中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題二：新定義型問題

1、專題二 新定義型問題一、中考專題詮釋所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運算、新符號，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識、能力進行理解，根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.“新定義”型問題成為近年來中考數(shù)學(xué)壓軸題的新亮點.在復(fù)習(xí)中應(yīng)重視學(xué)生應(yīng)用新的知識解決問題的能力二、解題策略和解法精講“新定義型專題”關(guān)鍵要把握兩點：一是掌握問題原型的特點及其問題解決的思想方法；二是根據(jù)問題情景的變化，通過認(rèn)真思考，合理進行思想方法的遷移三、中考典例剖析考點一：規(guī)律題型中的新定義例1 （2013湛江）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題：sin30°

2、=，cos30°=，則sin230°+cos230°= 1；sin45°=，cos45°=，則sin245°+cos245°= 1；sin60°=，cos60°=，則sin260°+cos260°= 1觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A+cos2A= 1（1）如圖，在銳角三角形ABC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對A證明你的猜想；（2）已知：A為銳角（cosA0）且sinA=，求cosA思路分析：將特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可求出其值；由前面的結(jié)論，即可猜想出：對任意

3、銳角A，都有sin2A+cos2A=1；（1）如圖，過點B作BDAC于D，則ADB=90°利用銳角三角函數(shù)的定義得出sinA=，cosA=，則sin2A+cos2A=，再根據(jù)勾股定理得到BD2+AD2=AB2，從而證明sin2A+cos2A=1；（2）利用關(guān)系式sin2A+cos2A=1，結(jié)合已知條件cosA0且sinA=，進行求解解：sin30°=，cos30°=，sin230°+cos230°=（）2+（）2=+=1；sin45°=，cos45°=，sin245°+cos245°=（）2+（）2=+=

4、1；sin60°=，cos60°=，sin260°+cos260°=（）2+（）2=+=1觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A+cos2A=1（1）如圖，過點B作BDAC于D，則ADB=90°sinA=，cosA=，sin2A+cos2A=（）2+（）2=，ADB=90°，BD2+AD2=AB2，sin2A+cos2A=1（2）sinA=，sin2A+cos2A=1，A為銳角，cosA=點評：本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，比較簡單對應(yīng)訓(xùn)練1（2013綿陽）我們知道，三角形的三條中線一定會交于一

5、點，這一點就叫做三角形的重心重心有很多美妙的性質(zhì)，如關(guān)于線段比面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問題請你利用重心的概念完成如下問題：（1）若O是ABC的重心（如圖1），連結(jié)AO并延長交BC于D，證明：；（2）若AD是ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足，試判斷O是ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；（3）若O是ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與ABC的頂點重合）（如圖3），S四邊形BCHG，SAGH分別表示四邊形BCHG和AGH的面積，試探究 的最大值2.（1）證明：如答圖1所示，連接CO并延長，交AB于

6、點E點O是ABC的重心，CE是中線，點E是AB的中點DE是中位線，DEAC，且DE=ACDEAC，AOCDOE，=2，AD=AO+OD，=（2）答：點O是ABC的重心證明：如答圖2，作ABC的中線CE，與AD交于點Q，則點Q為ABC的重心由（1）可知，=，而=，點Q與點O重合（是同一個點），點O是ABC的重心（3）解：如答圖3所示，連接DG設(shè)SGOD=S，由（1）知=，即OA=2OD，SAOG=2S，SAGD=SGOD+SAGO=3S為簡便起見，不妨設(shè)AG=1，BG=x，則SBGD=3xSSABD=SAGD+SBGD=3S+3xS=（3x+3）S，SABC=2SABD=（6x+6）S設(shè)OH=k

7、OG，由SAGO=2S，得SAOH=2kS，SAGH=SAGO+SAOH=（2k+2）SS四邊形BCHG=SABC-SAGH=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S=  如答圖3，過點O作OFBC交AC于點F，過點G作GEBC交AC于點E，則OFGEOFBC，OF=CD=BC；GEBC，GE=；=，=OFGE，k=，代入式得：=-x2+x+1=-（x-）2+，當(dāng)x=時，有最大值，最大值為考點二：運算題型中的新定義例2 （2013河北）定義新運算：對于任意實數(shù)a，b，都有ab=a（a-b）+1，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運算，比如：25=2×（2-5）+1

