通信系統(tǒng)原理第九章信道編碼

1、41第九章 信道編碼知識點(diǎn)基本技術(shù)：在了解波形信道特征和仙農(nóng)信道容量公式基本概念基礎(chǔ)上，主要介紹波形編碼和分組碼、循環(huán)碼以及卷積碼等的基本編解碼方法及評價(jià)。1. 知識點(diǎn)及層次l 波形編碼主要認(rèn)識基于正交的哈維碼的特性。l 基于漢明距離的差錯(cuò)控制定理。（掌握）l 線性分組碼(n，h)碼的結(jié)構(gòu)、編碼方法、解碼、檢糾錯(cuò)計(jì)算。（掌握）l 循環(huán)碼的構(gòu)成特征及編碼方法（掌握），以及CRC、R-S、BCH碼的特征（了解）。l 卷積碼的基本特征（熟悉概念），TCM（一般認(rèn)識）。2. 為便于自學(xué)并透徹理解信道編碼原理，下面對分組碼、循環(huán)碼及卷積碼給與更為詳盡的分析。9.1 波形編碼通過第6、7兩章，我們以充分認(rèn)

2、識到正交信號設(shè)計(jì)是提高傳輸可靠性和最佳系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要方面。實(shí)際通信系統(tǒng)多半屬于利用“波形信道”模型加性高斯噪聲信道、限帶且功率受限的信道。信道信息方認(rèn)識各種信號波形，上面四章均如此。9.1.1 波形編碼這里所指的波形編碼不是一般PCM編碼，主要是基于正交的“哈維碼”它屬于后面介紹的分組碼的范疇。1. 基與相關(guān)檢測的正交編碼l 理論依據(jù)：碼字i，j間的相關(guān)系數(shù)。l 正交（不相關(guān)）定義：=0。2. 二元正交碼模式（沃爾代哈維碼）l 1、0兩個(gè)簡單數(shù)據(jù)的正交碼為 9-1l 4元數(shù)據(jù)的正交碼為 9-2l M元，多元數(shù)據(jù)正交碼 9-3l 特性： 或 9-4l 相關(guān)檢測誤差概率 9-53. 雙正交碼l （

3、只用式（8-3）右半部分） 9-6l 最簡單的雙正交碼： 即00，01，11，10。 9-7（QPSK、QAM利用了這種雙正交特性有優(yōu)良性能）l 特性： （PN碼有類似特性） 9-84. 截短正交碼l 中去掉首項(xiàng)全0，如式（8-2）去掉左邊4個(gè)“0”。l 特性： （N碼長） 9-95. 結(jié)論l 正交碼決定于相關(guān)系數(shù)。l 正交碼一般要付出冗余度為代價(jià)。l 這里正交碼多屬于下面將介紹的“線性分組碼”。l 鑒于語音信號特點(diǎn)及人耳智能，PCM 語音無須正交碼。9.1.2 差錯(cuò)控制概念本部分主要基于二元對稱或不對稱、無記憶信源與無記憶信道特征。現(xiàn)舉例說明。例9-1發(fā)端收端圖2-7 例2-3信道模型 二進(jìn)

4、制無記憶不對稱信道，如圖2-7所示，傳輸0，1編碼序列，并分別以和代表發(fā)送0及1碼，以和代表接收0及1碼。兩個(gè)正確的轉(zhuǎn)移概率分別為：，；兩個(gè)錯(cuò)誤的轉(zhuǎn)移概率分別為：，且先驗(yàn)概率相等，即。（1） 試計(jì)算B端收到0碼及1碼的概率及；（2） 當(dāng)分別收到0或1碼后，判斷原來發(fā)送的是什么碼的概率，即求，及。解（1）利用全概率公式來計(jì)算收到0及1碼的概率。它們分別是和（3） 由上述后驗(yàn)公式可分別求出4個(gè)后驗(yàn)概率。它們分別為1. 錯(cuò)誤格式El n長碼字的可能差錯(cuò)位數(shù)：種l 如：C=1011（正確）E=0010（錯(cuò)1位） 9-10 （錯(cuò)碼）。l n長碼隨機(jī)差錯(cuò)總概率： （n中單個(gè)碼錯(cuò)誤概率） 9-11式中： 9

5、-12l 在信號傳輸中，我們?nèi)糁豢紤]高斯白噪聲加性干擾（AWGN）,別稱高斯信道。由式（9-11），錯(cuò)1位概率最大；錯(cuò)2位概率減少近1個(gè)量級。所以，下面介紹糾錯(cuò)碼，重點(diǎn)是糾1或2位，符合一般應(yīng)用要求。例9-2 茲有一個(gè)碼長為4bit的二元碼字序列。以的速率傳輸，若已知單個(gè)碼元差錯(cuò)概率為，試計(jì)算（1） 每個(gè)碼字的差錯(cuò)率是多少？（2） 在本題條件下，平均多少時(shí)間發(fā)生一個(gè)差錯(cuò)碼字？（3） 如果在碼字中加上一位校驗(yàn)位，傳輸碼字的速率是多少（碼字/秒）？（4） 在（3）條件下，發(fā)生二個(gè)差錯(cuò)碼字的概率是多少？發(fā)生該2位差錯(cuò)的平均時(shí)間間隔是多少？解 （1）由于4個(gè)碼元構(gòu)成一個(gè)碼字，所以造成錯(cuò)字的情況應(yīng)包括發(fā)

