奧數(shù)專題定義新運(yùn)算帶答案完美排版

1、定義新運(yùn)算我們學(xué)過的常用運(yùn)算有：+、一、X、寧等女口： 2+ 3 = 52X 3 = 6都是 2和3，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)際是對(duì)應(yīng)法則不同.可見一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法，對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算. 當(dāng)然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)該是對(duì)任意兩個(gè)數(shù)， 通過這個(gè)法則都有一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng) . 只要符合這個(gè)要求，不同的法則就是不同的運(yùn)算.在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的“ + ”，“_”，“x”，J ”運(yùn)算不相同.我們先通過具體的運(yùn)算來了解和熟悉“定義新運(yùn)算” .例1、設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定a b= 3X a- 2X b， 求 32，

2、2A3; 這個(gè)運(yùn)算“”有交換律嗎？ 求(17A6) 2，17A (6A2); 這個(gè)運(yùn)算“”有結(jié)合律嗎？ 如果已知4A b= 2,求b. 分析：解定義新運(yùn)算這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)，本題規(guī)定的運(yùn)算的本質(zhì)是：用運(yùn)算符號(hào)前面的數(shù)的 3倍減去符號(hào)后面的數(shù)的 2倍.解： 32= 3X 3- 2X 2= 9-4= 523 = 3X 2-2X 3 = 6-6 = 0. 由的例子可知“”沒有交換律 要計(jì)算(176) 2,先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：176 = 3X 17-2X6 = 39;再計(jì)算第二步 392= 3 X 39- 2X 2= 113,所以(176) 2= 113對(duì)于17 (62)，同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)

3、的數(shù)，62 = 3X 6-2X 2= 14，其次 17 14 = 3X 17- 2X 14= 23，所以 17 (6 2)= 23. 由的例子可知“ ”也沒有結(jié)合律 . 因?yàn)?44b = 3X4-2X b= 12-2b,那么 12-2b= 2,解出 b = 5.例2、定義運(yùn)算為b = aX b-( a+ b), 求5探7, 了5;求12探(3探4),( 12探3)探4; 這個(gè)運(yùn)算 ”有交換律、結(jié)合律嗎？如果3探(5探x) = 3,求x.解： 57 = 5X 7-( 5+ 7)= 35- 12 = 23, 7 5= 7X 5-( 7+ 5)= 35- 12= 23. 要計(jì)算12探(3探4),先計(jì)

4、算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：3探4= 3X4-( 3+ 4)= 5,再計(jì) 算第二步 伐5= 12X 5-( 12+ 5)= 43,所以12探(3探4)= 43.對(duì)于(12探3)探4,同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)， 伐3= 12X 3-( 12+ 3)= 21,其次 21探4 = 21 X 4-(21 + 4)= 59,所以(12探 3)探 4= 59. 由于b = ax b( a+ b)；匕a= bx a( b+ a)=ax b( a+ b)(普通加法、乘法交換律) 所以有b=匕a,因此“”有交換律.由的例子可知，運(yùn)算“”沒有結(jié)合律. 厶x = 5x( 5 + x)= 4x 5;3探(5探x)= 3探(4x 5

5、)=3 (4x 5) ( 3+ 4x 5)=12x 15( 4x 2)=8x 13那么8x 13= 3解出x = 2.例3、定義新的運(yùn)算a b= ax b+ a+ b. 求 6 2， 2 6； 求(1 2)3, 1 (2 3); 這個(gè)運(yùn)算有交換律和結(jié)合律嗎？解： 62 = 6X 2 + 6 + 2 = 20, 26 = 2X 6+ 2 + 6 = 20.S 1 2)3=( 1 x 2+ 1 + 2)3=53= 5x 3+ 5+ 3= 231(23)=1(2x3+2+3)=1 11 =1x11+1+11= 23.先看“ ”是否滿足交換律：a b= ax b+ a+ bb a= bxa+ b+ a

6、= ax b+ a+ b (普通加法與乘法的交換律) 所以a b= b a,因此“ ”滿足交換律.再看“ ”是否滿足結(jié)合律：( a b) c=( ax b+ a+ b) c=( ax b+ a+ b)x c+ ax b+ a+ b+ c= abc+ ac+ bc+ ab+ a+ b+ c.a (b c)=a (bxc+b+c)= ax( bx c+ b+ c)+ a+ bx c+ b+ c= abc+ ab+ ac+ a+ bc+ b+ c= abc+ ac+ bc+ ab+ a+ b+ c. (普通加法的交換律) 所以(a b) c= a (b c),因此“”滿足結(jié)合律. 說明：“ ”對(duì)于普

