【KS5U解析】中原名校2020屆高三下學(xué)期質(zhì)量考評(píng)一數(shù)學(xué)（文）試題 Word版含解析

1、2019-2020學(xué)年高三第二學(xué)期質(zhì)量考評(píng)數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題1.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的虛部為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)虛數(shù)概念求解.【詳解】因?yàn)?，所以虛部為故選b點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算以及虛數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2.設(shè)集合，則等于（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】解出集合、，利用并集的定義可求出集合.【詳解】，因此，.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查并集的計(jì)算，同時(shí)也考查了對(duì)數(shù)不等式和一元二次不等式的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對(duì)于樣本，下列結(jié)論正確的是（ ）a.

2、 平均數(shù)為20，方差為4b. 平均數(shù)為11，方差為4c. 平均數(shù)為21，方差為8d. 平均數(shù)為20，方差為8【答案】d【解析】【分析】由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10，方差為2，所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:d.【點(diǎn)睛】樣本的平均數(shù)是，方差為，則的平均數(shù)為,方差為.4.設(shè)，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)得，即可求解，得到答案【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，故選b.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指

3、數(shù)式、對(duì)數(shù)式以及正切函數(shù)值的比較大小問(wèn)題，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及正切函數(shù)的性質(zhì)得到的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題5.已知向量，則是的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 既不充分也不必要條件d. 充要條件【答案】a【解析】【分析】向量，則，即，或者-1，判斷出即可【詳解】解：向量，則，即，或者-1，所以是或者的充分不必要條件，故選：a【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.6.函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（ ）a 向左平移個(gè)單

4、位b. 向右平移個(gè)單位c. 向左平移個(gè)單位d. 向右平移個(gè)單位【答案】a【解析】依題意有的周期為.而，故應(yīng)左移.7.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)（其中），求得的回歸方程是，則下列說(shuō)法正確的是( )a. 至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線上b. 若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量同的相關(guān)系數(shù)為1c. 對(duì)所有的解釋變量（），的值一定與有誤差d. 若回歸直線的斜率，則變量x與y正相關(guān)【答案】d【解析】【分析】對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過(guò)樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，但樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上故a錯(cuò)誤；所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為，故b錯(cuò)誤；若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則的值與

5、相等，故c錯(cuò)誤；相關(guān)系數(shù)r與符號(hào)相同，若回歸直線的斜率，則，樣本點(diǎn)分布應(yīng)從左到右是上升的，則變量x與y正相關(guān)，故d正確故選d【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，是圓：上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）a. 3b. 4c. 5d. 6【答案】b【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義和三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，根據(jù)圓的性質(zhì)可知最小值為；根據(jù)拋物線方程和圓的方程可求得，從而得到所求的最值.【詳解】如圖所示，利用拋物線的定義知：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，且最小值為拋物線的準(zhǔn)線方程：， 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)

6、睛】本題考查線段距離之和的最值的求解，涉及到拋物線定義、圓的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠找到取得最值時(shí)的點(diǎn)的位置，從而利用拋物線和圓的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解.9.某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】作出三棱錐的實(shí)物圖，然后補(bǔ)成直四棱錐，且底面為矩形，可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑，利用公式可計(jì)算出外接球的直徑，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示：將其補(bǔ)成直四棱錐，底面，可知四邊形為矩形，且，.矩形的外接圓直徑，且

7、.所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時(shí)要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖，并分析三棱錐的結(jié)構(gòu)，選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.10.在中，角，所對(duì)的邊分別為，.若，則的面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先根據(jù)余弦定理以及二倍角余弦公式，將，變形整理為，再根據(jù)正弦定理，變形整理為，確定，然后根據(jù)余弦定理，確定，根據(jù)三角形面積公式求解即可.【詳解】依題意，即，故，故，即，因?yàn)?，故；由余弦定理，即，即，則，則的面積.故選：c【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理以及三角形面

8、積公式，屬于中檔題.11.若，為任意實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（ ）a. b. 18c. d. 【答案】d【解析】【分析】由題意可得在為圓心，1為半徑的圓上，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，設(shè)過(guò)切點(diǎn)的切線與過(guò)的法線垂直，由兩直線垂直的條件：斜率之積為，解方程求得切點(diǎn)，圓心和切點(diǎn)的距離，可得距離的最小值為，可得所求值.【詳解】解：，可得在為圓心，1為半徑的圓上，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，又在曲線上，設(shè)曲線上一點(diǎn)為設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線與點(diǎn)與的連線垂直，可得，即有，由在遞增，且，可得切點(diǎn)為，圓心與切點(diǎn)的距離為，可得的最小值為，故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)的距離的運(yùn)用，圓的方程和運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)

