2020新教材人教A版必修第二冊(cè)第七章7.27.2.2

1、 722復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算 獨(dú)師獨(dú)具內(nèi)獰丨 課程煉準(zhǔn)；皐握址數(shù)代數(shù)良達(dá)式的乘、除運(yùn)耳. 教學(xué)垂點(diǎn)訂.址數(shù)代枚形式的乘.除祛運(yùn)厘一乙理解并學(xué)黒如散的除祛運(yùn)龍的實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化問(wèn)題一 教學(xué)難點(diǎn)；井匏豆數(shù)的概念及i的爭(zhēng)的周期性， 核心概念掌握 - 知識(shí)導(dǎo)學(xué) - 知識(shí)點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的乘法法則 設(shè) zi = a+ bi, Z2= c+ di(a, b, c, d R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a + bi)(c+ di) = (ac- bd)+ (ad+ bc)i. 可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把 i2換成 1，并且把實(shí)部和虛部分別合并即可. 知識(shí)點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算律

2、 對(duì)于任意 zi，z2，z3 C，有 交換律：Z1Z2 = Z2Z1 ； 結(jié)合律：(Z1Z2) Z3 = Z1 (Z2Z3)； 分配律：Z1(Z2 + Z3) = Z1Z2 + Z1Z3. 知識(shí)點(diǎn)三 復(fù)數(shù)的除法法則 由此可見(jiàn)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為 0)，所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù). - 新知拓展 - 虛數(shù)單位 i 的乘方 計(jì)算復(fù)數(shù)的乘積要用到復(fù)數(shù)單位 i 的乘方，i 有如下性質(zhì)： .4n+1 4n+ 2 4n+ 3 4n / i = i ； i = 1 ； i = i ； i = 1. 說(shuō)明：(1)上述公式說(shuō)明 i 的幕具有周期性，且最小正周期是 4. (2) n 可推廣到整數(shù)集. (3) 4

3、k(k Z)是 i 的周期. (a+ bi) (c+ di) = ac+ bd c2+ d bc ad T+7T+7i(ai(a， b，c，d R，且 c+ di 工 0). (4) 與 i 有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論： .2 . . 2 . 1 + i , 1 i , (1 (1 + i)i) = 2i2i， (1 (1 i)i) = 2i2i，1 j =i i， 1 + j = L 3 評(píng)價(jià)自測(cè) 1. 判一判(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”) 若復(fù)數(shù) Z1= 1 + 2i, Z2= 3-i，則復(fù)數(shù) Z1Z2的虛部為 5.( ) (2) 若 Z1， Z2 C,且 z1+ z2= 0,貝U Z1 = Z2

4、 = 0.( ) (3) 兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的積為實(shí)數(shù).() 答案 (1)V (2)X V 2. 做一做 3 (1) 復(fù)數(shù)右二 _ . (2) 復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) z =右+為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第 _ 限. 1 (3) _ 復(fù)數(shù) 2-T的共軛復(fù)數(shù)是 . 3 3 答案 3 刁(2)四(3)2 - i 核心素養(yǎng)形成 題型一 復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算 A . 0 B . 2 C.- 2i D . 2i (2)若復(fù)數(shù) Z1 = 4+ 29i，Z2= 6+ 9i，其中 i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(Z1-Z2)i 的實(shí)部 為 _ . 3 + 2i 3-2i 解析解法一： - 2-3i 2+ 3i 3 + 2i 2

5、 + 3i 3 2i 2 3i 2-3i 2+ 3i 6+ 13i 6 6+ 13i + 6 4+ 9 3+ 2i 3-2i i(2-3i) - i(2 + 3i) 解法二： = =i + i = 2i. 2-3i 2 + 3i 2-3i 2+ 3i (1)復(fù)數(shù) 3+ 2i 2-3i 26i 13 2i. (2)(Z1 - Z2)i = (4 + 29i) - (6 + 9i)i = (- 2 + 20i)i = - 20- 2i， (Z1 - Z2)i 的實(shí)部為一 20. 答案D (2) 20 金版點(diǎn)睛 (1) 復(fù)數(shù)的乘法可以把 i 看作字母，按多項(xiàng)式乘法的法則進(jìn)行，注意要把 i2化 為-1