8、=2×（-3）+1=-6+1=-5。（1）求（-2）3的值；（2）若3x的值小于13，求x的取值范圍，并在圖所示的數(shù)軸上表示出來思路分析：（1）按照定義新運算ab=a（a-b）+1，求解即可；（2）先按照定義新運算ab=a（a-b）+1，得出3x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范圍，即可在數(shù)軸上表示解：（1）ab=a（a-b）+1，（-2）3=-2（-2-3）+1=10+1=11；（2）3x13，3（3-x）+113，9-3x+113，-3x3，x-1在數(shù)軸上表示如下：點評：本題考查了有理數(shù)的混合運算及一元一次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題，理解新定義法則是解題的

9、關(guān)鍵對應(yīng)訓(xùn)練2（2013十堰）定義：對于實數(shù)a，符號a表示不大于a的最大整數(shù)例如：5.7=5，5=5，-=-4（1）如果a=-2，那么a的取值范圍是 -2a-1（2）如果=3，求滿足條件的所有正整數(shù)x2解：（1）a=-2，a的取值范圍是-2a-1；（2）根據(jù)題意得：34，解得：5x7，則滿足條件的所有正整數(shù)為5，6考點三：探索題型中的新定義例3 （2013欽州）定義：直線l1與l2相交于點O，對于平面內(nèi)任意一點M，點M到直線l1、l2的距離分別為p、q，則稱有序?qū)崝?shù)對（p，q）是點M的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”是（1，2）的點的個數(shù)是（）A2B3C4D5思路分析： “距離坐標(biāo)”是

10、（1，2）的點表示的含義是該點到直線l1、l2的距離分別為1、2由于到直線l1的距離是1的點在與直線l1平行且與l1的距離是1的兩條平行線a1、a2上，到直線l2的距離是2的點在與直線l2平行且與l2的距離是2的兩條平行線b1、b2上，它們有4個交點，即為所求解：如圖，到直線l1的距離是1的點在與直線l1平行且與l1的距離是1的兩條平行線a1、a2上，到直線l2的距離是2的點在與直線l2平行且與l2的距離是2的兩條平行線b1、b2上，“距離坐標(biāo)”是（1，2）的點是M1、M2、M3、M4，一共4個故選C點評：本題考查了點到直線的距離，兩平行線之間的距離的定義，理解新定義，掌握到一條直線的距離等于

11、定長k的點在與已知直線相距k的兩條平行線上是解題的關(guān)鍵對應(yīng)訓(xùn)練3.（2013臺州）如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”（1）請用直尺和圓規(guī)畫一個“好玩三角形”；（2）如圖在RtABC中，C=90°，tanA= ，求證：ABC是“好玩三角形”；（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a，ABC=2，點P，Q從點A同時出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB-BC和AD-DC向終點C運動，記點P經(jīng)過的路程為s當(dāng)=45°時，若APQ是“好玩三角形”，試求的值；當(dāng)tan的取值在什么范圍內(nèi)，點P，Q在運動過程中，有且只有一個APQ能成為“好玩三角形”請直接

12、寫出tan的取值范圍（4）（本小題為選做題，作對另加2分，但全卷滿分不超過150分）依據(jù)（3）的條件，提出一個關(guān)于“在點P，Q的運動過程中，tan的取值范圍與APQ是好玩三角形的個數(shù)關(guān)系”的真命題（“好玩三角形”的個數(shù)限定不能為1）3解：（1）如圖1，作一條線段AB，作線段AB的中點O，作線段OC，使OC=AB，連接AC、BC，ABC是所求作的三角形（2）如圖2，取AC的中點D，連接BDC=90°，tanA=，=，設(shè)BC=x，則AC=2x，D是AC的中點，CD=AC=xBD=2x，AC=BDABC是“好玩三角形”；（3）如圖3，當(dāng)=45°，點P在AB上時，ABC=2=90&

