高數(shù)下冊(cè)總復(fù)習(xí)ppt課件

1、期末考試復(fù)習(xí)重點(diǎn)期末考試復(fù)習(xí)重點(diǎn)（1直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系,空間曲線的切線，空間曲面的空間曲線的切線，空間曲面的切平面切平面（2函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)連續(xù)的定義）、方向?qū)?shù)、函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)連續(xù)的定義）、方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)高階）、隱函數(shù)的求導(dǎo)與全微分、條件極值復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)高階）、隱函數(shù)的求導(dǎo)與全微分、條件極值（3二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)）二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)）（4第一、二類曲線積分，積分與路徑無關(guān)第一、二類曲線積分，積分與路徑無關(guān)第一、二類曲面積分格林公式、高斯公式。第一、二類曲面積分格林公式、高斯公式。（5數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別，絕對(duì)收斂與條件收斂

2、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別，絕對(duì)收斂與條件收斂?jī)缂?jí)數(shù)的收斂域、求級(jí)數(shù)求和函數(shù)。冪級(jí)數(shù)的收斂域、求級(jí)數(shù)求和函數(shù)。（一直線與平面的位置關(guān)系，空間曲線的切線，（一直線與平面的位置關(guān)系，空間曲線的切線，空間曲面的切平面空間曲面的切平面（1設(shè)設(shè), 0: DCzByAxpzznyymxxL000: 那么那么 /L0 CpBnAm 上上在在L LpCnBmA ,|sin222222pnmCBACpBnAm ,20 , 0 CpBnAm ),(000zyx nsns/（2曲面在某點(diǎn)處的切平面、空間曲線在某點(diǎn)處的切線曲面在某點(diǎn)處的切平面、空間曲線在某點(diǎn)處的切線要點(diǎn)：要點(diǎn)：I：曲面在某點(diǎn)處的切平面：曲面在某點(diǎn)處的切平面（

3、1設(shè)曲面方程為設(shè)曲面方程為0),( zyxF),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 第一步：計(jì)算第一步：計(jì)算,zyxFFF第二步：計(jì)算曲面的法向量第二步：計(jì)算曲面的法向量第三步：分別寫出切平面和法線的方程第三步：分別寫出切平面和法線的方程0000000000000 )(,()(,()(,(zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx （2設(shè)曲面方程為設(shè)曲面方程為),(yxfz ),(),(10000yxfyxfnyx 第一步：取第一步：取),(),(yxfzzyxF 第二步：計(jì)算曲面

4、的法向量第二步：計(jì)算曲面的法向量第三步：利用點(diǎn)法式和對(duì)稱式分別寫出切平面和法第三步：利用點(diǎn)法式和對(duì)稱式分別寫出切平面和法線的方程線的方程00000000 )()(,()(,(zzyyyxfxxyxfyx10000000zzyxfyyyxfxxyx ),(),(要點(diǎn)要點(diǎn)II：空間曲線的切線與法平面：空間曲線的切線與法平面（1設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線 的方程的方程)(),(),(tztytx 第一步：確定點(diǎn)第一步：確定點(diǎn),),(0000tzyxM對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的參參數(shù)數(shù)第二步：計(jì)算第二步：計(jì)算)(),(),(000tttT 第三步：利用對(duì)稱式和點(diǎn)法式分別寫出切線和法第三步：利用對(duì)稱式和點(diǎn)法式分別寫出切線和

5、法平面的方程平面的方程)()()(000000tzztyytxx 0000000 )()()(zztyytxxt （2設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線 的方程的方程,),(),(bxaxzxy )(),(,(001xxT 解解設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為,pnms 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程3、典型例題、典型例題例例2：設(shè)直線：設(shè)直線 L 和平面和平面 的方程分別為的方程分別為則必有（則必有（ ）,/)( LA,)(在在上上在在 LB,)( LC.)(斜斜交交與與 LD解：解：),1, 2,

6、4( n1012231 kjis,/sn, LC,031020123: zyxzyxL, 0224: zyxkji71428 )24( 7kji 例例3：求曲面：求曲面03222 xyzyx0 z上同時(shí)垂直于平面上同時(shí)垂直于平面與平面與平面解：取解：取, 3222 xyzyxF),(000zyxM01 yx的切平面方程。的切平面方程。設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為MzyxFFFn),( )2 ,2 ,2(00000zxyyx 020 z0)2()2(0000 xyyx0300202020 yxzyx ),0, 1, 1 (1 M),0, 1, 1(2 M),0, 3, 3(1 n),0, 3, 3(2 n,

