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文檔簡介
1、專題五 空間圖形與幾何初步第十三章 圖形的初步認(rèn)識(shí)考情分析高頻考點(diǎn)考查頻率所占分值1.正方體的表面開展圖36分2.兩條直線相交問題3.兩點(diǎn)之間,線段最短4.尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段5.角的和、差、倍、分6.角的互余、互補(bǔ)7.垂線的性質(zhì)8.平行線的判定和性質(zhì)9.對頂角知能圖譜第28講 幾何圖形知識(shí)能力解讀知能解讀(一)幾何圖形長方體、圓柱、球、長(正)方形、圓、線段、點(diǎn)等,以及小學(xué)學(xué)習(xí)過的三角形、四邊形等,都是從形形色色的物體外形中得出的,它們都是幾何圖形.幾何圖形是數(shù)學(xué)研究的主要對象之一.點(diǎn)撥(1)幾何圖形只關(guān)注物體的形狀、大小和位置.(2)幾何圖形都是從實(shí)際物體中抽象出來的,與實(shí)物有一
2、定的差距,只是形式而已.知能解讀(二)立體圖形(1)定義:有些幾何圖形(如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等)的各部分不都在同一平面內(nèi),它們是立體圖形.(2)常見的立體圖形:知能解讀(三)平面圖形有些幾何圖形(如線段、角、三角形、長方形、圓等)的各部分都在同一平面內(nèi),它們都是平面圖形.點(diǎn)撥雖然立體圖形和平面圖形是兩類不同的幾何圖形,但它們是互相聯(lián)系的.立體圖形中某些部分是平面圖形,例如長方體的側(cè)面是長方形.知能解讀(四)立體圖形的展開圖有些立體圖形是由一些平面圖形圍成,將它們的表面適當(dāng)剪開,可以展開成平面圖形.這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖.幾種常見立體圖形的展開圖如下表:名稱正方體長方
3、體無棱柱圓柱圓錐立體圖形展開圖(舉例)點(diǎn)撥(1)不是所有的立體圖形都可以展開,如球體就不能展開.(2)對于同一個(gè)立體圖形,按不同的方式展開,可以得到不同的平面圖形.知能解讀(五)點(diǎn)、線、面、體(1)體:幾何體液簡稱體.面:包圍著體的是面.面有平的面和曲的面兩種.線:面和面相交的地方形成線.線有直線和曲線之分.點(diǎn):線與線相交的地方是點(diǎn).(2)點(diǎn)動(dòng)成線,線動(dòng)成面,面動(dòng)成體.點(diǎn)撥幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面、體組成的,點(diǎn)是構(gòu)成圖形的基本元素.方法技巧歸納方法技巧(一)根據(jù)立體圖形的概念識(shí)別立體圖形要準(zhǔn)確地識(shí)別立體圖形,首先應(yīng)對照基本圖形把握其根本特征.點(diǎn)撥首先區(qū)分是柱體還是椎體,然后再看底面是圓還是多邊
4、形.方法技巧(二)立體圖形展開的識(shí)別由立體圖形的展開圖可以識(shí)別出立體圖形的形狀,具體方法是:展開圖中有圓,一般考慮圓柱或圓錐;展開圖中有三角形,一般考慮圓柱或圓錐;展開圖中有三角形,一般考慮棱柱或棱錐;展開圖中只有長方形或正方形,一般考慮棱柱.點(diǎn)撥(1)對簡單立體圖形的展開圖進(jìn)行識(shí)記;(2)對柱體和椎體的展開圖的特征進(jìn)行比較.方法技巧(三)由平面圖形旋轉(zhuǎn)成立圖形的識(shí)別識(shí)別由平面圖形旋轉(zhuǎn)成的立體圖形時(shí),首先要弄清楚旋轉(zhuǎn)軸.同一個(gè)平面圖形,旋轉(zhuǎn)軸不同,得到的立體圖形也不同,可以實(shí)際操作一下,然后想象圖形.方法技巧(四)整體表面展開圖的應(yīng)用正方體的表面展開圖有多種,正方體中相對面的確定等知識(shí)是??純?nèi)
5、容,正方體表面展開圖,正方體表面展開圖有以下幾個(gè)特點(diǎn):(1)正方體的表面展開圖中,一條直線上的小正方形不會(huì)超過四個(gè);(2)正方體的表面展開圖中不會(huì)有“田”與“凹”字型;(3)相間的兩個(gè)小正方形(中間隔著一個(gè)小正方形)是正方體的兩個(gè)對面“ ”型兩端處的小正方形是正方體的對面;(4)中間隔著兩個(gè)小正方形或拐角型的三個(gè)面的正方體的鄰面.正方體的表面展開圖共有11種,如圖所示.點(diǎn)撥在正方體的展開圖中,相鄰的兩個(gè)正方形是正方體中相鄰的兩個(gè),當(dāng)正方體相對的兩個(gè)面在展開圖中的同行或同列時(shí),中間隔一個(gè)正方形.易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)辨析1.對正方體表面展開圖掌握不好致錯(cuò).2.棱柱與棱錐.區(qū)別:棱柱屬于柱體,它的上