6、生1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)及4個(gè)差錯(cuò)概率之和，即 由上面計(jì)算看出，錯(cuò)1位碼的概率最大，而其它幾種錯(cuò)誤概率與之相比可以忽略不計(jì)。 （2）可解得這一結(jié)果表明，對于一個(gè)無糾錯(cuò)能力的碼字，在本題條件下，平均每發(fā)生一個(gè)錯(cuò)字。（3）為使該碼字增加抗干擾能力，而增加1位奇偶監(jiān)督位。這樣每個(gè)碼字變成了5個(gè)碼元，實(shí)際信息傳輸速率下降為 （4）若因增加了一位監(jiān)督元，信息位差錯(cuò)的可能被該監(jiān)督元所分擔(dān)一些，所以此時(shí)發(fā)生2位差錯(cuò)的概率一定較（1）中第二項(xiàng)計(jì)算值為小，即為 需要明確，在上述情況下，可以檢出1位錯(cuò)，通過重發(fā)可以糾錯(cuò)，所以這里不存在1位錯(cuò)。但2位差錯(cuò)將仍無法檢出，從而也不能糾正。此時(shí)發(fā)生一個(gè)差錯(cuò)碼字（即近似為發(fā)生2位

7、差錯(cuò)）的時(shí)間，在不考慮發(fā)生1位錯(cuò)而需重發(fā)，因此導(dǎo)致傳輸速率降低的實(shí)際情況時(shí)，則仍按（3）的結(jié)果即計(jì)算，則 這與（2）結(jié)果相比，說明了付出一位監(jiān)督元代價(jià)后，雖然碼率降低了，但由于消除了1位差錯(cuò)，錯(cuò)碼率因而由錯(cuò)1個(gè)碼字，變?yōu)?5天錯(cuò)一個(gè)。2. 信道編碼定理l 帶寬與功率受限的高斯信道容量仙農(nóng)公式： 9-13l 仙農(nóng)公式是信道編碼定理和差錯(cuò)控制定理的理論依據(jù)。l 編碼定理一個(gè)具有確定（每秒）信道容量的高斯信道，對于任何小于的信息傳輸，總存在一種碼長為n，碼率為的分組碼，其接收解碼的誤差概率的上限為 9-14式中誤差指數(shù)。圖9-3位誤差曲線 圖9-3 不同信道容量時(shí)誤差與速率關(guān)系 3. 漢明距離l 碼

8、長為n的分組碼，漢明距離等于碼字集合中所有兩碼字對位模2和的重量，即 9-15l 當(dāng)碼字集合中含有全0的碼字，則d等于重量（1碼個(gè)數(shù)）最小的數(shù)目是差錯(cuò)控制能力的唯一參量。 4. 差錯(cuò)控制定理 碼率為的（n，k）分組碼，差錯(cuò)控制能力為l 檢出e位錯(cuò)： 9-16l 糾正t位錯(cuò)： 9-17l 糾t位同時(shí)可檢e位： 9-18 9.2 線性分組碼9.2.1 構(gòu)思特點(diǎn) 1. 構(gòu)思 為達(dá)到按“定理”規(guī)則所指定的差錯(cuò)控制能力，在待發(fā)送源碼k位碼字之后，通過k位信碼的線性組合而提供位冗余，則形成包括k位信碼與位冗余（稱為監(jiān)督元或校驗(yàn)元）的碼率為的（n，k）線性分組碼。 2. 最簡單的（n，k）碼l 奇、偶校驗(yàn)碼

9、l （n，1）重復(fù)碼9.2.2 （n，k）碼編制過程舉例例9-3 試編制（n，k）=（5，2）分組碼。解：1. 設(shè)置監(jiān)督方程組l 由（n，k）=（5，2），冗余位為r=3，k=2。碼集合為：，信碼組，監(jiān)督位。l 需設(shè)置3個(gè)各由組成的線性獨(dú)立方程 或 9-192. 一致監(jiān)督矩陣H式（9-19）系數(shù)矩陣為： 9-203. 生成矩陣G可由H直接得到l 9-21l 9-224.（n，k）碼l 碼字 C=（信碼組） 9-23l 本例：l （5，2）碼共個(gè)碼字：00000，01011，10101，11110。5. 差錯(cuò)控制能力為： （可自動糾1位）。6. 系統(tǒng)碼定義l （n，k）碼中最高位開始為k位信息碼

10、，而監(jiān)督元位在其后部。l 符合稱為標(biāo)準(zhǔn)矩陣形式。9.2.3 解碼伴隨式與糾錯(cuò) 1. 傳輸差錯(cuò)l （式9-10）l 接收校驗(yàn)： （碼字無錯(cuò)） 9-24 9-25 2. 伴隨式定義： 9-26l 例：由上述（5，2）碼，如C=10101，錯(cuò)1位為。 結(jié)果是式（8-20）H矩陣中第4列表明中第4位錯(cuò)，可糾位。所以，C=10101。 例9-4 試編（n，k）=（6，3）碼，并指出其差錯(cuò)控制能力。若有兩個(gè)碼組為=111100及=001011，問是否屬于（6，3）碼，能否糾錯(cuò)。 解： （1） 或 ， （2） （3） （4） （6，3）碼字：G矩陣中已有3個(gè)，尚有4個(gè)需計(jì)算：000000，001110，01

11、0011，011101，100101，101011，110110，111000。（可糾1位碼）。 （5）將碼組=111100及=001011代入式中，得 （H中的第4列）應(yīng)為：111000。 （H中的第1列） 糾為：101011。 （6）討論：若錯(cuò)誤超出本例t=1的糾錯(cuò)能力，如錯(cuò)2位：l 設(shè) ，H中無此（111）列，可通過ARQ重發(fā)糾錯(cuò)。l 若碼字001110錯(cuò)為（錯(cuò)2位），則為H中第6列，糾為，糾而仍錯(cuò)，誤認(rèn)為是碼字101011的末位錯(cuò)。l 在設(shè)個(gè)聯(lián)立方程組時(shí)盡量利用k位信息碼字多位的線性組合。且各方程原則如： 則 包括了3對重復(fù)列，使糾錯(cuò)的H矩陣必須由非全0及非重復(fù)列構(gòu)成。9.3 漢明對（

