向量的概念與運算二

1、向量的概念與運算 本周教學內容： 1. 向量的概念； 2. 向量的運算（加法、減法、數(shù)乘）. 學習要求： 1. 理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念; 2. 掌握向量的加法與減法； 3. 掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件； 4. 了解平面向量的基本定理 . 教學重難點： 1. 向量的概念，相等向量的概念，向量的幾何表示； 2. 對向量的加法和減法的定義的理解； 3. 實數(shù)與向量的積的定義、運算律，向量共線的充要條件 知識要點： 一、向量的概念 1. 向量的基本概念： 向量：既有大小、又有方向的量 向量的二要素：大小、方向 . 有些向量與起點有關，如位移、力等，有

2、些向量與起點無關，如速度等 叫做自由向量，數(shù)學中所談及向量如無特別說明，均指自由向量 . 2. 向量的表示：（1）幾何表示法：用有向線段的長度表示向量的大小，箭頭的方向表示向量 的方向；（2）字母表示法：用有向線段的起點和終點，起點在前，終點在后，或者用英文小寫字 沖于十 母，并在字母上加箭頭表示，如 d ：人1 -等. 注意：手寫體均需要加箭頭 .打印字體中向量一般用黑體來表示 . 3. 向量的相關概念： 零向量：模為零的向量叫做零向量，規(guī)定：零向量的方向是任意的 單位向量：模為一個單位長度的向量叫做單位向量 相等向量：大小相等且方向相同的向量叫做相等向量，若與起點無關的向量 模：向量的大小

3、稱為模 ABJ 相等，則記為.-?，規(guī)定: 的模分別記為 零向量和零向量相等，即 - I . 相反向量：大小相等且方向相反的向量叫做相反向量, 的相反向量是零向量，即 -. 平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若 由于數(shù)學中所研究向量與起點無關，于是可以將平行向量平移到同一條直線上，于是平 行向量又叫做共線向量.規(guī)定：零向量和任意向量平行 注：（1）向量不能比較大小，但向量的模可以比較大??； 平行向量的定義中 非零”限制； 相等向量、相反向量、平行向量 （共線向量）的定義都有 規(guī)定” A、B、C、D四點是可以共線的，但 AB II CD成立時，A、B、C、D四點是不可以

4、共線的 、向量的加法與減法 加 法 定 義 ： Tp. = （三角形法 則） 注：需要明確一個向量的起點是另一個向量的終點 減法定義：- a+（-b） 說明：1.加法、減法的結果依然是一個向量； 2.若乳祈共踐，則a+bfa-Hfi方向與焉彌同問也+E剛+|E 若- - 兒匚一 - - 口 .! - A的相反向量記為-!.規(guī)定：零向量 平行，則記為 （4）向量中的平行與平面幾何中的平行含義不完全相同，尤其要注意到不同: AB/CD 時, 若乳皈觥若申悅則a + fea同向，且|a+bHa|-|b|; 若同碩 則枝+狷洞咼fi|a+b|=|b|-|a| 3. 運算律 + + 芾 加法交換律：-：

5、（由此可得岀平行四邊形法則 ） 結合律： 注：平行四邊形法則作圖求和時，兩個向量的起點應該相同； P 片 申 常用結論 _ 一 特征是首尾相連. 4 十 減法：- - 三、實數(shù)與向量的乘積（數(shù)乘） 1. 定義I :從模、方向兩個方面理解。 模： （2）方向：當 九丸吋.需與菊向；當九4時;與贏向；當日吋，需 需要明 確的記?。簩崝?shù)與向量的乘法結果是一個向量。 2. 運算律 九（曲）二A（a + b）二加 + Xb;（丸+y）a = la + |ia. 3. 向量共線的充要條件 若非零決線 O 存在惟一的一個實數(shù)入使得二加若T -I . -； 注：非零條件不可去掉；因為如果. .，則存在無數(shù)個實