6、下兩個(gè)底面是兩個(gè)相同的多邊形;而凌錐屬于椎體,它只有一個(gè)底面,且是多邊形.3.圓柱和棱柱區(qū)別:圓柱和棱柱都屬于柱體,但圓柱的地面是圓,側(cè)面是曲面;而棱柱的底面是多邊形,側(cè)面是平面.4.圓錐和棱錐區(qū)別:圓錐和棱錐都屬于椎體,但圓錐的底面是圓,側(cè)面是曲面;而棱錐的地面是多邊形,側(cè)面是平面.易混易錯(cuò)(一)對例題圖形的分類沒有理清而致錯(cuò)易混易錯(cuò)(二)對幾何體的表面展開圖只注意到面的個(gè)數(shù),忽視能否還原為原來的幾何體致錯(cuò)中考試題研究中考命題規(guī)律本將內(nèi)容在中考中主要考查立體圖形的識(shí)別及其平面展開圖,通常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn),有利于考查空間想象能力和動(dòng)手操作能力.中考試題(一)識(shí)別幾何體的表面展開圖中考
7、試題(二)識(shí)別正方體相對面上的文字中考試題(三)識(shí)別正方體的表面展開圖第29講 直線、射線與線段知識(shí)能力解讀知能解讀(1)基本事實(shí):經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線,并且知能有一條直線.簡單說成:兩點(diǎn)確定一條直線.(2)直線的表示方法:可以用一個(gè)小寫資本來表示,如圖所示的直線可記作“直線”;也可以用這條直線上的兩個(gè)點(diǎn)來表示,如圖所示的直線也可以記作“直線”或“直線”,其中為直線上的任意兩個(gè)點(diǎn).(3)點(diǎn)與直線的關(guān)系:點(diǎn)在直線上,也可以說成直線經(jīng)過點(diǎn)(如圖所示);點(diǎn)不在直線上,也可以說成直線不過經(jīng)點(diǎn),或點(diǎn)在直線外(如圖所示). (4)交點(diǎn):當(dāng)兩條不同的直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),我們就稱這兩條直線相交,這個(gè)公共點(diǎn)叫做它
8、們的交點(diǎn).如直線與直線相交于點(diǎn),如圖所示.點(diǎn)撥(1)直線無粗細(xì)、沒有端點(diǎn)、向兩方無限延伸,不能度量.(2)直線基本事實(shí)中的“有且只有”有兩層含義,“有”說明存在一條直線,即確定有一條;“只有”說明這條直線是“唯一”的.(3)兩條不重合的直線最多有一個(gè)交點(diǎn)條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn).(4)平面上的兩條直線,有相交和不相交兩種位置關(guān)系.知能解讀(二)射線與線段射線和線段都是直線的一部分.類似于直線的表示,我們可以用圖所示的方式來表示線段(或線段),其中、點(diǎn)是線段的端點(diǎn).用圖所示的方式來表示射線,其中點(diǎn)是射線的端點(diǎn).點(diǎn)撥(1)線段有長短(可以度量),但線段沒有方向,表示線段的兩個(gè)大寫字母沒有順序.(2)
9、表示射線時(shí),一定要把表示端點(diǎn)的字母寫在前面.(3)端點(diǎn)不同,所表示的射線不同;端點(diǎn)相同,延伸方向不同,所表示的射線也不同;只有端點(diǎn)相同,并且延伸方向也相同時(shí),才是同一條射線.知能解讀(三)直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系直線、射線、線段之間的區(qū)別與聯(lián)系見下表: 名稱類別直線射線線段區(qū)別圖例概念線段向兩個(gè)方向無限延伸,得到直線線段向一個(gè)方向無限延伸,就形成了射線拔河時(shí),拉直的繩子給遠(yuǎn)處的觀眾一條線段的形象表示方法直線或直線射線(注:必須在的前面)或射線線段或線段端點(diǎn)個(gè)數(shù)012延伸性向兩個(gè)方向無限延伸向一個(gè)方向無限延伸有限長長度不能度量不能度量能度量聯(lián)系射線、線段都是直線的一部分,線段向一個(gè)方向無限延