6、,進(jìn)行最后結(jié)果的化簡(jiǎn).復(fù)數(shù)的除法先寫(xiě)成分式的形式，再把分母實(shí)數(shù)化(方 法是分母與分子同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)， 若分母是純虛數(shù)，則只需同時(shí)乘以 i). (2) 實(shí)數(shù)集中的乘法公式、幕的運(yùn)算律，因式分解方法等在復(fù)數(shù)集中仍成立. 跟蹤訓(xùn)練1 計(jì)算：(1)( 2 + 3i)申 + 2i); (2)(2 i)( 1 + 5i)(3 4i) + 2i. 2+ 3i ( 2+ 3i(1 2i 解原式= = 1+ 2i (1+ 2i1 2i) 2+ 6 + 3+ 4 i 4 7 = = 5+5i i. 1 + 2 5 55 5 原式=(3 + 11i)(3 4i) + 2i = 53+ 21i+ 2i = 5

7、3+ 23i. 題型二在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解一元二次方程 例 2 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程. 2 (1) 2x2 + 6= 0; 2 (2) x + x+ 4= 0. 2 2 解(1)由 2x + 6 = 0,得 x = 3. 因?yàn)?,3i)2= ( ,3i)2= 3， 所以方程 2x2 + 6= 0 的根為 x=. 3i. (2)配方，得 x+1 1 2=乎， 因?yàn)橛趤A-吵 i2丈 所以 x+ 2= pi， 所以原方程的根為 x=22 彳 金版點(diǎn)睛 2 實(shí)系數(shù)一元二次方程 ax + bx+ c= 0(a，b，c R，a0)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)定有兩 個(gè)根: (1)0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 X1,2= 舊

8、= 0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 X1,2 2a. (3)&0,方程有一對(duì)共軛虛根 X1,2= 2 跟蹤訓(xùn)練2 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程 2x2 + 4x+ 15= 0. 解配方，得(x+ 1)2= 夢(mèng)， 所以原方程的根為 x=1 題型三復(fù)數(shù) in的周期性運(yùn)算 例 3 計(jì)算：(1)鏟%+亡2020; (1 i ) 1 1 + i 丿 1 + i + i2+ i3+ i2019. 2020 2 2+ 2i 2i 2 2 1010 1 1 1010 2 =肓+ 林丿=i(1 i(1 + i)i) + +G G = 1 1 + i i + ( (- 1010 i) = 1 + i 1 = i 2.

9、解法一：Tin+ in+1 + in+2+ in+ 3= 0，n N*， . .2 .3 .2019 .2 .3 “.4 .5 .6 .7、， ,.8 .9 .10 .11、 1 + i + i + i + + i = 1 + i + i + i + (i + i + i + i ) + (i + i + i + i ) + + (i2016+ i2017+ i2018+ i2019)= 1 + i + i2+ i3= 0. 2020 505x4 2 2019 1 i 1 i 1 1 解法二：1 + i + i + + i = = = = 0. 1i 1i , . * Ary i 的 n 次幕

10、的計(jì)算法則，即 nN 時(shí)，i = 1, 0 n 1 * =乎厶 所以 x+ 1 = |6 6i， 13 2 + 2i 解十+ 1 + i 金版點(diǎn)睛 n * in(n N )的性質(zhì) 根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則，容易得到 .4n+1 4n + 2 4n+ 3 . i += i，i + =_ 1，i + =_ i， 因?yàn)?其中 i = 1， i = jn(n N ). 4n 4n+1 4n+ 2 4n+ 3 M 另夕卜，i + i + + i + + i 十=0. (1)當(dāng) z= 1 才時(shí)，z100+z50+ 1 的值等于() A . 1 B1 C. i Di 計(jì)算嚴(yán)、+嚴(yán)的值為 訂i 丿 V3也 - 答案(

11、1)D (2) 1 + i 解析 (1)tz2=壬 3 = 2 = i, z4+ z5 +1 = ( i)50 + ( i)25 +1 = ( i)225+ ( i) + 1 = 1 i + 1 = i 3 14 答案5+硬 2 2 2 一 i (2 i) 解析(1 + i)2 = 2i 2+ i 4. _ 方程 7x2 + 1 = 0 的根為 . 原式=舟匸6+二 + ,3i ,3+ 2i 6 6+ 2i + 3i ,6 =1 + i. 隨堂水平達(dá)標(biāo) 1.復(fù)數(shù) i(2 i)=( ) A. 1+ 2i B. 1 2i C . 1+ 2i D. 1 2i 答案 A 解析 i(2 i) = 2i i2 =1+ 2i.故選 A 2 ) 2.復(fù)數(shù) 1 .等（ i A. 1 + i B . 1 i C. 1 + i D . 1 i 答案 A 2解析 2(1 + i i) 2(1 + i) 1 + i.故選A. 1 i 1 i 1 + i 2 2 i 3. (1 + i)鮎 1 = 0 的根為 x= 5. 把復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)記作刁，已知 i z = 4+ 3