《整式的乘除》全章復(fù)習(xí)與鞏固--知識(shí)講解(提高)(可編輯修改word版)

1、整式的乘除全章復(fù)習(xí)與鞏固一知識(shí)講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解正整數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)，并能運(yùn)用它們熟練地進(jìn)行運(yùn)算：掌握單項(xiàng)式乘（或除以）單 項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘（或除以）單項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，并運(yùn)用它們進(jìn)行運(yùn)算：2 .會(huì)推導(dǎo)乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行 乘法運(yùn)算：3 .掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算，并能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法 公式簡(jiǎn)化運(yùn)算；4 .理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運(yùn)算，掌握提公因式法 和公式法（直接運(yùn)用公式不超過(guò)兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一 般步驟：能夠熟練地運(yùn)用這些方法

2、進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】要點(diǎn)一、鬲的運(yùn)算1 .同底數(shù)器的乘法以*/ = /（，為正整數(shù)）：同底數(shù)秤相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.2 .府的乘方：（1）"=£!二?，為正整數(shù)）；哥的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.3 .積的乘方：（?！岸詾檎麛?shù)）；積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積.4 .同底數(shù)塞的除法:0-/=3'-”（。工0, ?，為正整數(shù).并且?>）.同底數(shù)事相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.5 .零指數(shù)塞：4° = 1 （。工0）,即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1.要點(diǎn)詮釋?zhuān)汗街械淖帜缚梢员硎緮?shù)，也可以表示單項(xiàng)式，還可以表示多項(xiàng)式：靈活地 雙向應(yīng)用運(yùn)算

3、性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡(jiǎn)潔.要點(diǎn)二、整式的乘法和除法1 .單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的 字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.2 .單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即 m(a + b + c) = ma + mb + mec都是單項(xiàng)式).3 .多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積 相加.即( + )(? +)= am + an + bin + hn .要點(diǎn)詮釋?zhuān)哼\(yùn)算時(shí)，要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)前面的“ + ”

4、“一”號(hào)是性質(zhì) 符號(hào)，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式各項(xiàng)的結(jié)果，要用“ + ”連結(jié)，最后寫(xiě)成省略加號(hào)的代數(shù)和的形 式.根據(jù)多項(xiàng)式的乘法，能得出一個(gè)應(yīng)用比較廣泛的公式： (x+a)(x+/?)=/ +(a+Z?) x+ab.4 .單項(xiàng)式相除把系數(shù)、相同字母的耗分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里出現(xiàn)的字母，則連同它 的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式.5 .多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加.即：(am + bm + cm) + in = am + m + hm + m + cm + m = a + b + c要點(diǎn)三、乘法公式1 .平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這

5、兩個(gè)數(shù)的平方差.(a + b)(a - b) = a2 - b2要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸谶@里，a, b既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的 平方減去“相反項(xiàng)”的平方.2 .完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上(減去)這兩數(shù)乘積的兩倍.(« + /?)- =a2 + 2ab + b2:= a2 - 2ab + b-要點(diǎn)詮釋?zhuān)汗教攸c(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和(或差)的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩 數(shù)的平方和加(或減)這兩數(shù)之積的2倍.要點(diǎn)四、因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的枳的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多

6、項(xiàng)式因式分 解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.困式分解的方法主要有：提公因式法，公式法等.要點(diǎn)詮釋?zhuān)郝鋵?shí)好方法的綜合運(yùn)用：首先提取公因式，然后考慮用公式：兩項(xiàng)平方或立方，三項(xiàng)考慮完全平方；四項(xiàng)以上想分組，分組分得要合適：幾種方法反復(fù)試，最后須是連乘式：第1頁(yè)共7頁(yè)因式分解要徹底，一次一次又一次.【典型例題】類(lèi)型一、鬲的運(yùn)算1、已知0” = 5 ,求一戶(hù)_ 5的值.5【思路點(diǎn)撥】由于已知X2"'的值，所以逆用事的乘方把步用變?yōu)镼?" )3,再代入計(jì)算. 【答案與解析】解： 0” = 5 ,【總結(jié)升華】本題培養(yǎng)了學(xué)生的整體思想和逆向思維能 力.舉一反三：【變式】(1)已知

