以橢圓和圓為背景的解析幾何大題

1、熱點十一以橢圓和圓為背景的解析幾何大題【名師精講指南篇】【高考真題再現(xiàn)】Z 1a b 0的離心率為二,b22X例1【2015高考】如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓 篤a且右焦點F到左準(zhǔn)線I的距離為3.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） 過F的直線與橢圓交于 A, B兩點，線段 AB的垂直平分線分別交直線 I和AB于點P, C,若PC=2AB求直線 AB的方程2【答案】（1） y2 1 （ 2）y x 1 或 yx 1 .2【解析】試題分析1）求橢圜標(biāo)準(zhǔn)方程，只需列兩個獨立條件即可：一是離心率為邁，二是右焦點F到左準(zhǔn)線12的砸禽為3解方程組即得因為直線昶過乩所以求直線AB的方程就是確定其斜

2、率，本題關(guān)璉就是 根據(jù)PU2AB列出關(guān)于斜率的等量關(guān)系，這有一定運算量.苜先利用直線方程與橢圓方程嚴(yán)立方程組，解出 仙兩點;坐標(biāo)利用兩點間距離公式求出AD牧再根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出G點坐標(biāo)利用兩直集交點求出F 點坐標(biāo)，再根將兩點間距直公式求出PC長，剎用PC=2AB解出賣線AB斜率，寫出賣線AB方稈.C y2O2試題解析：（1）由題意，得c 2且c 3 ,a2c解得a &，c 1，則b 1 ,2所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y21 .2(2)當(dāng)X軸時，.2，又 C3，不合題意.當(dāng)與X軸不垂直時，設(shè)直線的方程為y k x 1 ,h ,x2,y2 ,將的方程代入橢圓方程，得12k2 x24k2x 2

3、 k2 10,則x1,22k*L，c的坐標(biāo)為備'得.且1 2k22X2%2y2 *222.21 k21kx2l1 2k20，則線段的垂直平分線為 y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意.從而k 0，故直線12k2k x 1 2k2 ，則點的坐標(biāo)為2,2k 1 2k25k22,從而 C 2 3k211 k2k 1 2k2因為 C 2 ，所以2 3k2 1 .1 k2k 1 2k24 * 2 1 F，解得 k 1，1 2 k2此時直線方程為y例2【2016高考】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓 M ： x2 y2 12x 14y 60 0及其上一點A(2，4).(1)設(shè)圓N與x軸相

4、切，與圓 M外切，且圓心 N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)平行于 OA的直線I與圓M相交于B, C兩點，且BC=OA求直線I的方程;1 (2) I: y 2x 5或y 2x 15【解析】UlTM上的兩點P和Q使得TAurTPuuuTQ,，數(shù)t的取值圍.(3)2 221 t 2 221試題分析；門)根據(jù)直線5 x軸相切確定圓心位置，再根據(jù)兩圓外切建立等量關(guān)系求半彳去住根據(jù)垂徑定 理確定等量關(guān)系，求直線方程,(3)永Iffl向量加法幾何意義建立等量關(guān)系，根據(jù)圓中弦長范團建立不竽式, 求解即得參數(shù)職值范圍.2 2試題解析：解：圓 M的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 6 y 725，所以圓心 M6 , 7

5、)，半徑為5,.(1)由圓心N在直線x=6上，可設(shè)N 6,y0 .因為N與x軸相切，與圓 M外切,所以0y。 7，于是圓N的半徑為y，從而7yo2O因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 6 y 11.因為直線l / oa所以直線l的斜率為22.設(shè)直線l的方程為y=2x+m即2x-y+n=0,則圓心M到直線I的距離因為BCOA.22422.5,2而MCd2BC 2所以25故直線I255，解得 n=5 或 n=-i5.5的方程為 2x- y+5=0 或 2x-y-15=0.X,yi ,Q X2,y2因為 A 2,4 ,T t,0 ,TAuirTPunTQ，所以X2Xi因為點Q在圓M上，所以y2將代入，得2Xi

6、 t 4yi25.于是點P Xi,%既在圓M上,又在圓從而圓2 ,y 725與圓x所以5因此，實數(shù)t的取值圍是 22.21,2y2yi25.5 5,解得2.2?.2 2.2i25上,25沒有公共點,【考點】直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、平面向量的運算【名師點睛】直線與圓中的三個定理：切線的性質(zhì)定理，切線長定理，垂徑定理；兩個公式：點到直線距離公式及弦長公式，其核心都是轉(zhuǎn)化到與圓心、半徑的關(guān)系上，這是解決直線與圓的根本思路.對于多元問題，也可先確定主元，如本題以P為主元，揭示 P在兩個圓上運動，從而轉(zhuǎn)化為兩個圓有交點這一位置關(guān)系，這也是解決直線與圓問題的一個思路，即

