五級奧數(shù)專題圖形的計(jì)數(shù)

1、 1 下圖中一共有（ ）條線段 2. 如右上圖,0 為三角形 A1AA12的邊AA2上的一點(diǎn),分別連結(jié) 0 個三角形 下圖中有 _ 三角形. 右上圖中共有 _ 梯形. 數(shù)一數(shù) （1） 一共有（）個長方形. 一共有（）個三角形. （1） 6. 在下圖中，所有正方形的個數(shù)是 7. 在一塊畫有 4 4 方格網(wǎng)木板上釘上了 25 顆鐵釘（如下圖），如果用線繩圍正方形，最多可以 圍出 _ 個. P 0 )N QX W RY V ST U F :G 3 H 1 I 9. _ 如下圖,方格紙上放了 20枚棋子,以棋子為頂點(diǎn)的正方形共有 _ 個. 九圖形的計(jì)數(shù)（A） _ 年級 一、填空題 姓名 得分 3. 4

2、. 5. 8. 一塊相鄰的橫豎兩排距離都相等的釘板 用皮筋套出正方形和長方形共 _ 個. ,上面有 4 4 個釘（如右圖）.以每個釘為頂點(diǎn)，你能 OAi，這樣圖中共有 O 10. 數(shù)一數(shù),下圖是由 _ 小立方體堆成的.要注意那些看不見的. 二、解答題 11. 右圖中共有 7 層小三角形，求白色小三角形的個數(shù)與黑色小三角形的個數(shù)之比 12. 下圖中,AB CD7 7EF、MN 互相平行， 則圖中梯形個數(shù)與三角形個 3 13 .現(xiàn)在都是由） 米、9 厘米的大小不同的 方形，除此以外， 方形多少個？ 14.將 米的紅色、白色兩種正方形分別組成） 它們的特點(diǎn)都是正方形的四邊的小正 小正方形，要組成這樣

3、 4 個大小不同的 色正形多少 匚一邊等 海， 過各 峑是多少？ 厘米、 4 厘米、 8 厘 是涂有紅顏色的小正 正形總共需要紅色正 卜點(diǎn)作邊的平行線，在所得下圖中有 M |多少個平行四邊形? A 答 案 _ 年級 _ 班 一、填空題 1. 2. 3. 4. 5. 九圖形的計(jì)數(shù)（B） 姓名 得分 下圖中長方形（包括正方形）總個數(shù)是 _ . 右上圖中有正方形 _ 個,三角形 _ 個,平行四邊形 下圖中共出現(xiàn)了 _ 長方形. _ 方形平均分成 8 個三角形.再數(shù)一數(shù),它一共有 有 圖一 個,梯形 _ 個. 先把正 圖形中 6. 如右上 的小三角形要涂上不同的顏色 已知涂成紅色的三角形比涂成藍(lán)色的三

4、角形多 7. 下圖是由小立方體碼放起來的，其中有一些小方體看不見.圖中共有 8. 右上圖中共有 _ 正方形. 9. 有九張同樣大小的圓形紙片，其中標(biāo)有數(shù)碼“ 1”的有 1 張；標(biāo)有數(shù)碼“ 2”的有 2 張；標(biāo)有 數(shù)碼“3”的有 3 張，標(biāo)有數(shù)碼“4”的也有 3 張。把這九張圓形紙片如下圖所示放置在一起， 但標(biāo) 有相同數(shù)碼的紙片不許靠在一起，問： 如果 M 位上放置標(biāo)有數(shù)碼“ 3”的紙片，一共有 個大小不同的三角形. _ y 三 . 36 個小三角形.把每個小三角形涂上紅色或藍(lán)色,兩個有公共邊 ,那么多 _ 個. 個小立方體. 種不同的放置方法. 10.如下圖,在 2X2方格 可穿過 5 個方格

5、.那么 10X 1 二、解答題 11.把一條長 畫一條直線最多可穿過 3 個方格,在 3X3方格中,畫一條直線最多 中,畫一條直線最多可穿過 _ 方格. 使每條線段的長度是整數(shù)，用這三條線段可以組成多少 個不同的三角形？（當(dāng)且僅當(dāng)兩三角形的三條邊可以對應(yīng)相等時， 我們稱這兩個三角形是相同的.） 12.有一批長度分別為 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 和 11 厘米的細(xì)木條,它們的數(shù)量都足夠多,從 中適當(dāng)選取 3 根木條作為三條邊.可圍成一個三角形，如果規(guī)定底邊是 11 厘米長,你能圍成多少個不 同的三角形？ 13.下圖中的正方形被分成 9 個相同的小正方形，它們一共有 16 個頂點(diǎn)（

