絕對值與相反數(shù)(提高)知識講解

1、絕對值與相反數(shù)（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 借助數(shù)軸理解絕對值和相反數(shù)的概念；2. 知道Ia的絕對值的含義以及互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系；3. 會求一個數(shù)的絕對值和相反數(shù)，并會用絕對值比較兩個負(fù)有理數(shù)的大??；4. 通過應(yīng)用絕對值解決實(shí)際問題，體會絕對值的意義和作用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相反數(shù)1. 定義：如果兩個數(shù)只有符號不同，那么稱英中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù).特別地，O 的相反數(shù)是0.要點(diǎn)詮釋：（1）“只”字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同.（2）“0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)立義的一部分，不能漏掉.（3）相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨(dú)一個數(shù)不能說是相反數(shù)（4）求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前

2、面添上"-”號即可.2. 性質(zhì)：（1）互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等（這兩個點(diǎn)關(guān)于原 點(diǎn)對稱）.（2）互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0.要點(diǎn)二、多重符號的化簡多重符號的化簡，由數(shù)字前面"-”號的個數(shù)來確定，若有偶數(shù)個時，化簡結(jié)果為正， 如-（-4）=4 :若有奇數(shù)個時，化簡結(jié)果為負(fù)，如-+-（-4）=-4 .要點(diǎn)詮釋：（1）在一個數(shù)的前面添上一個“ + ”，仍然與原數(shù)相同，如+ 5 = 5, + （5） =-5.<2）在一個數(shù)的前面添上一個"一”,就成為原數(shù)的相反數(shù).如一（一3）就是一3的相 反數(shù)，因此，一（一3） =3.要點(diǎn)三、絕對值1.

3、 定義：在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個數(shù)的絕對值，例如+2的絕對 值等于2,記作1+2 =2： -3的絕對值等于3,記作1-3二3.要點(diǎn)詮釋：（1）絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身：一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)：0 的絕對值是0.即對于任何有理數(shù)a都有：U( > 0)Ial=O(a = 0)-a (Cl < 0)（2）絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，離原點(diǎn)的距 離越遠(yuǎn)，絕對值越大：離原點(diǎn)的距離越近，絕對值越小.（3）個有理數(shù)是由符號和絕對值兩個方而來確定的.2. 性質(zhì)：（1）O除外，絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù).

4、（2）互為相反數(shù)的兩個數(shù)（0除外）的絕對值相等.（3）絕對值具有非負(fù)性，即任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0.要點(diǎn)四、有理數(shù)的大小比較1. 數(shù)軸法：在數(shù)軸上表示出這兩個有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小.如：a與b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a<b.、2. 法則比較法：b兩個數(shù)比較大小，按數(shù)的性質(zhì)符號分類，情況如下:兩數(shù)同號同為正號：絕對值大的數(shù)大同為負(fù)號：絕對值大的反而小兩數(shù)異號正數(shù)大于負(fù)數(shù)一數(shù)為0正數(shù)與0：正數(shù)大于0負(fù)數(shù)與0：負(fù)數(shù)小于0要點(diǎn)詮釋：利用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的大小的步驟：（1）分別訃算兩數(shù)的絕對值；（2）比較絕對值 的大小：（3）判定兩數(shù)的大小.3. 作差法：設(shè)a、b為任意數(shù)，若a-

5、b>0,則a>b;若a-b = 0,則a=b;若a-b<0, a <b：反之成立.4. 求商法：設(shè)a、b為任意正數(shù)，若->1,則a>bi若- = 1,則a=b;若-<1,則bhba<b-.反之也成立.若a、b為任意負(fù)數(shù)，則與上述結(jié)論相反.5. 倒數(shù)比較法：如果兩個數(shù)都大于零，那么倒數(shù)大的反而小【典型例題】類型一、相反數(shù)的概念（2014-常徳一模）若m與n互為相反數(shù)，則m÷n - 2 =.【答案】2【解析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的性質(zhì)，可知m + n=0,代入上式可得：m÷n-2 = 0-2>=2.【總結(jié)升華】若Iiiji

6、互為相反數(shù),則m + “ = 0或加=-H .舉一反三：【變式】（2014秋監(jiān)利縣期末）若x-2!與（y+3）=互為相反數(shù)，則x+y二.【答案】-1.VlX-2|與（y+3）=互為相反數(shù)， x-2 + （y+3）'二0,x - 2=0, y+3=0,解得 x=2, y= - 3,°.x+y 二 2+ （-3）=-1.故答案為： 1.類型二、多重符號的化簡2. 化簡下列各數(shù). -(-6)： -(+6):-(+6)：-4-(+6):-(-6)【答案】6：-6；6； 0-6：6【解析】一(6)表示-6的相反數(shù)，所以(-6) = 6； 一(+6)表示+6的相反數(shù)，所以-(+6) =

