高維星座圖課程報告

1、課程論文之高維星座圖15085208210003 陳文彬15085208210010 劉 暢15085208210021 吳 迪摘要星座圖是多元數(shù)據(jù)可視化的一種常用方法,具有直觀、形象的特點,可以通過調(diào)整權(quán)系數(shù)來對數(shù)據(jù)進(jìn)行交互式挖掘，但是傳統(tǒng)的星座圖缺乏自動調(diào)整權(quán)系數(shù)的較好方法，因而限制了其在可視化數(shù)據(jù)分析和模式識別的進(jìn)一步應(yīng)用。本文由傳統(tǒng)的星座圖引申為高維星座圖，并對高維星座圖的應(yīng)用進(jìn)行了研究。 關(guān)鍵字：高維星座圖格增益指數(shù)成形增益 1 介紹星座圖是日本學(xué)者20世紀(jì)70年代提出的。它具有簡單、直觀形象的優(yōu)點，可以很好地表達(dá)多元數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，并且可以通過調(diào)整權(quán)系數(shù)來對多元數(shù)據(jù)進(jìn)行交互式的探索

2、。因此，星座圖在農(nóng)業(yè)、氣象、醫(yī)療衛(wèi)生等許多領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。在無線通信系統(tǒng)中，分集技術(shù)是一種對抗衰落的有效手段，而信號空間分集的主要思想便是星座圖。隨著因特網(wǎng)和移動通信的發(fā)展，在第五代移動通信中要支持高速率就要開發(fā)具有極高頻譜利用率的無線通信技術(shù)。SCMA（Sparse Code Multiple Access，稀疏碼分多址接入）技術(shù)是未來第五代移動通信網(wǎng)絡(luò)全新空口的另一種重要的波形參數(shù)配置技術(shù)，該技術(shù)結(jié)合高維調(diào)制技術(shù)可使得多個用戶在同時使用相同無線頻譜資源的情況下，引入碼域的多址，大大提升無線頻譜資源的利用效率，而且通過使用數(shù)量更多的子載波組，并調(diào)整稀疏度，來進(jìn)一步地提升無線頻譜資源的利

3、用效率。1.1 傳統(tǒng)的星座圖所謂星座圖(Constellation Graph)，就是將數(shù)據(jù)樣本用一個半圓內(nèi)的標(biāo)記(星)表示，同類的樣品相鄰而組成一個星座，不同類的樣品組成不同的星座，很像天文學(xué)上表示星座的圖像，故得名星座圖。利用星座圖還可以方便地對樣本點進(jìn)行聚類或者分類，在星座圖上比較靠近的樣本點比較相似，可以分為一類，相距較遠(yuǎn)的點則說明相應(yīng)樣本點的差異性較大。首先將數(shù)據(jù)進(jìn)行線性變換，消除量綱的影響，使得變換后的數(shù)據(jù)落到某一線性范圍內(nèi)。設(shè)有n個樣品，每個樣品由p個分量構(gòu)成，從而構(gòu)成一個n行p列的數(shù)據(jù)矩陣：x11,x12,x13,.,x1px21,x22,x23,.,x2p.xn1,xn2,x

4、n3,.,xnp其中xij表示第i行第j列的數(shù)值，于是第i行(xn1,xn2,xn3,.,xnp)對應(yīng)著第i個樣品的p個分量，簡記為xi。傳統(tǒng)的星座圖的作圖步驟是：1 將矩陣中的每一個數(shù)據(jù)xij做極坐標(biāo)變換，角度范圍為變換方法如下：其中，2 適當(dāng)選取一組權(quán)系數(shù)w1,w2,w3,.wp，其中各，且。重要的變量相應(yīng)的權(quán)可以取得大一點，但一般情況下取等權(quán)，即圖1 星座圖3 畫一個半徑為1的上半圓及半圓的底邊直徑，使每個樣本對應(yīng)半圓內(nèi)的一個點，稱為星。4 對于每一個樣品xi對應(yīng)著上半圓內(nèi)的一個星星和一條折線表示的路徑。最后繪制成的星座圖如圖1所示。其中路徑的折點坐標(biāo)是：，其中星星位于路徑的終點，其坐標(biāo)