12、n，h）的貢獻(xiàn)美國著名數(shù)學(xué)家R.W.Hamming對于信息論及編碼技術(shù)做出了卓越的貢獻(xiàn)，1980年出版的“編碼與信息論”等專著，以他的名字命名“漢明距離”、“漢明界”、“漢明碼”等，均為差錯(cuò)控制碼的非常重要的組成部分。9.3.1 漢明界當(dāng)要求可糾t位錯(cuò)，糾n與k的關(guān)系，漢明給出了“線性碼最大碼距下界”： 9-27或 9-28 例如：當(dāng)欲使（即），可得 9-29即 ，若，。 例9-5 由漢明界公式，試給出 （1）需糾位錯(cuò)（即），給出n與k的關(guān)系。 （2）設(shè)、 ，求k？ （3）選，要求，求n？ 解： （1）當(dāng)， ，或 。 （2）設(shè) ，或 。則，只能取。l 特別說明：（n，k）碼，要求糾1位錯(cuò)時(shí)，即

13、 ，。卻不可以為 ，即不一定等于監(jiān)督元數(shù)。但有些（n，k）碼，如（7，3）、（7，4）可糾1位錯(cuò)，監(jiān)督元數(shù)r與相等是“巧合”式（9-27）的對數(shù)值為整數(shù)。 （3）選 ，即，。9.3.2 漢明碼、完備碼 1. 漢明碼糾t位錯(cuò)時(shí)具有最小值的（n，k）碼 如（7，4）碼是漢明碼， ；（7，3）碼 ，不是漢明碼。 2. 漢明碼定義是（n，k）碼可糾t位的高效碼：l ，碼長 l 信息位 9-30l 如（7，4）碼：，。3. 完備碼（exhaust code）由式（9-27），當(dāng)?shù)仁匠闪r(shí)為完備（n，k）碼l 9-31l 如（7，4）碼：。l 漢明碼是完備碼。例9-6 編制（7，4）漢明碼，給出全過程。解

14、：（1）構(gòu)成H矩陣，由，P矩陣可隨便提供4列3行非全0列，則即除后3列構(gòu)成單位矩陣外，其余4列順序隨意，不影響差錯(cuò)控制能力。 （2） （3）碼字個(gè)非全0碼字，G矩陣中已有4個(gè)，在計(jì)算11個(gè)。l 技巧：先把11個(gè)位信碼按自然碼寫出，只計(jì)算各自后3位，如表9-1所示信息位監(jiān)督位信息位監(jiān)督位0000000100010100010111001110001011010100110011101101100001001111100010010110011010010110001111010001110101111111 表9-1 （7，4）漢明碼9.3.3 漢明碼的擴(kuò)展與擴(kuò)展碼 1. 擴(kuò)展?jié)h明碼（漢明增余碼

15、）l （7，4）漢明碼碼字中至少一個(gè)碼字為（按例9-6，有7個(gè)碼字）。加一位監(jiān)督位則，于是，相應(yīng)的H矩陣變?yōu)?9-32（在（7，4）碼H中頂部或底部加1列“1”，右邊加1列“0”。）或 9-33由構(gòu)成的碼，即碼稱為擴(kuò)展?jié)h明碼。，。 2. 一般（n，k）碼的擴(kuò)展碼 如（5，2）擴(kuò)展過程，由例9-3 及 ，則 由（5，2）碼變?yōu)椋?，2）擴(kuò)展碼：（6，2）碼。 3. 對偶碼（Dual）l 分組碼（n，k）的對偶碼為（n，）=(n，r)。相應(yīng)的H與G進(jìn)行變換：， 。如（7，4）碼與（7，3）碼，（5，2）碼與（5，3）碼，（7，1）碼與（7，6）碼等均為對稱碼，（6，3）碼的對偶碼為其本身。例9-7

16、 （4，1）碼與（4，3）碼為對偶碼。這里（4，1）碼為重復(fù)碼，（4，3）碼為奇偶校驗(yàn)碼。試通過求其H、G并產(chǎn)生碼字，以證明兩種簡單碼型均屬于（n，k）線性分組碼。證：（1）（4，1）重復(fù)碼，l 應(yīng)提供個(gè)監(jiān)督方程，也是重復(fù)的：l H矩陣為：l G為矩陣l （4，1）碼字：0000，1111。l ，可糾1位，同時(shí)可檢2位錯(cuò)。（2）（4，3）校驗(yàn)碼，l 監(jiān)督方程1個(gè)：l H為矩陣：l G為矩陣：l （4，3）碼碼字：非全0碼個(gè)，即0000，0011，0101，0110，1001，1010，1100，1111?？闯鲞@完全是偶校驗(yàn)碼形式：在001，010111各信碼組（）后面按“湊足”偶數(shù)個(gè)1來決定第

17、4位，是0還是1。l 可檢1位錯(cuò)（原3位碼組之間至少1位不同，又加1個(gè)偶校驗(yàn)位變?yōu)椋＝Y(jié)論：由以上分析，（4，1）與（4，3）碼完全符合（n，k）分組碼（增余碼）一切規(guī)則。因此，兩者均為簡單的分組碼，只是因?yàn)楹唵?，無須使用H、G等復(fù)雜手續(xù)。9.4（n，k）循環(huán)碼循環(huán)碼是（n，k）線性碼的一個(gè)重要子類，電路實(shí)現(xiàn)編解碼容易，它有R-S、CRC、BCH很多高效子類碼，實(shí)際應(yīng)用最多。9.4.1 預(yù)備知識1. 多項(xiàng)式表示編碼序列l(wèi) （n，k）碼的1個(gè)碼字，以多項(xiàng)式表示為了表示一串2元碼1，0序列的每個(gè)碼元位置是0還是1。l 表示法：隨便指定一個(gè)字母作“基序”，其冪次表示某碼元排序中的序位；由其冪權(quán)值表示