7、將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系問題22例3【2017高考】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E:篤占1(a b 0)的左、右焦點分別為 R ,a b1F2，離心率為-，兩準(zhǔn)線之間的距離為8 .點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線11，過點F2作直線PF2的垂線12 .(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線li，J的交點Q在橢圓E上,求點P的坐標(biāo).2【答案】(1)4(2)(苧叨.【解析】試趣分析； 1)由條件可得£ = k= 8腐萬程組可得。1決臨二后二7二3G 2 C設(shè)/u必兒根據(jù)點辭式寫出直線尸殲及尸片的萬程，解方程組得交點坐標(biāo)氐-亦城二1兒代川圓方

8、程化簡得十潛品+元與手+普聯(lián)立,求解可得點呻坐標(biāo)-試題解析：(1)設(shè)橢圓的半焦距為 c.1 c因為橢圓E的離心率為一，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以一2 a 2 2解得a 2,c1，于是b .a2 c23，43（2）a知，鞏（一lox （i=o）設(shè)因由尸為第一象限的點，故>0:yc>0當(dāng)弋=1時）右與心相交于耳?與題設(shè)不符當(dāng)西H1時，直線尸片的菇率為逹7,亙線碼的斜率為斗.遍+ 1兀一 1因知丄p耳，£丄蹈，所以直線4的斜率為- ,的斜率為-匹二從而直線A的方程：y二一堂乜匚+1）直線百的萬程：”=一心（兀一1）由，解得"心廠左二1,所以0_溶也）.耳）片因為點Q在

9、橢圓上，由對稱性，得2 2 2 2yo，即 Xoyo1 或 Xoyo1 .2 2又P在橢圓E上，故程匹1 .43x y 1由邊乂 ，解得Xo434.7,yo3.77x： y：Xo y2，無解.143因此點P的坐標(biāo)為（乎，乎）.【考點】橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系【名師點睛】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用 根與系數(shù)關(guān)系或求根公式進行轉(zhuǎn)化，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點在曲線上（點的坐標(biāo)滿 足曲線方程）等.【熱點深度剖析】1. 圓錐曲線的解答題中主要是以橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思

10、想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法，這道解答題往往是 試卷的壓軸題之一由于圓錐曲線與方程是傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)主干知識，在高考命題上已經(jīng)比較成熟，考查 的形式和試題的難度、類型已經(jīng)較為穩(wěn)定，預(yù)計2017年仍然是這種考查方式，不會發(fā)生大的變化.2. 解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達(dá)到鞏固知識、提高能力的目的綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，應(yīng)用判別式、韋達(dá)定理的意識解析幾何應(yīng)用問題的解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，合理建立曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)

11、的代數(shù)問題作出定量或 定性的分析與判斷常用的方法：數(shù)形結(jié)合法，以形助數(shù)，用數(shù)定形在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等3.避免繁復(fù)運算的基本方法：回避，選擇，尋求所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡方程、求交點、解方程等繁復(fù)的運算所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的方法等，一般以直接性和間接性為基本原則“設(shè)而不求”、“點代法”等方法的運用就是主動的“所謂尋求”4. 定點、定值問題必然是在變化中所表

12、現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、 數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要 求的定點、定值化解這類問題難點的關(guān)鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù) 等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.5. 預(yù)計18年將繼續(xù)將解幾大題作為探究能力考查的“試驗田”，考查定點、定值問題的可能性較大【最新考綱解讀】容要求備注ABC平面解析幾何初步直線的斜率和傾斜角V對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層 次（在表中分別用 A、B C表示）.了解：要求對所列知識的含義有最基本的認(rèn)識，并能解 決相關(guān)的簡單問題.理解：要求對所列知識有較深刻的認(rèn)識，并能解決有一直線方程V定綜合性的問題掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識的在聯(lián)系，并能解決綜合性較強的或較為困難的問題直線的平行關(guān)系與垂直關(guān)系V兩條直線的交點V兩點間的距離、點到直線的距離V圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方 程V直線與圓、圓與圓的位護¥