數(shù)值分析習(xí)題集及答案[1]

1、數(shù)值分析習(xí)題集（適合課程數(shù)值方法A和數(shù)值方法B）長(zhǎng)沙理工大學(xué)第一章 緒 論1. 設(shè)x>0,x的相對(duì)誤差為,求的誤差.2. 設(shè)x的相對(duì)誤差為2,求的相對(duì)誤差.3. 下列各數(shù)都是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似數(shù),即誤差限不超過(guò)最后一位的半個(gè)單位,試指出它們是幾位有效數(shù)字:4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的誤差限:其中均為第3題所給的數(shù).5. 計(jì)算球體積要使相對(duì)誤差限為1,問(wèn)度量半徑R時(shí)允許的相對(duì)誤差限是多少?6. 設(shè)按遞推公式 ( n=1,2,)計(jì)算到.若取27.982(五位有效數(shù)字),試問(wèn)計(jì)算將有多大誤差?7. 求方程的兩個(gè)根,使它至少具有四位有效數(shù)字(27.982).8. 當(dāng)N充分大時(shí),怎

2、樣求?9. 正方形的邊長(zhǎng)大約為100,應(yīng)怎樣測(cè)量才能使其面積誤差不超過(guò)1?10. 設(shè)假定g是準(zhǔn)確的,而對(duì)t的測(cè)量有±0.1秒的誤差,證明當(dāng)t增加時(shí)S的絕對(duì)誤差增加,而相對(duì)誤差卻減小.11. 序列滿足遞推關(guān)系(n=1,2,),若(三位有效數(shù)字),計(jì)算到時(shí)誤差有多大?這個(gè)計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定嗎?12. 計(jì)算,取,利用下列等式計(jì)算,哪一個(gè)得到的結(jié)果最好?13. ,求f(30)的值.若開(kāi)平方用六位函數(shù)表,問(wèn)求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大?若改用另一等價(jià)公式 計(jì)算,求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大?14. 試用消元法解方程組假定只用三位數(shù)計(jì)算,問(wèn)結(jié)果是否可靠?15. 已知三角形面積其中c為弧度,且測(cè)量a ,b ,c 的誤差分別

3、為證明面積的誤差滿足第二章 插值法 1. 根據(jù)(2.2)定義的范德蒙行列式,令 證明是n次多項(xiàng)式,它的根是,且.2. 當(dāng)x= 1 , -1 , 2 時(shí), f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多項(xiàng)式.3. 給出f(x)=ln x 的數(shù)值表用線性插值及二次插值計(jì)算ln 0.54 的近似值.x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444. 給出cos x,0°x 90°的函數(shù)表,步長(zhǎng)h =1=(1/60)°,若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字,研究用線性插值求cos x 近似值

4、時(shí)的總誤差界.5. 設(shè),k=0,1,2,3,求.6. 設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)(j=0,1,n),求證:i)ii)7. 設(shè)且,求證8. 在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表,若用二次插值求的近似值,要使截?cái)嗾`差不超過(guò),問(wèn)使用函數(shù)表的步長(zhǎng)應(yīng)取多少?9. 若,求及.10. 如果是次多項(xiàng)式,記,證明的階差分是次多項(xiàng)式,并且為正整數(shù)).11. 證明.12. 證明13. 證明14. 若有個(gè)不同實(shí)根,證明15. 證明階均差有下列性質(zhì):i) 若,則;ii) 若,則.16. ,求及.17. 證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)是 并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限.18. 求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式,使它滿足并由此求出分段三次埃爾米特

5、插值的誤差限.19. 試求出一個(gè)最高次數(shù)不高于4次的函數(shù)多項(xiàng)式,以便使它能夠滿足以下邊界條件,.20. 設(shè),把分為等分,試構(gòu)造一個(gè)臺(tái)階形的零次分段插值函數(shù)并證明當(dāng)時(shí),在上一致收斂到.21. 設(shè),在上取,按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù),計(jì)算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處的與的值,并估計(jì)誤差.22. 求在上的分段線性插值函數(shù),并估計(jì)誤差.23. 求在上的分段埃爾米特插值,并估計(jì)誤差.24. 給定數(shù)據(jù)表如下:0.250.300.390.450.530.50000.54770.62450.67080.7280試求三次樣條插值并滿足條件i)ii)25. 若,是三次樣條函數(shù),證明i) ;ii) 若,式中為插值節(jié)點(diǎn),且,則.