7、4 = 224, b = g6,。= 512,比較小兒。的大小.(2)比較 3-3°, 92°, 271° 大小?！敬鸢浮拷猓?1) b<a<c, (2) 330 = 27,0 <920提示：(1)轉(zhuǎn)化為同指數(shù)不同底數(shù)的情況進(jìn)行比較，指數(shù)轉(zhuǎn)化為12： (2)轉(zhuǎn)化成比較同底數(shù)不同指數(shù)，底數(shù)轉(zhuǎn)化為3.類(lèi)型二、整式的乘除法運(yùn)算2、(2015杭州模擬)己知代數(shù)式(mx2+2mx- 1) (xm+3nx+2)化簡(jiǎn)以后是一個(gè)四次多 項(xiàng)式，并且不含二次項(xiàng)，請(qǐng)分別求出m, n的值，并求出一次項(xiàng)系數(shù).【思路點(diǎn)撥】先把代數(shù)式按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開(kāi)，因?yàn)榛?jiǎn)后是一個(gè)

8、四次多項(xiàng)式，所以x 的最高指數(shù)m+2=4；不含二次項(xiàng)，即二次項(xiàng)的系數(shù)為0,即可解答.【答案與解析】解：(mx2+2mx - 1) (xQ+3nx+2) =mx2+3mnx3+2mx2+2mxErl+6mnx2+4mx - x - 3nx - 2, 因?yàn)樵摱囗?xiàng)式是四次多項(xiàng)式， 所以m+2=4, 解得：m=2,原式=2/+ (6n+4) x3+ (3+12n) x2+ (8- 3n) x-2.多項(xiàng)式不含二次項(xiàng)，.3+12n=0,解得：n二一，43 35所以一次項(xiàng)系數(shù)8 - 3"8+二二二.4 4【總結(jié)升華】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解決本題的關(guān)鍵是明確化簡(jiǎn)后是一個(gè)四次多項(xiàng) 式，所以x的

9、最高指數(shù)n)+2=4：不含二次項(xiàng)，即二次項(xiàng)的系數(shù)為0,即可解答.舉一反三：/【變式】若(X + 7,X + ：的乘積中不含X的一次項(xiàng)，則7等于.【答案】-1：3類(lèi)型三、乘法公式3、計(jì)算：(1)一/? + c - d )(一 一 c + 4 ) ； (2)(2x - 3y -1 )(-2x - 3y 4- 5).【思路點(diǎn)撥】(D中可以將兩困式變成與c-4的和差.(2)中可將兩因式變成2-3)， 與2% - 3的和差.【答案與解析】解：原式=(a -b) + (c-d )(a -b)-(c-d) = (a - b)2 -(c-d )2=ci2 - lab + b2 -c2 + led - d2 .

10、(2)原式=(2 - 3y) + (2x-3)(2 - 3y) -(2a - 3)=(2 3»3)2= 9y2-4x2-12y+lZv-5.【總結(jié)升華】(1)在乘法計(jì)算中，經(jīng)常同時(shí)應(yīng)用平方差公式和完全平方公式.(2)當(dāng)兩個(gè)因式 中的項(xiàng)非常接近時(shí)，有時(shí)通過(guò)拆項(xiàng)用平方差公式會(huì)達(dá)到意想不到的效果.舉一反三：【變式】計(jì)算：3(22+1)(24+1)(28+1)+1 .【答案】解：3(22 +1)(24 +1)(28 +1)+1 =(22-1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)+1=(24-1)(24 +1)(28 +1)+1=(28-1)(28+1)+1 =2,6-1+1 =216

11、.4、己知 x2 + y2 + z2 - 2% + 4 y - 6z +14 = 0 ,求代數(shù)式(x - y - z)如？的值.【思路點(diǎn)撥】將原式配方，變成幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零的形式，這樣就能解出x,y,z.【答案與解析】解：x2 +)，+ / - 2x + 4 y - 6z +14 = 0(A-l)2+(y + 2)2+(z-3)2=O所以 x = l, y = -2, z = 3所以(X_)，_Z)2°12 = 02012 = 0【總結(jié)升華】一個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)，從理論上不可能解出方程，嘗試將原式配方過(guò)后就能得 出正確答案.舉一反三：變式 1配方 a2b2 + / +1 = 4ah