10、伸就得到射線,向兩個(gè)方向無限延伸就得到直線知能解讀(四)關(guān)于線段都的基本事實(shí)兩點(diǎn)的所有連線中,線段最短.簡單說成:兩點(diǎn)之間,線段最短.知能解讀(五)兩個(gè)重要概念(1)兩點(diǎn)的距離:連接兩點(diǎn)間的線段的長度,叫作這兩點(diǎn)的距離.注意:距離線段的長度,不能僅說成線段,線段是一個(gè)幾何圖形.(2)線段的中點(diǎn):如圖所示,點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段與,點(diǎn)叫作線段的中點(diǎn).點(diǎn)撥常用以下式子表示點(diǎn)是線段的中點(diǎn):;.知能解讀(六)線段的畫法及線段長短的比較(1)線段的畫線:用刻度尺測量后再畫圖;借助直尺和圓規(guī)作圖.例:如圖所示,作一條線段,使其等于已知線段.作法:先做一條射線;用圓規(guī)量取已知線段;在射線上以為圓心截取,
11、則線段為所求線段,如圖所示.這是第一個(gè)基本作圖,應(yīng)熟練掌握.(2)線段長短的比較.疊合法:先把兩條線段放在同一條直線上,讓其一端重合,再看另一端的位置,從而確定兩條線段的長短,這是從“形”的方面來進(jìn)行比較.度量法:利用刻度尺,量出,每條線段的長度,再根據(jù)度量的結(jié)果確定兩條線段的長短,這是從“數(shù)”的方面來進(jìn)行比較,線段的長短關(guān)系和它們的長度大小關(guān)系是一致的.方法技巧歸納方法技巧(一)直線、射線、線段的識(shí)別及表示方法識(shí)別時(shí)應(yīng)根據(jù)它們各自的特征,“無始無終”的是直線,“有始有終”的是線段,“有始無終”的是射線.表示時(shí)注意射線端點(diǎn)必須在前.注意數(shù)射線的關(guān)鍵是找準(zhǔn)端點(diǎn),表示時(shí)端點(diǎn)要寫在前面.方法技巧(二
12、)關(guān)于直線和線段基本事實(shí)的應(yīng)用關(guān)于直線的基本事實(shí):兩點(diǎn)確定的一條直線;關(guān)于直線的基本事實(shí);兩點(diǎn)之間,線段最短.這兩條基本事實(shí)在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用,應(yīng)注意識(shí)別.點(diǎn)撥本題是兩個(gè)基本事實(shí)在生活中的應(yīng)用,要注意學(xué)會(huì)將生活中的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,利用數(shù)學(xué)原理來解釋.方法技巧(三)規(guī)律探究技巧在識(shí)別平面內(nèi)直線分平面部分?jǐn)?shù),直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù),探究線段、射線或直線條數(shù)時(shí),一般先從較簡單的情形入手,通過發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,然后加以總結(jié).點(diǎn)撥(1)事實(shí)上,直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)越多,直線將平面分成部分就越多.(2)從簡單情形入手,探索、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律是常用的數(shù)學(xué)方法.方法技巧(四)線段的有關(guān)計(jì)算技巧求線段長度時(shí),如果直
13、接求解有困難,可采取設(shè)未知數(shù)建立方程的方法進(jìn)行.點(diǎn)撥列方程進(jìn)行機(jī)損是常用的方法,應(yīng)注意掌握.點(diǎn)撥依據(jù)線段中點(diǎn)的定義和所分的兩條線段相等,再根據(jù)線段和、差、倍、分關(guān)系求線段的長.在解答此類問題時(shí),既要結(jié)合圖形分析已知線段和所求線段的位置關(guān)系,又要體會(huì)比較簡捷的解題方法.易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)知識(shí)1.直線、射線、線段的表示法.區(qū)別:直線、射線和線段都可以用兩個(gè)大寫字母表示,但是它們的要求是不一樣的,表示直線和線段的兩個(gè)大寫字母沒有先后順序,但表示射線的兩個(gè)大寫字母中端字母必須在前面.2.線段外一點(diǎn)和直線外一點(diǎn)易混淆.區(qū)別:線段外一點(diǎn)有兩種情況,一是點(diǎn)在線段所在的直線上但在線段的兩個(gè)端點(diǎn)的外部;二是點(diǎn)