6、26. 編出計(jì)算三次樣條函數(shù)系數(shù)及其在插值節(jié)點(diǎn)中點(diǎn)的值的程序框圖(可用(8.7)式的表達(dá)式). 第三章 函數(shù)逼近與計(jì)算1. (a)利用區(qū)間變換推出區(qū)間為的伯恩斯坦多項(xiàng)式.(b)對(duì)在上求1次和三次伯恩斯坦多項(xiàng)式并畫(huà)出圖形,并與相應(yīng)的馬克勞林級(jí)數(shù)部分和誤差做比較.2. 求證:(a)當(dāng)時(shí),. (b)當(dāng)時(shí),.3. 在次數(shù)不超過(guò)6的多項(xiàng)式中,求在的最佳一致逼近多項(xiàng)式.4. 假設(shè)在上連續(xù),求的零次最佳一致逼近多項(xiàng)式.5. 選取常數(shù),使達(dá)到極小,又問(wèn)這個(gè)解是否唯一?6. 求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式,并估計(jì)誤差.7. 求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式.8. 如何選取,使在上與零偏差最小?是否唯一?9. 設(shè),在上求三

7、次最佳逼近多項(xiàng)式.10. 令,求.11. 試證是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式.12. 在上利用插值極小化求1的三次近似最佳逼近多項(xiàng)式.13. 設(shè)在上的插值極小化近似最佳逼近多項(xiàng)式為,若有界,證明對(duì)任何,存在常數(shù)、,使14. 設(shè)在上,試將降低到3次多項(xiàng)式并估計(jì)誤差.15. 在上利用冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)求的3次逼近多項(xiàng)式,使誤差不超過(guò)0.005.16. 是上的連續(xù)奇(偶)函數(shù),證明不管是奇數(shù)或偶數(shù),的最佳逼近多項(xiàng)式也是奇(偶)函數(shù).17. 求、使為最小.并與1題及6題的一次逼近多項(xiàng)式誤差作比較.18. 、,定義 問(wèn)它們是否構(gòu)成內(nèi)積?19. 用許瓦茲不等式(4.5)估計(jì)的上界,并用積分中值定理估計(jì)同一積分的上下界,并

8、比較其結(jié)果.20. 選擇,使下列積分取得最小值:.21. 設(shè)空間,分別在、上求出一個(gè)元素,使得其為的最佳平方逼近,并比較其結(jié)果.22. 在上,求在上的最佳平方逼近.23. 是第二類切比雪夫多項(xiàng)式,證明它有遞推關(guān)系.24. 將在上按勒讓德多項(xiàng)式及切比雪夫多項(xiàng)式展開(kāi),求三次最佳平方逼近多項(xiàng)式并畫(huà)出誤差圖形,再計(jì)算均方誤差.25. 把在上展成切比雪夫級(jí)數(shù).26. 用最小二乘法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式,使它與下列數(shù)據(jù)擬合,并求均方誤差.192531384419.032.349.073.397.827. 觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng),得出以下數(shù)據(jù):時(shí)間(秒)00.91.93.03.95.0距離(米)010305080

9、110求運(yùn)動(dòng)方程.28. 在某化學(xué)反應(yīng)里,根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得分解物的濃度與時(shí)間關(guān)系如下:時(shí)間0510152025303540455055濃度01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘擬合求.29. 編出用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合的程序框圖.30. 編出改進(jìn)FFT算法的程序框圖.31. 現(xiàn)給出一張記錄,試用改進(jìn)FFT算法求出序列的離散頻譜第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分1. 確定下列求積公式中的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度:(1);(2);(3);(4).2. 分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分:(1);

10、 (2);(3); (4).3. 直接驗(yàn)證柯特斯公式(2.4)具有5次代數(shù)精度.4. 用辛普森公式求積分并計(jì)算誤差.5. 推導(dǎo)下列三種矩形求積公式:(1);(2);(3).6. 證明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)當(dāng)時(shí)收斂到積分.7. 用復(fù)化梯形公式求積分,問(wèn)要將積分區(qū)間分成多少等分,才能保證誤差不超過(guò)(設(shè)不計(jì)舍入誤差)?8. 用龍貝格方法計(jì)算積分,要求誤差不超過(guò).9. 衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓,橢圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式是,這里是橢圓的半長(zhǎng)軸,是地球中心與軌道中心(橢圓中心)的距離,記為近地點(diǎn)距離,為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離,公里為地球半徑,則.我國(guó)第一顆人造衛(wèi)星近地點(diǎn)距離公里,遠(yuǎn)地點(diǎn)距離公里,試求衛(wèi)星軌道的

11、周長(zhǎng).10. 證明等式試依據(jù)的值,用外推算法求的近似值.11. 用下列方法計(jì)算積分并比較結(jié)果.(1) 龍貝格方法;(2) 三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式;(3) 將積分區(qū)間分為四等分,用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式.12. 用三點(diǎn)公式和五點(diǎn)公式分別求在1.0,1.1和1.2處的導(dǎo)數(shù)值,并估計(jì)誤差.的值由下表給出:1.01.11.21.31.40.25000.22680.20660.18900.1736第五章 常微分方程數(shù)值解法1. 就初值問(wèn)題分別導(dǎo)出尤拉方法和改進(jìn)的尤拉方法的近似解的表達(dá)式，并與準(zhǔn)確解相比較。2. 用改進(jìn)的尤拉方法解初值問(wèn)題取步長(zhǎng)h=0.1計(jì)算，并與準(zhǔn)確解相比較。3. 用改進(jìn)的尤拉方法解取步長(zhǎng)h=0.