7、通的加法不滿足分配律,看反例：1 (2+3)=1 5=1x5+1+5=11；1 2+ 1 3= 1 X 2+ 1+ 2+ 1 X 3+ 1 + 3 = 5+ 7= 12; 因此 1 (2+ 3)工 1 2+ 1 3.例4、有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)“ ”，使下列算式成立：2 4 = 8, 5 3= 13, 3 5= 11,9 7 = 25,求 7 3=?解：通過對(duì)2 4= 8, 5 3= 13, 3 5= 11, 9 7= 25這幾個(gè)算式的觀察，找到規(guī)律：a b = 2a+ b,因此 7 3 = 2X 7 + 3= 17.例5、x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“ *”及“”如下：x*y=mx+ny , x

8、 y=kxy，其中m、 n、k均為自然數(shù)，已知 1*2=5,(2*3) 4=64，求(2) *3的值.分析：我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求2) *3的值，首先我們要計(jì)算2,根據(jù)“”的定義：2=kx 1X 2=2k,由于k的值不知道，所以首先要計(jì)算出k 的值，k值求出后，I2的值也就計(jì)算出來了 .我們?cè)O(shè)2=a, (1 2) *3=a*3,按“*”的定義： a*3=ma+3n,在只有求出 m、n 時(shí)，我們才能計(jì)算a*3的值.因此要計(jì)算(2) *3的值，我們就要先求出k、m、n的值. 通過1*2 =5可以求出m、n的值，通過(2*3) 4=64求出k的值.解：因?yàn)?*2=mX 1+nX2

9、=m+2n,所以有m+2n=5.又因?yàn)閙、n均為自然數(shù)，所以解出： m=1m=2| m=3 當(dāng)=m=1, n=2 時(shí)：n =3 (舍去).n =1(2*3) 4= (1 X 2+2 X3) 4=8 4=k X 8X 4=32k有 32k=64，解出 k=2. 當(dāng)m=3, n=1時(shí)：(2*3)4= (3X2+1 X 3)4=9 4=k X 9X 4=36k有36k=64，解出k=17，這與k是自然數(shù)矛盾，因此 m=3, n =1, k=1=99這組值應(yīng)舍去所以 m=l, n=2, k=2.(2) *3= (2X 1X 2) *3=4*3=1X4+2X 3=10.在上面這一類定義新運(yùn)算的問題中，關(guān)

10、鍵的一條是：抓住定義這一點(diǎn)不放，在計(jì)算時(shí)， 嚴(yán)格遵照規(guī)定的法則代入數(shù)值.還有一個(gè)值得注意的問題是：定義一個(gè)新運(yùn)算，這個(gè)新運(yùn)算 常常不滿足加法、乘法所滿足的運(yùn)算定律，因此在沒有確定新運(yùn)算是否具有這些性質(zhì)之前， 不能運(yùn)用這些運(yùn)算律來解題.課后習(xí)題11. a*b表示a的3倍減去b的-，例如：1*2=1 X3-2X 2=2，根據(jù)以上的規(guī)定，計(jì)算： 10*6;7* (2*1).2.定義新運(yùn)算為a 一 b= 口 ,b若 x 4二 1.35,求2 一(3 一 4)的值；3. 有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)O,使下列算式成立：1O 2 = 3 ,彳 O 7 = 11236594. 定義兩種運(yùn)算“ ”、a b= a+ b+

11、 1, a 計(jì)算4 (6 8) 若x (x 4) =30,求x的值.5. 對(duì)于任意的整數(shù)x、y,定義新運(yùn)算“ ”， xAy= 6 '勺 (其中m是一個(gè)確定的整數(shù))，m Xx 2 Xy如果 1A 2=2,則 2A9=?6. 對(duì)于數(shù)a、b規(guī)定運(yùn)算“ ”為 ab= (a+ 1)x( 1 b)若等式(a a) (a+ 1) = (a+ 1) (a a)成立，求a的值.7. “ * ”表示一種運(yùn)算符號(hào)，它的含義是：x*y= +1,xy (x 1) (y A),5 01 =-，求-O 4456742115“”，對(duì)于任意兩個(gè)整數(shù)b=ax b 1,(3 5)的值；7* 2X3-1X f的值.a、b,7

