《最短路徑問題》PPT

1、13.4 課題學習 最短路徑問題 導入新課講授新課當堂練習課堂小結(jié)學習目標1.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想（重點）2.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.（難點）1.如圖，連接A、B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？最短，因為兩點之間，線段最短AB2.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因為垂線段最短導入新課復習引入3.在我們前面的學習中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實？三角形三邊關(guān)系：兩邊之的和大于第三邊；斜邊大于直角邊.4.如圖，如何作點A關(guān)于直線l的對稱點？lAA 牧人飲馬問題 “兩點的所有連

2、線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題. 現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史上著名的“牧馬人飲馬問題”.ABPlABCD講授新課如圖，牧馬人從點A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？實際問題ABl抽象成ABl數(shù)學問題C作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.問題1 現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？連接AB,與直線l相交于一點C.ACB根據(jù)是“兩點之間，線段最短”

3、，可知這個交點即為所求.問題2 如果點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，又應該如何解決？BA想一想：對于問題2，如何將點B“移”到l 的另一側(cè)B處，滿足直線l 上的任意一點C，都保持CB 與CB的長度相等？ 利用軸對稱，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B.方法揭曉作法：（1）作點B 關(guān)于直線l 的對稱點B；（2）連接AB，與直線l 相交于點C 則點C 即為所求 ABlB C問題3你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？ 證明：如圖，在直線l 上任取一點C（與點C 不重合），連接AC，BC，BC由軸對稱的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC AC +BC= AC +BC = AB， AC+BC= AC+B

4、CABlB CC 在ABC中，ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短練一練：如圖，直線l是一條河，P、Q是是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（ ）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD典例精析例1 如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）A7.5 B5 C4 D不能確定 解析：ABC為等邊三角形，點D是BC邊的中點，即點B與點C關(guān)于直線AD對稱.點F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)

5、化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值.B方法總結(jié)：此類求線段和的最小值問題，找準對稱點是關(guān)鍵，而后將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長，而再根據(jù)已知條件求解.例2 如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，當ABC的周長最小時點C的坐標是（）A（0，3） B（0，2） C（0，1） D（0，0） 解析：作B點關(guān)于y軸對稱點B，連接AB，交y軸于點C，此時ABC的周長最小，然后依據(jù)點A與點B的坐標可得到BE、AE的長，然后證明BCO為等腰直角三角形即可ACBE方法總結(jié)：求三角形

6、周長的最小值，先確定動點所在的直線和固定點，而后作某一固定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，而后將其與另一固定點連線，連線與動點所在直線的交點即為三角形周長最小時動點的位置.1.如圖，直線m同側(cè)有A、B兩點，A、A關(guān)于直線m對稱，A、B關(guān)于直線n對稱，直線m與AB和n分別交于P、Q，下面的說法正確的是（）AP是m上到A、B距離之和最短的 點，Q是m上到A、B距離相等的點 BQ是m上到A、B距離之和最短的 點，P是m上到A、B距離相等的點 CP、Q都是m上到A、B距離之和最 短的點 DP、Q都是m上到A、B距離相等 的點 A當堂練習2.如圖，AOB=30，AOB內(nèi)有一定點P，且OP=10在OA上有一點

7、Q，OB上有一點R若PQR周長最小，則最小周長是（） A10 B15 C20 D30 A3.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點A到河岸CD的中點的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是 米.ACBD河10004.如圖，邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，AOB的頂點均在格點上，點A、B的坐標分別是A（3，2），B（1，3）點P在x軸上，當PA+PB的值最小時，在圖中畫出點PxyOBAP B拓展提升5.（1）如圖，在AB直線一側(cè)C、D兩點，在AB上找一點P，使C、D、P三點組成的三角形的周長最短，找出此點并說明理由（2

8、）如圖，在AOB內(nèi)部有一點P，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、P三點組成的三角形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由（3）如圖，在AOB內(nèi)部有兩點M、N，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、M、N，四點組成的四邊形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由ABC D P O A B N O A B M ABC D P C 圖P O A B P E F P 圖N O A B M M E F N 圖原理最短路徑問題牧馬人飲馬 問 題線段公理和垂線段最短解題方法軸對稱知識+線段公理課堂小結(jié)造橋選址問題造橋選址問題如圖，如圖，A和和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋兩地

9、在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN。橋造在何處可使從橋造在何處可使從A到到B的路徑的路徑AMNB最短（假定河的兩岸最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）是平行的直線，橋要與河垂直）？BAABNM知識模塊二知識模塊二 利用平移確定最短路徑選址利用平移確定最短路徑選址1.如圖假定任選位置造橋如圖假定任選位置造橋MN，連接連接AM和和BN，從，從A到到B的路的路徑是徑是AM+MN+BN，那么怎樣，那么怎樣確定什么情況下最短呢？確定什么情況下最短呢？BA2.利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？思考分析思考分析我們能否在不改變AM+MN+BN的

10、前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？1.把A平移到岸邊.2.把B平移到岸邊.3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.BA思考分析思考分析各抒己見各抒己見1.把A平移到岸邊.BA()AM+MN+BN長度改變了2.把B平移到岸邊.BA（）AM+MN+BN長度改變了思考分析思考分析怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢?BABAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.理由理由:另任作橋另任作橋M1N，連接，連接AM，BN，AN.由平移性質(zhì)可知，由平移性質(zhì)可知，AMAN，AAMNMN，A

11、MAN.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為，而，而轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為為.在在ANB中，由線段公理知中，由線段公理知A1N1+BN1A1B.因此因此 AM+MN+BN.問題解決問題解決證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM 且且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以A，B兩地的距離：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則AB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN，所以橋的位置建在MN處，AB兩地的路程最短.ABMNECD解決最短路徑問題的方法解決最短路徑問題的方法