǎn)化系數(shù)的計算問題。為工程應用提供便捷的途徑。 文獻1分析了功能梯度材料Timoshenko梁在橫向非均勻升溫下的熱過屈曲問題?；谳S向可伸長和橫向可剪切的幾何非線性理論，建立了FGM梁在熱-機械荷載作用下的彈性

14、大變形控制方程。采用打靶法數(shù)值求解所得強非線性常微分方程邊值問題，得到兩端完全固定的FGM Timoshenko梁在橫向非均勻升溫下的熱屈曲和熱過屈曲響應解，給出了梁的熱過屈曲平衡路徑，詳細分析和討論了材料的梯度性質(zhì)和熱載荷對變形及過屈曲溫度的影響。徐華2分別基于一階和高階剪切變形理論，采用解析方法研究了材料性質(zhì)沿厚度連續(xù)變化的功能梯度材料梁與均勻梁靜態(tài)彎曲之間的線性轉(zhuǎn)換關(guān)系，并采用數(shù)值打靶法分析了一階剪切理論下功能梯度材料梁的自由振動響應。Kadoli 3等基于高階剪切變形理論對功能梯度梁進行靜態(tài)分析，結(jié)果表明對于載荷作用于陶瓷梁還是純金屬面時，靜撓度和靜應力并不保持不變。王明祿4等假設FG

15、M梁的材料組分沿厚度方向呈冪律形式變化，在平界面假設下，建立了FGM彈性梁的數(shù)學模型及其簡化Gurtin型變分原理。借助問題的Ritz解，討論了FGM梁在均勻分布的熱載荷和非均勻熱載荷作用下的彈性變形和應力分布，發(fā)現(xiàn)了熱載荷下FGM彈性梁的應力翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象。周鳳璽等5在已有的研究基礎上，利用Hamilton原理得到了FGM梁在不同剪切理論下的運動方程，并采用Navier方法求解了FGM簡支梁的靜態(tài)彎曲和自由振動，通過數(shù)值計算比較了經(jīng)典梁理論（CBT）、一階剪切理論（FST）、高階剪切理論（HST）和正弦剪切理論（SST）下的彎曲行為和自然頻率。Aydogdu and Taskin 6采用經(jīng)典梁理論

16、研究了簡支的FGM梁的自由振動的特性，比較基于經(jīng)典和不同高階梁理論下的結(jié)果，并且自由振動頻率和振型通過不同的材料性質(zhì)參數(shù)和長細比給出。Bhangale等7采用有限元方法研究了功能梯度梁的熱屈曲問題，并分別得到了臨界溫度和振動頻率這些研究揭示了梁發(fā)生屈曲的一些機理。1.3 本文的研究目標本文研究了熱載荷作用下，F(xiàn)GM梁的彎曲問題。假設功能梯度材料性質(zhì)沿厚度方向呈梯度變化，其變化規(guī)律是一個簡單的組分材料含量的冪指數(shù)函數(shù)形式。利用物理中面的概念，基于經(jīng)典梁理論，建立FGM梁非線性熱彎曲問題的基本方程。并用解析的法方求出精確解。本文主要內(nèi)容包括以下幾個方面：1. 簡要介紹了功能梯度材料的概念及其發(fā)展和

17、研究現(xiàn)狀。2. 建立數(shù)學模型，推導了FGM梁非線性熱彎曲問題的基本方程。并利用解析的方法對控制方程進行了精確求解，獲得了梁靜態(tài)問題的精確解。3. 利用解析表達式，討論了材料的溫度依賴性質(zhì)對梁熱彎曲行為的影響。第二章 問題的描述與基本方程考慮一個厚度為，長度為，橫截面積為的矩形截面功能梯度梁。軸沿軸線方向，軸和軸分別沿梁的厚度和寬度方向，面置于梁的幾何中面上，原點位于梁軸線的左端點處。梁及其坐標系 設功能梯度梁的材料性質(zhì)（彈性模量為，質(zhì)量密度為,熱膨脹系數(shù)）只沿厚度方向變化，且服從以下規(guī)律 (2-1) 這里，下標和分別表示金屬和陶瓷成分，是冪指數(shù)，取不同的值代表成分含量不一的功能梯度材料。本文中

18、假設泊松比為常數(shù)且取=0.28. 取功能梯度梁的物理中面為。這里 (2-2) 顯然，對于均勻各向同性材料梁，其物理中面和幾何中面是重合的。2.1 位移場 (2-3)這里， 分別表示梁上任意一點的徑向和橫向位移，和分別表示梁物理中面上點的徑向和橫向位移。2.2 幾何方程 (2-4) 式中， 分別為梁物理中面的面內(nèi)應變和出面應變。 2.3 內(nèi)力位移關(guān)系 (2-5) (2-6) 這里， T為梁的溫度的升高。顯然，在內(nèi)力位移關(guān)系中，面內(nèi)力與彎矩并不耦合。2.4 應變能及其變分：根據(jù) (2-7)這里 (2-8) (2-9) 對和分別變分 (2-10)再將應變能變分按截面積積分 (2-11) 2.5 外力