18、是0還是1。（n，k）碼表示為 9-34如： 2. 多項(xiàng)式運(yùn)算規(guī)則l 模2和=模2減。如； 9-35又如， 。l 乘法： 9-36l 除法： 9-37通式表示： 9-38演算： l 同余式：被除式F(x)與余式R(x)稱為在模N(x)運(yùn)算時(shí)的同余式，表示為 模N(x) 9-39如： 模 模 l 特例：則： 模 或 模 9-40 3. 循環(huán)移位特征 如：C=（1110100） 左移一位： （模）再移一位： （模）9.4.2 （n，k）循環(huán)碼的特點(diǎn) 1. 循環(huán)碼特征（定義）l 符合（n，k）線性分組碼特點(diǎn)在碼內(nèi)（碼字集合）中的任意2個(gè)碼字之和為該碼中的一個(gè)碼字。l 在（n，k）碼中的任何一個(gè)碼字連

19、續(xù)位移i位（i=1，2），就可得到另一個(gè)非全0碼字。 2. 能符合定義的必要條件l 若某（n，k）碼，要看它是否是循環(huán)碼。第一步是碼長n為冪的多項(xiàng)式分解出至少1個(gè)因式的最高冪次為。如（n，k）=（7，k）碼系列： 9-41或 9-42例如：（7，3）碼，。 由式（9-41）、（9-42）中共6種，有兩種組合因子式的冪次為，即 9-43 9-44l 能提供出含有最高冪為的子因式g(x)是構(gòu)成（n，k）循環(huán)碼的先決條件。9.4.3 由生成多項(xiàng)式構(gòu)成循環(huán)碼l 作為一個(gè)例子，對于如（n，k）=（7，3）碼，在通過上述式（9-43）、（9-44）提供的或。本身就是由信碼中高位開始含“0”最多的001對應(yīng)

20、的循環(huán)碼，即為或。l 由定義及移位循環(huán)可得全部7個(gè)非全0碼字： i=1，26 9-45或 9-46例9-8 現(xiàn)利用通過移位6次而產(chǎn)生（7，3）循環(huán)碼。為方便計(jì)算令。在移位過程中，必須注意按式（9-39）進(jìn)行模運(yùn)算，以“同余”式表示。如：當(dāng)移位結(jié)果為 （模），其中出現(xiàn)，以模運(yùn)算后，以其同余式1表示： （同余） 模 需要說明的是，事實(shí)上（7，3）碼的非全0碼字，每碼字均為。由g(x)移位6次可得全部非0碼字；而表9-1的（7，4）碼，及各7個(gè)碼字，的1個(gè)碼字，同碼字可互循環(huán)。而由任一碼字不可能通過移1，215得到全部碼字。表9-2 （7，3）循環(huán)碼移位（7，3）碼碼多項(xiàng)式（模）00 0 11 1

21、0 110 1 11 0 1 021 1 10 1 0 031 1 01 0 0 141 0 10 0 1 150 1 00 1 1 161 0 01 1 1 09.4.4 循環(huán)碼編碼步驟 1. 本書均指系統(tǒng)碼循環(huán)碼信碼多項(xiàng)式放在最高（左）位開始前k位，其后位為監(jiān)督位。因此信碼多項(xiàng)式l 應(yīng)首先提升位，變?yōu)閘 然后以生成多項(xiàng)式g(x)去除，得： （為余式，為整式商） 9-47l 于是可得循環(huán)碼 9-48l 式（8-48）的含義為什么 ？由于碼字均能為整除，即 模 而 模，其中。 2. 循環(huán)碼編碼電路 圖9-4所示以做除法運(yùn)算，可產(chǎn)生全部（7，3）循環(huán)碼。圖示雙擲開關(guān)s在現(xiàn)在的位置下，可輸入要編碼

22、的信碼共k位。于是電路連續(xù)輸出k位信碼，同時(shí)經(jīng)模2加單元及上端閉合開關(guān)反饋到前向支路。此后s開關(guān)立即反向扳動，待后續(xù)位監(jiān)督元輸出，可設(shè)（7，3）碼的一個(gè)碼字。圖9-4 的（7，3）循環(huán)碼編碼（除法）電路 3. 循環(huán)碼的對偶碼l 對偶碼與（n，k）分組碼對應(yīng)。循環(huán)碼也存在對偶碼，作為的因式分解式（9-41）、（9-42）可提供出（7，k）碼系列中的幾對對偶碼：（7，1）與（7，6），（7，3）與（7，4）對偶，并且由于中包含兩種最高冪次為的與，如式（9-43）、（9-44）。因此（7，3）、（7，4）有兩種對偶碼。l 關(guān)系： （稱為監(jiān)督多項(xiàng)式） 9-49若以生成（n，k）碼，則以作生成多項(xiàng)式而生

23、成的（n，n-k）碼，兩者互為對偶碼。 4. 縮短碼l 必要性：選用一個(gè)合適的（n，k）碼不是很容易，為方便應(yīng)用可以對（n，k）碼根據(jù)需要縮短為 i=1，2 9-50如例9-6中（7，4）碼，可縮短2位得（5，2）碼，其H與G矩陣變?yōu)椋?去掉最左2列 9-51 中去用前面含2個(gè)0的 9-52下兩列，并去掉前面各2個(gè)0。9.4.5 解碼與伴隨式糾錯(cuò) 1. 伴隨多項(xiàng)式l 與（n，k）分組碼類比，若C(x)經(jīng)傳輸后則接受為R(x)，可能含有差錯(cuò)。 （E(x)為誤差多項(xiàng)式） 9-53或 9-54l 如果能求出E(x)，當(dāng)然即可糾錯(cuò)。，但不會一步到位。l 若無錯(cuò)，則 即 模g(x)若有錯(cuò)： 即 模g(x

24、) 9-55l 糾錯(cuò)若在（n，k）碼糾錯(cuò)能力內(nèi)，則S(x)得到后，最高冪次不高于（n-k）次，則表明差錯(cuò)發(fā)生在監(jiān)督位中，可以直接糾錯(cuò)，即，即只有此情況，才有。 若錯(cuò)誤發(fā)生在前k位中，則必須由S(x)去查表，或從該循環(huán)碼對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)H矩陣中，找出與S(x)相同的列來糾錯(cuò)。 例9-10 設(shè)表9-2中（7,3）循環(huán)碼的一個(gè)碼字，其碼字多項(xiàng)式為設(shè)在監(jiān)督項(xiàng)中發(fā)生錯(cuò)誤，如項(xiàng)，收碼則為收碼處理如下即 這里，。其中，階次3小于，因此實(shí)際上但接收者并不知道哪位有錯(cuò)，不能隨便認(rèn)定，因此以，利用標(biāo)準(zhǔn)矩陣。式（9-86）是矩陣第4列，因此可糾為即 現(xiàn)在再來試分析，如果中后二項(xiàng)均發(fā)生錯(cuò)誤，即，試求伴隨式即有 其中 ，矩陣

