電磁場(chǎng)與電磁波(第一章)

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析本章內(nèi)容本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度1.6 無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 電磁場(chǎng)和其它場(chǎng)一樣要用具有確定物理意義的量（電磁場(chǎng)和其它場(chǎng)一樣要用具有確定物理意義的量（標(biāo)量或矢量標(biāo)量或矢量）來）來表征，這些量在一定的表征，這些量在一定的區(qū)域區(qū)域內(nèi)按一定的分布規(guī)律，并且在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，內(nèi)按一定的分布規(guī)律，并且在這個(gè)

2、區(qū)域內(nèi)，除去有限個(gè)點(diǎn)或某些表面這種除去有限個(gè)點(diǎn)或某些表面這種分布規(guī)律分布規(guī)律是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。 如果某場(chǎng)量在某時(shí)刻在空間任意一點(diǎn)如果某場(chǎng)量在某時(shí)刻在空間任意一點(diǎn)僅僅由其由其大小大小（標(biāo)量）就能完全（標(biāo)量）就能完全確定，則這些標(biāo)量函數(shù)表示的場(chǎng)稱為確定，則這些標(biāo)量函數(shù)表示的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)。 如果描述物理量的函數(shù)與如果描述物理量的函數(shù)與時(shí)間無關(guān)時(shí)間無關(guān)，則該函數(shù)代表，則該函數(shù)代表“靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)”；反；反之，若該函數(shù)除與之，若該函數(shù)除與空間空間位置有關(guān)外還是位置有關(guān)外還是時(shí)間時(shí)間的函數(shù)時(shí)，則它表示的場(chǎng)是的函數(shù)時(shí)，則它表示的場(chǎng)是“時(shí)變場(chǎng)時(shí)變場(chǎng)”。 如果場(chǎng)量某時(shí)刻在空間任一點(diǎn)

3、都需要用如果場(chǎng)量某時(shí)刻在空間任一點(diǎn)都需要用矢量函數(shù)矢量函數(shù)才能完全確定，才能完全確定，則為則為矢量場(chǎng)，矢量場(chǎng)，其場(chǎng)量具有其場(chǎng)量具有大小大小和和方向方向。1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)一、標(biāo)量和矢量一、標(biāo)量和矢量1 1、標(biāo)量：、標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。一個(gè)只用大小描述的物理量。2 2、矢量、矢量: :一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示 矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示：矢量的大小或模矢量的大小或模：矢

4、量的單位矢量矢量的單位矢量：常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 注意注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶俊挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶俊?AeAeAAAAAAAeAAeAcosxcoscosxxyzAAAAAAAA，表示 在 方向的投影，是一個(gè)標(biāo)量，矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量表示zAxAAyAzxyOzzyyxxAeAeAeAzyxAzAyAxA coscoscoszyxeeeAA的方向余弦。稱為矢量軸正向間的夾角余弦、與分別表示矢量、AzyxAzyxAeeeezyxA coscoscoscoscoscoscoscoscos3. 矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算 （1）矢量的加

5、減法）矢量的加減法（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）定義：定義：矢量的標(biāo)積符合交換律矢量的標(biāo)積符合交換律ABq矢量矢量 與與 的夾角的夾角AB（2 2）標(biāo)量乘矢量）標(biāo)量乘矢量zzyyxxkAekAekAeAkABABBAq qcosBA0 BABAABBA0 xzzyyxeeeeee1zzyyxxeeeeeeABBAzzyyxxBABABABACABACBA矢量的標(biāo)積符合分配律矢量的標(biāo)積符合分配律在直角坐標(biāo)系中點(diǎn)積的簡(jiǎn)化求解式：在直角坐標(biāo)系中點(diǎn)積的簡(jiǎn)化求解式：（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）qsinABqBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積ABABnABeBAq qsinBA

6、ABBABA0 BAyxzxzyzyxeeeeeeeee000zzyyxxeeeeee寫成行列式形式為寫成行列式形式為不滿足交換律不滿足交換律不滿足結(jié)合律不滿足結(jié)合律滿足分配律滿足分配律CBACBACABACBA在直角坐標(biāo)系中叉積的簡(jiǎn)化求解式：在直角坐標(biāo)系中叉積的簡(jiǎn)化求解式：xyyxzxzzxyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBA（5）矢量的混合運(yùn)算）矢量的混合運(yùn)算標(biāo)量三重積：結(jié)果為一標(biāo)量標(biāo)量三重積：結(jié)果為一標(biāo)量矢量三重積：結(jié)果為一矢量矢量三重積：結(jié)果為一矢量BACACBCBACBABCACBA很重要，證明中常用很重要，證明中常用1 1、