5、記為，即。1.2 復(fù)數(shù)系數(shù)星座圖在文獻(xiàn)2中提出了基于復(fù)線性判別算法的星座圖權(quán)系數(shù)優(yōu)化，從而將傳統(tǒng)星圖極坐標(biāo)變換后的角度矩陣復(fù)化，如下所示：，其中i表示虛數(shù)單位。然后復(fù)化后的矩陣進(jìn)行復(fù)線性判別分析，并將取得的最優(yōu)方向作為星座圖的權(quán)系數(shù)向量w。最后繪制樣本的復(fù)星座圖，根據(jù)公式：經(jīng)過復(fù)線性判別算法繪制優(yōu)化星座圖后，前后對比如圖2所示，星座圖經(jīng)過優(yōu)化后類分離度明顯提高。原始的n維數(shù)據(jù)的聚類或者分類的問題便轉(zhuǎn)化為一個二維數(shù)據(jù)的聚類或者分類的問題，并且該二維圖表示上概括了原始數(shù)據(jù)的鮮明結(jié)構(gòu)信息。圖2 復(fù)化后星座圖對比 2 基于格理論構(gòu)造高維星座圖在文獻(xiàn)3中提出了基于格理論構(gòu)造高維星座圖的方法，相比現(xiàn)有的算

6、法均只適用于星座點個數(shù)較少的情況，該方法可以簡便地構(gòu)造星座點數(shù)目較大的高維星座圖。2.1 格的簡介一個 n 維空間中的格是中一離散的點集 ,且該點集具有矢量加法下的群結(jié)構(gòu) .通常 ,一個n維格可以由n個線性無關(guān)的基向量 ,1 i n來描述 ,而格中的任意一點 x 可以表示成(1)其中, i=1,2,n.另一種描述格的方法是 通過一個 n × n 維的生成矩陣 G ,G 的各行為基向量 , 1in.有了上述定義后,格中任一格點x可表示為 x = aG(2)其中是一n維整數(shù)向量。定義1 格的最小歐氏距離dmin為中任意兩個格點的最小歐氏距離。定義2 格的重度Nmin為中與任一給定格點距離

7、為dmin的點的個數(shù)。定義3 格的基礎(chǔ)體積V()為中單位體積 (或面積)內(nèi)格點數(shù)的倒數(shù)。對于任意格都有：(3)2.2 基于格的星座圖 在一個基于格的星座圖中, 若對應(yīng)格的重度為Nmin,則在高信噪比的情況下,星座圖的誤符號率有以下估計式 (4)其中, N0為加性高斯白噪聲的功率.我們可將誤符號率估計式改寫成：(5)其中，每二維平均功率表示一個n維星座圖的平均功率化到二維空間后的值。它可由下式計算：(6)其中, M為n維星座圖中星座點的個數(shù),xm為表示一 個星座點坐標(biāo)的 n 維向量. 通過分析不難發(fā)現(xiàn),由于式(5)根號下第二項為信噪比,則格的重度 Nmin 和 這兩項將決定星座圖的誤符號率的大小

8、。特別地,當(dāng)星座圖的維數(shù)n并不太大時, 項起主導(dǎo)作用。定義4 n維星座圖C的增益指數(shù)(CFM)為： (7)設(shè)計低誤符號率高維星座圖的問題就可以轉(zhuǎn)換為最大化 CFM .由于每二維平均功率的取值 與最小歐氏距離dmin有關(guān) ,我們可固定dmin來最小化星座圖的 (或平均功率). 上文曾提到過設(shè)計基于格的星座圖的過程包括了格和邊界的選取, CFM 可以由下式來表示：(8)式中，為星座圖基礎(chǔ)增益，是一個常數(shù)；為格的編碼增益；而為邊界R的成形增益?；诟裨O(shè)計高維星圖的第一步是選取一個致密的格，而編碼增益反映了一個n維格的疏密程度，其表達(dá)式為：(9)其中G是格的生成矩陣。由于V()表示的是格中單位體積（或

9、面積）中格點數(shù)的倒數(shù)，再加之格點間最小歐氏距離dmin固定，所以編碼增益較大的格會更密。接著，我們要選取一個包含我們想要的星座點個數(shù)的n維邊界R來構(gòu)成n維星座圖。我們的目標(biāo)是在最小歐氏距離dmin給定的情況下產(chǎn)生功率節(jié)省的星座圖，而邊界R的成形增益便可作為邊界選取的衡量標(biāo)準(zhǔn)。n維空間中一區(qū)域R的成形增益可由下式表述：(10)其中V(R)為區(qū)域R的體積（或面積）。由式（10）可發(fā)現(xiàn)，具有高成形增益的區(qū)域可以提高星座圖的功率效率并能夠提高系統(tǒng)的性能。另外，在所有區(qū)域中，球型邊界總是擁有最大的成形增益值。2.3 小結(jié)格是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，能夠用來具體描述空間中按一定規(guī)律排列的點所構(gòu)成的集合。任何星座圖的