25、中無與（1010）對應(yīng)的列，表明發(fā)生2位或多位錯(cuò)，可利用ARQ糾錯(cuò)。這一點(diǎn)顯然與相對應(yīng)的（7，3）分組碼，因=4，只能糾任何碼元的1位錯(cuò)與檢出2位錯(cuò)，是相同的。然后再來看錯(cuò)誤發(fā)生在信息碼各項(xiàng)的情況。例9-11中，是信息碼位置，若該位發(fā)生錯(cuò)誤，即錯(cuò)誤發(fā)生在中的階次高于的情況。求其伴隨式：其中，=1，既不可糾錯(cuò)，也檢測不出錯(cuò)誤項(xiàng)。這時(shí)由于結(jié)果對應(yīng)的伴隨式，若是1位錯(cuò)，（7，3）碼的糾錯(cuò)能力應(yīng)當(dāng)能達(dá)到。這種發(fā)生在系統(tǒng)碼循環(huán)碼的高于階次的各高次項(xiàng)的錯(cuò)誤，欲糾錯(cuò)，只好利用（7，3）循環(huán)碼對應(yīng)的矩陣式（9-86），即，它是標(biāo)準(zhǔn)型矩陣第2列，即應(yīng)糾正為=（0111010），對應(yīng)的正確碼字多項(xiàng)式為，完成了糾錯(cuò)

26、。9.4.6 生成矩陣多項(xiàng)式由例9-11，涉及到當(dāng)R(x)中誤差在前k項(xiàng)時(shí)，S(x)求出后需去找相應(yīng)（n，k）碼對應(yīng)的H矩陣中與S(x)系數(shù)相同的列來對R(x)糾錯(cuò)。因此需“知道”H矩陣。1. 循環(huán)碼生成矩陣多項(xiàng)式G(x)l 由g(x)已知是（n，k）循環(huán)碼中最低冪次的碼字。l 對應(yīng)的矩陣為： 9-562. G(x)對應(yīng)的G和H矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式l G(x)系數(shù)矩陣 9-57l 化為標(biāo)準(zhǔn)形式： 9-58l H矩陣的n列與（n，k）循環(huán)碼的隔伴隨多項(xiàng)式S(x)相對應(yīng)。因此為接收檢糾錯(cuò)，錯(cuò)誤格式E(x)對應(yīng)伴隨式S(x)(模)法1 1 （0001） （0010） （0100） （1000）錯(cuò)在監(jiān)督位E

27、(x)=S(x)糾錯(cuò)：R(x)+S(x) （1101） （0111） （1110）錯(cuò)在信息位糾錯(cuò)：總是把與（n，k）循環(huán)碼對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)H矩陣存儲于接收端，也可由表9-3表示。 表9-3 （7，3）循環(huán)碼H矩陣提供的E(x)與S(x)對應(yīng)關(guān)系9.5 認(rèn)識三種常用最佳（n，k）循環(huán)碼9.5.1 循環(huán)冗余校驗(yàn)碼（CRC） 1. 特點(diǎn)l 主要用于檢出多位差錯(cuò)。l 適于突發(fā)錯(cuò)誤檢錯(cuò)（連續(xù)數(shù)個(gè)碼元因突發(fā)干擾致錯(cuò)）。2. 能力可檢出長度在n-k位的全部差錯(cuò)，及（n-k+1）的部分能力。3. 常用碼式：（監(jiān)督位r=12）、（r=16）、（r=16）。9.5.2 BHC碼 1. 特點(diǎn)l 適于多元碼檢糾錯(cuò)。l 構(gòu)成

28、：， 用于檢、糾錯(cuò)能力 。2. 常用：可查表分別給出n，k，g(x)。例：l （31，21）BCH碼，g(x)系數(shù)：11101101001，t=2。l （511，493）BCH碼，g(x)最高次冪為18，m=511，k=493，r=18=mt，?？杉m2Bd多元碼。9.5.3 R-S碼 1. 特點(diǎn)l 多元碼糾錯(cuò)l 常與卷積碼結(jié)合2. 構(gòu)成： （符號） k個(gè)符號，（符號）（符號）。3. 實(shí)用例：l RS（64，40）碼。每符號6bit，=40Bd=240bit，=144bit=24Bd，=64Bd=384bit。能力可糾12Bd（72bit）。l RS（64，40）。用于64QAM編碼，極少冗余（

29、2Bd），能力可糾1Bd。9.6 卷積碼 卷積碼是一種小分組得多碼段相關(guān)的鏈環(huán)碼。應(yīng)用廣，看似復(fù)雜，這里作為認(rèn)知性要求。9.6.1 卷積碼特征 1. 卷積碼不同于（n，k）分組碼，它將（n，k）分為很短的分組，如（2，1）、（3，1）、（3，2）卷積碼等。每一個(gè)監(jiān)督元不僅是由信碼所決定，而且與其前個(gè)分組段有關(guān)。適于串組傳送，延時(shí)較小。 2. 約束度與約束長度連同本碼段在內(nèi)的個(gè)分組碼段稱為約束長度：，而稱為約束度。通過將卷積碼寫為，表明了束約程度。 例9-12 （2，1，2）卷積碼，如圖9-5，是闡明其編解碼原理。輸入編碼輸出 （a） (2,1,2)卷積碼編碼器123解碼輸出接收卷積碼 （b）

