數(shù)值分析(17)復(fù)化求積法

1、數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析第第 二二 節(jié)節(jié) 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式的基本思想：復(fù)化求積公式的基本思想： 將區(qū)間將區(qū)間a , b 分為若干個小子區(qū)間，在每個小分為若干個小子區(qū)間，在每個小子區(qū)間上使用低階的子區(qū)間上使用低階的Newton-CotesNewton-Cotes公式。然后把公式。然后把它們加起來，作為整個區(qū)間上的求積公式。它們加起來，作為整個區(qū)間上的求積公式。 一、一、復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 1、復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式 1, (0,1, ),0,1,1kkka b nbahxakhknnxxkn 將將區(qū)區(qū)間間等等分分, ,在在每每個

2、個小小區(qū)區(qū)間間, ,（）上上用用梯梯形形公公式式: :1( ()()0,1,12kkkhTf xf xkn 1101( ( )( )()2nnnkkkkhTTf af bhf x 復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式為為數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析截斷誤差分析：截斷誤差分析： 311,(),12kkkkkkkhxxRfxx 在在區(qū)區(qū)間間上上， 101()( ),nkkbahffa bnn 利利用用和和22()( )()12nbaR Th fO h 得得到到復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式的的截截斷斷誤誤差差是是：31100()()12nnnkkkkhRRf 整整體體誤誤差差為為數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析

3、2 2、復(fù)化、復(fù)化SimpsonSimpson公式公式 1112,( () 4 ()()6kkkkkkxxSimpsonhSf xf xf x 在在每每個個小小區(qū)區(qū)間間上上用用公公式式11110012110221( ( )( )()()63312()33nnnnkkkkkknnnnkkhSSf af bhf xhf xTHHhf x , ,其其中中復(fù)化復(fù)化SimpsonSimpson公式的截斷誤差為公式的截斷誤差為 4(4)4()()( )(),2880nb aR Sh fO ha b 復(fù)化復(fù)化SimpsonSimpson公式公式為為數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析1012xe dx - -4

4、 4當(dāng)當(dāng)用用復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式與與復(fù)復(fù)化化辛辛卜卜生生公公式式計計算算積積分分的的近近似似例例：值值時時，若若要要求求誤誤差差不不超超過過1 10 0 ，問問至至少少各各取取多多少少個個節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)？(4)( ),( )( ),xxf xefxfxe：（1 1解解）由由得得2242()1|()| |( )| |( )|12121110122nbaR Th ffnen 67.3n 解解得得68169nn 用用復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式 至至少少取取，節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)至至少少取取個個。(4)240101max( ),max( )xxfxeMfxeM 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析1012xe dx -

5、-4 4當(dāng)當(dāng)用用復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式與與復(fù)復(fù)化化辛辛卜卜生生公公式式計計算算積積分分的的近近似似例例：值值時時，若若要要求求誤誤差差不不超超過過1 10 0 ，問問至至少少各各取取多多少少個個節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)？4(4)(4)444()1|()| |( )| |( )|28802880111028802nbaR Sh ffnen 2.1n 解解得得317nn 用用復(fù)復(fù)化化辛辛卜卜生生公公式式 至至少少取取 ，節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)至至少少取取2 2個個。(4)( ),( )( ),xxf xefxfxe：（2 2解解）由由得得(4)240101max( ),max( )xxfxeMfxeM 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分

6、析數(shù)值分析二、變步長復(fù)化求積公式二、變步長復(fù)化求積公式變步長復(fù)化求積公式的基本思想：變步長復(fù)化求積公式的基本思想： 將區(qū)間將區(qū)間 a , b 逐次分半，建立遞推公式，按遞逐次分半，建立遞推公式，按遞推公式計算，直到滿足精度要求。推公式計算，直到滿足精度要求。1.1.變步長復(fù)化梯形公式變步長復(fù)化梯形公式11,( )( ( )( )2hnhbaTT hf af b，222, , 1,22na bTbahh 將將分分半半，用用復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式得得，44214,24banThh 再再將將區(qū)區(qū)間間分分半半得得 ，22,nnnTTT 直直到到為為止止 將將作作為為積積分分的的近近似似值值。數(shù)值分析

7、數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析下面推導(dǎo)由下面推導(dǎo)由n n到到2n2n的復(fù)化梯形公式的復(fù)化梯形公式,nbaa b nhn 給給出出誤誤差差限限 ，將將 , , 等等分分，步步長長用用復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式：11111101,( ()()2 , ()( ( )( )()2nkkkkknnnnnknkkkhxxTf xf xa bhT hTTf af bhf x 在在 上上，在在上上，數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 111222112,2 ,2kkkkkkknnnnxxxxxxxhnn hh 將將原原 等等分分區(qū)區(qū)間間，再再次次分分半半，每每個個小小區(qū)區(qū)間間上上取取中中點(diǎn)點(diǎn)分分成成兩兩個個區(qū)區(qū)間間和和

