三角形中的范圍問題

1、2016-2017學(xué)年度?學(xué)校10月月考卷學(xué)校:_姓名：_班級：_考號：_一、選擇題（題型注釋）1（2016高考新課標(biāo)3理數(shù)）在中，邊上的高等于,則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】試題分析：設(shè)邊上的高線為，則，所以，由余弦定理，知，故選C考點(diǎn)：余弦定理【方法點(diǎn)撥】在平面幾何圖形中求相關(guān)的幾何量時(shí)，需尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，常常將所涉及到已知幾何量與所求幾何集中到某一個(gè)三角形，然后選用正弦定理與余弦定理求解2（2016年高考四川理數(shù)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足 =,=-2，動點(diǎn)P，M滿足 =1，=，則的最大值是（ ）（A） （B） （C） （D）【

2、答案】B【解析】試題分析：甴已知易得以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)由已知，得，又，它表示圓上點(diǎn)與點(diǎn)距離平方的，故選B考點(diǎn)：1向量的數(shù)量積運(yùn)算；2向量的夾角；3解析幾何中與圓有關(guān)的最值問題【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積與向量的模，由于結(jié)論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個(gè)參數(shù)表示出來，解題時(shí)首先對條件進(jìn)行化簡變形，本題中得出，且，因此我們采用解析法，即建立直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)，同時(shí)動點(diǎn)的軌跡是圓，因此可用圓的性質(zhì)得出最值3在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且邊上的高為，則最大值為（ ）A2 B C D4【答案】C【解析】試題分析：由的面積可得，即，代入余弦定理中，得，所以

3、，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故選C考點(diǎn)：三角形的面積公式、余弦定理及三角函數(shù)的性質(zhì)【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了三角形的面積公式、余弦定理及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用，其中由的面積，得，代入余弦定理，得出，即是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔試題，著重考查了學(xué)生的推理與運(yùn)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用4在中，已知，是斜邊上的動點(diǎn)（除端點(diǎn)外），設(shè)到兩直角邊的距離分別為，則的最小值為（ ）A B C D【答案】C【解析】試題分析：由圖知，設(shè)，由，得，整理得，故答案為C考點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用5在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2b=a+c，則角B的取值范圍是（ ）A B C D【答案】D【解析】

4、試題分析：，即，則B的范圍是考點(diǎn)：正余弦定理解三角形，基本不等式【方法點(diǎn)睛】在利用正余弦定理解三角形時(shí)，知道三邊之間的關(guān)系，一般情況下會選擇余弦定理，此題求范圍問題最容易與基本不等式結(jié)合，因?yàn)槭阶又谐霈F(xiàn)平方和即在由三角函數(shù)值的取值范圍求角的取值范圍時(shí)要注意畫圖象解決，并注意在三角形中角的范圍是評卷人得分二、填空題（題型注釋）6（2016高考江蘇卷）在銳角三角形中，若，則的最小值是 【答案】8【解析】，因此，即最小值為8考點(diǎn)：三角恒等變換，切的性質(zhì)應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】消元與降次是高中數(shù)學(xué)主旋律，利用三角形中隱含的邊角關(guān)系作為消元依據(jù)是本題突破口，斜三角形中恒有，這類同于正余弦定理，是一個(gè)關(guān)于切的等量

5、關(guān)系，平時(shí)多總結(jié)積累常見的三角恒等變形，提高轉(zhuǎn)化問題能力，培養(yǎng)消元意識7在中，角所對的邊分別為，且，則的最大值為 .【答案】【解析】試題分析：由正弦定理可得，又 ，故，且，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號.考點(diǎn)：1、正弦定理；2、三角恒等變換；3、基本不等式.【思路點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換即基本不等式.通過題給條件將邊化為角，利用三角形內(nèi)角和將角轉(zhuǎn)換為，進(jìn)而利用和角公式對式子進(jìn)行化簡，從而得出，由，代入，消去，最后用基本不等式求解最大值.8在中，為邊上一點(diǎn)，若是等邊三角形，且，則的面積的最大值為_【答案】【解析】試題分析：設(shè)，由于是等邊三角形，整理得，由基本不等式得，考點(diǎn)：1、余弦定理的應(yīng)用；2

6、、基本不等式的應(yīng)用9在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB上的點(diǎn)，且滿足，設(shè)，則，滿足的相等關(guān)系式是_ ；三角形ABC面積的最小值是_?！敬鸢浮?， 2【解析】試題分析：作，面積最小值為2考點(diǎn)：1平面幾何性質(zhì)；2均值不等式求最值10在平面四邊形ABCD中，A=B=C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 .【答案】（，）【解析】如圖所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時(shí)，AB最長，在BCE中，B=C=75°，E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，當(dāng)D與C重合時(shí)，AB最短，此時(shí)與AB交于F，在BCF中，B=BFC=75