30、（2,1,2）卷積碼解碼電路 圖 9-5 （2，1，2）卷積碼編、解碼器 解： 電路由個(gè)移位寄存器和一個(gè)模2加法器構(gòu)成。門電路開關(guān)按比特時(shí)鐘節(jié)拍上下扳動。 （1）編碼l 信息輸入序列，bit。每位之后加入1個(gè)監(jiān)督元，則電路。l 編碼輸出：，穿插結(jié)果為系統(tǒng)碼形式。l ，即每位監(jiān)督元均為本位與前位信元之和所決定 9-59因此 ，。證明它為（2，1，2）卷積碼。 （2）解碼l 接收輸入依序?yàn)樾蛄小Ｓ謭D9-4（b）解碼電路對每接收到的可能有錯(cuò)的3元碼，按式（9-59）以此計(jì)算伴隨式 9-60l 特點(diǎn)由式（9-60）可以看出，每相鄰2個(gè)伴隨式均與2種監(jiān)督元、3個(gè)信碼這5個(gè)碼元有關(guān)。且只有1個(gè)信碼跨在相鄰

31、2個(gè)伴隨式中。如：同時(shí)與、有關(guān)稱、正交于，或、構(gòu)成的正交方程組。l 解碼差錯(cuò)分析（以、及為例） （3）判決規(guī)則（只限1位錯(cuò)） 只有當(dāng) 則 差錯(cuò)。 9-629.6.2 卷積碼數(shù)字描述1. 仍以圖9-5中（2，1，2）卷積碼為例，可不必考慮移位寄存器。圖中電路分兩條路徑：l 當(dāng)信碼（） （沖擊代為激勵）2. 組合沖擊相應(yīng)電開關(guān)按節(jié)拍動作。 以組合多項(xiàng)式系統(tǒng)生成多項(xiàng)式，系數(shù)g=1101。l 系統(tǒng)生成矩陣為單元限矩陣，多項(xiàng)式G(x)，系數(shù)矩陣G為 3. 源碼輸入任何序列，如 （如例9-12）。編碼（2，1，2）卷積碼為。4. 特別強(qiáng)調(diào)：激勵與系統(tǒng)沖激響應(yīng)G的卷積得到的響應(yīng)即為卷積碼這就是卷積碼名稱的由

32、來。l 編碼序列長為，L信碼輸入bit數(shù)。本例 L=6bit，所以，卷積碼的輸出為bit。 例9-14 圖9-6為（2，1，3）卷積碼編碼電路。試對電路功能進(jìn)行數(shù)字分析，并編出當(dāng)發(fā)送源碼序列時(shí)的（2，1，3）卷積碼序列。路徑1路徑2信息輸入：圖9-14 (2,1,3)卷積碼編碼器 解： （1）分析電路功能l 當(dāng)輸入信碼后，按2條路徑各經(jīng)一定運(yùn)算輸出與。前后穿插，成對輸出碼長的卷積碼。l 當(dāng)（沖激）：l 由 穿插得，生成式g=11，10，11（組合沖激響應(yīng)）。l 生成矩陣G由g依次延遲2位構(gòu)成半無極限陣列。（2）當(dāng)信碼為時(shí) 則卷積結(jié)果，再如： 則 。l 判別N=？約束度可從編碼電路直接看出，也可

33、以從徑路生成多項(xiàng)式最高冪次等于N；（2，1，2）與（2，1，3）卷積均有2條路徑。G分別為4bit和6bit，。 9.6.3 卷積碼圖示表示法 由于卷積碼的“卷積”運(yùn)算與約束N個(gè)分組碼段的鏈環(huán)碼特點(diǎn)。全部編碼可由“碼樹”或狀態(tài)圖表示，并以網(wǎng)格圖更形象與全面的表示。網(wǎng)格圖還用于方便地維特比解碼，而連環(huán)檢錯(cuò)并在糾錯(cuò)能力內(nèi)予以糾錯(cuò)。1. 狀態(tài)圖圖9-7時(shí)例9-12中圖9-5的（2，1，2）卷積碼編碼狀態(tài)圖。其中，只有1個(gè)移存器，有2個(gè)狀態(tài)。 ，。當(dāng)源碼輸入后引起狀態(tài)變化（箭號指向），當(dāng)源碼為1或0時(shí)，分別以虛線與實(shí)線箭號分別表示，在原狀態(tài)下被推動轉(zhuǎn)移或不轉(zhuǎn)移狀態(tài)，則編出相應(yīng)的11，01，10，00

34、4種=（2，1，2）卷積碼的1個(gè)位碼段。l 例如：當(dāng)，由狀態(tài)圖編碼路徑和編碼碼段為：2. 網(wǎng)格圖（1）（2，1，2）卷積碼網(wǎng)格圖舉例狀態(tài)圖不反映隨時(shí)鐘推動狀態(tài)變化而編碼的時(shí)間進(jìn)程。圖9-8表示了每輸入L=4bit源碼序列的（2，1，2）卷積碼網(wǎng)格圖。由狀態(tài)開始，輸入4bit源碼，推動節(jié)拍5次，共涉及時(shí)間進(jìn)程節(jié)點(diǎn)數(shù)M=L+m+1=4+1+1=6 節(jié)點(diǎn)。（6個(gè)時(shí)鐘變更點(diǎn)時(shí)刻）圖示中，當(dāng) 時(shí)狀態(tài)不變輸出；當(dāng)輸入時(shí)，編碼位為；在狀態(tài)，；，不變，。當(dāng)碼元結(jié)束后，電路連續(xù)輸出m=1（m移存器數(shù)）個(gè)節(jié)拍的2位碼到原始靜態(tài)。 （2）（2，1，3）卷積碼網(wǎng)格圖。圖9-9為圖9-6所示（2，1，3）卷積碼狀態(tài)圖和