6、共同的頂點(diǎn)算一個）, 以其中不在一條直線上的 3 個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以構(gòu)成三角形.在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大 小面積的有多少個？ 14.有同樣大小的立方體 27 個,把它們豎 3 個,橫 3 個,高 3 個,緊密地沒有縫隙地搭成一個大 的立方體 （見圖）.如果用 1 根很直的細(xì)鐵絲扎進(jìn)這個大立方體的話，最多可以穿透幾個小立方體？ 1 . 30 由例 1 注可知圖形中每邊有 3+2+1=6（條）線段，因此整個圖形中共有 6 5=30 條線段. 2. 37 將一 A1AA12分解成以O(shè)A為公共邊的兩個三角形.OAA中共有 5+4+3+2+仁 15 個）三角形, OAA12 中共有 6+5+4

7、+3+2 +1=21（個）三角形,這樣,圖中共有 15+21+仁 37（個）三角形. 3. 15 這樣的問題應(yīng)該通過分類計(jì)數(shù)求解.此題中的三角形可先分成含頂點(diǎn) C 的和不含頂點(diǎn) C 的兩大 類.含頂點(diǎn) C 的又可分成另外兩頂點(diǎn)在線段 AB 上的和在線段 BD 上的兩小類.分類圖解如下： 所以原圖有 （3+2+1）+（3+2+1 =15（ B 4. 18B 梯形 5. B08,36 （1）因?yàn)殚L方形是由長和寬組成的，因此可分別考慮所有長方形的長和寬的可能種數(shù) 按照前面 所介紹的線段的計(jì)數(shù)方法可分別求出長和寬的線段條數(shù)，將它們相乘就是所有長方形的個數(shù) 因?yàn)?AB 邊上有 8+7+6+2+1=空=3

8、6 條線段，AD 邊上有 2+1=3 條線段，所以圖中一共有 36 2 3=108 個長方形. （2）三角形一共有 6 行，每行都有 3+2+仁 6（個）,所以一共有 6 6=36（個）三角形. 6. 30 由例 5 注可知整個圖形中共有 12+22+32+42=30 個正方形. 7. 50 此類問題一般用分類方法計(jì)數(shù).對正方形的邊長分八類計(jì)數(shù)如下： 邊長為 AB 的正方形有 16 個； 邊長為 AC 的正方形有 9 個； 邊長為 AD 的正方形有 4 個； 邊長為 AE 的正方形有 1 個； 邊長為 DF 的正方形有 9 個； 邊長為 CF 的正方形有 8 個； 邊長為 BF 的正方形有 2

9、 個； 邊長為 CG 的正方形有 1 個. 所以,最多可圍出 50 個正方形. 8. 44 因?yàn)檎叫问翘厥獾拈L方形，所以可以把正方形看成長方形，這樣就不必分別求正方形和長方 形的個數(shù)，仍用分類計(jì)數(shù)的方法求解. 先考慮有一組對邊平行于 BC 的長方形有多少個.這一類按其水平邊的位置可分為 6 小類,即位 置在E 有 誓+1=6（個），所以 有 6 x 3=18（個）梯形. C B C D D 答 案 BF、FE EC FC BE BC 同樣,其豎直邊也分為 6 類.所以這一類有 6 6=36 個長方形. A D 個長方形. 設(shè)相鄰兩點(diǎn)的距離為 面積為 2 的有 4 個； 面積為 5 的有 2

10、個； 面 面積為， 所以，共有 9+4+2+4+2=21 個正方形. 10. 30 將原立體圖形從左至右分類計(jì)算，共有 11+7+5+7=30 個. 11. 白色小三角形個數(shù)=1+2+3+6=（1 6） 6 =21, 2 黑色小三角形個數(shù)=1+2+3+7=（1 7） 7 =28, 2 所以它們的比二辺二3. 28 4 12. 解法一 本圖中三角形的個數(shù)為（1+2+3+4） 4=40（個）.下面求梯形的個數(shù).梯形由兩底唯一確定.首先 在ABCDEFMN 中,考慮兩底所在的線段,共有（4 漢 3）2=6（種）選法；對上述四條線段中確定的兩 條線段，共有 10 （10=4+3+2+1 個梯形.共 6