9、算能力，屬于中檔題.12.若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】令，判斷的單調(diào)性和極值，根據(jù)有兩解得出的范圍.【詳解】解：令可得，令，則.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，又，有兩解，.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)單調(diào)性，極值的關(guān)系，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題.二、填空題（共4小題）13.甲、乙、丙三人參加會(huì)寧一中招聘老師面試，最終只有一人能夠被會(huì)寧一中錄用，得到面試結(jié)果后，甲說(shuō)：“丙被錄用了”；乙說(shuō)：“甲被錄用了”；丙說(shuō)：“我沒(méi)被錄用”.若這三人中僅有一人說(shuō)法錯(cuò)誤，則甲、乙、丙三人被錄

10、用的是_【答案】甲【解析】【分析】分別假設(shè)甲說(shuō)的是真話，甲說(shuō)的是假話來(lái)分析，即可得出結(jié)論.【詳解】解：假設(shè)甲說(shuō)的是真話，即丙被錄用，則乙說(shuō)的是假話，丙說(shuō)的是假話，不成立；假設(shè)甲說(shuō)的是假話，即丙沒(méi)有被錄用，則丙說(shuō)的是真話，若乙說(shuō)的是真話，即甲被錄用，成立，故甲被錄用；若乙被錄用，則甲和乙的說(shuō)法都錯(cuò)誤，不成立.故答案為：甲.【點(diǎn)睛】本題考查進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ).14.九章算術(shù)中有如下問(wèn)題：“今有勾五步，股一十二步，問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5步和12步，問(wèn)其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)

11、切圓外的概率是_【答案】【解析】【分析】利用分割面積法求出內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而求出內(nèi)切圓的面積，再利用幾何概型的概率公式計(jì)算即可.【詳解】解：直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5步和12步，斜邊長(zhǎng)為13步，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，內(nèi)切圓的面積為：，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的概率計(jì)算，是基礎(chǔ)題.15.已知不等式表示的平面區(qū)域?yàn)椋魧?duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知不等式組畫(huà)出可行域，可通過(guò)直線平移求得直線的縱截距最大時(shí)，最小，代入點(diǎn)坐標(biāo)求得，則，即可得到結(jié)果.【詳解】解：由已知不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖中陰影部分所示：可求得，

12、.當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，時(shí)，直線的縱截距最大，最小，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求解的最值的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.16.已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，f為拋物線的焦點(diǎn)，p為拋物線上的點(diǎn)，且，若雙曲線c中心在原點(diǎn)，f是它的一個(gè)焦點(diǎn)，且過(guò)p點(diǎn)，當(dāng)m取最小值時(shí)，雙曲線c的離心率為_(kāi).【答案】【解析】【分析】由點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線方程，由此得到坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線定義可得，可知當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線定義得到實(shí)軸長(zhǎng)，結(jié)合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn) 拋物線方程為 ，準(zhǔn)線方程為過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為

13、，則 設(shè)直線的傾斜角為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，最小，此時(shí)直線與拋物線相切設(shè)直線的方程為，代入得：，解得： 或雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為雙曲線的離心率故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解問(wèn)題，涉及到拋物線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用、雙曲線定義的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠確定當(dāng)取得最小值時(shí)，直線與拋物線相切，進(jìn)而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得點(diǎn)坐標(biāo).三、解答題（共5小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）（2）【解析】【分析】由點(diǎn)在直線上代入得到的關(guān)系，然后求出通項(xiàng)公式由（1）得，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出

14、前項(xiàng)和【詳解】(1)點(diǎn)在直線上， . 當(dāng)時(shí)， 則， 當(dāng)時(shí)，, 兩式相減，得, 所以. 所以是以首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列，所以. (2), , , 兩式相減得:, 所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式的運(yùn)用，錯(cuò)位相減求和的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是理解各個(gè)概念以及掌握求和的基本步驟18.在三棱柱中，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，點(diǎn)在平面的射影在上，且側(cè)面的面積為，求三棱錐的體積.【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）連接交于點(diǎn)，連接.利用中點(diǎn)可得，所以平面.（2）取中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于，連接,利用等腰三角形和射影的概念可知平面，所以，所以平面，所以.利用側(cè)面的面積可計(jì)