7、直角坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系 x y z O P(x0,y0,z0) x0 y0 z0 A xeyeze,xyzeee單位方向矢量單位方向矢量：矢量函數(shù)矢量函數(shù)：( )xxyyzzA rA eA eA e 其位置矢量其位置矢量：000 xyzrx ey ez e空間任一點(diǎn)空間任一點(diǎn)P P（x x0 0,y,y0 0,z,z0 0):):坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量: :zyx,變量取值范圍：變量取值范圍：yxz1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系x yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd面

8、元矢量面元矢量線元矢量線元矢量體積元體積元zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddzxelleSyzxyydddddyxelleSzyxzzdddddzyxVdddd2 2、圓柱坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系單位方向矢量單位方向矢量：矢量函數(shù)矢量函數(shù)：其位置矢量：其位置矢量：空間任一點(diǎn)空間任一點(diǎn) P(P(0 0, ,0 0,z,z0 0) )變量取值范圍變量取值范圍 20zz, zeee, 0zeerz 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系0（半平面半平面）0（圓柱面圓柱面）0zz （平面平面）),(000zP rAerAerAerAzz 面元矢量面元矢量體積元體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元

9、圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元 dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSzVdddd 線元矢量線元矢量zeeelzdddd 為常數(shù) xyzoz( , , )M x y z yzo柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為z 為常數(shù)如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面為常數(shù) ,P zzyx sincoszzxyyxarctan22 x圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的單位矢量之間的關(guān)系為：zyxzeeeeee1000cossin0sincos zzyxeeeeee 1000cossin0sincosxMoy單位圓單

10、位圓xe eye e寫成矩陣形式zzyxAAAAAA 1000cossin0sincoszyxzAAAAAA1000cossin0sincos 例題例題: :試將圓柱坐標(biāo)系中的矢量試將圓柱坐標(biāo)系中的矢量 變換為直角坐變換為直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式標(biāo)系中的表達(dá)式. .zeeAz解解: :zzyxAAAAAA1000cossin0sincoszxyzcossinz01000cossin0sincoszexeyeAzyx3 3、球面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系單位方向矢量單位方向矢量：矢量函數(shù)矢量函數(shù)： y O z x P(r0,0,0) 0 0 r0 reqee,reeeq( )( )( )( )rrA rA

11、r eA r eA r eqq 位置矢量：位置矢量：0 rrr e變量取值范圍變量取值范圍: :q2000 r球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系0（半平面半平面）0qq（圓錐面圓錐面）0rr （球面球面）),(000qrP q q,r面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量體積元體積元 q qq q q qdrsindddererelrq q q q q qq q q q q q q qq q q qdddddddrsindddddsinddd2rrelleSrelleSrelleSrrrrr q qq qdddsind2rrV 球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元rdrsindr 為常數(shù)q為常

12、數(shù)為常數(shù)如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面sincos ,sinsin ,cos .xryrzrqqq球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為xyo),(zyxMrzyxAxor22222,arctan,arctanrxyzxyzyxqq q Prsinry q qzrz球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的單位矢量之間的關(guān)系為：zyxreeeeee0cossinsinsincoscoscoscossinsincossin q q q q q qq q q q q q q q q qq qq q q q q q q q q qeeeeeerzyx0s

13、incoscossincossinsinsincoscoscossin22一、標(biāo)量場(chǎng)的等值面一、標(biāo)量場(chǎng)的等值面等值面等值面: : 標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。間形成的曲面。等值面方程等值面方程：常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列不同取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。 等值面的特點(diǎn)等值面的特點(diǎn)：意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分

14、布狀態(tài)。標(biāo)量場(chǎng)的等值線標(biāo)量場(chǎng)的等值線( (面面) )Czyxu),( 1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度23例：求標(biāo)量場(chǎng)例：求標(biāo)量場(chǎng) 通過點(diǎn)通過點(diǎn)M（1，2，3）的等值面方程。的等值面方程。)ln(222zyx解：函數(shù)在點(diǎn)解：函數(shù)在點(diǎn) M（1，2，3）處的值為處的值為 14ln)321ln()ln(222222zyx故通過點(diǎn)故通過點(diǎn) M（1，2，3）的等值面方程）的等值面方程14ln)ln(222zyx14222zyx 即二、方向?qū)?shù)二、方向?qū)?shù)研究方向?qū)?shù)是為了研究在給定時(shí)刻標(biāo)量場(chǎng)（標(biāo)量函數(shù)）隨空研究方向?qū)?shù)是為了研究在給定時(shí)刻標(biāo)量場(chǎng)（標(biāo)量函數(shù)）隨空間變化的情況間變化的情況例例 溫度場(chǎng)溫度場(chǎng):