7、6;，F(xiàn)CB=30°，由正弦定理知，即，解得BF=，所以AB的取值范圍為（，）.考點(diǎn)：正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想11在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且邊上的高為，則取得最大值時(shí)，內(nèi)角的值為 【答案】【解析】試題分析：由題意得：，由余弦定理得：所以即，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值考點(diǎn)：余弦定理，三角函數(shù)最值12已知面積和三邊滿足：，則面積的最大值為_【答案】【解析】試題分析：因?yàn)椋?，即，?yīng)用余弦定理得：，化簡并整理得：，又因?yàn)?，所以，解之得，所以面積故應(yīng)填考點(diǎn)：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用評卷人得分三、解答題（題型注釋）13（2016年高考北京理數(shù)）在ABC中，（1）求 的大??；（2）求 的最大值【答

8、案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)余弦定理公式求出的值，進(jìn)而根據(jù)的取值范圍求的大??；（2）由輔助角公式對進(jìn)行化簡變形，進(jìn)而根據(jù)的取值范圍求其最大值試題解析：（1）由余弦定理及題設(shè)得，又，；（2）由（1）知，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值考點(diǎn)：1三角恒等變形；2余弦定理【名師點(diǎn)睛】正、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個(gè)定理，它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來，從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的量（如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積等）提供了理論依據(jù)，也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)其主要方法有：化角法，化邊法，面積法，運(yùn)用初等幾何法注意體會其中蘊(yùn)涵的函數(shù)與方程思想、等價(jià)

9、轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想14（2016高考山東理數(shù)）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（）證明：a+b=2c;（）求cosC的最小值【答案】（）見解析；（）【解析】試題分析：（）根據(jù)兩角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可證明；（）根據(jù)余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值試題解析：（）由題意知，化簡得，即因?yàn)?所以從而由正弦定理得（）由（）知,所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立故 的最小值為考點(diǎn)：1和差倍半的三角函數(shù)；2正弦定理、余弦定理；3基本不等式【名師點(diǎn)睛】此類題目是解三角形問題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡三角恒等式，利用

10、正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，達(dá)到證明目的；三角形中的求角問題，往往要利用余弦定理用邊表示角的函數(shù)本題覆蓋面較廣，能較好的考查考生的基本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等15（2016高考浙江理數(shù)）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c已知b+c=2a cos B（）證明：A=2B；（）若ABC的面積，求角A的大小【答案】（）證明見解析；（）或【解析】試題分析：（）先由正弦定理可得，進(jìn)而由兩角和的正弦公式可得，再判斷的取值范圍，進(jìn)而可證；（）先由三角形的面積公式可得，進(jìn)而由二倍角公式可得，再利用三角形的內(nèi)角和可得角的大小試題解析：（）由正弦定理得，故，于是又，故，所以或，因此（舍去）或，所

11、以，（）由得，故有，因，得又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上，或考點(diǎn)：1、正弦定理；2、兩角和的正弦公式；3、三角形的面積公式；4、二倍角的正弦公式【思路點(diǎn)睛】（）用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，進(jìn)而用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，的式子，根據(jù)角的范圍可證；（）先由三角形的面積公式及二倍角公式可得含有，的式子，再利用三角形的內(nèi)角和可得角的大小16（2016河北石家莊質(zhì)檢二，理17）中，角，的對邊分別為，且（1）求角的大??；（2）若為邊上的中線，求的面積【答案】（1）；（2）【解析】（1），由正弦定理，得，以，又，（2）在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得，由已知得，由，解得，17在中，角的對邊分別是，且.（1

12、）求角的大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由正弦定理可得，化簡得，；（2）化簡得，從而.試題解析：（1）由正弦定理可得，,從而可得，又為三角形的內(nèi)角，所以，于是，又為三角形內(nèi)角，因此，.（2），由可知，所以，從而,因此，故的取值范圍為.考點(diǎn)：解三角形.18在中，角所對的邊為，且滿足（1）求角的值；（2）若且，求的取值范圍 【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）利用二倍角公式和兩角和差的余弦公式進(jìn)行化簡求解；（2）先由三角形的邊角關(guān)系得到，再由正弦定理將所求邊轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值，最后利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解試題解析：（1）由已知 得 ，