6、數(shù)滿足條件；若f I, 則不存在實數(shù)滿足條件；(2)書中的解釋沒有明確說明實數(shù) 】的惟一性。 4. 平面向量基本定理 設是平面內不共線的兩個向量， 那么對于該平面內的任意一個向量 -有且只有一對實 不共線的向量一 一叫做表示這一平面向量的一組基底 說明：， 切匕二奉F - m (2)表示一個平面的基底有無數(shù)組 例題： 例1.判斷真假 單位向量都相等； 向量的模都是正實數(shù)； 共線向量一定在同一條直線上;(3)在給定的基底的前提下，平面的向量與實數(shù)對 與-一廠二|曹 的向量有 24 個, 若止一- _二二匚_F二； 若ABCD是平行四邊形，則 解析：錯，向量相等應該是大小和方向都相等；單位向量只是

7、規(guī)定了大小為 1,方向可以 不同； 錯，向量的模是指向量的大小，零向量的模為 0，不是正實數(shù)； 錯，共線向量是指可以平移到同一條直線上的向量，如平行四邊形 ABCD中， AB = DC 但屁 DC 不在同一條直線上； 對；錯，丄的方向不相同. 例2.如圖是4X3的矩形（每個方格都是單位正方形 ），在起點與終點都在小方格的頂點處的 向量中，試問：與-二二相等的向量有幾個（不含一-!： ） ?與 忑平行且模幷忑 的向量有幾個？與 廊向且模梆 有幾個? 錯，如圖, AB = m 成立，但 AB II CD不成立; 與-一廠二|曹 的向量有 24 個, 解析：與-相等的向量有5個, 與！卜同向且模為

8、拓有2個或 例 3.化簡 FT 1| 解：法一- 上:- 1 訃 1 =(AC-ABH(DB-DC)=BC+CB=6. 法 二 (AC+DB)-(AB+DQ = (AO+OC+DO+OB)-(AO+OB + DO+OC) = 6. 注意：向量的加、減、數(shù)乘運算的最后結果都是向量，因此不可寫作 0. 例4.如圖，已知 ABC三邊中點為 D、E、F,求證： AD + BE+CF = O 證明：因為D、E、F為中點， 所以:一 - I - _ 一 _ 一一丨 - 二(AB+BC + CA)+(BD+CE+AF) 十 I j 1 * 二 O+JBC+CA+AB) = O 發(fā)展：G ABC重心 GA+G

9、B+GC = O. + 斗 例5.如圖，在 AOB中，丄一 :. _ , BE: EA=1 : 2, F是OA中點，線段 0E與 BF交于點G,試用基底表示：(1) it； (2) _;(3)】J . 一. . . 1. 1 . 一. 9- 1 一. 1+ 2 - 解 (!) - - h Hk -I- 2. C 提示： 1L 一 - -1 - - k 1 - - 3. A提示：顯然kO,所以1 k 4. D 提示：A , B , C 共線則匕一1 一 - _ I 一- ： - _ 所以-一 I - -匚，貝0 m=1-k , n=k. 5. 丄 i-r.- : r . -W -. 十- 6.

10、二 二 8. 1提示：2x-y=5 , 4=x-2y，得x=2 , y=-1.向量的概念與運算 本周教學內容： 1. 向量的概念； 相反向量：大小相等且方向相反的向量叫做相反向量, I的相反向量記為 -!.規(guī)定：零向量 2. 向量的運算（加法、減法、數(shù)乘）. 學習要求： 1. 理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念; 2. 掌握向量的加法與減法； 3. 掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件； 4. 了解平面向量的基本定理 . 教學重難點： 1. 向量的概念，相等向量的概念，向量的幾何表示； 2. 對向量的加法和減法的定義的理解； 3. 實數(shù)與向量的積的定義、運算律，向