12、1計(jì)算，并與準(zhǔn)確解相比較。4. 用梯形方法解初值問(wèn)題證明其近似解為并證明當(dāng)時(shí)，它原初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解。5. 利用尤拉方法計(jì)算積分在點(diǎn)的近似值。6. 取h=0.2，用四階經(jīng)典的龍格庫(kù)塔方法求解下列初值問(wèn)題： 1） 2）7. 證明對(duì)任意參數(shù)t，下列龍格庫(kù)塔公式是二階的：8. 證明下列兩種龍格庫(kù)塔方法是三階的：1） 2） 9. 分別用二階顯式亞當(dāng)姆斯方法和二階隱式亞當(dāng)姆斯方法解下列初值問(wèn)題：取計(jì)算并與準(zhǔn)確解相比較。10. 證明解的下列差分公式是二階的，并求出截?cái)嗾`差的首項(xiàng)。11. 導(dǎo)出具有下列形式的三階方法：12. 將下列方程化為一階方程組：1）2）3） 13. 取h=0.25，用差分方法解邊值問(wèn)題1

13、4. 對(duì)方程可建立差分公式試用這一公式求解初值問(wèn)題驗(yàn)證計(jì)算解恒等于準(zhǔn)確解15. 取h=0.2用差分方法解邊值問(wèn)題第六章 方程求根1. 用二分法求方程的正根，要求誤差<0.05。2. 用比例求根法求在區(qū)間0,1內(nèi)的一個(gè)根，直到近似根滿足精度時(shí)終止計(jì)算。3. 為求方程在附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫(xiě)成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式。1），迭代公式；2），迭代公式；3），迭代公式。試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根。4. 比較求的根到三位小數(shù)所需的計(jì)算量；1）在區(qū)間0,1內(nèi)用二分法；2) 用迭代法，取初值。5. 給定函數(shù)，設(shè)對(duì)一切存在且，證明對(duì)于范圍內(nèi)的任意

14、定數(shù)，迭代過(guò)程均收斂于的根。6. 已知在區(qū)間a,b內(nèi)只有一根，而當(dāng)a<x<b時(shí)，試問(wèn)如何將化為適于迭代的形式？將化為適于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。7. 用下列方法求在附近的根。根的準(zhǔn)確值1.87938524，要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。1) 用牛頓法；2）用弦截法，?。?）用拋物線法，取。8. 用二分法和牛頓法求的最小正根。9. 研究求的牛頓公式證明對(duì)一切且序列是遞減的。10. 對(duì)于的牛頓公式，證明收斂到，這里為的根。11. 試就下列函數(shù)討論牛頓法的收斂性和收斂速度：1) 2) 12. 應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。13. 應(yīng)用牛頓

15、法于方程，導(dǎo)出求的迭代公式，并用此公式求的值。14. 應(yīng)用牛頓法于方程和，分別導(dǎo)出求的迭代公式，并求15. 證明迭代公式是計(jì)算的三階方法。假定初值充分靠近根，求第七章 解線性方程組的直接方法1. 考慮方程組：(a) 用高斯消去法解此方程組（用四位小數(shù)計(jì)算），(b) 用列主元消去法解上述方程組并且與(a)比較結(jié)果。2. (a) 設(shè)A是對(duì)稱陣且，經(jīng)過(guò)高斯消去法一步后，A約化為證明A2是對(duì)稱矩陣。 (b)用高斯消去法解對(duì)稱方程組：4. 設(shè)A為n階非奇異矩陣且有分解式A=LU，其中L為單位下三角陣，U為上三角陣，求證A的所有順序主子式均不為零。5. 由高斯消去法說(shuō)明當(dāng)時(shí)，則A=LU，其中L為單位下三角

16、陣，U 為上三角陣。6. 設(shè)A 為n階矩陣，如果稱A為對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣。證明：若A是對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，經(jīng)過(guò)高斯消去法一步后，A具有形式。7. 設(shè)A是對(duì)稱正定矩陣，經(jīng)過(guò)高斯消去法一步后，A約化為，其中證明 （1）A的對(duì)角元素（2）A2是對(duì)稱正定矩陣；（3）（4）A的絕對(duì)值最大的元素必在對(duì)角線上；（5）（6）從（2），（3），（5）推出，如果，則對(duì)所有k8. 設(shè)為指標(biāo)為k的初等下三角陣，即（除第k列對(duì)角元下元素外，和單位陣I相同）求證當(dāng)時(shí)，也是一個(gè)指標(biāo)為k的初等下三角陣，其中為初等排列陣。9. 試推導(dǎo)矩陣A的Crout分解A=LU的計(jì)算公式，其中L為下三角陣，U為單位上三角陣。10. 設(shè)，其中U為三角矩陣。(

