平均故障間隔時(shí)間（MTBF）和故障率的關(guān)系推導(dǎo)

1、平均故障間隔時(shí)間（MTBF）和故障率的關(guān)系推導(dǎo)可靠性咨詢顧問 蘇鐵軍（sutiejun）MTBF的含義是平均故障間隔時(shí)間（Mean Time Between Failure），就是產(chǎn)品每次故障之間能正常運(yùn)行的平均時(shí)間。還有一個(gè)類似的概念是MTTF，是平均故障前時(shí)間（Mean Time To Failure）。對(duì)于完全修復(fù)的產(chǎn)品，修好了就跟新的一樣，所以“一個(gè)產(chǎn)品故障多次之間的時(shí)間”和“多個(gè)產(chǎn)品故障一次之前的時(shí)間”性質(zhì)是一樣的，此時(shí)MTBF也就等于MTTF。習(xí)慣上說MTBF的更多。MTBF說白了就是平均壽命，怎么算呢？先舉個(gè)例子，假設(shè)有個(gè)離散型的隨機(jī)變量X，是1的概率是0.3，是2的概率是0.5

2、，是3的概率是0.2，那么X的平均值（也就是“數(shù)學(xué)期望”）是多少？很簡(jiǎn)單，就是：1*0.3+2*0.5+3*0.2=1.9引申開去，連續(xù)性的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（平均值）就是：。用到可靠性上，隨機(jī)變量是時(shí)間t，在每個(gè)時(shí)間t（之后的t）故障的概率（故障密度）是f(t)，反過來此時(shí)t其實(shí)也就是這些此時(shí)故障的產(chǎn)品的壽命值，所以，平均壽命就是：。物理概念上可以理解為：壽命為t的概率是f(t)，類似離散型那樣相乘，在所有的t上（從零到無窮大）積分起來就是平均壽命。f(t)不好用，我們經(jīng)常用的還是故障率，那么如何把上式轉(zhuǎn)化成用故障率表示的函數(shù)呢？從前一篇可靠度R和故障率之間關(guān)系式的數(shù)學(xué)溯源中我們可以知道R(

3、t)可以用故障率表示。所以，只要爭(zhēng)取把平均壽命的公式轉(zhuǎn)化成R(t)表示的函數(shù)就可以了。我們知道f(t)=-R(t)，代入上式：還有一個(gè)討厭的t，怎么去掉？或者說，什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有可能是上面這個(gè)東東？看看下面這個(gè)公式：不懂上式？翻翻高數(shù)課本：所以，兩邊積分，就得到平均壽命：而。（因?yàn)镽()=0）大功告成，平均壽命上式的物理意義可以這么理解：上式變成，思路是從時(shí)間段的角度算產(chǎn)品個(gè)數(shù)，而不是從產(chǎn)品角度算壽命（原始公式的物理意義）。即考慮有多少產(chǎn)品數(shù)落在這個(gè)時(shí)間段，最后加起來。例如(t+t)這個(gè)時(shí)間段范圍內(nèi)的產(chǎn)品數(shù)目是R(t)*N，則R(t)*N*t也就是dt這個(gè)時(shí)間段內(nèi)的壽命和。注意不要再乘t了，因?yàn)橛?jì)算下一個(gè)dt時(shí)間段時(shí)，R(t)里面（還沒壞的產(chǎn)品）和這個(gè)時(shí)間段有重復(fù)的產(chǎn)品數(shù)！即不算歷史積累的t，只算當(dāng)前小區(qū)間dt里面有多少產(chǎn)品。從0到無窮大把這些時(shí)間段（帶著各自所附帶的產(chǎn)品數(shù)，也就是所蘊(yùn)含的壽命）全部加起來（積分），得到所有產(chǎn)品的壽命之和，再除以產(chǎn)品總數(shù)N，就得到平均壽命。分子分母的N消掉。當(dāng)壽命分布服從指數(shù)分布時(shí)，此時(shí)，即：指數(shù)分布下，MTBF（平均壽命）和故障率（）互為倒數(shù)關(guān)系。這也是個(gè)經(jīng)典結(jié)論，一定要記住。這個(gè)關(guān)系的物理概念是：某個(gè)產(chǎn)品平均1年壞2次（=2），所以平