2020高考理數(shù)(北師大版)教學案第7章第3節(jié)平行關(guān)系

1、 第三節(jié)平行關(guān)系 考綱傳真1以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點 ，認識和理解空間 中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些 有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題 1.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 平面外一條直線與此平面 內(nèi)的一條直線平行，則該直 線與此平面平行（簡記為 “線線平行？線面平行”） 1 / 7 l a、 a=L a ? l /a l / 性質(zhì)定理 如果一條直線與一個平面 平行，那么過該直線的任意 一個平面與已知平面的丄 線與該直線平行（簡記為 “線面平行？線線平行”） a / a a B卜？ aA b a

2、 / b 2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 如果一個平面內(nèi)有兩 條相交直線平行于另 一個平面，那么這兩個 平面平行（簡記為“線 面平行？面面平行”） /7 匸 a a 、 b a a / B ? all B b / B a A b= P， *EE1 課刖 知識全通關(guān) 券實基礎(chǔ)-扌M除盲點 4. 三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化: 牲嚴定理 .( 劌定定理 _ 蜿煩平扒 、班蔚平幷一 、面面平行 基礎(chǔ)自測 1. (思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“V”，錯誤的打“X” ) (1) 若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直 線. ()

3、(2) 如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行. (3) 如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面. (4) 若直線 a 與平面a內(nèi)無數(shù)條直線平行，則 a/ a ( ) 答案X (2)X VX 2. (教材改編)下列命題中正確的是( ) A. 若 a， b 是兩條直線，且 a/ b，那么 a 平行于經(jīng)過 b 的任何平面 B. 若直線 a 和平面a滿足 a/ a，那么 a 與a內(nèi)的任何直線平行 C. 平行于同一條直線的兩個平面平行 D. 若直線 a，b 和平面a滿足 a/ b，a/ a，於a,則 bl a D A 錯誤，a 可能在經(jīng)過 b 的平面內(nèi)；B

4、錯誤，a 與a內(nèi)的直線平行或異 面；C 錯誤，兩個平面可能相交. 2.垂直于同一個平面的兩條直線平行 ,即若 a 丄 b丄a, 則 al B. 3.平行于同一個平面的兩個平面平行 ,即若all 則 all Y 1.垂直于同一條直線的兩個平面平行 ,即若 a 丄 則 all 3 a 丄3 3. 平面a與平面3平行的條件可以是( ) A. a內(nèi)有無數(shù)條直線都與3平行 B. 直線 a II a, a / B,且直線 a 不在a內(nèi)，也不在B內(nèi) C. a內(nèi)的任何直線都與B平行 D. 直線 a 在a內(nèi)，直線 b 在B內(nèi)，且 a/ B, b/ a C 在選項 A 中，a內(nèi)有無數(shù)條直線都與B平行，a與B有可能

5、相交，故選 項 A錯誤；在選項 B 中，直線 a/ a, a/ B,且直線 a 不在a內(nèi)，也不在B內(nèi)， 則a與B相交或平行，故選項 B 錯誤；在選項 C 中，a內(nèi)的任何直線都與B平 行，由面面平行的判定定理得 all B,故選項 C 正確；在選項 D 中，直線 a 在a 內(nèi)，直線 b 在B內(nèi)，且a/ B, b/ a則a與B相交或平行，故選項 D 錯誤.故 選 C. 4 .已知直線 I /平面 a, P a,則過點 P 且平行于直線 I 的直線（ ） A. 只有一條，不在平面 a內(nèi) B. 只有一條，且在平面 a內(nèi) C. 有無數(shù)條，不一定在平面 a內(nèi) D. 有無數(shù)條，一定在平面 a內(nèi) B 過直線

6、I 和點 P 作一個平面B與a相交于 m. . I /a, I / m,且 m a, 若 n 也是過點 P 且平行于 I 的直線， 貝U m/ n,這與 mG n= P 相矛盾，故選 B. 5. _ （教材改編）在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，E 是 DDi的中點，貝U BDi與平 面 ACE 的位置關(guān)系為 . 平行如圖所示，連接 BD 交 AC 于 F，連接 EF，則 EF , 是厶 BDDi的中位線, EF/ BDi, 又 EF 平面 ACE, BDi 平面 ACE, BDi / 平面 ACE. 題型全突破 考點全面-方法簡沽 K L T A N d 與線、面平行相關(guān)命題的判定 題