12、 ,求 a + b =.【答案】解：原式=力2 - 2ab + l + a2 -2ab+b =(。/?一11+(a-h)' = 0所以=。，出? = 1 ,解得 =b = ±1所以 + /? = ±2.【變式2 (2015春祁陽(yáng)縣期末)課堂上老師指出：若a, b, c是ZkABC的三邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足 a?+b2+c2 - ab - be - ac=0,請(qǐng)判斷該三角形的形狀.小明在與同學(xué)一起合作探究這個(gè)問(wèn)題時(shí)， 說(shuō)出了自己的猜想及理由，得到了老師的贊揚(yáng).請(qǐng)你寫(xiě)出小明的猜想和理由.【答案】解：依題意得：-i (a - b) 2+ (b - c) 2+ (c - a) 2 =

13、0 乙所以(a-b) 2+ (b - c) 2+ (c - a) 2=0所以 a=bt b=c, c=a.故AABC是等邊三角形.C5、求證：無(wú)論x,)，為何有理數(shù)，多項(xiàng)式爐+)，2一 2x +6)，+16的值恒為正數(shù).【答案與解析】解：原式=(x l+(y + 3y+6>0所以多項(xiàng)式的值恒為正數(shù).【總結(jié)升華】通過(guò)配方，將原式變成非負(fù)數(shù)+正數(shù)的形式，這樣可以判斷多項(xiàng)式的正負(fù). 舉一反三：、.> 。方 22【變式】證明:不論a,匕為何值，多項(xiàng)式 a b -3。一5的值一定小于0.4【答案】 ab" ) 一 一 證明：。一 b 3ab 5 4a2b2,2=-(+"

14、+ 1) + (。+ b + 2ah) + 44=_(¥ +1)2 - (a + b - 42-(竺+ 1)2 >0, (a + b)2 >02.(？+1)24。, 一(+/7y <0，原式一定小于0.類(lèi)型四、因式分解6、若(p q)2 (4一了 =(q-y E ,則 E 是()A. - q -p B. q -pC. + p-qD. + q -p【答案】C：【解析】解：(一q) -(“一)=(4一) (1 +-q) .故選 c.【總結(jié)升華】觀察等式的右邊，提取的是(夕一)2,故可把(P 變成(q p)2,即左邊 =(鄉(xiāng)-")2(1 + -q).注意偶次哥時(shí)

15、，交換被減數(shù)和減數(shù)的位置，值不變：奇次事時(shí)，交 換被減數(shù)和減數(shù)的位置，應(yīng)加上負(fù)號(hào).舉一反三：【變式】把多項(xiàng)式(吐1)(l1)+(l1)提取公因式(?1)后，余下的部分是()A. m + B. 2m C. 2 D. m + 2【答案】D：解：(m +1)(/ -1) + in -1),=(陽(yáng)-1)(/ +1 + 1) = (7+ 2).Y 7、分解因式：(1) (x+y)24；(2) 16(“一刀2-25(4 + )2：(3) (x + 2)2-(2x-l)2.【思路點(diǎn)撥】(1)把x+y看做整體，變形為(x+)，)222后分解.(2) 16(4 12)2可寫(xiě)成4(。)2, 25(。十32可寫(xiě)成5

16、( +32, 4(" )和5(4 +。)分別相當(dāng)于公式里的“和b. (3)把(x + 2)、(2x 1)看作一個(gè)整體進(jìn)行分解.【答案與解析】第5頁(yè)共7貞解：(1) (x + y)24 = (x + y)2 22 = (x+y + 2)(x + y 2).(2) 16(。一 b)2 - 25( + b)2 = 4(" - b)2 一5( + b)2=4(。- b) + 5( + b)4(a - Z?) - 5(a + b)=(9a + b)(-a - 9b)=一(9“ + b)(a + 9b).(3) (x + 2)2 - (21)2 = + 2) + (2x-l)(x + 2) (2x-l)= (3x+l)(3x).【總結(jié)升華】注意套用公式時(shí)要注意字母的廣泛意義，可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng) 式.舉一反三：【變式】將下列各式分解因式：(1