第19講 圓的弧長(zhǎng)及扇形面積

1、第第1919課圓的弧長(zhǎng)和課圓的弧長(zhǎng)和圖形面積的計(jì)算圖形面積的計(jì)算要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1 1圓的弧長(zhǎng)及扇形面積圓的弧長(zhǎng)及扇形面積 (1)(1)半徑為半徑為r r，弧為，弧為n n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)公式：的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)公式： l_； (2)(2)半徑為半徑為r r，孤為，孤為n n的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：的圓心角所對(duì)的扇形面積公式： S S_首首頁(yè)頁(yè)第第2828課課 圓的弧長(zhǎng)和圖形面積的計(jì)算圓的弧長(zhǎng)和圖形面積的計(jì)算1如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，則頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為( )A10 B. C. DC310310題型分類(lèi)題型分類(lèi)題型一

2、圓弧長(zhǎng)【例【例 1 1】(2013(2013玉林玉林) )如圖，實(shí)線部分是半徑為如圖，實(shí)線部分是半徑為15m15m的的 兩條等弧組成的游泳池，若每條弧所在的圓都經(jīng)過(guò)另一兩條等弧組成的游泳池，若每條弧所在的圓都經(jīng)過(guò)另一 個(gè)圓的圓心，則游泳池的周長(zhǎng)是個(gè)圓的圓心，則游泳池的周長(zhǎng)是_m._m.4040如圖，連接如圖，連接O O1 1O O2 2，CDCD，COCO1 1，COCO2 2，DODO1 1，DODO2 2. .O O1 1O O2 2COCO2 2COCO1 115cm15cm，COCO2 2O O1 16060，CD CD 所對(duì)的圓心角所對(duì)的圓心角360360120120240240，C

3、OCO2 2D D120120，首首頁(yè)頁(yè)1(2013宜賓)如圖，ABC是正三角形，曲線CDEF叫做“正三角形的漸開(kāi)線”，其中CD，DE，EF，的圓心按點(diǎn)A，B，C循環(huán)如果AB1，那么曲線CDEF的長(zhǎng)是 (結(jié)果保留)4第第2828課課 圓的弧長(zhǎng)和圖形面積的計(jì)算圓的弧長(zhǎng)和圖形面積的計(jì)算例2(2013黃岡)如圖，矩形ABCD中，AB4，BC3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l作無(wú)滑動(dòng)翻滾，當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為_(kāi)【思路分析】如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)是三段：以90為圓心角，AD長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng)；以90為圓心角，AB長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng)；以90為

4、圓心角，矩形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng)1、如圖 341， RtABC的邊BC位于直線l上，AC 3，ACB90，A30，若 RtABC由現(xiàn)在的位置向右無(wú)滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A第 3 次落在直線l上時(shí)，點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線的長(zhǎng)為_(kāi)(結(jié)果用含的式子表示)圖圖34341 1忽視關(guān)鍵位置的運(yùn)動(dòng)路徑【問(wèn)題】如圖，將半徑為2cm的圓形紙板沿著長(zhǎng)和寬分別為16cm和12cm的矩形的外側(cè)滾動(dòng)一周并回到開(kāi)始的位置，圓心所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)是_cm.【分析】錯(cuò)誤解答是圓心所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為2(1612)56(cm)錯(cuò)誤在于圓形紙板繞矩形外側(cè)滾動(dòng)一周，其圓心運(yùn)動(dòng)路程實(shí)際上不是一個(gè)矩形的周長(zhǎng)，而是原矩形周長(zhǎng)和圓的周長(zhǎng)和，如圖

5、【正解】圓心所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為2(1612)22(456)(cm)(2)(2)(2013(2013貴陽(yáng)貴陽(yáng)) )在矩形在矩形ABCDABCD中，中，ABAB6 6，BCBC4 4，有一個(gè)半，有一個(gè)半 徑為徑為1 1的硬幣與邊的硬幣與邊ABAB、ADAD相切，硬幣從如圖所示的位置相切，硬幣從如圖所示的位置 開(kāi)始，在矩形內(nèi)沿著邊開(kāi)始，在矩形內(nèi)沿著邊ABAB、BCBC、CDCD、DADA滾動(dòng)到開(kāi)始的位滾動(dòng)到開(kāi)始的位 置為止，硬幣自身滾動(dòng)的圈數(shù)大約是置為止，硬幣自身滾動(dòng)的圈數(shù)大約是 ( () ) A A1 1圈圈 B B2 2圈圈 C C3 3圈圈 D D4 4圈圈解析解析如圖，作如圖，作OEOEADA