7、型丄 _ _ _ 1. 平面a/平面B的一個充分條件是（ ） A .存在一條直線 a， a / a, a / B B. 存在一條直線 a, a a, a / B C. 存在兩條平行直線 a, b, a a b B, a/ B, b/ a D. 存在兩條異面直線 a , b , a a, b B, a/ B,b/ a D 若 aGB=l , a/ I , a a, a B,則 a/ a, a/ B,故排除 A.若 aG 廿 l , a a, a / I ,貝q a /B,故排除 B.若 aG 歸 I , a a, a / I , b B , b / I,貝q a /B, b/ a,故排除 C.故

8、選 D . 2. 下列四個正方體圖形中，A , B 為正方體的兩個頂點, 其所在棱的中點，則能得出 AB/平面 MNP 的圖形的序號是（ ） A . C. C 對于圖形，易得平面 MNP 與 AB 所在的對角面平行,所以 AB/平面 MNP;對于圖形,易得 AB/ PN ,又 AB 平面 MNP , PN 平面 MNP ,所以 AB/平面 MNP;圖形無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行 .故選 C. 課堂 M,N , P 分別為 B . D . A M 規(guī)律方法與線、面平行相關(guān)命題的判定，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各 個定義、定理，特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情形. 直

9、線與平面平行的判定與性質(zhì) 塹型刃 _ ?考法 1 直線與平面平行的判定 【例 1】 如圖所示，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱 形，PA 丄平面ABCD, PA= 3, F 是棱 PA 上的一個動點，E 為 PD 的 中點，0 為 AC 的中點. (1) 證明：0E/平面 PAB; (2) 若 AF = 1,求證：CE/平面 BDF; (3) 若 AF = 2， M ABC 的重心， 證明 FM /平 面 PBC. 證明(1)由已知四邊形 ABCD 為菱形， 又 0 為 AC 的中點，所以 0 為 BD 的中點， 又 E 為 PD 的中點， 所以 OE/ PB. 又 0E 平面

10、 PAB，PB 平面 PAB， 所以 0E/平面 PAB. 過 E 作 EG/ FD 交 AP 于 G，連接 CG，F(xiàn)0. 因為 EG/ FD，EG 平面 BDF，F(xiàn)D 平面 BDF， 所以 EG/平面 BDF， 因為底面 ABCD 是菱形，0 是 AC 的中點， 又因為 E 為 PD 的中點，所以 G 為 PF 的中點， 因為 AF= 1，PA= 3,所以 F 為 AG 的中點， 所以 0F / CG. 因為 CG 平面 BDF，0F 平面 BDF， 掃昭 所以 CG/平面 BDF. 又 EGG CG= G, EG, CG 平面 CGE, 所以平面 CGE/平面 BDF, 又 CE 平面 C

11、GE,所以 CE /平面 BDF. (3)連接 AM ,并延長,交 BC 于點 Q,連接 PQ, 因為M ABC 的重心, AM 2 所以 Q 為 BC 中點，且 MQ =孑 又 AF = 2,所以 Ap = 1. 所以 MF / PQ, 又 MF 平面 PBC, PQ 平面 PBC, 所以 FM /平面 PBC. ?考法 2 線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用 【例 2】 如圖所示，CD, AB 均與平面 EFGH 平行，E, F, G, H 分別在 BD, BC, AC, AD 上，且 CD 丄 AB.求證： 四邊形 EFGH 是矩形. 證明v CD /平面 EFGH , 而平面 EFGH G平面 B

12、CD _ EF, CD / EF. 同理 HG / CD, EF/ HG. 同理 HE / GF, 四邊形 EFGH 為平行四邊形, v CD / EF, HE/ AB , 所以 AM _ AF MQ _ FP, c / HEF 為異面直線 CD 和 AB 所成的角. 又TCD 丄 AB,： HE 丄 EF. 平行四邊形 EFGH 為矩形. 規(guī)律方法1.證明線面平行的常用方法 (1) 利用線面平行的定義(無公共點) (2) 利用線面平行的判定定理(a a, b a, a/ b? a/ a). (3) 利用面面平行的性質(zhì)定理(a/ B, a a? a/ (4) 利用面面平行的性質(zhì)(all B a

13、 B a/a? a/. 2.利用判定定理判定線面平行，注意三條件缺一不可，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與 已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊平行或過已知 直線作一平面找其交線. 跟蹤塚習如圖,四棱錐 P-ABCD 中,底面 ABCD 為矩形, F 是 AB 的中點,E 是 PD 的中點. (1) 證明：PB/平面 AEC; (2) 在 PC 上求一點 G ,使 FG/平面 AEC ,并證明你的結(jié)論. 解證明：連接 BD ,設(shè) BD 交 AC 于 0 ,連接 EO , 因為 ABCD 為矩形，所以 O 為 BD 的中點， 又 E 為 PD 的中點,所以 EO/ P 又 EO 平面 AE