7、-6 : (+6)前面共有2個“-”號，為偶數(shù)個，而"+”可以省略，所以T一(+6) = 6; -4-(+6)中共有3個“-”號，即奇數(shù)個，而“+”可以省略，所以-(+6)=-6: 一4-(-6)中共有4個“-”號，即偶數(shù)個，而“+”可以省略，所以4-(-6) = 6【總納升華】多重符號化簡的規(guī)律解決這類問題較為簡單.即數(shù)一下數(shù)字前而有多少個負(fù) 號.若有偶數(shù)個，則結(jié)果為正；若有奇數(shù)個，則結(jié)果為負(fù).類型三、絕對值的概念3. 如果 x=6, y=4,且 x<y.試求 x、y 的值.【思路點(diǎn)撥】6和-6的絕對值都等于6, 4和-4的絕對值都等于4,所以要注意分類討論.【答案與解析】因

8、為x=6,所以=6或X=-6：因?yàn)閕yi =4,所以y=4或y=-4： 由于XVy,故X只能是-6,因此x=-6, y=±4.【總結(jié)升華】已知絕對值求原數(shù)的方法：(1)利用概念：(2)利用數(shù)形結(jié)合法在數(shù)軸上表示岀 來.無論哪種方法但要注意若一個數(shù)的絕對值是正數(shù)，則此數(shù)有兩個，且互為相反數(shù).此外, 此題 x=-6, y=±4,就是 x=-6, y=4 或 x=-6, y=-4.舉一反三：【變式】如果數(shù)軸上的點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是6,則點(diǎn)A表示的數(shù)為.如果I -2 I =1,那么X=:如果I X丨>3,那么X的范圍是.【答案】6或-6： 1或3： x>3或x-3類型四、

9、比較大小WF 4.比較下列每組數(shù)的大?。?D-(-5)與一 一5；： (2)-(+3)與 0： (3)-1 與一 °； (4) - 與一 13.141.54【思路點(diǎn)撥】先化簡符號，去掉絕對值號再分清是“正數(shù)與零、負(fù)數(shù)與零、正數(shù)與負(fù)數(shù)、兩 個正數(shù)還是兩個負(fù)數(shù)”，然后比較.【答案與解析】(1)化簡得：-(-5)=5, - -5=-5因?yàn)檎龜?shù)大于一切負(fù)數(shù)，所以-(-5) >-!-5.(2)化簡得：-(+3)=-3.因?yàn)樨?fù)數(shù)小于零，所以-(+3)<0.化簡得：-這是兩個負(fù)數(shù)比較大小，因?yàn)?=i = -4455203 = 34 "4,且蘭>2.所以一2020205(

10、4) 化簡得:-3. 14 I =-3. 14,這是兩個負(fù)數(shù)比較大小，因?yàn)?H =>-3. 14 | =3.14,而 >3. 14,所以- <-3. 14.【總結(jié)升華】在比較兩個負(fù)數(shù)的大小時，可按下列步驟進(jìn)行：先求兩個負(fù)數(shù)的絕對值，再比 較兩個絕對值的大小，最后根據(jù)"兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”做出正確的判斷.類型五、含有字母的絕對值的化簡¢5. (2016春都勻市校級月考)若-IVXV4,則x+1 - -4=.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)絕對值的性質(zhì)：當(dāng)a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a：當(dāng)a是負(fù)有 理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)-a,可得x+=x+l, -4=-

11、+4,然后再合并同類項(xiàng) 即可.【答案】2-3.【解析】解：原式=x+l - ( - x+4)t=x+l+x 4,=2x - 3.【總結(jié)升華】此題主要考査了絕對值，關(guān)鍵是掌握絕對值的性質(zhì)，正確判斷出x+l, x-4 的正負(fù)性.舉一反三：【變式】已知有理數(shù)a, b, C在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位宜如圖所示:化簡：I 3。一。|十I 2乂十糾一IU-糾【答案】由圖所示，可得C <-3<-l< <0<2<. 3c-c>0, 2a+ >0 > c-b <0V 3-c + 2+-c- = (3c2-c) + (2+)-(c-) =免-c + (2+)

12、+ -) -3。-c+2q+c-b=s5a .原式=5.類型六.絕對值非負(fù)性的應(yīng)用已知為有理數(shù)，且滿足：護(hù)刊屮訃。，則干【答案與解析】由2 + l>0t 2-0, |2«+l| + |2-2>|=0t可得峠2a +1 = O2- = 0【總結(jié)升華】由于任何一個數(shù)的絕對值大于或等于0,要使這兩個數(shù)的和為0.需要這兩個 數(shù)都為0幾個非負(fù)數(shù)的和為0,則每一個數(shù)均為0 舉一反三：【變式】已知b為正整數(shù)，且a、b滿足|2-4|十庁二1,求。的值.2dt 4 = 0 fa = 2【答案】由題意得仁I仁“所以，/=2 = 1 = 1"厶*A類型七、絕對值的實(shí)際應(yīng)用. 一只可愛的小蟲從點(diǎn)0出發(fā)在一條直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為止 數(shù)，向左爬行的路程記為負(fù)數(shù)，小蟲爬行的各段路程（單位：Cm）依次記為：+5, -3, +10, -8, -6, +12, -10,在爬行過程中，如果小蟲每爬行ICm就獎勵2粒芝麻，那么小蟲一共可 以得到多少粒芝麻？【思路點(diǎn)撥】總路程應(yīng)該為小蟲爬行