10、CFM值均取決于和 的乘積。格的編碼增益 僅取決于格的選擇。若格點間最小歐氏距離dmin固定，更密的格就意味著我們可以在一定的體積（或面積）內(nèi)擺放更多的星座點。另一方面，邊界的成形增益僅取決于星座邊界的選取，而具有高成形增益的邊界會使得產(chǎn)生的星座圖在功率方面更節(jié)省。由于星座圖的CFM值由上述相互獨立的兩項之間的乘積所決定，可分別對和 進(jìn)行最大化最終來使得CFM值最大。3 高維星座圖的應(yīng)用華為在其5G全新空口白皮書中提到，高維調(diào)制技術(shù)之中所調(diào)制的對象仍然還是相位和幅度，但是最終卻使得多個接入用戶的星座點之間的歐氏距離拉得更遠(yuǎn)，多用戶解調(diào)與抗干擾性能由此就可以大大地增強(qiáng)。每個用戶的數(shù)據(jù)都使用系統(tǒng)所

11、統(tǒng)一分配的稀疏編碼對照簿進(jìn)行高維調(diào)制，而系統(tǒng)又知道每個用戶的碼本，于是，就可以在相關(guān)的各個子載波彼此之間不相互正交的情況下，把不同用戶的數(shù)據(jù)最終解調(diào)出來。3.1 在衰落信道上的碼元傳輸在高數(shù)據(jù)率的OFDM系統(tǒng)，信道的多樣性可能是一個主要問題。兩個碼字之間的距離可能不夠跨越足夠的維度。如果這些維度消失，兩個碼字是很難區(qū)分的。為了增加多樣性，一個方法就是組織幾個不相關(guān)的分載體來形成一個多維星座。然后星座的旋轉(zhuǎn)和多樣性提高沒有增加發(fā)射功率和帶寬。多維空間的每個子載波是一個軸（或維度）。如果沒有旋轉(zhuǎn)的星座，將會導(dǎo)致許多星座點落在彼此之上。星座點不再明顯，出錯率也在不斷增加。但是如果正確旋轉(zhuǎn)星座，星座點

12、軸崩潰時不會發(fā)生碰撞。在這篇文章中，我們研究如何找到最優(yōu)旋轉(zhuǎn)。重點是廣泛使用比特交織編碼調(diào)制（BICM），未編碼的系統(tǒng)是一種特殊情況。我們通過考慮獨立每維瑞利衰落優(yōu)化了多維星座旋轉(zhuǎn)。這種假設(shè)通常是有效的。但是在實際系統(tǒng)中，分載體的數(shù)量是有限的并且載體可以被再回收。同一個數(shù)據(jù)包將會被一次次的再利用。根據(jù)通道的設(shè)計，一個載波分組可能是好的，也可能是不好的。一個壞的信道可以在超寬頻的背景下持續(xù)幾分鐘。另一方面，如果子載波分組保持變化，那么系統(tǒng)是公平的。在眾多渠道當(dāng)中會出現(xiàn)一定的平等。通過提高多樣性可以提升比特誤差率。我們犧牲PER來提升BER并且?guī)椭愀獾男诺狼闆r。這里我們將介紹一些解決方法。第一個

13、解決方案就是把數(shù)據(jù)包分成幾個子包。每個子包都有自己的效驗和。在子包中，我們解決子載波分組。但是針對不同的子包，我們會采用不同的載波分組。我們這樣做的目的是將負(fù)擔(dān)轉(zhuǎn)移至子分組。最糟糕的情況是子分組不會被通過，但是好的情況則是子分組將會通過。因此，針對大多數(shù)通道而言一個合理的數(shù)據(jù)速率是可以被實現(xiàn)的。當(dāng)然，解決方法可以進(jìn)一步得到改善：通過試用包確認(rèn)反饋，發(fā)射機(jī)可以告訴哪些子包是好的，哪些是壞的。因此可以告訴哪些子載波分組是好的，哪些是壞的。然后它可以完全使用好的信道分組，直至信道條件得到改善。接收者必須被通知哪些分組正在使用。所以在傳輸部分的頭幾位應(yīng)當(dāng)保留信息來告訴哪些子分組在被使用。有了這個方案，