17、a) 就U為上及下三角矩陣推導(dǎo)一般的求解公式，病寫(xiě)出算法。(b) 計(jì)算解三角形方程組的乘除法次數(shù)。(c) 設(shè)U為非奇異陣，試推導(dǎo)求的計(jì)算公式。11. 證明（a）如果A是對(duì)稱正定陣，則也是正定陣；（b）如果A是對(duì)稱正定陣，則A可唯一寫(xiě)成,其中L是具有正對(duì)角元的下三角陣。12. 用高斯約當(dāng)方法求A的逆陣：13. 用追趕法解三對(duì)角方程組，其中14. 用改進(jìn)的平方根法解方程組15. 下述矩陣能否分解為L(zhǎng)U（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解是否唯一？16. 試劃出部分選主元素三角分解法框圖，并且用此法解方程組.17. 如果方陣A 有，則稱A為帶寬2t+1的帶狀矩陣，設(shè)A滿足三角分

18、解條件，試推導(dǎo)的計(jì)算公式，對(duì)1） ；2） .18. 設(shè)，計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2-范數(shù)及F-范數(shù)。19. 求證(a) ，(b) 。20. 設(shè) 且非奇異，又設(shè)為上一向量范數(shù)，定義。試證明是上的一種向量范數(shù)。21. 設(shè)為對(duì)稱正定陣，定義，試證明為上向量的一種范數(shù)。22. 設(shè)，求證。23. 證明：當(dāng)且盡當(dāng)x和y線性相關(guān)且時(shí)，才有。24. 分別描述中（畫(huà)圖）。25. 令是（或）上的任意一種范數(shù)，而P是任意非奇異實(shí)（或復(fù)）矩陣，定義范數(shù)，證明。26. 設(shè)為上任意兩種矩陣算子范數(shù)，證明存在常數(shù)，使對(duì)一切滿足27. 設(shè)，求證與特征值相等，即求證。28. 設(shè)A為非奇異矩陣，求證。29. 設(shè)A為非奇異矩陣，且

19、，求證存在且有估計(jì)30. 矩陣第一行乘以一數(shù)，成為。證明當(dāng)時(shí)，有最小值。31. 設(shè)A為對(duì)稱正定矩陣，且其分解為，其中，求證(a) (b) 32. 設(shè)計(jì)算A的條件數(shù)。33. 證明：如果A是正交陣，則。34. 設(shè)且為上矩陣的算子范數(shù)，證明。第八章 解方程組的迭代法1. 設(shè)方程組 (a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德?tīng)柕ń獯朔匠探M的收斂性;(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德?tīng)柕ń獯朔匠探M,要求當(dāng)時(shí)迭代終止2. 設(shè), 證明:即使級(jí)數(shù)也收斂3. 證明對(duì)于任意選擇的A, 序列收斂于零. 設(shè)方程組 迭代公式為 求證: 由上述迭代公式產(chǎn)生的向量序列收斂的充要條件是5. 設(shè)方程組(a) (b) 試考察

20、解此方程組的雅可比迭代法及高斯-塞德?tīng)柕ǖ氖諗啃浴?. 求證的充要條件是對(duì)任何向量x，都有7. 設(shè)，其中A對(duì)稱正定，問(wèn)解此方程組的雅可比迭代法是否一定收斂？試考察習(xí)題5(a)方程組。8. 設(shè)方程組(a) 求解此方程組的雅可比迭代法的迭代矩陣的譜半徑；(b) 求解此方程組的高斯塞德?tīng)柕ǖ牡仃嚨淖V半徑；(c) 考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯塞德?tīng)柕ǖ氖諗啃浴?. 用SOR方法解方程組（分別取松弛因子）精確解要求當(dāng)時(shí)迭代終止，并且對(duì)每一個(gè)值確定迭代次數(shù)。10. 用SOR方法解方程組（取0.9）要求當(dāng)時(shí)迭代終止。11. 設(shè)有方程組，其中A為對(duì)稱正定陣，迭代公式 試證明當(dāng)時(shí)上述迭代法

21、收斂（其中）。12. 用高斯塞德?tīng)柗椒ń?，用記的第i個(gè)分量，且。(a) 證明 ；(b) 如果，其中是方程組的精確解，求證：其中 。(c) 設(shè)A是對(duì)稱的，二次型證明 。(d) 由此推出，如果A是具有正對(duì)角元素的非奇異矩陣，且高斯塞德?tīng)柗椒▽?duì)任意初始向量是收斂的，則A是正定陣。13. 設(shè)A與B為n階矩陣，A為非奇異，考慮解方程組其中。(a) 找出下列迭代方法收斂的充要條件(b) 找出下列迭代方法收斂的充要條件比較兩個(gè)方法的收斂速度。14. 證明矩陣對(duì)于是正定的，而雅可比迭代只對(duì)是收斂的。15. 設(shè)，試說(shuō)明A為可約矩陣。16. 給定迭代過(guò)程，其中，試證明：如果C的特征值，則迭代過(guò)程最多迭代n次收斂于