11、0 個梯形.故所求差為 20. 解法二 在圖三中可數(shù)出 4個三角形,6個梯形,梯形比三角圖形圖形多 2個.而在題圖中,這種恰有 10 個.故題圖中，梯形個數(shù)與三角形的個數(shù)之差為 2 10=20（個）. 13. 邊長 2 厘米的正方形： 2 2=4（個） 紅色 邊長 4 厘米的正方形 （4-1） 4=12 （個） 紅色 （4-2） （4-2）=4（個） 白色 邊長 8 厘米的正方形 （8-1） 4=28（個） 紅色 （8-2） （8-2）=36（個） 白色 另一類是沒有邊平行于 BC 的.這一類又分類兩小類 分解圖如下頁圖所示 ,其中分別有 6 個和 2 形的面積大小分類計(jì)數(shù). ， 則正方形面積

12、為 有 4 勺有 所以, 9. 2 方形和長方形 答 案 邊長 9 厘米的正方形 （9-1） 4=32（個） 紅色 （9-2） （9-2）=49（個） 白色 所以,紅色小正方形共有 4+12+28+32=76（個） 白色小正方形共有 4+36+49=89（個） 注本題的要求是由邊長為 1 厘米的紅色和白色兩種正方形，分別組成邊長是 2 厘米,4 厘米,8 厘米,9 厘米的大小不同的正方形，可以看作方陣問題來解.四周的小正方形是涂紅色的，可看成是 空心方陣，因此，涂紅色正方形的個數(shù)等于 4 (n-1).其他小正方形是涂白色的，可當(dāng)作實(shí)心方陣， 所以，涂白色的正方形的個數(shù)等于(n-2) (n-2)

13、.比如,由邊長為 1 厘米的正方形組成邊長為 9 厘米 的正方形，涂紅色的小正方形的個數(shù)是：4 (9-1)=32(個),涂白色的小正方形的個數(shù)是:(9-2) (9-2)=49(個). 14. 將平行四邊形分為三類：尖角在上、下方；尖角在左下、右上方；尖角在左上、右 下方. 就第類而言：.型 6 個；一型 3 個，與其對稱的 3 個； . 型 1 個，與其對稱的 1 個；“一型 1 個；共 15 個.同理,第、類也分別含 15 個，故 上述三類平行四邊形共 45 個. 注這樣數(shù)平行四邊行，很麻煩, ,又易出錯. .我們試圖找到一種對應(yīng)關(guān)系: :先考慮任一邊 不與BC平行的平行四邊形，延長各邊必與

14、BC有 4 4 個交點(diǎn)，特殊情況下，第二個交點(diǎn)與第三個 交點(diǎn)重合；反過來，BC上的任意四點(diǎn)或三點(diǎn)決定一個平行四邊形，也就是說，邊不與 BC 平行的平行四邊形的個數(shù)與 BC上的四交點(diǎn)組和三交點(diǎn)組的數(shù)目一樣多。 由于BC上有 5 5 個交點(diǎn)，其中可構(gòu)成 5 5 個 4 4 點(diǎn)組；1010 個 3 3 點(diǎn)組，即邊不平行于 BC的平 行四邊形有 1515 個。 同理分別考慮邊不平行 AB CD的平行四邊行。 由此可知，共有 4545 個平行四邊形。 - 答 案 1. 90 利用例 1 和例 4 公式可直接計(jì)算： (5+4+3+2+1) X (3+2+1) =15X6 =90(個) 注注意，由長方形、正