15、 :結(jié)論：標(biāo)量場(chǎng)中的一點(diǎn)，沿不同方向，標(biāo)量值的空間變結(jié)論：標(biāo)量場(chǎng)中的一點(diǎn)，沿不同方向，標(biāo)量值的空間變化率一般不同?；室话悴煌?。lMuMululM00lim0M0lMl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 意義意義：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。 u(M)沿沿 方向增加；方向增加； u(M)沿沿 方向減小；方向減??； u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。 0lul0lul0lul一般情況：一般情況：1 1、方向?qū)?shù)的定義、方向?qū)?shù)的定義等值面在某一點(diǎn)等值面在某一點(diǎn)處沿某一給定方向處沿某一給定方向 的變化率，稱為該的變化率，稱為該標(biāo)量場(chǎng)在該點(diǎn)處沿標(biāo)量場(chǎng)在該點(diǎn)處沿

16、 方向的方向?qū)?shù)。方向的方向?qū)?shù)。lllzzulyyulxxulu對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù)),(zyxfu 設(shè)方向設(shè)方向 l 的方向角為的方向角為 , ,. M0 (x0, y0, z0)lMr lzxy0M Nzyx zzyyxxlelelel特點(diǎn)特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)方向有關(guān)。lM (x0+x, y0+y, z0+z)lzlllylllxllzyx coscoscos coscoscoszuyuxulu2、直角坐標(biāo)系中任意點(diǎn)沿直角坐標(biāo)系中任意點(diǎn)沿 方向的方向?qū)?shù)為：方向的方向?qū)?shù)為：l例例1： 求函數(shù)求函數(shù)處沿在點(diǎn) M zyxu)1 ,0,

17、1(222解解：222zyxxxu 222zyxyyu 222zyxzzu )1 ,0 ,1(M21xu0yu21zu方向的方向?qū)?shù) eeelzyx22的方向余弦為而 l 312211cos222llx 322212cos222lly 322212cos222llz 02132213203121Mlu點(diǎn)沿 方向的方向?qū)?shù)為：l M u 在函數(shù)zyxeeel22函數(shù)沿 方向?yàn)樵龃蟮内厔?shì)，變化率為 。l21三、梯度（三、梯度（ 或或 ）：）： 1 1、梯度的定義：、梯度的定義：0MllM 方向?qū)?shù)描述了函數(shù)在給定點(diǎn)方向?qū)?shù)描述了函數(shù)在給定點(diǎn) 沿某個(gè)方沿某個(gè)方向的變化的問題，但給定某點(diǎn)向的變化的問題

18、，但給定某點(diǎn) 會(huì)有無窮多個(gè)會(huì)有無窮多個(gè)方向，則方向，則方向?qū)?shù)也會(huì)有無窮多個(gè)方向?qū)?shù)也會(huì)有無窮多個(gè)。0M0M 標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)u在點(diǎn)在點(diǎn)M處的梯度是一個(gè)矢量，它的方向沿場(chǎng)量處的梯度是一個(gè)矢量，它的方向沿場(chǎng)量u變化率最大的方向，大小等于其最大變化率，并記作變化率最大的方向，大小等于其最大變化率，并記作grad u問題：?jiǎn)栴}：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？graduumaxluegradulle是場(chǎng)量是場(chǎng)量u u變化率最大的方向上的單位矢量變化率最大的方向上的單位矢量maxu|ul 的最大變化率最大變化率最大變化率nuegradun在右圖中

19、設(shè)在右圖中設(shè)u和和udu是相差很小的等值面，且是相差很小的等值面，且du。點(diǎn)點(diǎn)位于位于u u等值面上，沿兩個(gè)不同的路徑移到點(diǎn)和點(diǎn)。其中等值面上，沿兩個(gè)不同的路徑移到點(diǎn)和點(diǎn)。其中與等值面的法線方向與等值面的法線方向平行。很明顯平行。很明顯所以所以 。若設(shè)方向若設(shè)方向的單位矢量為的單位矢量為，且，且的夾角為的夾角為，則，則有有：uududlqdnMPMPMQ MQ d ud ud nd lqnenelelenlee,lneedndudndudldndndudlduq qcosu 由此可知，標(biāo)量場(chǎng)在某一點(diǎn)的梯度，一定垂直于過該點(diǎn)的等值面，由此可知，標(biāo)量場(chǎng)在某一點(diǎn)的梯度，一定垂直于過該點(diǎn)的等值面，且指