13、化簡得 故 （2）因?yàn)椋裕?由正弦定理，得a=2sinA,c=2sinC， 因?yàn)椋裕?所以 考點(diǎn)：1.三角恒等變換；2.正弦定理和余弦定理19如圖，已知平面上直線，分別是上的動點(diǎn)，是之間的一定點(diǎn)，到的距離，到的距離，三內(nèi)角、所對邊分別為，且.（1）判斷的形狀；（2）記，求的最大值.【答案】（1）直角三角形（2）【解析】試題分析：（1）先由正弦定理，將邊化為角：，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)及得，因而判定三角形為直角三角形（2）利用直角三角形表示再利用配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求其最值試題解析：解：（1）由正弦定理得：，結(jié)合，得，又，所以，且，所以，所以是直角三角形（2）

14、，由（1）得，則，所以時(shí)，的最大值為考點(diǎn)：正弦定理，配角公式【方法點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.20如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)，且，將角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)；（1）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）求的面積的最大值；【答案】（1）；（

15、2）【解析】試題分析：（1）由三角函數(shù)的定義知，由已知可求得，從而得；（2）由（1），因此，由兩角和的正弦公式展開后，利用二倍角公式，兩角和與差的正弦公式化表達(dá)式為一個(gè)三角函數(shù)形式：，再正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值（注意）試題解析：（1）由定義得：，依題意可知，因?yàn)椋运渣c(diǎn)的橫坐標(biāo)為（2）因?yàn)?，所以又，所以，所以?dāng)，則時(shí)，取得最大值，所以的最大值為考點(diǎn)：三角函數(shù)的定義，兩角和與差的正弦公式，二倍角公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)21在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，已知函數(shù)滿足：對于任意恒成立（1）求角A的大??；（2）若，求BC邊上的中線AM長的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】試題分析

16、：（1）因?yàn)閷τ谌我夂愠闪?，所以的最大值為，求得的最大值點(diǎn)即得角的值；（2）在和中分別利用余弦定理表示出，結(jié)合得到，所以求中線長的取值范圍就是求的取值范圍，再利用余弦定理和重要不等式即可得解試題解析：（1）由題意，對于任意恒成立， 的最大值為，當(dāng)取得最大值時(shí)，即，又A是三角形的內(nèi)角，即，（2）AM是BC邊上的中線，在ABM中， 在ACM中， 又，得 由余弦定理，即考點(diǎn)：正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)及利用余弦定理解三角形22在中，角，所對的邊分別為，已知（1）求角的大??； （2）若，求的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）利用兩角差的余弦公式將條件中的式子進(jìn)行三角恒等變形，即可求得，

17、從而求得的值；（2）利用余弦定理以及條件中的式子將表示成關(guān)于的函數(shù)，再利用三角形的三邊關(guān)系即可求解試題解析：（1）由已知得，即，；由余弦定理，有，又，即考點(diǎn)：1三角恒等變形；2余弦定理23（本小題滿分12分）在中， 且（1）求角B的大??；（2）若，當(dāng)面積取最大時(shí)，求內(nèi)切圓的半徑【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）由向量平行得出關(guān)于邊角的一個(gè)等量關(guān)系，然后再利用正弦定理將邊化為角，進(jìn)而得到關(guān)于角的方程，即，從而得解（2）由余弦定理得到三邊之間的關(guān)系，再利用重要不等式求出，從而求出面積最大時(shí)成立的條件，即，之后即可求出內(nèi)切圓的半徑試題解析：（1）因?yàn)?，所以，即，?）由（1）得 ，又，中

18、得即，又因?yàn)榈眉此援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)最大值為此時(shí)由，考點(diǎn)：向量共線的充要條件；正弦定理、余弦定理的應(yīng)用；重要不等式24（本小題滿分12分）已知函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；如圖，四邊形OACB中，a，b，c為ABC的內(nèi)角以B， C的對邊，且滿足（）證明：b+c =2a：（）若b=c，設(shè) ，求四邊形OACB面積的最大值【答案】（）見解析；（）【解析】試題分析：第一問根據(jù)題意得出函數(shù)的周期，從而求得的值，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式切化弦，將式子轉(zhuǎn)化，得出角的關(guān)系，根據(jù)正弦定理，得出結(jié)果；第二問結(jié)合題的條件，得出三角形的形狀，根據(jù)面積公式，將其轉(zhuǎn)換為角的關(guān)系式，結(jié)合自變量的取值范圍，確定出相應(yīng)的最