22、方程組的解。17. 畫(huà)出SOR迭代法的框圖。18. 設(shè)A為不可約弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣且，求證：解的SOR方法收斂。19. 設(shè)，其中A為非奇異陣。(a) 求證為對(duì)稱正定陣；(b) 求證。第九章 矩陣的特征值與特征向量計(jì)算1. 用冪法計(jì)算下列矩陣的主特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量：(a) , (b) ,當(dāng)特征值有3位小數(shù)穩(wěn)定時(shí)迭代終止。2. 方陣T分塊形式為,其中為方陣，T稱為塊上三角陣，如果對(duì)角塊的階數(shù)至多不超過(guò)2，則稱T 為準(zhǔn)三角形形式，用記矩陣T的特征值集合，證明3. 利用反冪法求矩陣的最接近于6的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。4. 求矩陣與特征值4對(duì)應(yīng)的特征向量。5. 用雅可比方法計(jì)算的全部特征值及特征向量，用

23、此計(jì)算結(jié)果給出例3的關(guān)于p的最優(yōu)值。6. (a)設(shè)A是對(duì)稱矩陣，和是A的一個(gè)特征值及相應(yīng)的特征向量，又設(shè)P為一個(gè)正交陣，使證明的第一行和第一列除了外其余元素均為零。 (b)對(duì)于矩陣,=9是其特征值，是相應(yīng)于9的特征向量，試求一初等反射陣P，使，并計(jì)算。7. 利用初等反射陣將正交相似約化為對(duì)稱三對(duì)角陣。8. 設(shè)，且不全為零，為使的平面旋轉(zhuǎn)陣，試推導(dǎo)計(jì)算第行，第j行元素公式及第i列，第j列元素的計(jì)算公式。9. 設(shè)是由豪斯荷爾德方法得到的矩陣，又設(shè)y是的一個(gè)特征向量。(a)證明矩陣A對(duì)應(yīng)的特征向量是；(b)對(duì)于給出的y應(yīng)如何計(jì)算x？10. 用帶位移的QR方法計(jì)算(a) , (b) 全部特征值。11.

24、 試用初等反射陣A分解為QR，其中Q為正交陣，R為上三角陣，。數(shù)值分析習(xí)題簡(jiǎn)答（適合課程數(shù)值方法A和數(shù)值方法B）長(zhǎng)沙理工大學(xué)第一章 緒論習(xí)題參考答案1 （lnx）。2 。3 有5位有效數(shù)字，有2位有效數(shù)字，有4位有效數(shù)字，有5位有效數(shù)字，有2位有效數(shù)字。4 。5 。6 。7 ，。89 。10 ，故t增加時(shí)S的絕對(duì)誤差增加，相對(duì)誤差減小。11 ，計(jì)算過(guò)程不穩(wěn)定。12 ，如果令，則，的結(jié)果最好。13 ，開(kāi)平方時(shí)用六位函數(shù)表計(jì)算所得的誤差為，分別代入等價(jià)公式中計(jì)算可得，。14 方程組的真解為，而無(wú)論用方程一還是方程二代入消元均解得，結(jié)果十分可靠。15第二章 插值法習(xí)題參考答案1. ；.2. .3.

25、線性插值：取，則； 二次插值：取，則0.616707 .4. ，其中.所以總誤差界 .5. 當(dāng) 時(shí)，取得最大值 .6. i) 對(duì)在處進(jìn)行n次拉格朗日插值，則有 由于，故有. ii) 構(gòu)造函數(shù)在處進(jìn)行n次拉格朗日插值，有.插值余項(xiàng)為 ，由于 故有令即得 .7. 以a, b兩點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)作的一次插值多項(xiàng)式，據(jù)余項(xiàng)定理，由于故8. 截?cái)嗾`差 其中 則時(shí)取得最大值 .由題意， 所以，9. 則可得， ，則可得10. 數(shù)學(xué)歸納法證當(dāng)時(shí)，為m1次多項(xiàng)式；假設(shè) 是m-k 次多項(xiàng)式，設(shè)為，則為m-(k+1)次多項(xiàng)式，得證。11. 右左12. 13. .14. 由于是的n個(gè)互異的零點(diǎn)，所以對(duì)求導(dǎo)得，則 ，記則 由

26、以上兩式得 15. i) . ii) 證明同上。16. 17. 即均為的二重零點(diǎn)。因而有形式：作輔助函數(shù)則 由羅爾定理，存在使得類似再用三次羅爾定理，存在使得 又 可得 即 18. 采用牛頓插值，作均差表：一階均差二階均差01201110-1/2又由 得 所以 19. 記 則因?yàn)?，所以在上一致連續(xù)。當(dāng)時(shí)，此時(shí)有由定義知當(dāng)時(shí)，在上一致收斂于。20. 在每個(gè)小區(qū)間上表示為計(jì)算各值的C程序如下：#include"stdio.h"#include"math.h"float f(float x) return(1/(1+x*x);float I(float x,f