20、向等值面增加的一側(cè)。（即等值面的且指向等值面增加的一側(cè)。（即等值面的法線方向法線方向 上，方向?qū)?shù)有上，方向?qū)?shù)有最大值，用該最大值連同取最大值的方向組成標(biāo)量場(chǎng)的梯度）最大值，用該最大值連同取最大值的方向組成標(biāo)量場(chǎng)的梯度）negrad u標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。u 梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系llnegradueedndulu得到求方向?qū)?shù)的又一個(gè)方法。得到求方向?qū)?shù)的又一個(gè)方法。 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 11sinruuuueeerrrqqq 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系xyzuuuueeexyz 2、梯度的計(jì)

21、算式、梯度的計(jì)算式： xyzuuugrad ueeexyz引入哈密頓算子引入哈密頓算子xyzeeexyz 即可縮寫為即可縮寫為 grad uu 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 梯度：梯度：某給定點(diǎn)的最大變化率，與所選的坐標(biāo)系無關(guān)；但具體某給定點(diǎn)的最大變化率，與所選的坐標(biāo)系無關(guān)；但具體計(jì)算時(shí)，對(duì)不同的坐標(biāo)系有不同的表達(dá)式。計(jì)算時(shí)，對(duì)不同的坐標(biāo)系有不同的表達(dá)式。矢性微分算子矢性微分算子, ,兼有矢量運(yùn)算和微分運(yùn)算的雙重作用兼有矢量運(yùn)算和微分運(yùn)算的雙重作用zueueueuz 1哈密頓算子哈密頓算子xyzeeexyz zAyAxAAeAeAezeyexeAzyxzzyyxxzyxyAxAexAzAezAyAeA

22、AAzyxeeeAxyzzxyyzxzyxzyx哈密頓算子哈密頓算子xyzeeexyz AAABBA00AAACBAABAC哈密頓算子與普通矢量的區(qū)別哈密頓算子與普通矢量的區(qū)別: :性質(zhì)性質(zhì): : uufufvuuvvvuuvvuuvvuvuuccu213 、梯度的性質(zhì)：、梯度的性質(zhì)： 一個(gè)標(biāo)量函數(shù)一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 的梯度是一個(gè)的梯度是一個(gè)矢量函數(shù)矢量函數(shù)。u 函數(shù)函數(shù) 在給定點(diǎn)沿任意在給定點(diǎn)沿任意 方向的方向?qū)?shù)等于該函方向的方向?qū)?shù)等于該函數(shù)的梯度在數(shù)的梯度在 方向上的方向上的投影投影。即：。即：ulllegradulu. 在標(biāo)量場(chǎng)中任一點(diǎn)在標(biāo)量場(chǎng)中任一點(diǎn) 處的梯度垂直于過該點(diǎn)的等值面。處的梯

23、度垂直于過該點(diǎn)的等值面。且指向函數(shù)且指向函數(shù) 增大增大的方向。的方向。uM例2：及在點(diǎn)求標(biāo)量場(chǎng))1 , 1,2(32M yzxyu .?22梯度方向的變化率求該函數(shù)沿上的方向?qū)?shù)在矢量 eeel zyx解：zueyuexuegraduzyx2323)2(yzezxyeyezyxzyxeeegradu331 , 1,2zyxzyxlzyxeeeeeelle eeel 31323232222點(diǎn)沿 方向的方向?qū)?shù)為：l Mu 在函數(shù)31)31()3(32)3(32131323233zyxzyxlMeeeeeeegradulu19991332GGGGGGeeeeegraduGuGzyxG沿梯度方向的方

24、向?qū)?shù)即沿梯度方向的變化率：例3： 已知平面方程)2, 0 , 0(, 6326求在點(diǎn) zyx處該平面的單位法向矢量。解：令標(biāo)量函數(shù)6326zyxu根據(jù)梯度性質(zhì)，等值面的法向矢量應(yīng)和梯度平行法向矢量應(yīng)和梯度平行。即uue u ueunn0cos1zyxzyxeeeezueyuexuu3267) 3(26222u曲面6x+2y-3z=6是標(biāo)量場(chǎng)u的一個(gè)等值面u=0，7326zyxneeee7326zyxneeee因平面上各點(diǎn)的單位法向矢量是一樣的，故（因平面上各點(diǎn)的單位法向矢量是一樣的，故（0 0，0 0，-2-2）點(diǎn)處）點(diǎn)處單位法向矢量為：?jiǎn)挝环ㄏ蚴噶繛椋?326zyxneeee1.4 1.4