11、量共線的充要條件 知識要點： 一、向量的概念 1. 向量的基本概念： 向量：既有大小、又有方向的量 向量的二要素：大小、方向 . 有些向量與起點有關，如位移、力等，有些向量與起點無關，如速度等 .與起點無關的向量 叫做自由向量，數(shù)學中所談及向量如無特別說明，均指自由向量 2. 向量的表示：（1）幾何表示法：用有向線段的長度表示向量的大小，箭頭的方向表示向量 的方向；（2）字母表示法：用有向線段的起點和終點，起點在前，終點在后，或者用英文小寫字 母，并在字母上加箭頭表示，如 二卜 等. 注意：手寫體均需要加箭頭 .打印字體中向量一般用黑體來表示 . 3. 向量的相關概念： 模：向量的大小稱為模

12、零向量：模為零的向量叫做零向量，規(guī)定：零向量的方向是任意的 單位向量：模為一個單位長度的向量叫做單位向量 相等向量：大小相等且方向相同的向量叫做相等向量，若 丁 + 零向量和零向量相等，即 一 I. 一、相等，則記為-，規(guī)定: 的模分別記為 的相反向量是零向量，即 -口 0 平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若 J平行，則記為 一:.由于數(shù)學中所研究向量與起點無關，于是可以將平行向量平移到同一條直線上，于是平 行向量又叫做共線向量.規(guī)定：零向量和任意向量平行 注：(1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大??； (2) 平行向量的定義中 非零”限制； (3) 相等向量

13、、相反向量、平行向量 (共線向量)的定義都有 規(guī)定” (4) 向量中的平行與平面幾何中的平行含義不完全相同，尤其要注意到不同： 九三CZ1時, A、B、C、D四點是可以共線的，但 AB II CD成立時，A、B、C、D四點是不可以共線的。 二、向量的加法與減法 加 法 定 義 ： 丁八|-喬訂 三角形法 則) 注：需要明確一個向量的起點是另一個向量的終點 減法定義：- -b-a+(-b) 說明：1.加法、減法的結果依然是一個向量； 2.若直祈共線，則a+bfa-HKl方冋與雪彌同問,|a+b|a|+|b 若- - L ?7 - -I 口. 若:皈向,若訥環(huán)貝iJa + fea同向，且|a+bH

14、a|-|b|; S|aj 記創(chuàng)=(X1, yi) , OB =(x 2, y2) 1 則 OAOB =(x 1+X2, yi+y2) OB-OA=( (X 2-x i, y2-y i) llr 4 他+屈=0B 實數(shù)與向量 的乘積 A討 = Xa 毗R T 記。=(x, y) 則iy) 兩個向量的 數(shù)量積 4 記迄二（知刃3=（勺”） 則 b =xiX2+yiy2 2. 運算律亦 加法： - 一.（交換律）；A - （結合律） 實數(shù)與向量的乘積： f + 峠 + f f ! f f . - - J ； .J.-.1.； d,”r 兩個向量的數(shù)量積： TTTT 彳 TT T TT TTTT :

15、. ；（！-.）: =一. （）=（_. * 即若A（x，y），則丄=（x，y）;當向量起點不在原點時，向量 丄坐標為終點坐標 減去起點坐標，即 若 A(xi，yi)， B(X2，y2)，則人=(x 2-x 1，y2-y 1) （2）兩個向量平行的充要條件 符號語言: allba = 或 xiy2-X2yi=0. （3）兩個向量垂直的充要條件 今 T 符號語言:嚶 1 i dt- i = 0 坐標語言：設非零向量 ll.!，則一 （4）兩個向量數(shù)量積的重要性質: - :11 （垂直的判斷）； 四、規(guī)律方法指導 1. 向量的線性運算 （1） 在正確掌握向量加法減法運算法則的基礎上能結合圖形進行向量的計算，將數(shù)和形 有機結坐標語言為：設非零向量 :則 _./； (xi, yi)= (X2, y2), （求角度）. b -I 即 合，并能 利用向量運算完成簡單的幾何證明； （2） 向量的加法表示兩個向量可以合成，利用它可以解決有關平面幾何中的問題，減法 的三角形法則應 記?。哼B接兩端（兩向量的終點），指向被減（箭頭指向被減數(shù)）記清法則是靈活運用 的前提 2. 共線向量與三點共線問題蠢 向量共線的充要條件實質上是由實數(shù)與向量的積得到的線上或兩直線