27、loat a,float b) return(x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b);void main() int i; float x11,xc,xx; x0=-5; printf("x0=%fn",x0); for(i=1;i<=10;i+) xi=xi-1+1; printf("x%d=%fn",i,xi); for(i=0;i<10;i+) xc=(xi+xi+1)/2; I(xc,xi,xi+1); printf("I%d=%fn",i+1,I(xc,xi,xi+1); for(i=0

28、;i<10;i+) xx=(xi+xi+1)/2; f(xx); printf("f%d=%fn",i+1,f(xx); 21. 在每個(gè)小區(qū)間上為22. 則在每個(gè)小區(qū)間上表示為 23. 則三次樣條插值函數(shù)表達(dá)式為i) 由，得，關(guān)于的方程組為24. i) 因?yàn)樗杂易蟆?ii) 由于為三次函數(shù)，故為常數(shù)，又，則，所以。第三章 函數(shù)逼近與計(jì)算習(xí)題參考答案1. (a) 區(qū)間變換公式為，代入原公式可得新區(qū)間里的伯恩斯坦多項(xiàng)式為;(b) ，相應(yīng)的麥克勞林級(jí)數(shù)分別為，部分和誤差則為，大于伯恩斯坦多項(xiàng)式的誤差。2. ，故，當(dāng)時(shí)，。3. ，對(duì)任意不超過(guò)6次的多項(xiàng)式，在時(shí)，若有，則在上

29、至少有7個(gè)零點(diǎn)，這與不超過(guò)6次矛盾，所以，就是所求最佳一致逼近多項(xiàng)式。4. 設(shè)所求為，由47頁(yè)定理4可知在上至少有兩個(gè)正負(fù)交錯(cuò)的偏差點(diǎn)，恰好分別為的最大值和最小值處，故由可以解得即為所求。5. 原函數(shù)與零的偏差極大值點(diǎn)分別為，故，解方程可得出唯一解。6. ，故，得，故所求最佳一次逼近多項(xiàng)式為，又因?yàn)閮蓚€(gè)偏差點(diǎn)必在區(qū)間端點(diǎn)，故誤差限為。7. ，故由可以解得，則有，故所求最佳一次逼近多項(xiàng)式為。8. 切比雪夫多項(xiàng)式在上對(duì)零偏差最小，所求函數(shù)必為切比雪夫多項(xiàng)式的常數(shù)倍，解得唯一解 。9. 作變換代入得，則在上的三次最佳逼近多項(xiàng)式為，作逆變換代入，則在上的三次最佳逼近多項(xiàng)式為。10. ，其中。11. ，

30、故正交。12. 用的4個(gè)零點(diǎn)做插值節(jié)點(diǎn)可求得三次近似最佳逼近多項(xiàng)式為。13. ，則有，其中。由拉格朗日插值的余項(xiàng)表達(dá)公式可得出，令，則待證不等式成立，得證。14. 由泰勒級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)節(jié)約，在上有，即其中誤差限為。15. ，取為的近似，誤差限為，再對(duì)冪級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)進(jìn)行節(jié)約就可以得到原函數(shù)的3次逼近多項(xiàng)式，其誤差限為，即為所求16. 當(dāng)為上的奇函數(shù)時(shí)，設(shè)為原函數(shù)的最佳逼近多項(xiàng)式，則，對(duì)有，所以也是最佳逼近多項(xiàng)式，由最佳逼近多項(xiàng)式的唯一性，即是奇函數(shù)。同理可證，當(dāng)為上的偶函數(shù)時(shí)，最佳逼近多項(xiàng)式也是偶函數(shù)。17. ，為使均方誤差最小，則有，解得。18. (a)，c為常數(shù)，但當(dāng)時(shí)，,不滿足定義，所以不構(gòu)成內(nèi)積

31、。（b），且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足定義，所以構(gòu)成內(nèi)積。19. ，其中，則，由此可知用積分中值定理估計(jì)比許瓦茲不等式估計(jì)更精確。20. ，時(shí)最小。在時(shí)，值為，時(shí)，值為1，時(shí)，值為，時(shí)最小。21. 要使最小，由拉格朗日乘子法可解得，誤差為，要使最小，由拉格朗日乘子法可解得，誤差為，前者誤差小。22. 上均為偶函數(shù)，也為偶函數(shù)，則最小，由拉格朗日乘子法可解得。23. ，和差化積得證。24. 由積分區(qū)間的對(duì)稱性及勒讓德多項(xiàng)式的奇偶性可知，將原函數(shù)在此積分區(qū)間上按勒讓德多項(xiàng)式三次展開(kāi)就可以求得，代入可得，均方誤差為。25. ，其中。26. ，解方程得，均方誤差。27. 經(jīng)驗(yàn)公式為，最小二乘法解得，運(yùn)動(dòng)方程為。