19、勢能及其變分 (2-12)由， 有：具體運算如下 (2-13)對兩部分分別進行計算，由，即 (2-14)2.6 邊界條件 (2-15) 即為 或 或 或 2.7 靜態(tài)平衡方程 (2-16) 將邊界條件代入以上三式，即可得平衡方程 （在本文中，且） (2-17)2.8 位移形式的平衡方程將 代入上面的平衡方程，可得到用位移表示的平衡方程： (2-18) (2-19) 2.9 無量綱控制方程引入無量綱量即有:將以上無量綱量代入位移形式的平衡方程（1）、（2）中，得： (2-20)因為 , 所以有: (2-21) (2-22) ，所以有: (2-23)至此，我們得到了無量綱控制方程。第三章 問題的解

20、析過程3.1 方程的求解無量綱控制方程2可以變形如下： (3-1)令 (3-2)則上式變?yōu)?(3-3) 令 (3-4) 則上式變?yōu)?(3-5)根據(jù)微分方程的知識，可解得： (3-6) 即 (3-7)將上式對進行積分得： (3-8) 將上式再對進行積分得： (3-9) 令 (3-10)則 (3-11) 3.2 具體問題的求解本文所研究的問題是徑向不可移兩端簡支的功能梯度材料梁的彎曲問題，所以可得到以下邊界條件。 (3-12) 將上面的邊界條件代入的表達式中得： (3-13)寫成矩陣形式 (3-14) (3-15)依次解得將其代入的表達式中得: (3-16)在粱的中心處，有下列對稱性及連續(xù)性條件成

21、立： (3-17) 解得 (3-18) 由此解得 (3-19) 故的表達式化簡為 (3-20)3.3 數(shù)值結(jié)果及圖像分析3.3.1 梁的熱彎曲路徑及構(gòu)型圖 兩端簡支梁圖 兩端簡支梁 時圖3.3.2 理論分析1.對于任何形式屈曲構(gòu)型模態(tài)，熱載荷必須大于相應模態(tài)下的特征值。2.梁在屈曲初期無限接近原始平衡狀態(tài)，所以臨界載荷等于第一階特征值。3.從式中可以看出梁的過屈曲響應，即梁的撓度隨著外熱載荷呈非線性變化。 4. 梁的彎曲路徑圖是根據(jù)方程,當取一階特征值時得到的。從圖中可以看出過屈曲的零界載荷以及其非線性的變化。5.梁的彎曲構(gòu)型圖可看出梁的構(gòu)型是正玄曲線。第四章 梁的溫度依賴性質(zhì)的研究4.1 溫

22、度依賴性質(zhì)研究基于經(jīng)典梁理論，簡支的FGM梁的跨中撓度隨著平面熱載荷的變化基于經(jīng)典梁理論下，簡支FGM梁的彎曲配置經(jīng)典梁理論不同n值時FGM簡支梁的熱彎曲變形比較4.2 結(jié)論 由圖可得到以下結(jié)論: 1.當n分別取不同值時，TD表示功能梯度材料的物性參數(shù)隨溫度的變化而變化，即溫度相關(guān)。TID表示功能梯度材料的物性參數(shù)不隨溫度的變化而變化，即溫度無關(guān)。 2.對于簡支梁，只要施加荷載，就有撓度產(chǎn)生?？梢?，在面內(nèi)熱荷載作用下，F(xiàn)GM簡支梁不存在分支屈曲現(xiàn)象。 3.隨著n值的增大，上下圖形越相互靠攏，即隨著n值的增大，梁的剛度增加，溫度相關(guān)和溫度無關(guān)趨勢相同。參考文獻1 李世榮，張靖華，趙永剛. 功能梯

23、度材料Timoshenko梁的熱過屈曲分析.蘭 州：蘭州理工大學,1000-0887（2006）06-0709-07.2 徐華. 功能梯度材料Timoshenko梁的彎曲與振動分析.碩士學位論文.蘭州： 蘭州理工大學.3 Kadoli R, Akhta R, Ganesan N. Static analysis of functionally graded beams using higher order shear deformation theory J.Applied Mathematical Modeling,2008,32(12)：2509-2525 4 王明祿，馬文蕾，魏高峰.熱載荷下功能梯度材料梁的熱彈性彎曲.山東輕工 業(yè)學院機械工程學院，濟南，1