10-分析動力學9-Kane方法

1、2021年12月19日Page 1清華大學航天航空學院清華大學航天航空學院王天舒（王天舒（）分析動力學分析動力學之之KaneKane方程方程2021年12月19日Page 2本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容建立動力學方程的方法：建立動力學方程的方法：牛頓歐拉方法牛頓歐拉方法：方程簡單，但需考慮約束力：方程簡單，但需考慮約束力是否有類似于牛頓方法的最少變量方法？是否有類似于牛頓方法的最少變量方法？第二類拉氏方程第二類拉氏方程：不考慮約束力，只用到速度，要求導：不考慮約束力，只用到速度，要求導第一類拉氏方程第一類拉氏方程：可處理非完整約束，引入代數(shù)方程：可處理非完整約束，引入代數(shù)方程Apell方程方程：引入偽速度

2、，需計算加速度：引入偽速度，需計算加速度如何取得最少變量：如何取得最少變量：笛卡爾坐標笛卡爾坐標廣義坐標廣義坐標廣義速度廣義速度偽速度偽速度如何建立方程如何建立方程2021年12月19日Page 3偏速度：質(zhì)點系偏速度：質(zhì)點系由由N N個質(zhì)點組成的系統(tǒng)，有個質(zhì)點組成的系統(tǒng)，有f= =3N-r- -s個自由度個自由度，廣義速度：，廣義速度：12(, )iilq qq trr1kliiikkqqtrrr偽偽速度：速度：01(1,2,)fjjvjvvuqhhjl( )(0)1fviivivurvv廣廣義義速速率率偏偏速速度度廣義速率本質(zhì)上為偽速度，廣義速率本質(zhì)上為偽速度，標量標量偏速度的作用是賦予廣

3、義速率以偏速度的作用是賦予廣義速率以方向性，方向性，矢量矢量。偽速度可以看成是真實速度在偏偽速度可以看成是真實速度在偏速度上的投影速度上的投影。2021年12月19日Page 4質(zhì)點系的質(zhì)點系的KaneKane方程方程質(zhì)點質(zhì)點速度的變分可以表示為：速度的變分可以表示為：( )1fviivvurv1()0Nii iiimFrr虛功率原理：虛功率原理：定義廣義主動力：定義廣義主動力：( )1NvviiiFF v定義廣義慣性力：定義廣義慣性力：*( )1()Nvvi iiim Frv*0 (1,2,)vvvfFFKane方程：方程：各廣義速率所對應(yīng)的廣義主動力和廣義慣性力之和為各廣義速率所對應(yīng)的廣義

4、主動力和廣義慣性力之和為0 0將力投影到偽速度上所得到的平衡方程。將力投影到偽速度上所得到的平衡方程。2021年12月19日Page 5牛頓方法牛頓方法虛功率原理虛功率原理變量變量(坐標坐標)：Tiiiixyzrijk基本方程基本方程：0ii iimFrNKane方法方法1()0Nii iiimFrr獨立變量獨立變量(偽速度偽速度)基本方程基本方程：消去約束力，減少變量數(shù)消去約束力，減少變量數(shù)速度變分不一定獨立速度變分不一定獨立( )(0)1fviivivurvv( )( )11()0NNvviii iiiimF vrv其中其中：( )viivurv方程是否僅含有廣義速率而不包含廣義坐標？方程

5、是否僅含有廣義速率而不包含廣義坐標？ 質(zhì)點系質(zhì)點系KaneKane方程的基本思路方程的基本思路2021年12月19日Page 6例例1 1：質(zhì)點系的質(zhì)點系的KaneKane方程方程xxyABOgmAgmB廣義速率：廣義速率：12;ux u 質(zhì)點的速度為：質(zhì)點的速度為：112(cossin)ABuuluririij偏速度：偏速度：(1)(2)(1)(2);0;(cossin)AABBlvi vvi vij主動力：主動力：0;ABBm g FFj廣義主動力：廣義主動力：(1)(1)10ABBAFFvFv(2)(2)2(cossin)ABBBAm gl FFvFvjijsinBm lg ( )(0)