15、算得三棱錐的高，由此可計(jì)算得三棱錐的體積.試題解析：（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接.則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，且平面，平面，則平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接.因?yàn)辄c(diǎn)在平面的射影在上，且，所以平面，平面，則.設(shè)，在中，由，可得.則 .所以三棱錐的體積為.19.世界互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)是由中國(guó)倡導(dǎo)并每年在浙江省嘉興市桐鄉(xiāng)烏鎮(zhèn)舉辦的世界性互聯(lián)網(wǎng)盛會(huì)，大會(huì)旨在搭建中國(guó)與世界互聯(lián)互通的國(guó)際平臺(tái)和國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)共享共治的中國(guó)平臺(tái)，讓各國(guó)在爭(zhēng)議中求共識(shí)在共識(shí)中謀合作在合作中創(chuàng)共贏.2019年10月20日至22日，第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)如期舉行，為了大會(huì)順利召開(kāi)，組委會(huì)特招募了1 000名志愿者.某部門為

16、了了解志愿者的基本情況，調(diào)查了其中100名志愿者的年齡，得到了他們年齡的中位數(shù)為34歲，年齡在歲內(nèi)的人數(shù)為15，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫(huà)出如圖所示的頻率分布直方圖:（1）求，的值并估算出志愿者的平均年齡（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）這次大會(huì)志愿者主要通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)報(bào)名和登錄大會(huì)官網(wǎng)報(bào)名，即現(xiàn)場(chǎng)和網(wǎng)絡(luò)兩種方式報(bào)名調(diào)查.這100位志愿者的報(bào)名方式部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，完善下面的表格，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為“選擇哪種報(bào)名方式與性別有關(guān)系”?男性女性總計(jì)現(xiàn)場(chǎng)報(bào)名50網(wǎng)絡(luò)報(bào)名31總計(jì)50參考公式及數(shù)據(jù):，其中.0.050.010.0050.0013.8416.635

17、7.87910828【答案】（1），（歲）（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，不能【解析】【分析】（1）求出的頻率，由頻率和為1，得到的一個(gè)關(guān)系式，再由中位數(shù)為34，又可得另一個(gè)關(guān)系式，即可求出，進(jìn)而求出平均數(shù)；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)關(guān)系補(bǔ)全列聯(lián)表，求出的觀測(cè)值，結(jié)合提供數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)橹驹刚吣挲g在內(nèi)的人數(shù)為，所以志愿者年齡在內(nèi)的頻率為:；由頻率分布直方圖得:，即，由中位數(shù)為,可得，即，由解得，.志愿者的平均年齡為（歲）. （2）根據(jù)題意得到列聯(lián)表:男性女性總計(jì)現(xiàn)場(chǎng)報(bào)名網(wǎng)絡(luò)報(bào)名總計(jì)所以的觀測(cè)值， 所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為選擇哪種報(bào)名方式與性別有關(guān)系.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)全頻率直方

18、圖，以及中位數(shù)、平均數(shù)求法，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，意在考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.20.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)不同于橢圓的右頂點(diǎn)），證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由橢圓的對(duì)稱性知兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)在第一象限，由弦長(zhǎng)可得，代入，再結(jié)合可解得；（2）只要設(shè)出直線方程：，把代入橢圓方程可解得m點(diǎn)坐標(biāo)，同理可解得n點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求出直線mn的方程（注意分類討論mn與垂直和不垂直兩種情形），通過(guò)直線方程可觀察出直線所過(guò)定點(diǎn)詳解：（1）根據(jù)題意，設(shè)直線與題意交于兩點(diǎn).

19、不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，又長(zhǎng)為，可得，又，故題意的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)，由得，同理可得當(dāng)時(shí)，所以直線的方程為整理得，所以直線當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線也過(guò)點(diǎn)所以直線過(guò)定點(diǎn).點(diǎn)睛：在圓錐曲線中證明直線過(guò)定點(diǎn)，主要采用“設(shè)而不求法”，通常求出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)（本題是通過(guò)設(shè)出直線方程，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立求得交點(diǎn)m，n坐標(biāo)），然后求出直線方程，觀察直線方程可證此直線過(guò)定點(diǎn)21.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若存在，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1) 實(shí)數(shù)的值為.(2).【解析】分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線在點(diǎn)處的切線方程，與對(duì)照后可得（2）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為在上有解，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得，故得實(shí)數(shù)的取值范圍為詳解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，又,所求切線方程為，即.又函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，.所以實(shí)數(shù)的值為.（2）由題意得，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解.令，則 .令，則當(dāng)時(shí)，有.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立和能成立的問(wèn)題，常用的解法是分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)