14、在線段所在直線的外部.而直線外一點(diǎn)只有一種情況,就是點(diǎn)在直線外.易混易錯(cuò)(一)不能把握直線、射線、線段的根本特征而致誤易混易錯(cuò)(二)點(diǎn)的位置不確定,造成漏解易混易錯(cuò)(三)出現(xiàn)數(shù)重或漏數(shù)錯(cuò)誤中考試題研究中考命題規(guī)律本講內(nèi)容在中考中主要考查兩點(diǎn)確定一條直線及兩點(diǎn)之間,線段最短的性質(zhì),線段的和、差級線段的中點(diǎn)等概念,對兩點(diǎn)之間的距離也常涉及,常以填空題、選擇題的形式出現(xiàn),有時(shí)也計(jì)算題或探究題的形式出現(xiàn).中考試題(一)運(yùn)用之前的基本事實(shí)中考試題(二)運(yùn)用線段的基本事實(shí)中考試題(三)利用線段的中點(diǎn)計(jì)算第30 講 角知識(shí)能力解讀知識(shí)解讀(一)角的概念及表示方法1角的概念(1)有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形
15、叫作角,這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn),這兩條射線是角的兩條邊.(2)角也可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(3)射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分稱為角的內(nèi)部,平面其余部分稱為角的外部.注意角的大小只與開口大小有關(guān),而與角的邊的長短無關(guān),因?yàn)榻堑膬蛇吺巧渚€.2角的表示方法角可用大寫英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫的希臘字母表示,具體的有四種表示方法:(1)用數(shù)字表示單獨(dú)的一個(gè)角,如圖所示的等;(2)用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角,如圖所示的等;(3)用一個(gè)大寫英文字母表示一個(gè)獨(dú)立的角(在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角),如圖1-30-1所示的等;(4)用三個(gè)大寫英文字母能表示出任一個(gè)角,如圖所示的等,注意頂
16、點(diǎn)字母必須寫在中間.知能解讀(二)角的比較(1)度量法:如圖所示,用量角器量得,所以. (2)疊合法:如圖所示,把一個(gè)角放到另一個(gè)角上,使它們的頂點(diǎn)重合,器重的一邊也重合,并使這兩個(gè)角的另一邊都在重合的同側(cè),其大小關(guān)系就明顯了,由圖可知,.注意(1)角可以度量,可以比較大小,也可以參與運(yùn)算.(2)用疊合法比較角的大小注意三點(diǎn);角的頂點(diǎn)重合;角的一邊重合;另一邊落在重合邊的同側(cè).:知能解讀(三)角的畫法方法1:畫一個(gè)角等于已知角,可用量角器先測定已知角的度數(shù),再用量角器畫與已知角相等的角.方法2:用圓規(guī)和直尺畫一個(gè)角等于已知角.例如:如圖所示,已知. 求作:,使.作法:(1)以為圓心,以任意長為
17、半徑作弧,交于點(diǎn);(2)作射線,以為圓心,長為半徑作弧,交于點(diǎn);(3)以為圓心,長為半徑作弧,交弧于點(diǎn);(4)過點(diǎn)作射線,則即為所求.注意方法2用圓規(guī)、直尺畫角是基本作圖,也在中考命題范圍之內(nèi).知能解讀(四)角的和、差、倍、分(1)角的和、差 如圖所示,如圖將與的頂點(diǎn)重合,再將的一邊與的一邊重合,并使兩個(gè)角的另一邊分別在重合邊的兩側(cè),它們不重合的兩邊組成,這時(shí)就說是與的和,記作.此時(shí)是與的差,記作;是與的差,記作.(2)角的倍、分 如圖所示,用上述方法將兩個(gè)拼在一起得到,這時(shí)就說是的2倍,記作或是的,記作.類似地,將三個(gè)拼在一起得到時(shí),.知能解讀(五)角平分線一般地,從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā),把這個(gè)
18、角分成兩個(gè)相等的角的射線,叫作這個(gè)角的平分線.常用以下三類數(shù)學(xué)式子表示角的平分線:如圖所示,;.注意角平分線是一條射線,而不是一條直線或線段.角平分線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角.知能解讀(六)角的度量單位及換算我們常用量角器度量角,度、分、秒是常用的角的度量單位.把一個(gè)周角360等分,每一份就是1度的角,把1度的角60等分,每一份就是1分的角,把1分的角60等分,每一份就是1秒的角.1度記作,1分記作,1秒記作.,.即:;.點(diǎn)撥(1)度、分、秒之間是60進(jìn)制,這和計(jì)量時(shí)間的單位時(shí)、分、秒是一樣的.(2)使用量角器時(shí),注意量角器的零刻度的讀數(shù)的旋轉(zhuǎn)方向,即選擇內(nèi)刻度、外刻度的讀數(shù).(3)以、度、分