35、網(wǎng)格圖。 當(dāng)編碼器約束度N大時(shí)，則移存器的數(shù)目增長，且m=N-1，或N=m+1。因此網(wǎng)格圖中狀態(tài)數(shù)為個(gè)狀態(tài)：、 、，即4排圖形（4個(gè)狀態(tài)），涉及時(shí)鐘節(jié)點(diǎn)M=L+m+1（其中，1個(gè)為起始靜態(tài)，L個(gè)節(jié)點(diǎn)是由控制變化的狀態(tài)節(jié)點(diǎn)數(shù)，m個(gè)節(jié)點(diǎn)是當(dāng)輸入結(jié)束后，時(shí)鐘再使m個(gè)寄存器移位m次才恢復(fù)電路為零狀態(tài)。從構(gòu)成由L+m折線段的編碼路徑。）0000000000001111111101010101111111111110101010100101010110111010001101234567abcd000000圖9-9 （2，1，3）卷積碼網(wǎng)格（籬笆）圖 圖9-9（b）中的粗實(shí)、虛線是，編碼序列為的編碼路徑。

36、9.6.4卷積碼維特比解碼最佳實(shí)施 基于第8章提到的最大似然最佳接收準(zhǔn)則的維特比（Viterbi）解碼算法，是卷積碼最佳解碼方式。1. 算法要點(diǎn)（1）最大似然解碼準(zhǔn)則對發(fā)送的長為L的信息序列，共有信息數(shù)。在發(fā)送每比特碼元收到R的概率為，（取其自然對數(shù)），其中按“擇大”判決為 （2）解碼基本方法在接收端復(fù)制一個(gè)與編碼電路對應(yīng)的網(wǎng)格圖（如圖9-9的（2，1，3）卷積碼的網(wǎng)格圖）。l 對照網(wǎng)格圖，從分組碼段（2位，即長），。由狀態(tài)開始，分別與至和至狀態(tài)變化時(shí)的網(wǎng)格圖上“00”、“11”對比。然后又從、各自的第3節(jié)點(diǎn)時(shí)刻各變?yōu)?、和?4條路徑，又收到的第3、4個(gè)碼元（對應(yīng)發(fā)送）分別個(gè)對照兩對路徑。將接

37、收到的、與網(wǎng)格圖上的位碼的各節(jié)段一一比較；選擇漢明距離最小的一條路徑，較大與更大漢明距離的路徑放棄，這樣逐對收碼與網(wǎng)格圖逐段節(jié)點(diǎn)間路徑上提供的編碼對相對照，能不斷保留收碼與網(wǎng)格圖“編碼對”漢明距離最小者作保留路徑，直至接收完，到狀態(tài)為止只要取到總距離最小的最佳路徑。此路徑上的碼元對，構(gòu)成的序列就是解碼與糾錯(cuò)結(jié)果。 例9-14 已知圖9-8的（2，1，2）卷積碼網(wǎng)格圖。 （1）試在網(wǎng)格圖上標(biāo)出當(dāng)信碼的（2，1，2）卷積碼路徑，并給出編碼序列。 （2）若收碼序列中，隨即發(fā)生2位差錯(cuò)，如第4與第9位差錯(cuò)，試通過維特比（VB）解碼糾錯(cuò)。 解： （1）由網(wǎng)格圖，按，可以很方便的指出編碼路徑，如粗實(shí)、虛線

38、所示。編碼序列為 （2）由題設(shè)，收碼共12bit中第4及第9位差錯(cuò)，因此收碼序列為 茲以VB解碼：逐時(shí)段選最佳支路徑，最后得到整個(gè)最佳路徑，該條路徑上的碼字集合即為解碼糾錯(cuò)判決結(jié)果。由圖9-10按逐碼段解碼如下：l 第1段，接收：，（）；，（）保留支路徑2，放棄1；l 第2段，接收：，（）；，（）兩支路徑暫不宜選擇，再向第3段；l 第3段，接收：，（累計(jì)上段結(jié)果）；及，均又增加，累計(jì)。因此第3段保留。 l 第4段，接收：，（）；，（）后者保留。l 第5段，接收：及，（均為1）暫無法選定，看第6段；l 第6段，接收：，（又增）；，（）取后一段。l 最后得到的最佳路徑如圖9-10中粗實(shí)、虛線所示。

39、收碼判決結(jié)果為對應(yīng)的。這條支路是網(wǎng)格圖上的一條標(biāo)準(zhǔn)路徑。l 評價(jià)：在第2、5兩段只有1位不同，累積。按網(wǎng)格圖，如果在糾錯(cuò)能力內(nèi)，則最佳路徑判決結(jié)果被確認(rèn)糾了2位錯(cuò)；如果到最后仍不能獲得唯一一條最小的路徑，如最后兩條路徑均為相等數(shù)，這時(shí)只好任“猜”一條，就有判決風(fēng)險(xiǎn)，解碼未必正確，只好重發(fā)糾錯(cuò)。但若在該碼糾錯(cuò)能力內(nèi)，必只有一條最佳路徑。9.7 網(wǎng)格編碼調(diào)制9.7.1 TCM-組合編碼調(diào)制（trellis coded modulation）特點(diǎn) 1. 評價(jià)“傳統(tǒng)”的信道編碼 前面幾節(jié)介紹的各種信道編碼，雖然都仍在普遍應(yīng)用，但仍以增加冗余犧牲信道帶寬利用率來換取信噪比以提高可靠性因此他們均屬帶寬利用

40、率和信號功率的各種“折中”方式。 2. TCM構(gòu)思l 目標(biāo)為同時(shí)獲得信道帶寬和信號功率利用效率，而將前面第6章頻帶調(diào)制和本章信道編碼有機(jī)結(jié)合便產(chǎn)生了TCM技術(shù)。 3. 基本特征l 比一般頻帶調(diào)制所有的星座圖信號星點(diǎn)數(shù)要多由一定的冗余信號星點(diǎn)以便前向糾錯(cuò)，而不需增加帶寬及信號功率（信噪比）。l 更多利用卷積碼介入星座中某些星號之間部分星點(diǎn)與卷積碼結(jié)合發(fā)往高斯信道。l 接收解碼利用軟判決，并選擇網(wǎng)格圖漢明距最小的路徑判決信號點(diǎn)。9.7.2 實(shí)施TCM 1. 逐段正交分割多元調(diào)制星座圖l 提供MPSK或MQAM星座圖，并以M/2，M/4，M/8，逐級正交分割星點(diǎn)，于是分割的各局部星座間自由距離逐級增