25、 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)圖矢量場(chǎng)圖矢量線矢量線1.4 1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度一、矢量場(chǎng)的矢量線（力線）一、矢量場(chǎng)的矢量線（力線）v矢量線的疏密表征矢量場(chǎng)的大小或強(qiáng)弱；矢量線的疏密表征矢量場(chǎng)的大小或強(qiáng)弱；v矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場(chǎng)的方向；矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場(chǎng)的方向；1 1、概念：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng) 的方向。的方向。 如點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中的電力線如點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中的電力線. .矢量線矢量線OM Fdrrrdr意義意義：形象直觀地描述了

26、矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài)。形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài)。2 2 、矢量線的微分方程：、矢量線的微分方程： 在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中, ,設(shè)某一矢量函數(shù)設(shè)某一矢量函數(shù) 為：為：F),(),(),(),(zyxFezyxFezyxFezyxFFzzyyxx 由定義由定義: :矢量線上任一點(diǎn)的切向長(zhǎng)度元矢量線上任一點(diǎn)的切向長(zhǎng)度元 與該點(diǎn)的矢量場(chǎng)與該點(diǎn)的矢量場(chǎng) 平行平行. .Frd0rdFzzyyxxFeFeFeFdzedyedxerd zyx0dxFdyFedxFdzFedyFdzFedzdydxFFFeeerdFyxzzxyzyxzyxzyx 矢徑矢徑 為：為：rzeyexerzyx000

27、dxFdyFdxFdzFdyFdzFyxzxzyzyxFdzFdyFdx求出通解，就可畫求出通解，就可畫出矢量線。出矢量線。xyxzyzFdxFdyFdxFdzFdyFdz例：求矢量場(chǎng)例：求矢量場(chǎng) 的矢量線方程。的矢量線方程。xeyeFyx解：矢量場(chǎng)應(yīng)滿足的微分方程為：解：矢量場(chǎng)應(yīng)滿足的微分方程為：zyxFdzFdyFdx xdyydx2222121 0Cyxydyxdx 兩邊積分即222Cyx是積分常數(shù)C矢量線為圓矢量線為圓rFxy0二、二、 矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量 問題問題：如何如何定量定量描述矢量場(chǎng)的大??？描述矢量場(chǎng)的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 1 1、面元矢量、面元矢量

28、面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量； 在空間曲面在空間曲面 S 取任意面元取任意面元dS，取一個(gè)與，取一個(gè)與面元相垂直的單位矢量面元相垂直的單位矢量 ，則面元矢量可，則面元矢量可表示為：表示為：FSdnedSeSdnne面元矢量面元矢量 取向取向u開開曲面曲面 ：當(dāng)圍繞曲面的邊界有取向后，面元正方向規(guī)定為，與邊界：當(dāng)圍繞曲面的邊界有取向后，面元正方向規(guī)定為，與邊界閉合曲線成右手螺旋關(guān)系；閉合曲線成右手螺旋關(guān)系；u 閉合曲面：閉合曲面的外法線方向?yàn)檎较?。閉合曲面：閉合曲面的外法線方向?yàn)檎较?。nene2 2 、通量：、通量：vsnesq q取垂直水流面取垂直水流面S S，流速，流速，單

29、位時(shí)，單位時(shí)間流過的體積為定值間流過的體積為定值取斜面取斜面SS，與，與S S面夾角面夾角，計(jì)算，計(jì)算流量時(shí)須將流量時(shí)須將S(S(方向?yàn)榉较驗(yàn)?) )投影到投影到S S面面( (方向?yàn)榉较驗(yàn)?) )，兩者夾角為，兩者夾角為，此時(shí)流量為此時(shí)流量為svnenesvsvq qcosq qcosFdSSdF 流過任意曲面上一個(gè)流過任意曲面上一個(gè)面元面元 的通量的通量FSdq q cosFdSSdFdFSd矢量矢量 穿過面元矢量的通量為標(biāo)量穿過面元矢量的通量為標(biāo)量, ,其正、負(fù)與面其正、負(fù)與面元的元的 取向有關(guān)。取向有關(guān)。neq 穿過整個(gè)曲面穿過整個(gè)曲面 S 的通量為穿過各個(gè)面元的通量之和：的通量為穿過

30、各個(gè)面元的通量之和： 若若S為開表面，則穿過曲面為開表面，則穿過曲面 S的通量為：的通量為： SSnSSdSFdSeFSdFdq q cos 若若S為閉合面，則穿出為閉合面，則穿出 S的通量為：的通量為：SnSSdSeFSdFd F500通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出0有凈的矢有凈的矢量線進(jìn)入量線進(jìn)入0進(jìn)入與穿出閉合曲進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從閉合曲面的通量從宏觀上宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。