13、#176;，APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，當(dāng)P在BC上時，連接AC交PQ于點E，延長AB交QP的延長線于點F，PC=CQ，CAB=ACP，AEF=CEP，AEFCEP，PE=CE，當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等時，即AE=PQ時，=2，=，當(dāng)腰AP與它的中線QM相等，即AP=QM時，作QNAP于N，如圖4MN=AN=MPQN=MN，tanAPQ=，tanAPE=，=+。由可知，當(dāng)AE=PQ和AP=QM時，有且只有一個APQ能成為“好玩三角形”，tan2時，有且只有一個APQ能成為“好玩三角形”（4）由（3）可以知道0tan，則在P、Q的運動過程中，使得APQ成為“好玩三角形”的

14、個數(shù)為2考點四：開放題型中的新定義例4 （2013寧波）若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形如菱形就是和諧四邊形（1）如圖1，在梯形ABCD中，ADBC，BAD=120°，C=75°，BD平分ABC求證：BD是梯形ABCD的和諧線；（2）如圖2，在12×16的網(wǎng)格圖上（每個小正方形的邊長為1）有一個扇形BAC，點ABC均在格點上，請在答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找一個點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應(yīng)的和諧四邊形；（3）四邊形ABCD中，AB=AD=

15、BC，BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求BCD的度數(shù)思路分析：（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明ABD和BDC是等腰三角形就可以；（2）根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點到頂點的距離相等，只要D在上任意一點構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在BAC外作一個以AC為腰的等腰三角形ACD，構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形，（3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出BCD的度數(shù)解：（1）ADBC，ABC+BAD=180°

16、，ADB=DBCBAD=120°，ABC=60°BD平分ABC，ABD=DBC=30°，ABD=ADB，ADB是等腰三角形在BCD中，C=75°，DBC=30°，BDC=C=75°，BCD為等腰三角形，BD是梯形ABCD的和諧線；（2）由題意作圖為：圖2，圖3（3）AC是四邊形ABCD的和諧線，ACD是等腰三角形AB=AD=BC，如圖4，當(dāng)AD=AC時，AB=AC=BC，ACD=ADCABC是正三角形，BAC=BCA=60°BAD=90°，CAD=30°，ACD=ADC=75°，BCD=60&#

17、176;+75°=135°如圖5，當(dāng)AD=CD時，AB=AD=BC=CDBAD=90°，四邊形ABCD是正方形，BCD=90°如圖6，當(dāng)AC=CD時，過點C作CEAD于E，過點B作BFCE于F，AC=CDCEAD，AE=AD，ACE=DCEBAD=AEF=BFE=90°，四邊形ABFE是矩形BF=AEAB=AD=BC， BF=BC，BCF=30°AB=BC，ACB=BACABCE，BAC=ACE，ACB=ACE=BCF=15°，BCD=15°×3=45°點評：本題是一道四邊形的綜合試題，考查了和

18、諧四邊形的性質(zhì)的運用，和諧四邊形的判定，等邊三角形的性質(zhì)的運用，正方形的性質(zhì)的運用，30°的直角三角形的性質(zhì)的運用解答如圖6這種情況容易忽略，解答時合理運用分類討論思想是關(guān)鍵對應(yīng)訓(xùn)練4（2013常州）用水平線和豎起線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形設(shè)格點多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點個數(shù)和為a，內(nèi)部的格點個數(shù)為b，則S=a+b-1（史稱“皮克公式”）小明認(rèn)真研究了“皮克公式”，并受此啟發(fā)對正三角開形網(wǎng)格中的類似問題進行探究：正三角形網(wǎng)格中每個小正三角形面積為1，小正三角形的頂點為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格