14、在大多數(shù)的信道條件中都可以恢復(fù)完整的數(shù)據(jù)率?？傊私诲e編碼比特，我們也可以交錯維度，人為地創(chuàng)造不同的信道條件。一旦發(fā)現(xiàn)一個好的交叉，我們將會修復(fù)它，直到信道發(fā)生變化。3.2 高效靈活的光纖網(wǎng)絡(luò)圖3 三維4-ASK Nb=5(bit)到Nsym=3 (1D-symbols)的星座圖映射在資源帶寬低速運(yùn)行的光傳輸網(wǎng)絡(luò)中，根據(jù)可用性的要求靈活地分配帶寬變得越來越重要，這個被認(rèn)為是未來400G以太網(wǎng)建設(shè)的關(guān)鍵。為了提高帶寬分配的靈活性，我們需要找到一種在每個復(fù)數(shù)值的二維符號可以攜帶一個非整數(shù)比特數(shù)的調(diào)制模式。又因為一個偏振的多路復(fù)用的相干光傳輸系統(tǒng)會提供四個為任意時間的自由度。故我們可以采用四維星座

15、圖進(jìn)行分析，從而找到合適的調(diào)試模式。圖4 在AWGN信道下誤碼率對比在文獻(xiàn)5中研究了將高維星座作為替代時域混合的QAM并考慮標(biāo)簽的影響從而找到一種提升帶寬分配靈活性的調(diào)制模式。如圖3所示，在三維4-ASK的高維星座圖映射關(guān)系中，取Nb=Nb/2=5(bit)映射到Nsym=3(1D-symbols)的碼字。這樣的映射關(guān)系減少了標(biāo)簽設(shè)計的復(fù)雜度。之后，我們將一對一維符號的碼字組合成復(fù)雜的二維符號碼字。圖4比較了TDHQ和高維方法的誤比特率。同時以16-QAM和8-QAM的曲線作為參考對象。在pb=10-5時，高維方法的值比TDHQ高0.25分貝以上漸進(jìn)與0.34分貝。而在pb=10-2時，兩種方

16、法的值幾乎相等，這是由不可用灰色標(biāo)記和圖5 仿真結(jié)果直接相鄰的高均值的16-QAM3.33造成。對于光纖信道，假若我們需要通過IQ調(diào)制和相干檢測可以在單模光纖（SSMF）上使用一個單一的偏振以224 Gb / s的速度傳輸10到100公里的距離。為了簡單起見，這個設(shè)置我們忽略了交叉極化極化調(diào)制會發(fā)生偏振復(fù)用傳輸?shù)臑榱藢崿F(xiàn)400 Gb/s 速率而必須的12% 前向糾錯（FEC）開銷。在相干接收處，后續(xù)的處理方法簡化為高維的處理方法：因為所有的符號都屬于同一個星座，幀同步均衡之前是不需要TDHQ。在圖5中顯示的為光輸入功率Pin到每一個跨度的誤比特率。高維星座圖的方法顯示了一個在TDHQ上改進(jìn)最小

17、誤碼概率以及在為條件要求的誤比特率時的輸入功率Pin。4 小組工作總結(jié)針對這次課程報告，我們小組進(jìn)行了精心的準(zhǔn)備。工作前期，我們?nèi)齻€人共同針對高維星座圖這一課題，在網(wǎng)上和圖書館查找相關(guān)的課題資料。然后收集資料完成后，由組長陳文彬進(jìn)行分工。首先由劉暢同學(xué)對傳統(tǒng)星座圖和格這兩部分內(nèi)容做介紹并且對這兩部分內(nèi)容做比較深入的研究。然后吳迪同學(xué)負(fù)責(zé)對星座圖的應(yīng)用方面進(jìn)行研究和資料的收集。參考文獻(xiàn)：1 Forney Jr. G.D,Wei LF. Multidimensional constellations. Part I. Introduction, figures of merit, and generalized cross constellationsJ. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 1989, 7(6): 877-892.2 陳毅強(qiáng). 多元數(shù)據(jù)的復(fù)系數(shù)星座圖及其優(yōu)化方法J. 燕山大學(xué)學(xué)報, 2009, 33(1): 43-45.3 吳 昊, 張建秋, 宋漢斌. 一種基于格理論構(gòu)造高維星座圖的方法J. 電子學(xué)報, 2014, 42(9): 1672-1679.4 Chrabieh R,Dural O. Multi-dimensiona