6、D，OFOFABAB， 則則E E、F F為為ADAD、ABAB與與O O的切點(diǎn)，的切點(diǎn)， 易證四邊形易證四邊形OEAFOEAF是正方形，是正方形， 則則AFAFOEOE1.1.首首頁(yè)頁(yè)(2)(2)(2013(2013貴陽(yáng)貴陽(yáng)) )在矩形在矩形ABCDABCD中，中，ABAB6 6，BCBC4 4，有一個(gè)半，有一個(gè)半 徑為徑為1 1的硬幣與邊的硬幣與邊ABAB、ADAD相切，硬幣從如圖所示的位置相切，硬幣從如圖所示的位置 開(kāi)始，在矩形內(nèi)沿著邊開(kāi)始，在矩形內(nèi)沿著邊ABAB、BCBC、CDCD、DADA滾動(dòng)到開(kāi)始的位滾動(dòng)到開(kāi)始的位 置為止，硬幣自身滾動(dòng)的圈數(shù)大約是置為止，硬幣自身滾動(dòng)的圈數(shù)大約是

7、( () ) A A1 1圈圈 B B2 2圈圈 C C3 3圈圈 D D4 4圈圈O O的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)221 122，硬幣從如圖所示的位置開(kāi)始，在矩形內(nèi)沿著邊硬幣從如圖所示的位置開(kāi)始，在矩形內(nèi)沿著邊ABAB、BCBC、CDCD、DADA滾動(dòng)到開(kāi)始的位置為止，硬幣自身滾動(dòng)的路程是：滾動(dòng)到開(kāi)始的位置為止，硬幣自身滾動(dòng)的路程是：2(2(ABABBC BC ) )8 8AFAF20208 81212，硬幣自身滾動(dòng)的圈數(shù)大約是：硬幣自身滾動(dòng)的圈數(shù)大約是：121222(22(圈圈) )故選故選B.B.B B首首頁(yè)頁(yè)要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理2 2求陰影部分面積的幾種常見(jiàn)方法求陰影部分面積的幾種常見(jiàn)方法 (1) (1

8、)公式法；公式法； (2) (2)割補(bǔ)法；割補(bǔ)法； (3) (3)拼湊法；拼湊法； (4) (4)等積變形構(gòu)造方程法；等積變形構(gòu)造方程法； (5) (5)去重法去重法首首頁(yè)頁(yè)例例3、如圖，、如圖， 以矩形以矩形ABCD的邊的邊AB為直徑的為直徑的半圓切半圓切CD于點(diǎn)于點(diǎn)E，已知，已知AB=a，則夾在，則夾在BD、DE及弧及弧EB間的陰影部分面積為間的陰影部分面積為ABCDO題型分類(lèi)題型分類(lèi)題型二扇形面積公式1如圖，四邊形ABCD是菱形，A60，AB2，扇形BEF的半徑為2，圓心角為60，則圖中陰影部分的面積是( )A. B. C D第2題圖2332333323 例 4、如圖，在扇形 OAB 中

9、，AOB90，半徑 OA6.將扇形 OAB 沿過(guò)點(diǎn) B 的直線折疊， 點(diǎn) O 恰好落在 AB 上點(diǎn) D 處，折痕交 OA 于點(diǎn) C，求整個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)和面積 1、 如圖，在?ABCD 中，AD2，AB4，A30，以點(diǎn)A 為圓心，AD 的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交 AB 于點(diǎn) E，連結(jié) CE，則陰影部分的面積是_(結(jié)果保留 ) 例例5 5（樂(lè)山）如圖，正方形樂(lè)山）如圖，正方形ABCDABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為 ，以，以A A為為圓心，為半徑作圓弧，以圓心，為半徑作圓弧，以D D為圓心，為半徑作圓弧若圖為圓心，為半徑作圓弧若圖中陰影部分的面積分別為中陰影部分的面積分別為S S、則則 例 6、如圖所示，A 是半

10、徑為 1 的O 外一點(diǎn)，OA2，AB是O 的切線，B 為切點(diǎn)，弦 BCOA，連結(jié) AC，求陰影部分的面積 要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，若設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，若設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l， 底面半徑為底面半徑為r r，那么這個(gè)扇形的半徑為，那么這個(gè)扇形的半徑為l l，扇形的弧長(zhǎng)為，扇形的弧長(zhǎng)為 22r r. . (1) (1)圓錐側(cè)面積公式：圓錐側(cè)面積公式： S S圓錐側(cè)圓錐側(cè)_； (2)(2)圓錐全面積公式：圓錐全面積公式： S S圓錐全圓錐全_； (3)(3)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形圓心角公式：圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形圓心角公式： _rl rlr2 2 首首頁(yè)頁(yè)3 3圓

