【KS5U解析】北京市平谷區(qū)第五中學2020-2021學年高二上學期開學考試數學試題 Word版含解析

1、平谷五中2020-2021學年度第一學期高二數學入學測試試題2020.8一、單項選擇（共10小題，每小題4分，共40分）1. 如圖所示，在正中，均為所在邊的中點，則以下向量中與相等的是a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由題意先證明且，再利用中點找出所有與向量相等的向量【詳解】解：是的中位線，且，則與向量相等的有，故選：【點睛】本題考查了相等向量的定義，利用中點和中位線找出符合條件的所求的向量，屬于基礎題2. 設m是平行四邊形abcd的對角線的交點，o為任意一點，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由題意畫出圖形，得出點m為平行四邊形abcd的對角線的中點，

2、再由向量的平行四邊形法則，可求出和，即可得出答案.【詳解】由平行四邊形的性質可得，點m為平行四邊形abcd的對角線的中點.所以, 所以故選：d【點睛】本題考查向量的平行四邊形法則的應用，屬于基礎題.3. 在中，則等于( )a. b. c. d. 9【答案】a【解析】【分析】由正弦定理進行求解即可.【詳解】，由正弦定理得，則，故選a.【點睛】本題主要考查正弦定理的應用，利用正弦定理是解決本題的關鍵，屬基礎題.4. 若復數（）不是純虛數，則（ ）a. b. c. d. 且【答案】a【解析】【分析】先解出復數（）是純虛數時的值，即可得出答案【詳解】若復數（）是純虛數，根據純虛數的定義有：，則復數（）

3、不是純虛數，故選a【點睛】本題考查虛數的分類，屬于基礎題5. ，為虛數單位，若，則的值為（ ）a. 1b. -1c. 2d. -2【答案】a【解析】【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數相等的條件列式求解【詳解】由（m+i）（23i）（2m+3）+（23m）i5-i，得，即m1故選a【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題6. 在復平面內，復數對應向量（為坐標原點），設，以射線為始邊，為終邊逆時針旋轉的角為，則，法國數學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：，則，由棣莫弗定理導出了復數乘方公式：，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】將復數化為的形式

4、，再利用棣莫弗定理解得答案.【詳解】【點睛】本題考查復數的計算，意在考查學生的閱讀能力，解決問題的能力和計算能力.7. 已知是兩條不同的直線，是兩個不重合的平面，給出下面三個結論：若，則；若，則；若是兩條異面直線，且，則.其中正確結論的序號為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用線面平行、面面平行的判定定理和性質定理，逐項判定，即可求解詳解】由題意，若，則與平行或異面，故錯誤；若，則與可能平行也可能相交，故錯誤；若，是兩條異面直線，且，則，故正確.故正確的結論只有，故選d.【點睛】主要考查了空間中平行關系判定與證明，其中解答中熟記線面平行、面面平行的判定定理和性質定理，準

5、確判定是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題8. 在長方體中，點為棱上的點，且，則異面直線與所成角的正弦值為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】在上取點，使得，連接，可得，得到異面直線與所成角就是相交直線與所成的角，在中，利用余弦定理和三角函數的基本關系式，即可求解.【詳解】在長方體中，點為棱上的點，且，如圖所示，在上取點，使得，連接，可得，所以異面直線與所成角就是相交直線與所成的角，設，又由在直角中，所以，在直角中，所以，在中，由余弦定理可得,所以所以異面直線與所成角的正弦值，故選b.【點睛】本題主要考查了異面直線所成角求解，其中解答中根據幾何體的結構特征，把

6、異面直線所成的角轉化為相交直線所成的角是解答的關鍵，著重考查了空間向量能力，以及推理與計算能力，屬于基礎題.9. 完成下列抽樣調查，較為合理的抽樣方法依次是( )從件產品中抽取件進行檢查；某校高中三個年級共有人，其中高一人、高二人、高三人，為了了解學生對數學的建議，擬抽取一個容量為的樣本；某劇場有排，每排有個座位，在一次報告中恰好坐滿了聽眾，報告結束后，為了了解聽眾意見，需要請名聽眾進行座談a. 簡單隨機抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣；b. 分層抽樣，系統(tǒng)抽樣，簡單隨機抽樣；c. 系統(tǒng)抽樣，簡單隨機抽樣，分層抽樣；d. 簡單隨機抽樣，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣；【答案】d【解析】【分析】中，總體數量較少，適