14、C , PB 平面 AEC , PB/ 平面 AEC. (2)PC 的中點 G 即為所求的點. 證明如下： 1 連接 GE , FG , v E 為 PD 的中點，二 EG 綊 2CD; 1 又 F 是 AB 的中點，二 AF 綊 2CD，二 AF 綊 EG,：四邊形 AFGE 為平行四 邊形， FG/ AE,又 FG 平面 AEC, AE 平面 AEC, FG / 平面 AEC. 平面與平面平行的判定與性質(zhì) I題型3| H 分別是 AB, AC, A1B1, A1C1的中點，求證: (1)B, C, H, G 四點共面； 平面 EFA1 /平面 BCHG. 證明(1)v G, H 分別是 A

15、1B1, A1C1的中點， GH 是厶 A1B1C1 的中位線，GH / B1C1. 又 B1C1 / BC,： GH / BC,： B, C, H, G 四點共面. (2)在厶 ABC 中，E, F 分別為 AB, AC 的中點, :EF/ BC. EF 平面 BCHG, BC 平面 BCHG, :EF/ 平面 BCHG. A1G 綊 EB, :四邊形 A1EBG 是平行四邊形，則 A1E/ GB. A1E 平面 BCHG , GB 平面 BCHG , :A1E/ 平面 BCHG. A1EG EF= E, :平面 EFA1 /平面 BCHG. 【例 3】 如圖所示，在三棱柱 ABC-AiBi

16、Ci 中, 母題探究(1)在本例條件下，若點 D 為 BC1的中點，求證：HD /平面 A1B1BA. (2)在本例條件下，若 Di, D 分別為 BiCi, BC 的中點，求證：平面 AiBDi/ 平面 ACiD. 證明如圖所示，連接 HD，AiB, D 為 BCi的中點，H 為 AiCi的中點， HD / AiB. 又 HD 平面 AiBiBA， AiB 平面 AiBiBA， HD / 平面 Ai Bi BA. (2)如圖所示，連接 AiC 交 ACi于點 M， 四邊形 AiACCi是平行四邊形， M 是 AiC 的中點，連接 MD， v D 為 BC 的中點， AiB/ DM. v Ai

17、B 平面 AiBDi， DM 平面 AiBDi， DM / 平面 AiBDi， 又由三棱柱的性質(zhì)知，DiCi綊 BD， 四邊形 BDCiDi為平行四邊形， DCi / BDi. 又 DC平面 AiBDi, BDi 平面 AiBDi， DCi / 平面 AiBDi. 又 v DCi A DM = D，n B DCi, DM 平面 ACiD, 平面 AiBDi / 平面 ACiD . 規(guī)律方法證明面面平行的常用方法 (1) 利用面面平行的定義. (2) 利用面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另 一個平面，那么這兩個平面平行. (3) 利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”.

18、(4) 利用“如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行 (5) 利用“線線平行” “線面平行” “面面平行”的相互轉(zhuǎn)化. 跟蹤塚習如圖所示，四邊形 ABCD 與四邊形 ADEF 都為平行四邊形，M , N, G 分別是 AB，AD，EF 的中點.求證： (1) BE /平面 DMF ; (2) 平面 BDE /平面 MNG. 證明(1)如圖所示，設(shè) DF 與 GN 交于點 0, 連接 AE，則 AE 必過點 0,連接 M0, 則 M0 ABE 的中位線, 所以 BE/ M0. 因為 BE 平面 DMF , M0 平面 DMF , 所以 BE/平面 DMF. 因為 N, G 分別為平行四邊形 ADEF 的邊 AD, EF 的中點， 所以 DE / GN. c E M fl 因為 DE 平面 MNG, GN 平面 MNG, 所以 DE /平面 MNG. 因為 M 為 AB 的中點, 所以 MN為厶ABD 的中位線, 所以 BD / MN. 因為 BD 平面 MNG , MN 平面 MNG , 所以 BD /平面 MNG. 因為 DE n BD = D, BD, DE 平面 BDE, 所以平面 BDE /平面 MNG. 真題 自主驗效果 I ! 近年考題-感惜規(guī)律 （2016 全國卷川節(jié)選）