6、1fviivivurvv2021年12月19日Page 7慣性力：慣性力：*1AAAm xm u Fii廣義慣性力：廣義慣性力：*(1)*(1)1ABBAFFvFv2BAnllrree22( cossin )(sincos )xlliijij(1)(2)(1)(2);0;(cossin)AABBlvi vvi vij22( cossin )(sincos )ABm xmxll i iiijiji22(cossin )ABBm xm xm ll 10F22()(cossin )0ABBmmxm ll例例1 1：質(zhì)點系的質(zhì)點系的KaneKane方程方程2021年12月19日Page 8*(2)(2

7、)2ABBAFFvFv220( cossin )(sincos )(cossin)ABm xmxlll iiijijij2cosBBm lm l (1)(2)(1)(2);0;(cossin)AABBlvi vvi vij2sinBm g F2cossin0BBBm lm lm g22()(cossin )0ABBmmxm ll例例1 1：質(zhì)點系的質(zhì)點系的KaneKane方程方程2021年12月19日Page 9偏速度：剛體偏速度：剛體設(shè)剛體設(shè)剛體B上的上的P1,P2,PN點處分別作用有主動力點處分別作用有主動力F1,F2,FN。取剛體的上的取剛體的上的O點為基點，取偽速度為點為基點，取偽速度

8、為u1,u2,uf。 設(shè)剛體基點設(shè)剛體基點O的速度、角速度與偽速度的關(guān)系是：的速度、角速度與偽速度的關(guān)系是： ( )(0)1froovovuvvv( )(0)1frvvu偏角速度偏角速度偏速度偏速度剛體上的任意一點剛體上的任意一點P的速度為的速度為poopvv( )( )( )vvvpoopvv( )(0)( )(0)11ffvvpovovvvuuopvvv( )( )(0)(0)1fvvpovovop uopvvvP點的點的偏速度偏速度為為剛體上任一點剛體上任一點的的偏速度偏速度可以可以表示為基點的表示為基點的偏速度的函數(shù)偏速度的函數(shù)2021年12月19日Page 10( )1NvviiiF

9、F v廣義主動力廣義主動力為為: :( )( )vvvooFF vL( )( )11NNvvvioiiiiopFFvF( )( )( )rrrpioiopvv( )( )11()NNvvvioiiiiopFF vF()()V ab cabc利用體積公式利用體積公式F是外力的主矢量Lo是外力的主矩剛體的廣義主動力剛體的廣義主動力2021年12月19日Page 11剛體的廣義慣性力剛體的廣義慣性力廣義慣性力廣義慣性力為為: :*( )dvvPpBm Favpoopop aa *( )( )dvvvooBopopop m Fav( )dvooBopopm av ( )dvoBopopop m a令令

10、( )( )( )vvvpoopvv2021年12月19日Page 12剛體的廣義慣性力剛體的廣義慣性力( )( )3dvvooBopmMoc vv( )( )( )1ddvvvooooooBBmmMa vava v( )( )2( )( )dd dvvooBBvvooBopmopmop mMoc vvvv( )dvooBopopm av( )123( ) voovCoMococvMv aa2021年12月19日Page 13 ( )( )2dvvOBopopm J ( )dvoBopopopm a( )( )1( )( )dd dvvooBBvvooBopmopmop mMoc aaaa(

11、)3vOJ123( ) voOOoocM aJJ剛體的廣義慣性力剛體的廣義慣性力2021年12月19日Page 14*( )( )rvvCooOOoMvoc M FaaJ J廣義慣性力廣義慣性力為：為：當當O與質(zhì)心與質(zhì)心C重合時，重合時，*( )( )vvvCoCCoMv FaJ J因此因此KaneKane方程為：方程為：*( )( )0rrFF*( )*( )vvvoooF vFL ( )( )vvvooFR vL為了與廣義主動力形式一樣為了與廣義主動力形式一樣廣義慣性力寫為廣義慣性力寫為剛體的剛體的KaneKane方程方程2021年12月19日Page 15牛頓歐拉方法牛頓歐拉方法變量變量

