向量空間的定義教案(分鐘)

1、1向量空間的定義”教案50分鐘）i 教學(xué)目的1、使學(xué)生初步掌握向量空間的概念。2、使學(xué)生初步了解公理化方法的含義。3、使學(xué)生初步嘗試現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究問題的特點(diǎn)。II 教學(xué)重點(diǎn)向量空間的概念。川教學(xué)方式既教知識(shí)，又教思想方法。IV教學(xué)過程第六章向量空間6.1定義和例子一、向量空間概念產(chǎn)生的背景1) -:-數(shù)a+b, ab;2)（汽亠）幾何向量a + P ,aa；3)0 :=:-多項(xiàng)式f(x)+g(x),af(x);:4)-0函數(shù)f(x)+g(x),af(x);:5)a(、:l j =a二 a -矩陣A+B，aA;:6)(a bp - a鳥b：1I117)(ab)：二a(b：)1118)1:=:-、向

2、量空間的定義定義1令F是一個(gè)數(shù)域，F(xiàn)中的元素用小寫拉丁字母a,b,c,來表示。令V是- 個(gè)非空集合，V中元素用小寫希臘字母 二一，來表示。把V中的元素叫做向量，而 把F中的元素叫做數(shù)（標(biāo)）量，如果下列條件被滿足，就稱V是F上的向量空間：21在V中定義了一個(gè)加法，對(duì)于V中任意兩個(gè)向量，：，有唯一確定的向量與3它們對(duì)應(yīng)，這個(gè)向量叫做二;與:的和，并且記作一：。 即若二三V, K V,則 d X 亠卩 V。2有一個(gè)數(shù)量與向量的乘法，對(duì)于F中每一個(gè)數(shù)a和v中每一個(gè)向量:-有v中唯 一確定的向量與它們對(duì)應(yīng)，這個(gè)向量叫做a與的積，并且記作 a0即 a 三 F,圧三 V, (a,用)r ax 三 V。3向量

3、的加法和數(shù)與向量的乘法滿足下列算律：1)：亠：=：:-;2) - ：(： :)；3)在V中存在一個(gè)零向量，記作0,它具有以下性質(zhì)：對(duì)于V中每一個(gè)向量:, 都有0 =:-；4)對(duì)于V中每一向量：，在V中存在一個(gè)向量:-,使得 0 ,這樣的叫 做的負(fù)向量。5)a(、；、卜)=aa -；6)(a b)：= a t ba ;7)(ab)：= a(b-：“ ;8)1：=：- o注1:定義1稱為公理化定義，以公理化定義為基礎(chǔ)進(jìn)行研究的方法稱為公理化 方法。注2:數(shù)域F稱為基礎(chǔ)域。三、向量空間的例子例1解析幾何里，V2或V3對(duì)于向量的加法和實(shí)數(shù)與向量的乘法來說作成實(shí)數(shù)域上的向量空間。例2 Mmn(F)對(duì)于矩陣的加法和數(shù)乘來說作成F上的向量空間。特別，F(xiàn)n=(a1，a2，,an)la F,i=1,2, ,n關(guān)于矩陣加法和數(shù)乘構(gòu)成的F上的向量空間稱為F上的n元列空間二0但a = 0,則111:=1：十 a) (a )0=0aaa6五、小結(jié)向量空間是高等代數(shù)中一個(gè)極其重要的概念。 從本節(jié)起高等代數(shù)進(jìn)入研究代數(shù)系 統(tǒng)的新階段。在新階段里，研究問題的方法同過去相比