人口模型及生態(tài)模型

1、實(shí)驗(yàn)八人口模型及生態(tài)模型一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋緦?shí)驗(yàn)主要涉及微積分，介紹利用微積分建立簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型 的基本思想和方法，掌握 Maple在微分方程中的應(yīng)用。二、實(shí)際問題1馬爾薩斯人口模型馬爾薩斯(17661834,是英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家)在研 究百余年的人口統(tǒng)計(jì)時(shí)發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)人口的增加量與當(dāng)時(shí)人 口總數(shù)是成正比的。馬爾薩斯于1798年提出了著名的人口指數(shù)增長(zhǎng)模型。模型的基本假設(shè)：人口的增長(zhǎng)率是常數(shù)，或者說，單位時(shí)間 內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的人口數(shù)成正比。以N(t)表示第t年時(shí)的人口數(shù)，N(t t)就表示第t t年時(shí)的人口數(shù)。N(t)是整數(shù)，為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將N (t)視為連續(xù)、可微函數(shù)。這

2、樣有N(t t) N(t)tkN (t)其中k為人口的增長(zhǎng)率，當(dāng)t0時(shí)，由上式得dN (t)dtkN (t)(8.1)設(shè)初始條件為t 0時(shí)，N(0)Ng，馬爾薩斯人口按幾何級(jí)數(shù)增加(或按指數(shù)增長(zhǎng))的結(jié)論就是來源于方程(8.1)。方程(8.1)稱為馬爾薩斯人口發(fā)展方程。2邏輯斯蒂克人口模型這里將考慮自然資源和環(huán)境對(duì)人口的影響。以N m記自然資源和環(huán)境條件所能允許的最大人口數(shù)。把人 口增長(zhǎng)的速率除以當(dāng)時(shí)的人口數(shù)稱為人口的凈增長(zhǎng)率。按此定義,在馬爾薩斯人口模型中凈增長(zhǎng)率等于常數(shù)1 dN (t)-kN (t) dt在馬爾薩斯后，荷蘭數(shù)學(xué)家威赫爾斯特(Verhulst)提出一個(gè) 新的假設(shè)：人口的凈增長(zhǎng)率

3、隨著N(t)的增加而減小，且當(dāng)N(t) Nm時(shí)，凈增長(zhǎng)率趨于零。因此人口方程可寫成dN (t)dtr(1N(t)N(t)Nm(8.2)其中r為常數(shù)。模型(8.2)稱為邏輯斯蒂克人口模型。馬爾薩斯模型對(duì)于1800年以前的歐洲人口擬合得較好。而此 處的邏輯斯蒂克模型對(duì)于17901930年間的美國(guó)人口擬合較好， 但對(duì)于1930年以后的人口估計(jì)不準(zhǔn)。但是邏輯斯蒂克模型在生物 總數(shù)分析中還是有其廣泛的應(yīng)用的。只要某種特定自然環(huán)境中該 物種是獨(dú)立生存的，或與其它物種相比它占有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。3捕食者一食餌模型自然界中不同種群之間存在著這樣一種非常有趣的相互依 存、相互制約的生存方式，種群甲靠豐富的自然資源生長(zhǎng)，

4、而種 群乙靠捕食甲為生，兔子和山貓、落葉松和蚜蟲都是這種生存方 式的典型。生態(tài)學(xué)上稱種群甲為食餌(Prey)，稱種群乙為捕食者 (Predato)，二者共處組成捕食者一食餌生態(tài)系統(tǒng)。下面是由意 大利數(shù)學(xué)家Volterra提出的一個(gè)簡(jiǎn)單的生態(tài)學(xué)模型：食餌甲和捕食者乙在時(shí)刻t的數(shù)量分別記作x(t)、y(t)，當(dāng)甲獨(dú)立生存時(shí)它的(相對(duì))增長(zhǎng)率為r，即x(t) rx，而乙的存在 使甲的增長(zhǎng)率減小，設(shè)減小的程度與種群數(shù)量成正比，于是x(t)滿足方程x(t) x(r ay) rx axy( 8.3)比例系數(shù)a是反映捕食者掠取食餌的能力。捕食者離開食餌無法生存，設(shè)乙獨(dú)自存在時(shí)死亡率為d，即y(t) dy，甲

5、為乙提供食物相當(dāng)于使乙的死亡率降低，并促使其增長(zhǎng)。設(shè)這個(gè)作用與甲的數(shù)量成正比，于是y(t)滿足方程y(t) y( d bx) dy bxy( 8.4)比例系數(shù)b是反映食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力。設(shè)食餌和捕食者的初始數(shù)量分別為x(0) x°,y(O) yo( 8.5)微分方程(8.3)、( 8.4)及初始條件(8.5)確定了食餌和捕食者 數(shù)量x(t), y(t)的演變過程，但是該方程組無解析解。三、練習(xí)與思考1. 取N。3.9 106，k 0.31，求方程(8.1)的解析解，并描繪解的圖形。2. 方程(8.2)是個(gè)分離變量方程，取No 3.9 106 ,r 0.31，Nm 197 106，

6、求方程(8.2)的解析解，并描繪解的圖形。求lim N (t)。3. 1650年世界人口為5億，當(dāng)時(shí)的年增長(zhǎng)率為3%。，用指數(shù)增長(zhǎng)模型計(jì)算什么時(shí)候世界人口達(dá)到10億(實(shí)際上1850年前已超過10億)。1970年世界人口為36億，年增長(zhǎng)率為21%， 用指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)什么時(shí)候世界人口會(huì)翻一番(這個(gè)結(jié)果可 信嗎)。你對(duì)用同樣的模型得到的兩個(gè)結(jié)果有什么看法？4假定人口的增長(zhǎng)服從這樣的規(guī)律：時(shí)刻t的人口為N（t） , t到t t時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)與Nm N（t）成正比，其中Nm為環(huán)境的最大容量。試建立模型并求解，作出解的圖形。5.對(duì)于由微分方程（8.3）、（ 8.4）及初始條件（8.5）確定 的方程組，試用數(shù)值解討論以下問題：1 ）設(shè) r 1,d0.5,a0.1,b0.02, x。25, y。2，求方程（8.3）、（8.4）在條件（8.5）下的數(shù)值解，畫出函數(shù)x（t）, y（t）的 圖形以及相圖（x,y），觀察解x（t）, y（t）的周期變化，近似地確定 解的周期和x, y的最大、最小值，近似計(jì)算x, y在一個(gè)周期內(nèi)的 平均值。2）從方程（8.3）、（ 8.4）消去dt，得到空 x（r ay）（ 8.6）dy y（ d bx）解方程（8.6），得到解即相軌線，說明這是