12、*557X3-55XI1825.已知2*仁丄 +1=-，求1998* 1999的值.2 X1 (2 1) (1 A) 38. a探b=S，在乂1) =6中，求x的值.a +bb>a)如果A表示選9. 規(guī)定 aA b=a+( a+ 1) + ( a+ 2)+( a+ b 1),( a、b 均為自然數(shù)， xA 10=65,那么 x= ?10. 我們規(guī)定：符號(hào)表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，例如：503=305=5,符擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算，例如：5A 3=3A 5=3，計(jì)算：(0.60)26(0.3A )9923(0.625A23)33(空 C2.25)106課后習(xí)題解答1.2.3.所以有5x-2

13、=30,解出x=6.4左邊：8. 解：由于9. 解：按照規(guī)定的運(yùn)算：xA 10=x + (x+1) + (x+2) + + (x+10 1)=10x + (1+2+3+?+9) =10x + 45因此有10x + 45=65,解出x=2.定義新運(yùn)算我們學(xué)過的常用運(yùn)算有：+、一、X、寧等女口： 2+ 3 = 52X 3 = 6都是2和3,為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)際是對(duì)應(yīng)法則不同.可見一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法，對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算.當(dāng)然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)該是對(duì)任意兩個(gè)數(shù)， 通過這個(gè)法則都有一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng) . 只要符合這個(gè)要求，不同的法則就是不

14、同的運(yùn)算.在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形 式，它們與我們常用的“ + ”，“_”，“x”，J ”運(yùn)算不相同.我們先通過具體的運(yùn)算來了解和熟悉“定義新運(yùn)算” 例1、設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定a b= 3X a- 2X b， 求 32，2A3; 這個(gè)運(yùn)算“”有交換律嗎？ 求（17A6） 2，17A （62）; 這個(gè)運(yùn)算“”有結(jié)合律嗎？ 如果已知4A b= 2,求b.例2、定義運(yùn)算為b = aX b-（ a+ b），求5探7，了5;求12探（3探4），（ 12探3）探4; 這個(gè)運(yùn)算 ”有交換律、結(jié)合律嗎？如果3探（5探x） = 3，求x.例3、定義新的運(yùn)算a b= ax b+ a+ b. 求62,

15、 26; 求（1 2） 3，1 （2 3）; 這個(gè)運(yùn)算有交換律和結(jié)合律嗎？例4、有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)“ ”，使下列算式成立：2 4 = 8, 5 3= 13，3 5= 11，9 7 = 25,求 7 3=？例5、x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“ *”及“”如下：x*y=mx+ny , x y=kxy，其中m、 n、k均為自然數(shù)，已知 1*2=5,（2*3） 4=64，求（2） *3的值.課后習(xí)題11. a*b表示a的3倍減去b的-，例如:11*2=1 X 3-2X 2=2，根據(jù)以上的規(guī)定，計(jì)算: 10*6;7* (2*1)2. 定義新運(yùn)算為求2 一（ 3 一 4）的值； 若x 一 4= 1. 35

16、,則x =？3. 有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)O,使下列算式成立:102 = 3 , -O- = y- , -O-=-，求-O-的值.236594567421154. 定義兩種運(yùn)算“ ”、“”，對(duì)于任意兩個(gè)整數(shù) a b,a b= a+ b+ 1,a b=ax b 1, 計(jì)算4 (6 8)( 3 5)的值； 若x (x 4)=30，求x的值.5. 對(duì)于任意的整數(shù)x、y，定義新運(yùn)算“ ”，xAy= 6 '勺 (其中m是一個(gè)確定的整數(shù))，m Xx 2 Xy如果 1A 2=2，則 2A9=?6. 對(duì)于數(shù)a、b規(guī)定運(yùn)算“ ”為ab= (a+ 1)x( 1 b)， 若等式(a a) (a+ 1) = (a+ 1) (a a)成立，求a的值.7. “ * ”表示一種運(yùn)算符號(hào)，它的含義是：1x