31、曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。閉合曲面通量的物理意義閉合曲面通量的物理意義正通量源負(fù)通量源或無源負(fù)源正源,穿過閉合面的通量只說明整個(gè)閉合面的源的情況，穿過閉合面的通量只說明整個(gè)閉合面的源的情況，而不能說明閉合面內(nèi)每一點(diǎn)的性質(zhì)，它沒有反映面內(nèi)而不能說明閉合面內(nèi)每一點(diǎn)的性質(zhì)，它沒有反映面內(nèi)源在每點(diǎn)處的分布特性。為了研究一個(gè)點(diǎn)附近的通源在每點(diǎn)處的分布特性。為了研究一個(gè)點(diǎn)附近的通量，我們可以把閉合面縮小，使包含這點(diǎn)在內(nèi)的體積量，我們可以把閉合面縮小，使包含這點(diǎn)在內(nèi)的體積。取如下極限：。取如下極限：0V F三、矢量場(chǎng)的散度三、矢量場(chǎng)的散度VSdFSV0limFdiv 散度記作記作1、散度的定義、散度的定義

32、v 散度的意義：表示場(chǎng)中任意一點(diǎn)散度的意義：表示場(chǎng)中任意一點(diǎn)M處，處，通量對(duì)體積的變化率通量對(duì)體積的變化率，也稱為也稱為 “ “通量源密度通量源密度”。2、散度的物理意義、散度的物理意義 1) 1) 矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量；矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量； 2) 2) 矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)； 通量：是一個(gè)積分量，范圍比較大，無法反映每一點(diǎn)的性質(zhì)。通量：是一個(gè)積分量，范圍比較大，無法反映每一點(diǎn)的性質(zhì)。 散度：是一個(gè)微分值，比較小，能夠反映每一點(diǎn)的性質(zhì)。散度：是一個(gè)微分值，比較小，能夠反映每一點(diǎn)的性質(zhì)。 3) 3) 表征該點(diǎn)單位體積內(nèi)源的強(qiáng)度。表征該點(diǎn)單位體積內(nèi)源的強(qiáng)

33、度。( ( 無源無源）( )0divF r ( ( 正源正源) )( )0divF r 負(fù)負(fù)源源) )( )0divF r 討論：在矢量場(chǎng)中討論：在矢量場(chǎng)中 1 1）若）若 ，則該矢量場(chǎng)稱為有源場(chǎng)，則該矢量場(chǎng)稱為有源場(chǎng)， 為源密度為源密度； 2 2）若）若 處處成立，則該矢量場(chǎng)稱為無源場(chǎng)。處處成立，則該矢量場(chǎng)稱為無源場(chǎng)。( ) 0divF r 0rFdiv 3、散度的計(jì)算、散度的計(jì)算1) 在直角坐標(biāo)系下：在直角坐標(biāo)系下：()yxzFFFdivFrxyz()( )xyzxxyyzzeeexyzF rF eF eF e 哈密頓算符哈密頓算符 zFyFxFFFeFeFezeyexezyxzzyyxx

34、zyxrFdiv2) 在圓柱坐標(biāo)系下：在圓柱坐標(biāo)系下：3) 在球面坐標(biāo)系下：在球面坐標(biāo)系下：11()sinreeerrrqqq zFFFFz 11zeeez 1 q qq qq qq q q qFrFrFrrrFrsin1sinsin112255四、四、 散度定理散度定理體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可以得從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即即散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論散度定理是

35、閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。中有著廣泛的應(yīng)用。VSVFSFdd例：球面例：球面 上任意點(diǎn)的位置矢量為上任意點(diǎn)的位置矢量為 , zeyexeFzyx求求.SSdF解：根據(jù)散度定理解：根據(jù)散度定理SVSdFdVF3zFyFxF F F zyx的散度為而.4343333RRdVdVFSdF VVS 2222Rzyx此處球心在原點(diǎn)，球坐標(biāo)系下求解簡(jiǎn)便此處球心在原點(diǎn)，球坐標(biāo)系下求解簡(jiǎn)便例：已知矢量場(chǎng)例：已知矢量場(chǎng) ，求由內(nèi)向外穿過圓錐面，求由內(nèi)向外穿過圓錐面 與平面與平面 所圍曲面的通量。所圍曲面的通量。zeyexerzyx222zyxHz yxozH解：解：21