19、值試題解析：（）由題意知：，解得：， （）因?yàn)?，所以，所以為等邊三角?， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取最大值，的最大值為考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式，正弦定理，三角形的面積，三角函數(shù)的最值25（本小題滿分14分）已知，記函數(shù)（1）求函數(shù)取最大值時(shí)的取值集合；（2）設(shè)的角所對的邊分別為，若，求面積的最大值【答案】（1） ；（2） 【解析】試題分析：（1）由，化簡得，由三角函數(shù)的有界性得，取得最大值2，此時(shí)，即，故，所以函數(shù)取最大值時(shí)的取值集合；（2）由，及（1）得，又，解得，由余弦定理得，又，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，由三角形面積公式，得試題解析：（1）由題意，得，當(dāng)取最大值時(shí)，即，此時(shí)，所以的取值集合為（2）因，由（1）

20、得，又，即，所以，解得，在中，由余弦定理，得，所以，所以面積的的最大值為考點(diǎn)：1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；2余弦定理；3三角形的面積公式26（本小題滿分7分）在ABC中，內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的三邊長分別為a,b,c，且滿足c(acosBb)=a2b2（）求角A；（）若a=，求b+c的取值范圍【答案】（）（）【解析】試題分析：（）將已知條件邊角關(guān)系式利用余弦定理轉(zhuǎn)化為三角形三邊表示，整理化簡得，再次結(jié)合三角形余弦定理的變形公式可得，從而求得A角大??；（）由已知A角邊，借助于正弦定理將兩邊轉(zhuǎn)化為用角表示，借助于三角形內(nèi)角和定理，將兩角轉(zhuǎn)化為一個(gè)角，即轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域問題試題解析：（）（）解法1由正弦

21、定理得， b=2sinB，c=2sinC b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin(A+B)=2sinB+2sinAcosB+2cosAsinB=3sinB+cosB= B(0,)，所以b+c（）解法2：，即b+c考點(diǎn)：1正余弦定理解三角形；2三角函數(shù)化簡及性質(zhì)27ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求B；（2）若b=2，求ABC面積的最大值?！敬鸢浮浚?） （2）【解析】試題分析：本題依舊考查三角函數(shù)的問題，根據(jù)邊角對應(yīng)公式，三角形內(nèi)角關(guān)系式，帶入進(jìn)行轉(zhuǎn)換，統(tǒng)一變成與角有關(guān)的關(guān)系式，即可求出結(jié)果；根據(jù)三角形面積公式，題中條件以及余弦定理得出邊a,c的關(guān)系，根據(jù)

22、萬能公式a2+c22ac進(jìn)行對比，得出面積的最大值即可。試題解析：（1） a=bcosC+csinB 由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB 在三角形ABC中，A=（B+C） sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC 由和得sinBsinC=cosBsinC 而C（0，），sinC0，sinB=cosB又B（0，），B=（2）ABC的面積S=acsinB=ac由題意及余弦定理得4=a2+c2-2accos a2+c2=4+ac又a2+c22ac4+ac2acac等號當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)成立S=ac=因此ABC面積的最大值為考點(diǎn)：三角形知識運(yùn)用28（本小題滿分

23、12分）已知為的三個(gè)內(nèi)角，向量與共線，且（）求角的大?。唬ǎ┣蠛瘮?shù)的值域【答案】（1）；（2）。 【解析】試題分析：（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得整理得，又為銳角，。（2）由（1）知，由二倍角余弦公式得。再由求出的范圍，從而可求函數(shù)的值域試題解析：（）由題設(shè)知： 1分得 2分又A為三角形內(nèi)角，所以： 3分由，知為銳角，所以 4分（）由（）及題設(shè)知：， 5分所以 ， 9分又： 10分 11分 因此函數(shù)的值域?yàn)?12分考點(diǎn)：（1）向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，（2）二倍角余弦公式及輔助角公式的應(yīng)用，（3）正弦函數(shù)的性質(zhì)。29（本小題滿分15分）已知在中，分別是角，的對邊，且滿足（）求角的大??；（）若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，求面積的最大值【答案】（）；（）【解析】試題分析：（）先利用二倍角的余弦公式和降冪公式可得的值，再利用角的取值范圍即可得的值；（）先利用余弦定理可得，再利用基本不等式可得，進(jìn)而利用三角形的面積公式可得面積的最大值試題解析：（）由得 3分解得，由，所以 6分（）在中，即 9分，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號 12分此時(shí)，其最大值為 15分考點(diǎn)：1、二倍角的余弦公式；2、降冪公式；3、特殊角的三角函數(shù)值；4、余弦定理；5、基本不等式；6、三角形的面積公式30（本題滿分15分）在中，角、的對邊分別為、