32、28. 經(jīng)驗(yàn)公式為，最小二乘法解得，濃度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為。輸入初始節(jié)點(diǎn)，權(quán)函數(shù)及正交多項(xiàng)式次數(shù)n。，計(jì)算。判斷計(jì)算。是否令29.判斷輸入初始數(shù)組，等分點(diǎn)數(shù)。，計(jì)算。計(jì)算，。計(jì)算，。令否是判斷判斷否是否是30.31. ， ，。第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分習(xí)題參考答案1. 1) 公式可對(duì)均準(zhǔn)確成立，即解得 ，具有3次代數(shù)精度。2) ，具有3次代數(shù)精度。3) 或具有2次代數(shù)精度。4) ，具有3次代數(shù)精度。2. 1) 0.1114 0.1116 2) 3) 4) 3. 柯特斯公式為.其中.驗(yàn)證對(duì)于，均成立，但時(shí)不成立。4. 0.63233，所以。5. 1) 此差值型求積公式的余項(xiàng)為由于在上恒為正，故在

33、上存在一點(diǎn)，使所以有。 2) 3) 6. 梯形公式和辛甫森公式的余項(xiàng)分別為其中，所以當(dāng)時(shí)，即兩公式均收斂到積分，且分別為二階和四階收斂。7. 設(shè)將積分區(qū)間分成n等分則應(yīng)有其中，解得。8. 首先算出，然后逐次應(yīng)用3個(gè)加速公式計(jì)算結(jié)果如下表k01230.683940.645240.635410.632940.632340.632130.632120.632130.632120.63212所以，積分。9. ， ，所以 4×7782.5×1.56529 48728（可任選一種數(shù)值積分方法，如柯特斯公式）。10. 由泰勒展開(kāi)式有 由于，用外推算法，令，則 ， ，即的近似值為3.141

34、59。11. 1) 計(jì)算結(jié)果如下表k01231.333331.166671.116671.103211.111121.100001.098721.099261.098631.09862即積分I1.09862。2) ，令三點(diǎn)高斯公式五點(diǎn)高斯公式 1.09862。3) 對(duì)每個(gè)積分用高斯公式 ，得I1.09854。此積分精確值為。12. 三點(diǎn)公式：。， ， 的誤差 的誤差 的誤差 。五點(diǎn)公式：。誤差分別為，。第五章 常微分方程數(shù)值解法習(xí)題參考答案1 尤拉法表達(dá)式，誤差，改進(jìn)尤拉法表達(dá)式，無(wú)誤差。2近似解準(zhǔn)確解近似解準(zhǔn)確解0.11.111.110340.62.040862.044240.21.2420

35、51.242810.72.323152.327510.31.398471.399720.82.645582.651080.41.581811.583650.93.012373.019210.51.794901.797441.03.428173.436563近似解準(zhǔn)確解0.10.00550.005162580.20.02192750.02126920.30.05014440.04918180.40.09093070.08968000.50.1449920.1434694 ，即，又由，則有。當(dāng)時(shí)，。5 取步長(zhǎng)h=0.5，f(0.5)=0.500000，f(1)=1.14201，f(1.5)=2.5

36、0115，f(2)=7.24502。6(1)近似解(2)近似解0.21.242800.21.727630.41.583640.42.743020.62.044210.64.094240.82.651030.85.829271.03.436551.07.996017 ，則8 (1)令，泰勒展開(kāi)可得，同理有， 代入龍格-庫(kù)塔公式可得。(2) 類似(1)展開(kāi)可得，同理有， 代入龍格-庫(kù)塔公式可得。9 二階顯式公式為，代入得，二階隱式公式為，代入得，真解為。10 ，代入得，截?cái)嗾`差首項(xiàng)為。11 ，代入待定系數(shù)的公式中可得系數(shù)之間的關(guān)系式為，。12 (1)，其中。(2) ，其中。(3)，其中。13 用差

37、商逼近導(dǎo)數(shù)的方法把原邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)差分法方程組可得，解此方程組可得。14 ，初值條件等于準(zhǔn)確解，由數(shù)學(xué)歸納法代入差分公式中可得，即差分法求出的解恒等于準(zhǔn)確解。15 差分方程，代入得，。第六章 方程求根1. 令，則符號(hào)00211121.521.521.7531.51.751.62541.51.6251.562551.56251.6251.59382. 3. 1) ，在附近，迭代公式收斂。 2) ，在附近，迭代公式收斂，迭代得近似值1.466。 3) ，迭代公式發(fā)散。4. 1) 二分14次得0.0905456； 2) 迭代5次得0.0905246。5. 迭代函數(shù)， ，由已知，有，所以即迭代過(guò)程

38、收斂。6. 將轉(zhuǎn)化為，此時(shí)在附近，所以迭代格式為，迭代三次得4.4934。7. 1) 牛頓法迭代格式 ，迭代三次得1.879。 2) 弦截法迭代格式 ，迭代三次得1.879。 3) 拋物線法 ，故 ，則，迭代三次得1.879。8. 最小正根為4.4934。9. ，即。，即，序列單調(diào)遞減。10. 迭代函數(shù)為，且有， . 其中介于與之間。將上式兩邊除以，并將處泰勒展開(kāi)得 ，其中介于與之間。將上式兩邊取極限，及，得。11. 1) ，迭代格式發(fā)散。 2) ，迭代格式收斂，且收斂到。要使 ，則，為一階收斂。12. 令，迭代公式為。，則，所以，又 ，所以，因此迭代格式為線性收斂。13. ，取，迭代三次得。