36、SSSSdrSdrSdr 1S2S因在圓錐面因在圓錐面 上上 處處有處處有 垂直于垂直于2Sr,Sd02SSdr 1113SSSHHdxdyzdxdySdr 故dxdyedSeSdzz由于矢量由于矢量 的散度反映了的散度反映了 在該點(diǎn)通量源強(qiáng)度，在該點(diǎn)通量源強(qiáng)度，因此定義散度不為零的矢量場(chǎng)為因此定義散度不為零的矢量場(chǎng)為“有源場(chǎng)有源場(chǎng)”或或“有散有散場(chǎng)場(chǎng)”，而在各點(diǎn)處的散度為零的矢量場(chǎng)為，而在各點(diǎn)處的散度為零的矢量場(chǎng)為“無源場(chǎng)無源場(chǎng)”或或“管形場(chǎng)管形場(chǎng)”。即。即FF)(0)(0無源場(chǎng)管形場(chǎng)有源場(chǎng)有散場(chǎng)FF591.5 1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度 一、一、 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源矢量

37、場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源 例如：流速場(chǎng)。例如：流速場(chǎng)。 不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。60q 如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無旋場(chǎng)無旋場(chǎng)，又稱為又稱為保守場(chǎng)保守場(chǎng)。1 1、環(huán)流的概念、環(huán)流的概念 矢量場(chǎng)沿閉合路徑矢量場(chǎng)沿閉合路徑C

38、的環(huán)流定義為該矢的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合路經(jīng)量對(duì)閉合路經(jīng)C 的曲線積分，即的曲線積分，即q 如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋有旋矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。渦源。ClzyxFd),(反映矢量場(chǎng)漩渦源分布情況。反映矢量場(chǎng)漩渦源分布情況。FF線線l d環(huán)量是一個(gè)標(biāo)量；可正、可負(fù)。環(huán)量是一個(gè)標(biāo)量；可正、可負(fù)。61 如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即正比

39、，即上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。 磁感應(yīng)線要么同時(shí)磁感應(yīng)線要么同時(shí)穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線磁感應(yīng)線SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00 例：求矢量例：求矢量 （c c是常數(shù)）沿曲線是常數(shù)）沿曲線 的環(huán)量。的環(huán)量。cexeyeFzyx0)2(222zRyx、RC解：由于在曲線解：由于在曲線 c 上上 z = 0,則則 dz = 0.CCxdyydxldF )(q)cos2(sin20 q qq qRdR q qq q20)sin()cos2(RdR22R qsinRyqcos2 Rxqqqqq202022cos)cos2(sindRR

40、dRqqqq20222cos2)cos(sindRRqq202cos2dRR63二、矢量的旋度二、矢量的旋度 矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。 1 1、環(huán)流面密度、環(huán)流面密度 過點(diǎn)過點(diǎn)M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，它的邊界曲線記為，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向，曲面的法線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng) S0 時(shí)，極限時(shí)，極限neCSlFSd1li

41、m0稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M 處沿方向處沿方向 的的環(huán)流面密度環(huán)流面密度。特點(diǎn)特點(diǎn)：其值與點(diǎn)其值與點(diǎn)M 處的方向處的方向 有關(guān)。有關(guān)。neneSCMFne64v 討論：討論：neFFS 與 的邊界的邊界 C 保持一致，保持一致，CldFmax取最大值取最大值l d FFl dM 與 有一夾角 ，則FneCldFmaxne F Cl dF0v 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，即有旋矢量場(chǎng)時(shí)，即有旋矢量場(chǎng) 與面元與面元 的法向分量的法向分量 垂直時(shí)，環(huán)流密度有最大值，此即被稱為垂直時(shí)，環(huán)流密度有最大值，此即被稱為 的旋度。的旋度。neFFSneF與 不在同一平面上FSl dF652 2、旋度的定義：、旋度的定義：

42、矢量矢量 的環(huán)流密度的最大值的環(huán)流密度的最大值。記作FrotFFrotne方向上的投影在面元矢量是 e Frot FrotnnnCSeFFlFSrotrotd1limn0max0d1limrotCSlFSnFFrotn 是環(huán)流面密度取最大值的面元正法線單位矢量是環(huán)流面密度取最大值的面元正法線單位矢量n66、 是一個(gè)矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)；是一個(gè)矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)；、其大小是矢量、其大小是矢量 在該點(diǎn)處的最大環(huán)流面密度；在該點(diǎn)處的最大環(huán)流面密度；、其方向是當(dāng)面元、其方向是當(dāng)面元的取向使環(huán)流密度最大時(shí)該面元的取向使環(huán)流密度最大時(shí)該面元的方向的方向Sv 討論：討論：FrotFn總之，總之，表示了