12、(坐標坐標)：,ov 基本方程基本方程：omRvSSoOOSLvJJ隨體坐標系原點取在質(zhì)心上隨體坐標系原點取在質(zhì)心上：CCmvRCCCJJL虛功率原理虛功率原理()()0iCcCCCmRvvLJJKane方法方法獨立變量獨立變量(偽速度偽速度)( )(0)1fvCCvCvuvvv( )01fvvvu( )( )( )( )0vvvvCCCCCCmvR vL vJ JKane方法的方法的解題步驟：解題步驟：廣義坐標廣義坐標 偽速度偽速度加速度加速度 廣義力廣義力剛體剛體KaneKane方程的基本思路方程的基本思路2021年12月19日Page 16例例2 2：剛體定點轉(zhuǎn)動：剛體定點轉(zhuǎn)動解：設(shè)解：

13、設(shè)OXYZ為參考坐標系，為參考坐標系，oxyz為固連的主軸坐標系。為固連的主軸坐標系。OAJBC設(shè)外力對設(shè)外力對O點的力矩為點的力矩為LO。oxyzXYZ以歐拉角為廣義坐標。以歐拉角為廣義坐標。設(shè)轉(zhuǎn)動慣量矩陣為設(shè)轉(zhuǎn)動慣量矩陣為剛體的角速度：剛體的角速度： 123, , xyzuuuxyzijk偽速度選為：偽速度選為：（這樣選偽速度保證了廣義速度的（這樣選偽速度保證了廣義速度的反解反解存在存在）角速度用偽速度表示為：角速度用偽速度表示為：123uuuijk(1)(2)(3)ijk因此，可以因此，可以“看出看出”偏角速度為：偏角速度為：2021年12月19日Page 17剛體的角加速度：剛體的角加

14、速度： 123uuuijkddddddttt 在動系在動系oxyz中求導：中求導：123uuuijk角加速度用廣義速度表示會復雜得多：角加速度用廣義速度表示會復雜得多：cossincossincossinsinzyx角加速度在動系和慣性系中是一樣的。角加速度在動系和慣性系中是一樣的。根據(jù)定義，根據(jù)定義，廣義主動力廣義主動力為：為： 123xyzFLFLFL( )( )( )vvvvoooFF vLLoxyzLLLLijk(1)(2)(3)ijk由于由于因此因此例例2 2：剛體定點轉(zhuǎn)動：剛體定點轉(zhuǎn)動2021年12月19日Page 18例例2 2：剛體定點轉(zhuǎn)動：剛體定點轉(zhuǎn)動廣義慣性力廣義慣性力為：

15、為： *( )()vvooJJ F以以r1 1為例進行計算：為例進行計算：1122331AAuBuBuCuCuu 321231213213122300()0()(uuAuuuBuAC u uuuCCB u uuBA u u (1)i*1123()AuCB u u F因此得到因此得到*(2)23 1()FBuAC u u *(3)312()FCuBA u u 類似求出類似求出123213312()()()xyzAuCB u uLBuAC u uLCuBA u uL代入代入KaneKane方方程，得到程，得到這正是描述剛體運動這正是描述剛體運動的歐拉方程的歐拉方程2021年12月19日Page 1

16、9為什么會這樣？為什么會這樣？*( )()vvooJJ F( )( )( )vvvvoooFF vLL*( )( )0rrFF( )()0rOOOJJ L()OOOJJ L這的確是歐拉動力學方程。這可作為這的確是歐拉動力學方程。這可作為特例檢驗特例檢驗KaneKane方程是否正確。方程是否正確。向向i, j, k方向投影方向投影如果一個矢量向如果一個矢量向i, j, k方向投影都為零，方向投影都為零，則該矢量為零則該矢量為零。例例2 2：剛體定點轉(zhuǎn)動：剛體定點轉(zhuǎn)動2021年12月19日Page 20例例3 3：非完整系統(tǒng)：非完整系統(tǒng)兩自由度系統(tǒng)兩自由度系統(tǒng)定義廣義速率：定義廣義速率：121 1