19、點多邊形，下圖是該正三角形格點中的兩個多邊形：根據(jù)圖中提供的信息填表：  格點多邊形各邊上的格點的個數(shù)格點邊多邊形內(nèi)部的格點個數(shù)格點多邊形的面積多邊形181 多邊形273 一般格點多邊形abS則S與a、b之間的關(guān)系為S= a+2（b-1）（用含a、b的代數(shù)式表示）4解：填表如下： 格點多邊形各邊上的格點的個數(shù)格點邊多邊形內(nèi)部的格點個數(shù)格點多邊形的面積多邊形1818多邊形27311一般格點多邊形abS則S與a、b之間的關(guān)系為S=a+2（b-1）（用含a、b的代數(shù)式表示）考點五：閱讀材料題型中的新定義例5 （2013舟山）對于點A（x1，y1），B（x2，y2），定義

20、一種運算：AB=（x1+x2）+（y1+y2）例如，A（-5，4），B（2，-3），AB=（-5+2）+（4-3）=-2若互不重合的四點C，D，E，F(xiàn)，滿足CD=DE=EF=FD，則C，D，E，F(xiàn)四點（）A在同一條直線上B在同一條拋物線上C在同一反比例函數(shù)圖象上D是同一個正方形的四個頂點思路分析：如果設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6），先根據(jù)新定義運算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），則x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4

21、=x5+y5=x6+y6=k，則C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6）都在直線y=-x+k上解：對于點A（x1，y1），B（x2，y2），AB=（x1+x2）+（y1+y2），如果設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6），那么CD=（x3+x4）+（y3+y4），DE=（x4+x5）+（y4+y5），EF=（x5+x6）+（y5+y6），F(xiàn)D=（x4+x6）+（y4+y6），又CD=DE=EF=FD，（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），x3

22、+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，則C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6）都在直線y=-x+k上，互不重合的四點C，D，E，F(xiàn)在同一條直線上故選A點評：本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，以及學(xué)生的閱讀理解能力，有一定難度對應(yīng)訓(xùn)練5（2013天門）一張矩形紙片，剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形如圖1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，則稱矩形ABCD為2

23、階奇異矩形（1）判斷與操作：如圖2，矩形ABCD長為5，寬為2，它是奇異矩形嗎？如果是，請寫出它是幾階奇異矩形，并在圖中畫出裁剪線；如果不是，請說明理由（2）探究與計算：已知矩形ABCD的一邊長為20，另一邊長為a（a20），且它是3階奇異矩形，請畫出矩形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖的下方寫出a的值（3）歸納與拓展：已知矩形ABCD兩鄰邊的長分別為b，c（bc），且它是4階奇異矩形，求b：c（直接寫出結(jié)果）7解：（1）矩形ABCD是3階奇異矩形，裁剪線的示意圖如下：（2）裁剪線的示意圖如下：（3）b：c的值為，規(guī)律如下：第4次操作前短邊與長邊之比為：；第3次操作前短邊與長邊之比為：；第2次

24、操作前短邊與長邊之比為：；第1次操作前短邊與長邊之比為：四、中考真題演練一、選擇題1（2013成都）在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)的圖象經(jīng)過原點的是（）Ay=-x+3 By= Cy=2x Dy=-2x2+x-71C2（2013紹興）若圓錐的軸截圖為等邊三角形，則稱此圓錐為正圓錐，則正圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是（）A90°B120°C150°D180°2D3（2013濰坊）對于實數(shù)x，我們規(guī)定x表示不大于x的最大整數(shù)，例如1.2=1，3=3，-2.5=-3，若=5，則x的取值可以是（）A40B45C51D563C4（2013烏魯木齊）對平面上任意一點（a，b

25、），定義f，g兩種變換：f（a，b）=（a，-b）如f（1，2）=（1，-2）；g（a，b）=（b，a）如g（1，2）=（2，1）據(jù)此得g（f（5，-9）=（）A（5，-9）B（-9，-5）C（5，9）D（9，5）4D5（2013常德）連接一個幾何圖形上任意兩點間的線段中，最長的線段稱為這個幾何圖形的直徑，根據(jù)此定義，圖（扇形、菱形、直角梯形、紅十字圖標(biāo)）中“直徑”最小的是（）ABCD5C二、填空題6（2013上海）當(dāng)三角形中一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中稱為“特征角”如果一個“特征三角形”的“特征角”為100°，那么這個“特征三角形”的最小內(nèi)角的

