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1、 學(xué)科分類號 0703 本 科 畢 業(yè) 論 文 題 目 平面多項式系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與個數(shù)問題 Existence and number of limit cycles of plane polynomial systems 姓 名 鐘智方 學(xué) 號 2012120120 院 （系） 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院（數(shù)學(xué)系） 專業(yè)、年級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2012級 指導(dǎo)教師 李雪梅教授 二一六 年 五 月湖南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文誠信聲明本人鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)論文，是本人在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下，獨立進行研究工作所取得的成果，成果不存在知識產(chǎn)權(quán)爭議，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個人或集體

2、已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體均已在文中以明確方式標明。本人完全意識到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 本科畢業(yè)論文作者簽名： 二一六年 月 日一、湖南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文開題報告書 論 文 題 目 平面多項式系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與個數(shù)問題作 者 姓 名鐘智方所屬院、專業(yè)、年級 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2012年級指導(dǎo)教師姓名、職稱李雪梅教授預(yù)計字數(shù)8000開題日期2016年3月3日選題的根據(jù)：1）理論意義：龐加萊（）創(chuàng)立了定性理論和方法研究常微分方程解的大范圍性態(tài)。由于希爾伯特（）提出20世紀23個數(shù)學(xué)問題中關(guān)于極限環(huán)個數(shù)的第16問題，大大促進了定性

3、理論的發(fā)展。平面多項式系統(tǒng)極限環(huán)的存在性及個數(shù)問題是微分方程定性理論中最困難最重要的問題之一，一直受到數(shù)學(xué)家們的廣泛關(guān)注，并且研究出了很多重要的新理論結(jié)果。實際意義：第16問題在實際生活中也有著較廣泛的應(yīng)用,所以眾學(xué)者比較重視對它的研究。關(guān)于多項式系統(tǒng)的極限環(huán)研究主要分兩個方面,一方面是關(guān)于極限環(huán)的穩(wěn)定性、存在性、個數(shù)以及它們的相對位置等問題，另一方面是關(guān)于極限環(huán)隨系統(tǒng)中參數(shù)的變化而產(chǎn)生或消失的問題,即分支問題關(guān)于極限環(huán)存在性問題。 2）研究現(xiàn)狀著名的第十六個問題的第二部分是關(guān)于求n次平面多項式微分系統(tǒng)的極限環(huán)的最大個數(shù)和分布問題國內(nèi)外眾多的數(shù)學(xué)工作者圍繞著這個問題進行研究并取得重要進展，其中

4、我國的史松齡，陳蘭蘇，王明淑等人分別構(gòu)造出了至少存在四個極限環(huán)的二次系統(tǒng)，破除了平面二次系統(tǒng)極限環(huán)個數(shù)的上界是3的傳統(tǒng)猜測,李繼彬，郁培等人分別舉出了具有多個極限環(huán)的三次系統(tǒng)，盡管廣大數(shù)學(xué)愛好者們一直在努力解決這一難題，但離完全解決第十六問題還很遙遠，即使是最簡單的二次系統(tǒng)還沒有完全解決。分支問題關(guān)于極限環(huán)存在性問題，當(dāng)前的研究方法比較多,例如環(huán)域定理,切線曲線法和一判別法等等。而唯一性就要少一些,值得一提的我國的張芷芬在這方面做出了很好的成果得到了判別極限環(huán)存在唯一性的張芷芬唯一性定理以及兩個推論文。對三次微分系統(tǒng)的研究工作近年來日益增多。主要內(nèi)容： 第一部分的第一節(jié)討論了二次系統(tǒng)（1）的極

5、限環(huán)的不存在的充分條件，并根據(jù)相關(guān)定理和函數(shù)法推出相應(yīng)的命題。第二節(jié)主要研究了二次系統(tǒng)（1）在奇點的焦點量與極限環(huán)的唯一性的幾類充分條件。 第三節(jié)主要研究了二次系統(tǒng)(1)存在唯一極限環(huán)的充要條件是，。 第四節(jié)研究了二次系統(tǒng)（）極限環(huán)的相對位置問題,給出了系統(tǒng)()的極限環(huán)集中分布的幾個充分條件。第二部分的第一節(jié)給出三次系統(tǒng)(3)極限環(huán)的不存在性，存在性及唯一性的一些充分條件。運用基于 思想的形式級數(shù)法系統(tǒng)(3)進行定性判分析；根據(jù)定理討論了系統(tǒng)閉軌的不存在性；利用 分支理論根據(jù)參數(shù)變化時焦點穩(wěn)定性的變化分析得到極限環(huán)存在的充分條件。 研究方法：（1） 文獻綜述法。通過查閱與二次平面多項式系統(tǒng)極限