17、2 2CAvluuveeee質(zhì)心的速度：質(zhì)心的速度：( )(0)1fviivivurvv12Auvul角速度：角速度：233ulee偏速度和偏偏速度和偏角速度：角速度：(1)(2)12(1)(2)3;0;CClve vee質(zhì)心的加速度：質(zhì)心的加速度：1 1112 222CCduuuudtvae ee e221 21122()()uuuuullee角加速度：角加速度：23uleOxyvACAe1e22021年12月19日Page 21*( )( )vvvCoCCoMv FaJJ( )( )vvvooFF vL外力垂直于偽速度：外力垂直于偽速度：120;0FFOxyvACAe1e2廣義慣性力：廣義

18、慣性力：22*2211111()()uum um ull Fe e*1222222332()Cu uum uJll Feeee221221()CJmlumlu ul 21221AJ umlu ul 系統(tǒng)方程：系統(tǒng)方程：22121200AuulJ umlu u(1)(2)12(1)(2)3;0;CClve vee221 21122()()Cuuuuullaee23ule或：或：200AAAulJmlv例例3 3：非完整系統(tǒng)：非完整系統(tǒng)2021年12月19日Page 22例例4 4：復雜平面問題：復雜平面問題q1 1q2 2q3 3q4 4e1 1e2 2OijCP圓盤在平面上運動，質(zhì)量為圓盤在平

19、面上運動，質(zhì)量為M，對，對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為JC。其上有光滑。其上有光滑小槽，一小球通過彈簧可作相對直小槽，一小球通過彈簧可作相對直線運動。小球質(zhì)量為線運動。小球質(zhì)量為m，彈簧系數(shù)，彈簧系數(shù)為為k，原長為，原長為l0。為方便設(shè)圓盤質(zhì)心。為方便設(shè)圓盤質(zhì)心C在小槽中。試建立系統(tǒng)運動微分在小槽中。試建立系統(tǒng)運動微分方程。方程。解：建立坐標系。選廣義坐標解：建立坐標系。選廣義坐標q1,q2,q3,q4。121323113232=(cossin)(sincos)Cqqqqqqqqqq ijee運動分析運動分析121221CqAq3 3qe4 1rqe4 113234113233 42 (

20、cossin)(sincos)PCrqqqqqqqqqqq q eee2021年12月19日Page 23例例4 4：復雜平面問題：復雜平面問題q1 1q2 2q3 3q4 4e1 1e2 2OijCP選選偽偽速速度度11323213233344cossinsincosuqqqquqqqququq 反解存在反解存在112122uqAuq111222quAqu則1122334 11412432()()CrPuuuuuuuq ueeeeee求偏速度求偏速度( )12( )3( )1( )12421123400000000vCvvrvPvqeeeeeeee2021年12月19日Page 24例例4

21、4：復雜平面問題：復雜平面問題設(shè)系統(tǒng)所受力、力矩為：設(shè)系統(tǒng)所受力、力矩為：1 122FFRee3CCLLe401()Pk ql Fe彈簧力是內(nèi)力，如彈簧力是內(nèi)力，如何處理？何處理？()( )vvPrvvCCFFR L11223440()CFFLk ql FFFF廣義主動力為：廣義主動力為：q1 1q2 2q3 3q4 4e1 1e2 2OijCP( )12( )3( )1( )12421123400000000vCvvrvPvqeeeeeeee( )1NvviiiFF v2021年12月19日Page 25例例4 4：復雜平面問題：復雜平面問題*( )*( )*( )vvvvCCPPFRLF廣

22、義慣性力力為：廣義慣性力力為：*CM Ra*( )1()Nvvi iiim Frvq1 1q2 2q3 3q4 4e1 1e2 2OijCP*()CCCC LJJJ*PPm Fa12 312132()()Cuu uuuuaee3 3u e2142 34 3124 33 41 32()(2)Puuu uq uuq uu uuuaee( )12( )3( )1( )12421123400000000vCvvrvPvqeeeeeeee*21123443*22134334*3342433413*24142343()()()()()(2)(2)()CMm uu um uq uMm uu um q uu