19、、秒為單位的角的度量制,叫作角度制.此外,還有其他度量角的單位制,如以弧度為基本度量單位的弧度制.知能解讀(七)互為余角和互為補(bǔ)角(1)如圖兩個(gè)角的和是,那么這兩個(gè)角互為余角,其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余數(shù).銳角的余角為.(2)如果兩個(gè)角的和是,那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角,其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角.角的補(bǔ)角是.(3)互余、互補(bǔ)的性質(zhì);同角(等角)的余角相等;同角(等角)的補(bǔ)角相等.注意(1)余角和補(bǔ)角是關(guān)于兩個(gè)角的關(guān)系的概念,不能單獨(dú)說哪一個(gè)角是余角或補(bǔ)角.(2)兩個(gè)角互余或互補(bǔ)只是兩個(gè)角的和為或,與位置無關(guān).(3)兩個(gè)角互余,則這兩個(gè)角一定都是銳角.兩個(gè)角互補(bǔ),這兩個(gè)角可能都是直角.也可能一個(gè)角是銳
20、角,另一個(gè)角為鈍角.知能解讀(八)用角度表示方向方位角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所成的小于九十度的角.例:如圖所示,方向可表示為北偏西方法技巧歸納方法技巧(一)角的識(shí)別和表示法角的識(shí)別關(guān)鍵是找角的頂點(diǎn),再找角的兩邊,在表示角時(shí),注意一個(gè)大寫字母只能表示一個(gè)獨(dú)立角,三個(gè)大寫字母可以表示任意的角,而且要把表示頂點(diǎn)的字母寫在中間.點(diǎn)撥(3)中關(guān)鍵詞是“只能”(即不能用另外的表示方法)二字,因此在找角時(shí)要按照要求去做.方法技巧(二)利用角平分線的定義求角的度數(shù)的方法角的平分線提供了角的相等或倍分關(guān)系,把這些關(guān)系與已知角聯(lián)系起來,可以求出相關(guān)角的度數(shù).在有關(guān)角的度數(shù)的計(jì)算題中,有些題目設(shè)有給出圖形,當(dāng)
21、畫出符合題意的圖形不唯一時(shí),要注意分情況進(jìn)行討論.點(diǎn)撥根據(jù)解題的需要,角平分線的定義既可以寫作兩角相等的形式,也可以寫作一個(gè)角是另一個(gè)角2倍的形式,還可以寫作一個(gè)角是另外一個(gè)半的形式,應(yīng)靈活選擇.同時(shí)在計(jì)算中應(yīng)注意“整體代入思想”的運(yùn)用.方法技巧(三)度、分、秒的換算把度換算成度、分、秒時(shí)要乘進(jìn)率,而把度、分、秒轉(zhuǎn)化為度時(shí),要除以進(jìn)率,換算時(shí)要逐級進(jìn)行,不可越級轉(zhuǎn)化.點(diǎn)撥將的形式化為度、分、秒的形式時(shí),先取度整數(shù)后的剩余部分成60,再取乘積整數(shù)后的剩余部分乘60,最后以度、分、秒的形式寫出來;將度、分、秒的形式化成度的形式的方法是.方法技巧(四)余角和補(bǔ)角的有關(guān)計(jì)算根據(jù)余角和補(bǔ)角的定義,銳角的
22、.個(gè)別復(fù)雜些的問題,可列方程求解.點(diǎn)撥本題求角度可以利用方程求解,可以直接設(shè)未知數(shù),也可以間接設(shè)未知數(shù).點(diǎn)撥在計(jì)算有關(guān)余角、補(bǔ)角或與角度有關(guān)的問題時(shí),多數(shù)用列方程的方法求解.方法技巧(五)鐘表上的角度問題我們知道,時(shí)鐘(如圖所示)是測量時(shí)間的工具,時(shí)間的長與短、多與少都可以通過指針的指向來判斷.在幾何中,機(jī)械時(shí)鐘的指針還給了我們角的直觀形象.在時(shí)鐘的表盤上,分針每分鐘轉(zhuǎn),時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn),每分鐘轉(zhuǎn).知道這些關(guān)系,就可輕松解決時(shí)鐘問題了.點(diǎn)撥鐘表中時(shí)針與分針的夾角問題可轉(zhuǎn)化為行程與角的應(yīng)用題,采用方程的思想來解決,使復(fù)雜的問題變得直觀,易于解決.易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)只是1.互余、互補(bǔ)概念混淆.互余、