43、表示了在該點(diǎn)處旋渦源的密度。若某區(qū)域各點(diǎn)在該點(diǎn)處旋渦源的密度。若某區(qū)域各點(diǎn)處的處的 均等于零，則稱均等于零，則稱 為為“無旋場(chǎng)無旋場(chǎng)”或或“保守場(chǎng)保守場(chǎng)”。FrotFFrotF67 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系3 3、旋度的計(jì)算式旋度的計(jì)算式y(tǒng)FxFexFzFezFyFeFrotxyzzxyyzxzyxzyxFFFzyxeeeFzzFFFzeeeF 1 q q q qq q q qq qq qFrrFFrerererFrrsinsinsin1268例：求矢量場(chǎng)例：求矢量場(chǎng) 在在點(diǎn)點(diǎn) M（1，0，1）處的旋度及沿）處的旋度及沿)()()(xyzezxyeyzxeF

44、zyxzyxeeel362方向的環(huán)流密度。方向的環(huán)流密度。解：矢量場(chǎng)解：矢量場(chǎng) 的旋度的旋度F)()()(xyzzxyyzxzyxeeeFzyx)()()(xyezxeyzezyx在點(diǎn)在點(diǎn) M（1，0，1）處的旋度）處的旋度zyxMeeeF269方向的單位矢量 l)362(3621222zyxleeellezyxeee737672在點(diǎn)在點(diǎn) M（1，0，1）處沿）處沿 方向的環(huán)流密度方向的環(huán)流密度7177327672lMeFl70旋度的有關(guān)公式旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零0CCfCf)(FfFfFf)(GFGF)

45、(GFFGGF)(0)(F0)(u71矢量分析中的兩個(gè)重要恒等式：矢量分析中的兩個(gè)重要恒等式：旋度的散度恒等于零。證明：證明：0)()(FFrotdiv)()()()(yFxFexFzFezFyFezeyexexyzzxyyzxzyx0)()()(yFxFzxFzFyzFyFxxyzxyz 旋度與散度的定義都與坐標(biāo)系無關(guān)。0)(F 72 逆命題也成立，即如果已知一矢量場(chǎng)的散度恒等于零，則逆命題也成立，即如果已知一矢量場(chǎng)的散度恒等于零，則它可以表示成另外一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度。正是根據(jù)這一定理，它可以表示成另外一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度。正是根據(jù)這一定理，我們才由恒定磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度引出矢量磁位的概念。我們才由恒

46、定磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度引出矢量磁位的概念。 由該等式可知，由任何矢量場(chǎng)的旋度所構(gòu)成的新的矢量場(chǎng)由該等式可知，由任何矢量場(chǎng)的旋度所構(gòu)成的新的矢量場(chǎng)都是管形場(chǎng)（無散場(chǎng)），而管形場(chǎng)可以表示成一個(gè)矢量場(chǎng)函都是管形場(chǎng)（無散場(chǎng)），而管形場(chǎng)可以表示成一個(gè)矢量場(chǎng)函數(shù)的旋度。數(shù)的旋度。應(yīng)用：應(yīng)用：FB B 0若73梯度的旋度恒等于零。梯度的旋度恒等于零。證明：證明：0)(ugradurot)()(zueyuexuezeyexezyxzyx0)()()(xuyyuxezuxxuzeyuzzuyezyx 旋度與散度的定義都與坐標(biāo)系無關(guān)。旋度與散度的定義都與坐標(biāo)系無關(guān)。0u 74 逆定理也成立，即如果已知矢量場(chǎng)的旋度等于零

47、，則該矢量場(chǎng)逆定理也成立，即如果已知矢量場(chǎng)的旋度等于零，則該矢量場(chǎng)可以表示成一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度。正是根據(jù)這一定理我們才引出了可以表示成一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度。正是根據(jù)這一定理我們才引出了靜電場(chǎng)的電位函數(shù)。靜電場(chǎng)的電位函數(shù)。 我們已知，旋度為零的矢量場(chǎng)稱為保守場(chǎng)，所以任何標(biāo)量場(chǎng)梯我們已知，旋度為零的矢量場(chǎng)稱為保守場(chǎng)，所以任何標(biāo)量場(chǎng)梯度構(gòu)成的矢量場(chǎng)都是保守場(chǎng)，而保守場(chǎng)可以表示成一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的度構(gòu)成的矢量場(chǎng)都是保守場(chǎng)，而保守場(chǎng)可以表示成一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度。梯度。應(yīng)用：應(yīng)用：0 E 0 E75三、三、 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是閉合曲線積分與定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分曲面的剖分方向相反大小方向相反