23、uJ umq uq uu uu um uuu uq u FFFF2021年12月19日Page 26例例4 4：復雜平面問題：復雜平面問題如何檢驗方程是否正確？如何檢驗方程是否正確？212 344 3121 34 33 423424 33 41 32142 34 340()()()()()(2)(2)()()CCMm uu um uq uFMm uuum q uu uFJ umq uq uu uuuLm uuu uq uk ql首先對方程進行量綱檢查。首先對方程進行量綱檢查。e1 1方向動量定理方向動量定理動量矩定理動量矩定理相對運動方程相對運動方程e2 2方向動量定理方向動量定理q1 1q2

24、 2q3 3q4 4e1 1e2 2OijCP其次考察方程的物理意義其次考察方程的物理意義。11323213233344cossinsincosuqqqquqqqququq 2021年12月19日Page 27例例4 4：復雜平面問題：復雜平面問題12312132332142343124334132()()()(2)CPuu uuu uuuuu uq uuq uu uu uaeeeaee質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理CpMmaaR10PPmaN Fe11rPekmmma eN Faae非慣性系中的相對運動方程非慣性系中的相對運動方程達朗貝爾原理達朗貝爾原理等價等價212 344 3121 34 33

25、 423424 33 41 32142 34 340()()()()()(2)(2)()()CCMm uu um uq uFMm uuum q uu uFJ umq uq uu uuuLm uuu uq uk ql2021年12月19日Page 28例例4 4：復雜平面問題：復雜平面問題q1 1q2 2q3 3q4 4Oe1 1e2 2ijCP2142343124334132() (2)Puuu uq uuq uu uu uaeemap2 2map1 13240CCpLJ qmaqP點慣性力對點慣性力對C點的力矩點的力矩圓盤對圓盤對C點的慣性力矩點的慣性力矩212 344 3121 34 33

26、 423424 33 41 32142 34 340()()()()()(2)(2)()()CCMm uu um uq uFMm uuum q uu uFJ umq uq uu uuuLm uuu uq uk ql2021年12月19日Page 29例例4 4：復雜平面問題：復雜平面問題根據(jù)方程的物理意義，可能容易發(fā)現(xiàn)根據(jù)方程的物理意義，可能容易發(fā)現(xiàn)（用紅色表示的）錯誤（用紅色表示的）錯誤2123443121343344021423234214234343()()()()()()()(2)()0CCk qluuu uqMm uu um uq uFMm uu um q uu uFJ umqLm

27、uuu uquu（1）以系統(tǒng)為研究對象時，彈簧力）以系統(tǒng)為研究對象時，彈簧力k(q4- -l0)是內(nèi)力，在動量定理是內(nèi)力，在動量定理中不應(yīng)出現(xiàn)。中不應(yīng)出現(xiàn)。（2）在）在e2方向上應(yīng)用動量定理，方向上應(yīng)用動量定理， 運動及外力均沿坐標正方向。運動及外力均沿坐標正方向。（3）P點慣性力對點慣性力對C點取矩時，不應(yīng)出現(xiàn)徑向分量。點取矩時，不應(yīng)出現(xiàn)徑向分量。（4）研究）研究P點相對運動時，彈簧力是外力要出現(xiàn)。點相對運動時，彈簧力是外力要出現(xiàn)。2021年12月19日Page 30例例4 4：復雜平面問題：復雜平面問題退化檢查退化檢查。212 344 3121 34 33 423424 33 41 32142 34 340()()()()()(2)(2)()()CCMm uu um uq uFMm uuum q uu uFJ umq uq uu uuuLm uuu uq uk ql第第1 1種情況，假設(shè)圓盤不動，只有小球相對運動種情況，假設(shè)圓盤不動，只有小球相對運動12340, 0uuuu主動力作用在主動力作用