8、，于于是是，。11221212122211112200,( ()()( ()()221()22, 11()()22222kknnkkkkknkknnnnnnknnkkkxxhhTf xf xf xf xhTf xa bhhHTTTTf xT 在在 上上，在在 上上, ,1102()nnnkkHhf x 記記數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析2122nnnHTT 111102( ( )( )()2()nnnnkknnnkkhTf af bhf xHhf x 其其中中變步長復(fù)化梯形公式的遞推公式變步長復(fù)化梯形公式的遞推公式： （由由n n到到2n2n）1120 ( )( )21(21),1,2,22

9、2nnnjbaTf af bbabaTTf ajnnn 實(shí)際計算中的遞推公式為實(shí)際計算中的遞推公式為22|nnnTTT 直直到到為為止止，作作為為積積分分的的近近似似值值。數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析2|nnTT 用用事事后后誤誤差差分分析析法法說說明明，為為什什么么可可以以作作為為迭迭代代終終例例：止止條條件件？21222()()12()( )()122nnbaITh fbahITf 解解：12( ) , ,()()fxa bff 假假定定在在上上變變化化不不大大 即即有有，于于是是得得24nnITIT 222211()()33nnnnnnITTTITTT或或2213nnnTTIT 當(dāng)當(dāng)

10、時時，。數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析變步長復(fù)化變步長復(fù)化梯形梯形求積公式的算法求積公式的算法 11111.,( )( )22.0,23.( ),3.15.*26.,7.,2bahba Tf af bhHxaHHf xxxhxbTThHTTITIhhTT 4 4. .若若，則則轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)若若則則，輸輸出出 , ,停停機(jī)機(jī)。轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2 2. .1210 ( )( )211222(21)221,2,nnnnnjbaTf af bHTTTbabaf ajnnn 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析2.2.變步長復(fù)化變步長復(fù)化SimpsonSimpson公式公式2221233112212124333nnnnnnn

11、nnnnnSTHTTHSTTTTT 已已知知又又有有兩兩式式聯(lián)聯(lián)立立解解得得：（） （）42242128421)4(312121hhTTSSSSHTTTTTTnnnnnn 實(shí)實(shí)際際計計算算過過程程如如下下：數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 42242128421)4(312121hhTTSSSSHTTTTTTnnnnnn實(shí)實(shí)際際計計算算過過程程如如下下：83231622221144144hCCRRhSSCCCnnnnnn 同理可得變步長復(fù)化柯特斯公式同理可得變步長復(fù)化柯特斯公式數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析第第 三三 節(jié)節(jié) 外推算法外推算法 一、理查遜一、理查遜(Richardson)外推法

12、外推法 理查遜理查遜(Richardson)外推法是數(shù)值方法中常外推法是數(shù)值方法中常用的一種加速收斂技術(shù)。用的一種加速收斂技術(shù)。0)()()()(1121111121 ppphOhChChChhhhkkppkppk其其中中展展開開式式：之之間間的的截截斷斷誤誤差差有有漸漸近近和和，若若去去逼逼近近量量的的算算法法設(shè)設(shè)用用步步長長為為數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 kpkppprhCrhCrhCrhrrrhh)()()()(, 01211211則則滿滿足足代代替替，用用中中的的將將展展開開式式 kkpppkpppppphrrChrrChrrhrr)()()()(11212111211）（減減得

13、得到到：乘乘原原式式兩兩端端再再與與此此式式相相用用)()(121211ppkpphOhChChChk )(111)()(211211211211pppppkpppppphOhrrrChrrrCrhrrhkk 整理后得到：整理后得到：數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析）（得得到到的的新新公公式式，記記為為做做了了一一次次外外推推，和和這這個個過過程程我我們們稱稱為為用用hrhh211)()( 111)()()(112pprhrrhh )(111)()(211211211211pppppkpppppphOhrrrChrrrCrhrrhkk )()(232322ppkpphOhChChChk 顯顯然

14、然有有，。的的截截斷斷誤誤差差階階為為逼逼近近則則類類似似地地，若若定定義義1)(1)()()(11 mmmpmpmpmmhhrhrrhh數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析，則則記記推推的的次次數(shù)數(shù)加加用用第第一一個個下下標(biāo)標(biāo)表表示示作作外外次次分分半半，作作了了的的步步長長表表示示對對原原公公式式1)()(11khhhrk 111)()()(01110211010,21, 1111101ppkkrrkhhrhrhhh ，作作了了一一次次外外推推。和和表表示示用用次次分分半半，沒沒有有外外推推；進(jìn)進(jìn)行行了了表表示示對對外外推推；進(jìn)進(jìn)行行了了一一次次分分半半，沒沒有有表表示示對對公公式式；始始分分