6、環(huán)的存在性與個數(shù)問題、三次平面多項式系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與個數(shù)問題的相關(guān)資料，整理得出現(xiàn)有的結(jié)論定理，找出研究的不足，最后再進行相關(guān)的補充說明。（2）實例比較分析法。通過比較已有相關(guān)文獻的實例，分析自己所寫論文的不足，反復(fù)修改，最后整理寫出更完善嚴謹?shù)恼撐摹Ｍ瓿善谙藓筒扇〉闹饕胧海?）2016年3月1日-3月4日：確定論文題目（2）2016年3月4日-3月15日：搜集相關(guān)的文獻資料，了解當(dāng)前的研究現(xiàn)狀,確定論文內(nèi)容（3）2016年3月16日-2016年3月30日：論文的寫作（4）2016年4月1日-2016年4月30日：聯(lián)系導(dǎo)師，論文修改，準備答辯（5）2016年5月1日-2016年5月11

7、日：對論文做最后的修改，定稿（6）2016年5月12日：論文答辯主要參考資料：1岳錫亭，關(guān)于二次系統(tǒng)極限環(huán)的分布J.吉林工學(xué)院學(xué)報，2002(3)：1-42孫寶法,劉和,盛立人，一類二次系統(tǒng)極限環(huán)存在的充要條件J，1999（12）：1-63孫寶法，劉虹，一類二次系統(tǒng)極限環(huán)的唯一性與極限環(huán)不存在的充分條件J，電子工程學(xué)院基礎(chǔ)部，1999（4）：4-64陳蘭蓀,王明淑，二次系統(tǒng)極限環(huán)的相對位置與個數(shù)J,數(shù)學(xué)學(xué)報 ,1979(22):751-7585史松齡，平面二次系統(tǒng)存在四個極限環(huán)的具體例子J，中國科學(xué)，1979：2-56李玉婷，一類平面三次多項式系統(tǒng)的定性分析D,福州大學(xué)，2010（1）：15-

8、267 李健全,馬知恩，一類三次系統(tǒng)極限環(huán)的存在唯一性J，系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),1999：16-18.8張瑞海，陳海波，平面三次微分系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與唯一性J，學(xué)理論與應(yīng)用，2004（9）：4-89 金鐵英，類三次系統(tǒng)極限環(huán)的存在，不存在及惟一性J.錦州師范學(xué)院學(xué)報，1999，20(4) ：1-6.10 楊宇俊，張劍峰， 一類三次系統(tǒng)的極限環(huán)與分支問題J. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報 A 輯，2006，21(4) ：405-412.11 張芷芬，丁同仁，黃文灶， 微分方程定性理論M. 北京：科學(xué)出版社，1985：280-29312A. Gasull., R. Prohens., J. Torregrosa.

9、, Bifurcation of limit cycles from a polynomial non-global center. J. Differ. Equations. 20(2008) 945-960.13Gin´e. J., Llibre. J., Limit cycles of cubic polynomial vector fields via the averaging theory. Nonlinear Anal. 66(2007) 1707-1721.指導(dǎo)教師意見：簽 名： 年 月 日開 題 報 告 會 紀 要時間 地點與會人員姓 名職務(wù)（職稱）姓 名職務(wù)（職稱

10、）姓 名職務(wù)（職稱）會議記錄摘要：會議主持人簽名：記錄人簽名：年 月 日指導(dǎo)小組意見負責(zé)人簽名： 年 月 日學(xué) 院 意 見負責(zé)人簽名： 年 月 日湖 南 師 范 大 學(xué) 學(xué)院指導(dǎo)教師指導(dǎo)畢業(yè)論文情況登記表論文題 目學(xué)生姓名所屬專業(yè)、年級 專業(yè) 級指導(dǎo)教師姓名職 稱學(xué) 歷指導(dǎo)時間指導(dǎo)地點指 導(dǎo) 內(nèi) 容學(xué)生簽名教師簽名二、湖南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文評審表論文題目平面多項式系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與個數(shù)問題作者姓名鐘智方所屬院、專業(yè)、年級數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè)2012年級指導(dǎo)教師姓名、職稱李雪梅教授字 數(shù)9900定稿日期2016年5月11日中文摘要龐加萊（）創(chuàng)立了定性理論和方法研究常微分方