41、加，即，如圖9-11所示。這是在限帶信道構(gòu)成高效編碼的調(diào)制方案的關(guān)鍵思路。010101001001110213圖9-11 8PSK星座及其分割子集9.8 復(fù)習(xí)與思考 1. 波形編碼的廣泛含義是什么，為什么作為信道編碼的一個(gè)分支？ 2. 差錯(cuò)控制編碼的各種類型適用于那些信息類型和信道特征的檢錯(cuò)與糾錯(cuò)？ 3. 正交波形編碼與差錯(cuò)控制碼在設(shè)計(jì)思想上與應(yīng)用目的上有何不同？ 4. 差錯(cuò)控制常用系統(tǒng)碼形式，究竟有什么優(yōu)點(diǎn)？為什么最小漢明距離唯一的決定糾錯(cuò)能力？ 5. 完備碼與漢明碼有沒有區(qū)別，兩者的優(yōu)點(diǎn)各是什么？ 6. 循環(huán)碼的定義是什么？能否說（n，k）線性分組碼都是循環(huán)碼？具體符合什么條件才是循環(huán)碼？

42、 7. 為什么要用擴(kuò)展碼和縮短碼？ 8. 一致監(jiān)督矩陣H和生成矩陣G各有何特點(diǎn)？兩者關(guān)系以及在糾錯(cuò)碼中的作用是什么？ 9. 以卷積碼為例，以及其他線性分組碼，能否說生成矩陣G或其多項(xiàng)式G(x)就是編碼器的系統(tǒng)沖擊響應(yīng)？當(dāng)信源編碼序列輸入（激勵信號），其響應(yīng)就是差錯(cuò)控制編碼？為何理解循環(huán)碼和卷積碼的生成多項(xiàng)式可決定編碼器的全部功能？ 10. 利用網(wǎng)格圖進(jìn)行VB解碼糾錯(cuò)，如何符合最大似然判決理論? 11. （7，3）與（7，4）分組碼各有何特點(diǎn)，能否說（7，4）漢明碼優(yōu)于（7，3）碼？ 12. 為什么奇偶校驗(yàn)碼、重復(fù)碼和哈維碼等屬于分組碼？ 13. 卷積碼碼為什么約束長度等于移位寄存器數(shù)m加1，即

43、N=m+1？能否認(rèn)為在1個(gè)約束度內(nèi)就能糾1位碼？ 14. 組合編碼調(diào)制TCM，為什么是卷積碼與MPSK或MQAM有機(jī)結(jié)合？你能否提出其它組合方式嗎？如與MFSK結(jié)合？ 15. 當(dāng)卷積碼電路設(shè)計(jì)完成后，是否就可提供一套唯一的網(wǎng)格圖？當(dāng)網(wǎng)格圖VB解碼的最終可選擇路徑有兩條或更多相同的漢明距離，如何判決？是否只要能選到一條最小的路徑就是提供正確糾錯(cuò)接收？ 16. 針對TCM特點(diǎn)，理解TCM較一般糾錯(cuò)碼不因增加冗余而降低信道帶寬利用率，至于一般頻帶調(diào)制如：MPSK、MQAM等相比，不因多元符號傳輸而實(shí)際上付出信噪比代價(jià)TCM是不增加貸款而提高可靠性的最佳傳輸方式。 17. 回顧最小頻移鍵控MSK及其類

44、似于QPSK的星座圖，但只是輪流利用4星點(diǎn)中某一對的1個(gè)星點(diǎn)二元信號傳輸。MSK已是TCM的前奏形影。MSK具有冗余“星點(diǎn)”既無擴(kuò)展帶寬，而又使誤比特率幾近優(yōu)于任何FSK。9.9 填空問答9.9.1 信道編碼概念 1. 波形編碼的典型特征是（），其實(shí)質(zhì)是在碼字集合中，全部碼字相互間為（），即至少應(yīng)有（），其取值范圍在（）。兩個(gè)n位碼長的碼字間相關(guān)系數(shù)（）。 2. 雙正交碼的概念是碼字集合中存在（）和（）兩種正交情況，且碼長為n時(shí)，當(dāng)時(shí)（）；當(dāng)時(shí)（）或（）。當(dāng)而時(shí)（）；而時(shí)（）。例舉最簡單的雙正交碼為（00，01，10，11），用于頻帶調(diào)制時(shí)為（）或（）調(diào)制方式。它比只存在一種正交情況的4元調(diào)制

45、如（）具有較高的抗干擾能力。 3. 波形編碼中的正交碼屬于（）的一個(gè)子類，它與（n，k）分組碼的共同點(diǎn)是含有一定的（），是以付出（）而換取（）的編碼方式。因此在差錯(cuò)控制能力上至少具有（）能力。不同點(diǎn)在于，正交碼是以兩碼字之間或兩個(gè)信號星座之間（）距離度量，而糾錯(cuò)碼是以任兩碼字間（）距離來度量。如00與01屬于（），而不是差錯(cuò)控制碼。0000余0101間（）是（）碼字，兩者（）。兩者設(shè)計(jì)目標(biāo)不同在于對于正交碼其出發(fā)點(diǎn)是（），糾錯(cuò)碼是針對（）。 4. 一個(gè)n長碼字經(jīng)傳輸后，可能的差錯(cuò)模式為（），其中（）錯(cuò)誤概率最大。檢錯(cuò)碼漢明距（），如欲檢3位錯(cuò)（）。奇偶校驗(yàn)碼（），（n，1）重復(fù)碼（）可糾位數(shù)（）。 9.9.2（n，k）分組碼特征 5. （n，k）分組碼H矩陣的特征，諸如，矩陣規(guī)