11、錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積和全面積助學(xué)微博助學(xué)微博三個(gè)等量關(guān)系三個(gè)等量關(guān)系 (1)(1)展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)圓錐下底的周長(zhǎng)；展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)圓錐下底的周長(zhǎng)； (2)(2)展開(kāi)圖扇形的面積圓錐的側(cè)面積；展開(kāi)圖扇形的面積圓錐的側(cè)面積； (3)(3)展開(kāi)圖扇形的半徑圓錐的母線展開(kāi)圖扇形的半徑圓錐的母線首首頁(yè)頁(yè)題型分類(lèi)題型分類(lèi)題型三圓錐【例【例 7 7】如圖，如果從半徑為】如圖，如果從半徑為9cm9cm的圓形紙片剪去的圓形紙片剪去 圓周圓周 的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐( (接縫處不疊合接縫處不疊合) )， 求這個(gè)圓錐的高求這個(gè)圓錐的高首首頁(yè)頁(yè)知能遷移知能遷

12、移3 3(1)(1)(2013(2013綏化綏化) )直角三角形兩直角邊長(zhǎng)是直角三角形兩直角邊長(zhǎng)是 3cm3cm和和4cm4cm，以該三角形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所，以該三角形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所 得到的幾何體的表面積是得到的幾何體的表面積是_cm_cm2 2. . ( (結(jié)果保留結(jié)果保留)當(dāng)以當(dāng)以3 3的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其所得到的幾何的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其所得到的幾何體的表面積體的表面積 當(dāng)以當(dāng)以4 4的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其所得到的幾何的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其所得到的幾何體的表面積體的表面積 首首頁(yè)頁(yè)知能遷移知能遷移3 3(1)(1)(2013(201

13、3綏化綏化) )直角三角形兩直角邊長(zhǎng)是直角三角形兩直角邊長(zhǎng)是 3cm3cm和和4cm4cm，以該三角形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所，以該三角形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所 得到的幾何體的表面積是得到的幾何體的表面積是_cm_cm2 2. . ( (結(jié)果保留結(jié)果保留)當(dāng)以當(dāng)以5 5的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其所得到的幾何的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其所得到的幾何體為共一個(gè)底面的兩圓錐，其底面圓的面積半徑體為共一個(gè)底面的兩圓錐，其底面圓的面積半徑 ，所以此幾何體的表面積所以此幾何體的表面積 首首頁(yè)頁(yè)(2)(2)(2013(2013佛山佛山) )如圖，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，如圖，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖

14、是一個(gè)半圓， 求母線求母線ABAB與高與高AOAO的夾角的夾角( (參考公式：圓錐的側(cè)面積參考公式：圓錐的側(cè)面積 S Srlrl，其中，其中r r為底面半徑，為底面半徑，l l為母線長(zhǎng)為母線長(zhǎng)) ) 分析分析設(shè)出圓錐的半徑與母線長(zhǎng)，利用設(shè)出圓錐的半徑與母線長(zhǎng)，利用 圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的弧圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的弧 長(zhǎng)得到圓錐的半徑與母線長(zhǎng)，進(jìn)而表長(zhǎng)得到圓錐的半徑與母線長(zhǎng)，進(jìn)而表 示出母線與高的夾角的正弦值，也就示出母線與高的夾角的正弦值，也就 求出了夾角的度數(shù)求出了夾角的度數(shù)首首頁(yè)頁(yè)(2)(2)(2013(2013佛山佛山) )如圖，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，如圖，圓錐的側(cè)面

15、展開(kāi)圖是一個(gè)半圓， 求母線求母線ABAB與高與高AOAO的夾角的夾角( (參考公式：圓錐的側(cè)面積參考公式：圓錐的側(cè)面積 S Srlrl，其中，其中r r為底面半徑，為底面半徑，l l為母線長(zhǎng)為母線長(zhǎng)) ) 解解設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為，底面半徑為r r， 則則l22r r，l2 2r r，母線母線ABAB與高與高AOAO的夾角為的夾角為3030. .首首頁(yè)頁(yè)答題規(guī)范答題規(guī)范12.圓錐中容易混淆的概念考題再現(xiàn)考題再現(xiàn)扇形的半徑為扇形的半徑為30cm30cm，圓心角為，圓心角為120120，用它做，用它做 成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求圓錐的側(cè)面積是多少？成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求圓錐的側(cè)面積是多少？學(xué)生作答學(xué)生作答 解：設(shè)圓錐的底面半徑為解：設(shè)