15、半半，也也沒沒有有外外推推的的原原表表示示沒沒有有對對分半分半表示對原步長表示對原步長一般取一般取hrhr)( ,21 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析,1,1,1,10,1, ;1,2, ;iii ki kpi ki kikprrknikikn 一一般般地地，用用和和做做外外推推，有有11,()mpmkmO h 若若進(jìn)進(jìn)行行了了次次外外推推，則則有有：數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析1,01,12,01,22,13,01,2,13,21,0nnnn 理理查查遜遜外外推推算算法法流流程程數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析二、龍貝格二、龍貝格(Romberg)(Romberg)方法方法 龍貝格龍貝

16、格(Romberg)(Romberg)算法是將理查遜算法是將理查遜(Richardson)(Richardson)外推法應(yīng)外推法應(yīng)用于數(shù)值積分，由低精度求積公式推出高精度求積公式的算法。用于數(shù)值積分，由低精度求積公式推出高精度求積公式的算法。)()(222224422kkknbahOhChChCTdxxf 差有展開式差有展開式復(fù)化梯形公式的截斷誤復(fù)化梯形公式的截斷誤)2()2()2()1()()()()(24422)1(14422)0(1)0(1)(1 abCabCTabCabCTbfafabTTk形形公公式式，顯顯然然有有表表示示沒沒有有外外推推的的復(fù)復(fù)化化梯梯用用數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)

17、值分析 34)()(343)1(4)2()0(1)1(1)0(26)2(64)2(4)0(1)1(1TTTabCabCTT 記記得得(0)(2)4(2)6246(1)(2)4(2)6246()().1()().222ITCbaCbababaITCC （ ）（ ）444(1)(0)(3)6(3)822684(2) 2(1)22()().2TTICbaCba （ - -1 1）得得（ - -1 1）數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析4(1)(0)(0)223422TTT 記記（- -1 1）2(1)(0)(1)(0)(0)12242141mmmmmmmmmTTTTT 一一般般地地(1)( )( )1

18、1,2,4410,1,.,mkkkmmmmmnTTTkn m 一一般般地地1kmTkm 其中：表示逐次分半的次數(shù)其中：表示逐次分半的次數(shù)：表示外推的次數(shù)：表示外推的次數(shù)數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析( )221(0)1(1)1( )1(),222kmmkmmkmkb aTO hhTh b ab aThb aTh I I- -其其中中( )21( )42( )221kkkmmThThTh (1)( )( )11,2,4410,1,.,mkkkmmmmmnTTTkn m 一一般般地地1kmTkm 其中：表示逐次分半的次數(shù)其中：表示逐次分半的次數(shù)：表示外推的次數(shù)：表示外推的次數(shù)數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值

19、分析數(shù)值分析1234(1)()1()1( )( )( )( )4()()22()2411,2,., ;0,1,.,;mkkmmkkkmkmT hhThhThhT hhhhTThTmnknm 步步長長為為 的的復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式步步長長為為 的的復(fù)復(fù)化化辛辛卜卜生生公公式式步步長長為為 的的復(fù)復(fù)化化柯柯特特斯斯公公式式步步長長為為 的的復(fù)復(fù)化化龍龍貝貝格格公公式式144222 nnnSSC)4(312nnnTTS 144323 nnnCCR數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析龍貝格算法的計算公式龍貝格算法的計算公式1012( )(1)1111(1)()()1( )( )21(21)222441

20、1,2,., ;1,2,., ;0,1,.,;tttttimkkkmmmmbaTf af bbabaTTf aiTTTtnmnknm （ ）數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析k k0 01 12 23 34 4誤差誤差( )10,kmT 龍貝格序列計算流程龍貝格序列計算流程( )21,kmT ( )32,kmT ( )54,kmT ( )43,kmT )0(1) 1 ( T)1(1)2( T)2(1)4( T)3(1)7( T)4(1)11(T)0(2)3( T)1(2)5( T)2(2)8( T)3(2)12(T)0(3)6( T)0(4)10(T)0(5)15(T)1(3)9( T)2(3)

21、13(T)1(4)14(T)(2hO)(4hO)(6hO)(8hO)(10hO數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析龍貝格算法的計算過程龍貝格算法的計算過程 01(1)(2)11()(1)(1)1(0)(0)(0)111.,( )( )22.2,3,.,(1)0,2(2)(),(3)(2).1(4)*2(5)1,.,1441(6),(7)llmlmlmlmmmmmmmmbahba Tf af blnhHxaHHf xxxhxbTThHmlTTTTTITI （ ）若若，則則轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)若若則則，輸輸出出 , ,停停機(jī)機(jī)。2hh 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 21ln xdx用用龍龍貝貝格格方方法法計計算算積積分分例例3,1,2nab 解解取取：011( )( )0.34657362Tf af b （ ）02(1)(0)110111()0.3760194222ibaTTf a 2(2)(1)111(1)111(21)22411( (1.25)(1.75)0.383699522ibaTTf aiTff 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析4(3