26、度數(shù)為 30°630°7（2013宜賓）如圖，ABC是正三角形，曲線CDEF叫做正三角形的漸開線，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲線CDEF的長是 4748（2013淄博）在ABC中，P是AB上的動點（P異于A，B），過點P的一條直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的ABC的相似線如圖，A=36°，AB=AC，當(dāng)點P在AC的垂直平分線上時，過點P的ABC的相似線最多有 3條839（2013樂山）對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為（x）即當(dāng)n為非負整數(shù)時，若n-xn+，則（x）=n如（0.46

27、）=0，（3.67）=4給出下列關(guān)于（x）的結(jié)論：（1.493）=1；（2x）=2（x）；若（x-1）=4，則實數(shù)x的取值范圍是9x11；當(dāng)x0，m為非負整數(shù)時，有（m+2013x）=m+（2013x）；（x+y）=（x）+（y）；其中，正確的結(jié)論有 （填寫所有正確的序號）9三、解答題10（2013莆田）定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC2=BCAB，則稱點C為線段AB的黃金分割點如圖2，ABC中，AB=AC=1，A=36°，BD平分ABC交AC于點D（1）求證：點D是線段AC的黃金分割點；（2）求出線段AD的長10解：（1）A=36°，AB=AC，ABC=ACB=

28、72°，BD平分ABC，CBD=ABD=36°，BDC=72°，AD=BD，BC=BD，ABCBDC，即，AD2=ACCD點D是線段AC的黃金分割點（2）點D是線段AC的黃金分割點，AD=AC=11（2013大慶）對于鈍角，定義它的三角函數(shù)值如下：sin=sin（180°-），cos=-cos（180°-）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一個三角形的三個內(nèi)角的比是1：1：4，A，B是這個三角形的兩個頂點，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的兩個不相等的實數(shù)根，求m的值及

29、A和B的大小11解：（1）由題意得，sin120°=sin（180°-120°）=sin60°=，cos120°=-cos（180°-120°）=-cos60°=-，sin150°=sin（180°-150°）=sin30°=；（2）三角形的三個內(nèi)角的比是1：1：4，三個內(nèi)角分別為30°，30°，120°，當(dāng)A=30°，B=120°時，方程的兩根為，-，將代入方程得：4×（）2-m×-1=0，解得：m=0，

30、經(jīng)檢驗-是方程4x2-1=0的根，m=0符合題意；當(dāng)A=120°，B=30°時，兩根為，不符合題意；當(dāng)A=30°，B=30°時，兩根為，將代入方程得：4×（）2-m×-1=0，解得：m=0，經(jīng)檢驗不是方程4x2-1=0的根綜上所述：m=0，A=30°，B=120°12（2013安徽）我們把由不平行于底的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”其中B=C（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三

31、角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）；（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中B=CE為邊BC上一點，若ABDE，AEDC，求證： ；（3）在由不平行于BC的直線AD截PBC所得的四邊形ABCD中，BAD與ADC的平分線交于點E若EB=EC，請問當(dāng)點E在四邊形ABCD內(nèi)部時（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點E不在四邊形ABCD內(nèi)部時，情況又將如何？寫出你的結(jié)論（不必說明理由）12解：（1）如圖1，過點D作DEBC交PB于點E，則四邊形ABCD分割成一個等腰梯形BCDE和一個三角形ADE；（2）ABDE， B=DEC，AEDC，AEB=C，B=C，B=AEB，AB=AE在ABE和DEC中，ABEDEC，；（3）作EFAB于F，EGAD于G，EHCD于H，BFE=CHE=90°AE平分BAD，DE平分ADC，EF=EG=EH，在RtEFB和RtEHC中，RtEFBRtEHC（HL），3=4BE=CE，1=21+3=2+4即ABC=DCB，ABCD為AD截某三角形所得，且AD不平行BC，