39、14. 求的迭代公式分別為， 設(shè)迭代函數(shù)為 ，則，.15. 記迭代函數(shù) ，則，由上 兩邊求導(dǎo)得 則可得 對(duì)式兩邊求二階導(dǎo)數(shù)得 則可得 對(duì)式兩邊求二階導(dǎo)數(shù)得 則可得 所以迭代公式是三階方法，且.第七章 解線性方程組的直接方法習(xí)題參考答案 1 (a)高斯消去法解得；(b)列主元消去法解得。2 (a)，故對(duì)稱。(b) 高斯消去法解得。3 (a)，(b)由及(a)的結(jié)論可得, 。4 因?yàn)榉瞧娈?，的?duì)角元不為零，又分解等價(jià)于高斯消去法，由引理可知，矩陣的順序主子式均不為零。5 高斯消去法第步等價(jià)于左乘單位下三角矩陣，而順序主子式均不為零保證所得矩陣對(duì)角元不為零，可進(jìn)行第步消元，。6 ，則是對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，故

40、高斯消去法與部分選主元高斯消去法對(duì)于對(duì)稱的對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣每一步均選取同樣的主元，得出的是同樣的結(jié)果。7 (1)，(2)，又有當(dāng)時(shí)，故是對(duì)稱正定矩陣，(3) ，(4)若，令，由于和也是對(duì)稱正定矩陣，代入得，矛盾，故的絕對(duì)值最大的元素必在對(duì)角線上，(5)，(6)對(duì)所有均有對(duì)稱正定，。8 ，其中與位置互換。9 對(duì)施行初等列變換，進(jìn)行次初等列變換后，令即為所求。10 (a) 若為階可逆下三角矩陣，則 當(dāng)時(shí)，而當(dāng) 時(shí)，算法即從第一行開(kāi)始順序循環(huán)，同理可知若為階可逆上三角矩陣，則當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，算法即從最后一行開(kāi)始逆序循環(huán)，(b)第k步循環(huán)進(jìn)行k次乘除法，共進(jìn)行次乘除法，(c)。11 (a)， 由此可知也是對(duì)稱

41、矩陣，由此可知也是對(duì)稱正定矩陣，(b)，得出唯一正對(duì)角元的下三角陣使得。12 。13 。14 。15 按高斯消去法，無(wú)法進(jìn)行第二次消去，換行后可以分解，第二次消去可乘任意系數(shù)，分解不唯一，可唯一分解。16 ，解得。17 高斯消去法公式中去掉即可推出該公式。18 。19 (a),(b)。20 ，故是上的向量范數(shù)。21 ，故，故是上的向量范數(shù)。22 。23 充分性：若有和線性相關(guān)且， 即，代入得；唯一性：若有，由于 ，兩邊同時(shí)平方可得出，消去共同項(xiàng)可得，當(dāng)且僅當(dāng)和線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立。24以上圖像分別為，。25 。26 由向量范數(shù)的相容性可知存在常數(shù)，使得，于是令>0，>0，則對(duì)任意，均

42、有不等式。27 若，則就有，可推出即，同理可以推出，綜合這兩點(diǎn)即可得。28 。29 ，則，故存在，。30 ，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最小值7。31 (a) ，(b),，。32 ，。33 。34 。第八章 解線性方程組的迭代法習(xí)題參考答案1. (a) Jacobi迭代矩陣特征方程為 特征根均小于1，Jacobi迭代法收斂。Gauss-Seidel迭代矩陣特征方程為 特征根均小于1，Gauss-Seidel迭代法收斂。(b) Jacobi迭代格式為其中B如上，迭代18次得，Gauss-Seidel迭代格式為其中G如上，迭代8次得。2. 證： ，則 故，因此，即級(jí)數(shù)收斂。3. 證： 設(shè)，一方面，另一方面，因此，即序列收斂于零。4. 證：由已知迭代公式得迭代矩陣則特征多項(xiàng)式為 解得 ，向量序列收斂的充要條件是 ，即 。5. (a) 譜半徑，Jacobi迭代法不收斂； 矩陣A對(duì)稱正定，故Gauss-Seidel迭代法收斂。 (b) 譜半徑，Jacobi迭代法收斂； 譜半徑，Gauss-Seidel迭代法不收斂；6. 證：必要性 ，則 ，對(duì)任意向量，有 因而有 ，即。充分性 因?qū)θ魏蜗蛄?，都有，令，則即當(dāng)時(shí)，的任一列向量的極限為A的對(duì)應(yīng)的列向量，因而有。7. A對(duì)稱正