23、互補(bǔ)是指兩個(gè)角之間的一種關(guān)系,若三個(gè)角的和等于(或),不能說這三個(gè)角互余(或互補(bǔ)).2.角的換算單位與數(shù)的換算單位混淆.區(qū)別:角的換算單位之間的進(jìn)率是60,而數(shù)的換算單位之間的進(jìn)率是10.易混易錯(cuò)(一)對角的概念理解不清而致錯(cuò)易混易錯(cuò)(二)考慮問題不全面致錯(cuò)中考試題研究中考命題規(guī)律本講知識(shí)在中考中重點(diǎn)考查角的分類,角的大小比較及有關(guān)計(jì)算,互余、互補(bǔ)等知識(shí),利用角平分線以及角的和差進(jìn)行角的計(jì)算,常以填空題、選擇題的形式出現(xiàn),今年來又出現(xiàn)了對角的個(gè)數(shù)的規(guī)律探究方面的考查.中考試題(一)角的運(yùn)算中考試題(二)余角、補(bǔ)角的識(shí)別中考試題(三)余角、補(bǔ)角的有關(guān)計(jì)算中考試題(四)方位角的識(shí)別第31講 相交線
24、、平行線知識(shí)能力解讀知能解讀(一)鄰補(bǔ)角、對頂角的概念1鄰補(bǔ)角如圖所示,和有一條公共邊,它們的另一邊互為反向延長線(與互補(bǔ)),具有這種關(guān)系的兩個(gè)角,互為鄰補(bǔ)角.2對頂角定義:如圖所示,和有一個(gè)公共頂點(diǎn),并且的兩邊分別是的兩邊的反向延長線,具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角,互為對頂角.性質(zhì):對頂角相等.注意對頂角的特征:對頂角由兩條直線相交形成,同時(shí)形成兩對對頂角;成對頂角的兩個(gè)角有公共的頂點(diǎn);一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線.知能解讀(二)垂線的定義、性質(zhì)1垂線的定義如圖所示,直線與相交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),我們說直線與直線互相垂直,記作.垂直是相交的一種特殊情形,兩條直線互相垂直,其中的一條直線叫
25、作另一條直線的垂直線.它們的交點(diǎn)叫作垂足.2垂線的性質(zhì)(1)基本事實(shí):在同一平面內(nèi),過一點(diǎn)有且只有條直線與已知直線垂直.注意(1)應(yīng)用以上性質(zhì)必須強(qiáng)調(diào)“在同一平面內(nèi)”,否則,在空間里,經(jīng)過直線上一點(diǎn)與已知直線垂直的直線有無數(shù)條;(2)“過一點(diǎn)”中的一點(diǎn)可以是直線外一點(diǎn),也可以是直線上一點(diǎn);(3)“有且只有”說明了垂線的存在性和唯一性.(2)連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中的垂線段最短.簡單說成:垂線段最短.注意垂線與垂線段都具有垂直已知直線的特征,但垂線是一條直線,不能度量,而垂線段是一條線段,可以度量,它是垂線的一部分.知能解讀(三)點(diǎn)到直線的距離直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度,叫
26、作到直線的距離.注意距離是一個(gè)數(shù)量,而不是一個(gè)線段,所以點(diǎn)到直線的距離強(qiáng)調(diào)的是垂線段的長度.區(qū)分兩點(diǎn)間的距離與點(diǎn)到直線的距離,如下表:兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)到直線的距離定義連接兩點(diǎn)的線段的長度從直線外一點(diǎn)到這條之心啊的垂線段的長度性質(zhì)兩點(diǎn)之間,線段最短垂線段最短知能解讀(四)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念如圖所示,直線被第三條直線所截,構(gòu)成八個(gè)角,簡稱“三線八角”.(1)同位角:與,與,與,與,它們分別在直線的同一方,且在直線的同側(cè),具有這種位置關(guān)系的一對角叫作同位角.(2)內(nèi)錯(cuò)角:與,與,它們都在直線之間,并且分別在直線兩側(cè),具有這種位置關(guān)系的一對角叫作內(nèi)錯(cuò)角.(3)同旁內(nèi)角:與,與,它們都在直線之