7、合簡單隨機抽樣；中，三個年級有明顯差異，適合分層抽樣；中，總體數量較多，又有編號，適合系統(tǒng)抽樣.【詳解】對于，從件產品中抽取件進行檢查，總體的數量較少，且個體差異不明顯，符合簡單隨機抽樣的特點；對于，該校高中的三個年級，是差異明顯的三個部分，符合分層抽樣的特點；對于，該劇場有排，每排有個座位，顯然總體數量較多，又有編號，符合系統(tǒng)抽樣的特點.故選:d.【點睛】三種抽樣方法的特點、聯(lián)系及適用范圍:類別共同點各自特點聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個抽取總體個數較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按預先定出的規(guī)則在各部分中抽

8、取在起始部分取樣時，采用簡單隨機抽樣總體個數較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成10. 已知某7個數的平均數為4，方差為2，現(xiàn)加入一個新數據4，此時這8個數的平均數為，方差為，則a. ，b. ，c. ，d. ，【答案】a【解析】【分析】由題設條件，利用平均數和方差的計算公式進行求解即可【詳解】解：某7個數的平均數為，方差為，則這8個數的平均數為，方差為故選：【點睛】本題考查了平均數和方差的計算應用問題，屬于基礎題二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）11. 的所有能取到的值構的集合為_.【答案】【解析】【分析】將變形為，

9、化簡后對進行奇偶討論即可【詳解】，當為奇數時，；當為偶數時，故答案為【點睛】本題考查復數的乘方運算，注意對進行奇偶討論，是基礎題12. 已知關于t的一元二次方程，當方程有實數根時，則實數t的取值范圍_.【答案】【解析】【分析】根據方程有實數根，再結合復數相等，建立條件關系可得點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，再結合直線與圓的位置關系即可得解.【詳解】解：因為關于t的一元二次方程有實數根，得，由復數相等的充要條件可得：，消得，則所求點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，直線與圓有公共點，則，解得，故答案為.【點睛】本題考查了方程有實數根、復數相等及直線與圓的位置關系，重點考查了運算能力，屬中檔題.13.

10、 在中，角、的對邊分別為、，其中最大的角等于另外兩個角的和，當最長邊時，周長的最大值為_.【答案】【解析】【分析】根據題意得出，可得出，再利用輔助角公式可得出周長的最大值.【詳解】依題意，結合三角形的內角和定理，得，所以，所以，的周長為，當時，即當時，的周長取得最大值，故答案為.【點睛】本題考查三角形周長最值的計算，解題的關鍵就是將周長轉化為某角為自變量的三角函數來求解，考查運算求解能力，屬于中等題.14. 若的面積為,且c為鈍角，則b=_；的取值范圍是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根據題干結合三角形面積公式及余弦定理可得，可求得；再利用，將問題轉化為求函數的取值范圍問題.

11、【詳解】，即，則，為鈍角，故.故答案為，.【點睛】此題考查解三角形的綜合應用，能夠根據題干給出的信息選用合適的余弦定理公式是解題的第一個關鍵；根據三角形內角的隱含條件，結合誘導公式及正弦定理，將問題轉化為求解含的表達式的最值問題是解題的第二個關鍵.15. 如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為正方形，側棱，則二面角的大小為_.【答案】.【解析】【分析】根據二面角的平面角的概念，證得為二面角的平面角，在直角中，即可求解，得到二面角的大小.【詳解】由題意，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，所以，所以，所以，同理，因為，所以平面，則，又，且，所以平面，則，所以為二面角的平面角，在中，所以，所以二面角的大小

12、為.【點睛】本題主要考查了二面角的求解，其中解答中熟記二面角的平面角的定義，以及熟練應用線面位置關系的判定和性質，得到為二面角的平面角是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.三、解答題（共7小題，共90分）16. 如圖，在三棱錐中，為中點.（1）求證：平面；（2）若點是棱的中點，求異面直線與的夾角.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由等腰三角形三線合一得出，連接，計算出三邊邊長，利用勾股定理證明出，然后利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面；（2）取中點，中點，連接、，由中位線的性質可得出，由此可得出異面直線與所成的角為或其補角，然后計算出三邊邊長，利用余弦定理求