15、方形的意義可知，正方形一定是長方形，但反之不然 . .故求長 方形個數(shù)時，不必把正方形分幵考慮. . 2. 3 個正方形;18 個三角形；6 個平行四邊形；8 個梯形. 3. 18 根據(jù)這個圖形的特點(diǎn),我們先數(shù)出下圖(1)中長方形的個數(shù)為(2+1) X (2+1)=9 個;然后在圖(1) 的內(nèi)部添上一個長方形得到圖(2).這時新產(chǎn)生的長方形有(2+1) X (2+1)=9 個.至此已將圖(1)還原 為題圖，同時題圖中的長方形已全部數(shù)完.因此，原圖中共有長方形. (2+1) X (2+1)+ (2+1) X (2+1)=18(個). (1) (2) 4. 16 具體分法如下圖所示.基中小三角形有

16、 8 個,由兩個小三角形組成的三角形有 4 個，由四個小三 角形組成的三角形有 4 個,所以共有三角形 8+4+4=16(個). 5. 72 把圖中最小三角形作為基數(shù)，然后按含有幾個基數(shù)的三角形分類進(jìn)行解答 含一個基數(shù)的三角形，共有 16 個；含兩個基數(shù)的三角形，共有 24 個；含四個基數(shù)的三角形， 共有 20 個；含八個基數(shù)的三角形，共有 8 個；含十六個基數(shù)的三角形，共有 4 個.因此，整個圖形 中共有 16+24+20+8+4=72 個)三角形. 6. 6 圖中的三角形可分成兩種，一種是尖頭向上的，一種是尖頭向下的從圖上可以看出，每種三角 形必須涂成同一顏色為了使涂紅色的三角形比涂藍(lán)色的

17、三角形多，尖頭向上的三角形要涂紅色 每一橫排，尖頭向上的三角形要比尖頭向下的三角形多一個，共有 6 排，因此，涂紅色的比涂藍(lán) 色的三角形多 6 個. 7. 38 將原立體圖形從左至右分類計(jì)算，共有 16+9+5+7+1=38 個. 8. 115 單獨(dú)的一個 4X4的方格中有 12+22+32+42=30 個正方形,兩個 4X4的方格如原圖重疊后,重疊部 分有 5 個正方形.所以原圖中一共有 30X4-5X 3=115 個正方形. 9. 6 根據(jù)標(biāo)有相同數(shù)碼的紙片不許靠在一起的條件，當(dāng) M 位置上放標(biāo)有數(shù)碼“ 3”的紙片時，其余 兩個標(biāo)有數(shù)碼“ 3”的紙片，只能放置在下面左右兩邊兩個圓圈內(nèi).如下

18、圖所示. 這樣圓圈繞 M 圓緊接著4M 的六個圈旋轉(zhuǎn)一周，回到初始狀態(tài)，可知共有六種不同的放置方法. 如果直線與大正方形的兩橫邊都有交點(diǎn),則與所有的橫邊產(chǎn)生 11 個交點(diǎn),與豎邊至多 9 個交點(diǎn), 共 20個交點(diǎn). j : 如果直線與大正聲形的一橫邊和一豎3邊有交點(diǎn),則與橫邊至多產(chǎn)生 10 個交點(diǎn),與豎邊至多產(chǎn)生 10個交點(diǎn),共 20 個交點(diǎn). 20 個交點(diǎn),將直線分成 21 部分,其中在大正方形有內(nèi)有 19 部分,故至多穿過 19 個方格. 注穿過一個方格，在直線上截出一條線段，線段由直線上的交點(diǎn)決定，關(guān)鍵是求交點(diǎn) 個數(shù) 對小學(xué)生來說，通常總是從簡單情況入手，即由 1 1X1方格,2 ,2

19、X2方格,3 ,3 X3方格等的情 況，歸納出一般的規(guī)律，從而得出 1010X 1010 方格的結(jié)果. .請同學(xué)們用歸納法試一試！ 11. 最大邊為 7 時，另兩邊之和為 8,可構(gòu)成 4 個(1+7,2+6,3+5,4+4)不同的三角形；最大邊為 6 時，另兩邊之和為 9,可構(gòu)成 2 個(3+6, 4+5)不同的三角形；最大邊為 5 時,可構(gòu)成 1 個(5+5) 不同的三角形.所以一共可組成 7 個不同的三角形. 12. 由三角形的一邊為 11 厘米,及其他邊長必為 1,2,.，11 厘米，根據(jù)三角形兩邊之和大 于第三邊的性質(zhì)，可知兩邊之和應(yīng)介于 12 厘米和 22 厘米之間(包含 12 厘米和