27、間,又在直線的同一旁,具有這種位置關(guān)系的一對角叫作同旁內(nèi)角.注意(1)這三類角指的都是位置關(guān)系,而不是大小關(guān)系.(2)這三類角沒有公共頂點(diǎn),都是成對出現(xiàn)的.知能解讀(五)平行線的概念及平行公理1平行線的概念在同一平面內(nèi),直線與不相交時(shí),我們說線與互相平行,記作.注意(1)平行線無論怎樣延伸也不相交.(2)今后遇到線段、射線平行時(shí),指線段、射線所在的直線平行.(3)在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系只有兩種:相交和平行.2平行公理及推論平行公理:經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行.注意(1)以上結(jié)論所的是經(jīng)過“直線外一點(diǎn)”,若經(jīng)過直線上的一點(diǎn)作已知直線的平行線,就與已知直線重合了.(2)
28、“有且只有”指出了過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線的“存在性”和“唯一性”.推論:如圖兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行.也就是說:如果,那么(如圖所示).知能解讀(六)平行線的判定(1)同位角相等,兩直線平行;(2)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行;(3)同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.知能解讀(七)平行線的性質(zhì)(1)兩直線平行,同位角相等;(2)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;(3)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).知能解讀(八)平行線間的距離(1)如果兩條直線平行,那么其中一條直線上每個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離都相等.這個(gè)距離,叫作這兩條平行線之間的距離.注意(1)對于平面內(nèi)角的兩條直線,只有平行線才有距離
29、,兩條相交直線不存在距離.(2)求兩條平行線之間距離的方法:在兩條平行線中的任意一條上取任意一點(diǎn)作另一條直線的垂線段,垂線段的長度是這兩條平行線之間的距離,實(shí)際上是把求兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為求一點(diǎn)到一條直線的距離.(3)區(qū)分“垂線段”與“距離”,前者是形,后者是量,垂線段的長度是距離.方法技巧歸納方法技巧(一)對頂角的識(shí)別方法識(shí)別對頂角應(yīng)把握兩個(gè)條件:一是有公共頂點(diǎn);二是角的兩邊互為反向延長線.一般來說,兩條直線相交,一定有對頂角產(chǎn)生.點(diǎn)撥對頂角的定義應(yīng)注意四點(diǎn):(1)對頂角由兩條直線相交而成;(2)同時(shí)形成的有兩對對頂角;(3)成對頂角的兩個(gè)角有公共頂點(diǎn);(4)一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線.方法技巧(二)垂直的定義及性質(zhì)的應(yīng)用進(jìn)行有關(guān)角的計(jì)算時(shí),一遇到垂直就應(yīng)聯(lián)想到相交所成的四個(gè)角都是.點(diǎn)撥解決與垂直有關(guān)的問題時(shí),通常利用互余、互補(bǔ)關(guān)系,對頂角及同等角或等角的余角相等,同角或等角的補(bǔ)角相等等條件來求解.方法技巧(三)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別要準(zhǔn)確地識(shí)別這三類角,首先應(yīng)對照基本圖形,根據(jù)定義把握其位置特點(diǎn),在遇到實(shí)際問題時(shí)要找出哪兩條直線被哪一條直線所截,對于一些復(fù)雜圖形有時(shí)還需要把圖形分開來識(shí)別.識(shí)別方法如下:角的名稱位置特征基本圖形圖形結(jié)構(gòu)特征截線
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