13、出，即可得出答案.【詳解】（1），為的中點，且.連接，.且有，.，、平面，平面；（2）取中點，中點，連接、，、分別為、的中點，且.，且，為的中點，則.又為的中點，且.所以，異面直線與所成的角為或其補角.平面，平面，易知，且.在中，點是斜邊的中點，則.在中，.由余弦定理得.因此，異面直線與所成的角為.【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查異面直線所成角的計算，在計算異面直線所成的角時，一般利用平移直線法，構造合適的三角形，利用余弦定理求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.17. 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，,，面面,為等邊三角形，為的中點(1)求證：平面；(2)若是的中點，求三棱錐的體積【答

14、案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】（1）由，結合線面垂直的判定即可得證；（2）由是的中點，所以，則將求三棱錐的體積轉化為求三棱錐的體積，再由條件即可得解.【詳解】(1)證：因為為等邊中邊的中點，所以,又因為在菱形中，所以為等邊三角形，為的中點，所以,而,所以平面.(2)解：由(1)知，面面,所以底面，因為等邊的邊長為2，所以,易知為邊長為2的等邊三角形，所以三棱錐的體積為：,因為是的中點，所以，所以三棱錐的體積為【點睛】本題考查了線面垂直的判定及三棱錐體積的求法，重點考查了空間想象能力及運算能力，屬中檔題.18. 某電視臺為宣傳本省，隨機對本省內1565歲的人群抽取了人，回答問題“本省內

15、著名旅游景點有哪些”統(tǒng)計結果如圖表所示.組號分組回答正確的人數回答正確的人數占本組的頻率第1組第2組18第3組第4組第5組（1）分別求出的值；（2）從第2、3、4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求第2、3、4組每組各抽取多少人？（3）指出直方圖中，這組數據的中位數是多少（取整數值）？【答案】（1）， （2）第2組： (人)；第3組： (人)；第4組： (人) （3）42【解析】【分析】（1）先算出第4組的總人數，再根據頻率分布直方圖得到第4組的頻率，從而可計算總人數，最后計算出相應組人數后利用統(tǒng)計結果表可得的值.（2）先算出第2、3、4組回答正確的總人數，再按比例抽取即可.（3）根據

16、頻率分布直方圖可知中位數滿足，從而可得的近似值.【詳解】（1）由頻率表中第4組數據可知，第4組總人數為，再結合頻率分布直方圖可知，.（2）第2、3、4組回答正確的共有54人利用分層抽樣在54人中抽取6人，每組分別抽取的人數為：第2組：(人)；第3組：(人)；第4組： (人)（3）設這組數據的中位數為，由頻率分布直方圖可得前兩組的頻率之和為，最后兩組的頻率之和為，故在第三組中，且，解得，故.【點睛】本題考查頻率分布直方圖及其應用，注意頻率分布直方圖中，各矩形的面積之和為1，過中位數且垂直于橫軸的直線平分面積，各矩形的高是.19. 設,關于x方程的兩個根分別是和.（1）當=1+i時，求與m、n的值

17、；（2）當時，求的值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）將代入方程整理，可得關于的方程組，求出，代入方程，利用根與系數的關系求出；（2）將代入，求出和，進而可求出的值.【詳解】（1）由題意知是關于x的方程的一個根，整理得，即關于x的方程為，依據根與系數的關系得：，綜上所述，結論是：（2）當時，方程為,則方程的兩根為即，設，則，綜上所述，結論是：的值是4.【點睛】本題考查復數范圍內二次方程的解的問題，是基礎題.20. (1)設集合，且，求實數m的值.(2)設，是兩個復數，已知，且·是實數，求.【答案】(1) 或或 (2) 或【解析】【分析】（1）解方程得到集合，再分別討論和兩

18、種情況，即可得出結果；（2）先設，根據題中條件，得到，即可求出結果.【詳解】解：(1)由解得：或，又當時，此時符合題意. 當時，則.由得， 所以或解得：或綜上所述：或或 (2)設，即 又，且，是實數， 由得，或，或【點睛】本題主要考查由集合間的關系求參數的問題，以及復數的運算，熟記子集的概念，以及復數的運算法則即可，屬于常考題型.21. 如圖，在abc中，邊ab=2，且點d在線段bc上，(i)若，求線段ad的長；(ii)若bd=2dc，求abd的面積.【答案】（i）（ii）【解析】【分析】(i)由可得,由可得,然后在三角形abd中用正弦定理可得ad;(ii)根據得,再根據面積公式和已知條件可得的值,然后在三角形abc中用余弦定理求得bc的值,從而可得bd的值,最后用面積公式可得abd的面積.【詳解】（i）由可得由,可得,在三角形adb中,由正弦定理可得,所以.（ii）由得，所以，因