11、程解的大范圍性態(tài)。由于希爾伯特（）提出20世紀23個數(shù)學(xué)問題中關(guān)于極限環(huán)個數(shù)的第16問題，大大促進了定性理論的發(fā)展。平面多項式系統(tǒng)極限環(huán)的存在性及個數(shù)問題是微分方程定性理論中最困難最重要的問題之一，一直受到數(shù)學(xué)家們的廣泛關(guān)注，并且研究出了很多重要的新理論結(jié)果。本文主要討論了二次平面多項式系統(tǒng)和三次平面多項式系統(tǒng)極限環(huán)的存在性、個數(shù)問題及其分布。關(guān)鍵詞（3-5個） 平面多項式系統(tǒng)；極限環(huán)；存在性；個數(shù)英文摘要 Poincare established qualitative theory and method of study a wide range of solution of ordina

12、ry differential equations.Because Hilbert presented 23 mathematics questions in the 20th century on the issue of the limit cycles number of 16, greatly promoted the development of the qualitative theory.Existence and number of limit cycles of plane polynomial systems is the most difficult in differe

13、ntial equation qualitative theory, one of the most important question has been received extensive attention of mathematicians, and developed a number of important new theoretical results.This thesis mainly discusses quadratic plane polynomial systems and cubic plane polynomial systems existence ,num

14、ber and distribution of limit cycles.關(guān)鍵詞（3-5個）Plane polynomial system; limit cycles; existence; number畢業(yè)論文指導(dǎo)教師評定成績評審基元評審要素評審內(nèi)涵滿分實評分選題質(zhì)量28%目的明確符合要求選題符合專業(yè)培養(yǎng)目標，體現(xiàn)學(xué)科、專業(yè)特點和綜合訓(xùn)練的基本要求9理論意義或?qū)嶋H價值符合本學(xué)科的理論發(fā)展，有一定的學(xué)術(shù)意義；對經(jīng)濟建設(shè)和社會發(fā)展的應(yīng)用性研究中的某個理論或方法問題進行研究，具有一定的實際價值9選題恰當(dāng)題目規(guī)模適當(dāng)5難易度適中5能力水平28%查閱文獻資料能力能獨立查閱相關(guān)文獻資料，歸納總結(jié)本論文所

15、涉及的有關(guān)研究狀況及成果，并恰當(dāng)運用5綜合運用知識能力能運用所學(xué)專業(yè)知識分析、研究和闡述問題；論文內(nèi)容有適當(dāng)?shù)纳疃取V度和難度9研究方案的設(shè)計能力整體思路清晰；研究方案合理可行5研究方法和手段的運用能力能運用本學(xué)科常規(guī)研究方法及相關(guān)研究手段（如計算機、實驗儀器設(shè)備等）進行實驗、實踐并加工處理、總結(jié)信息9論文質(zhì)量34%文題相符較好地完成論文選題的目的要求5寫作水平論點鮮明；論據(jù)充分；條理清晰；語言流暢10寫作規(guī)范符合學(xué)術(shù)論文的基本要求。用語、格式、圖表、數(shù)據(jù)、量和單位、各種資料引用規(guī)范化、符合標準9論文篇幅文科類不少于10000字，理工科類不少于7000字，藝體類不少于5000字，外國語言文學(xué)類不少于5000個實詞。5成果的理論或?qū)嶋H價值成果富有一定的理論深度和實際運用價值 5外文資料翻譯10%外文應(yīng)用能力外文文獻資料與論文相近或相關(guān)，譯文漢字數(shù)為15002000字，體現(xiàn)一定的外語水平10總成績：評定等級：指導(dǎo)教師評審意見： 指導(dǎo)教師簽名： 說明：評定成績分為優(yōu)秀、良好、中等、及格、不及格五個等級，總成績90100分記為優(yōu)秀，8089分記為良好，7079分記為中等，6069分記為及格，60分以下記為不及格。若譯文成績?yōu)榱?，則不計總成績，評定等級記為不及格。三、湖南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文答辯記錄表論文題目平面多項式系