7、 0) 1( 3) 1( 3:1 yx, 02 yx, 0) 1( 3) 1( 3:2 yx, 02 yx例例:(1)已知曲線已知曲線32,tztytx在點(diǎn)在點(diǎn)P處的切線平行于處的切線平行于平面平面22zyx，求，求P點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)與設(shè)直線) 1(221)2(zymx025363zyx平面與垂直，求m（二多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)（二多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)高階），隱函數(shù)的求導(dǎo)和全微分、，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)高階），隱函數(shù)的求導(dǎo)和全微分、條件極值條件極值（1多元函數(shù)在某點(diǎn)的定義域、極限和連續(xù)多元函數(shù)在某點(diǎn)的定義域、極限和連續(xù)要點(diǎn)：要點(diǎn)：I：求二元函數(shù)在某點(diǎn)的極

8、限：求二元函數(shù)在某點(diǎn)的極限1、利用函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則、利用函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則2、利用有界函數(shù)與無窮小乘積的性質(zhì)、利用有界函數(shù)與無窮小乘積的性質(zhì)3、利用變量對(duì)換化為一元函數(shù)極限、利用變量對(duì)換化為一元函數(shù)極限4、利用夾逼準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限、利用夾逼準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限）的定義域?yàn)椋ɡ汉瘮?shù)yxz0, 0yxA、0,yyxB、0,yyxC、0, 0yxD、例：求下列函數(shù)的極限：例：求下列函數(shù)的極限：11sinlim) 1 (00 xyayxyx2322222200)(sinlim)2(yxyxyxyx2423200|lim) 3 (yxyxyxB11sinl

9、im00 xyayxyxxyxyayxyx) 11(sinlim00 ayxyayayx) 11(sinlim00 ayayay2sinlim0 a2 解：解：2322222200)(sinlimyxyxyxyx 求極限求極限,:22yx 令令,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yx, 0 2322222200)(sinlimyxyxyxyx 30sinlim 203cos1lim 6sinlim0 61 解：解：42lim00 yxyxyx求極限求極限42lim00 yxyxyx)42)(42()42(lim00 yxyxyxyxyxyxyxyxyx )42(lim00)42(lim00 yxyx

10、)42(lim0 4)402( （1多元函數(shù)的定義域、極限、連續(xù)多元函數(shù)的定義域、極限、連續(xù)要點(diǎn)：要點(diǎn)：I：求二元函數(shù)在某點(diǎn)的極限：求二元函數(shù)在某點(diǎn)的極限2423200|limyxyxyx |,|2224yxyx 因因|2|0223224232yxyxyxyx 2|21y 00 （二多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)（二多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)高階），隱函數(shù)的求導(dǎo)和全微分、，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)高階），隱函數(shù)的求導(dǎo)和全微分、條件極值條件極值（1多元函數(shù)的定義域、在某點(diǎn)的極限、連續(xù)多元函數(shù)的定義域、在某點(diǎn)的極限、連續(xù)要點(diǎn)：要點(diǎn)：II：用定義求二元函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)：用定義

11、求二元函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0,),(),(0000 xxxyxfdxdyxf ,),(),(002200yyyyyxfdydyxf 0),(),(000yyxxyyxfdydyxf （二多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)（二多元函數(shù)的定義域、極限和連續(xù)；方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)高階），隱函數(shù)的求導(dǎo)和全微分、，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)高階），隱函數(shù)的求導(dǎo)和全微分、條件極值條件極值典型例題典型例題) 1 ,(xf,sin2x 例例1：設(shè)：設(shè),arcsin)1(sin),(2xyyxyxf )1 , 2(xf 求求解：解：,2cos2xxxf . 4cos4)

12、1 , 2( xf典型例題典型例題)0 ,(xz,arctanx 例例2：設(shè)：設(shè),1arctanxyyxz )0 , 0(22)0 , 0(,xzxz 求求解：解：)0 , 0(xz 0)0 ,( xxzdxd0arctan xxdxd11102 xx)0 , 0(22xz 022)0 ,( xxzdxd022arctan xxdxd02)11( xx022)1 (2 xxx0 典型例題典型例題例例3：設(shè)：設(shè), )1ln(2yxz )1 , 1(2yxz 求求解：解：xz 2212yxx )1 , 1(2yxz 1), 1 ( yxyzdyd1)22( yy12)1 (2 yy92 yxyz

13、22), 1 (二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性.,),(),(000且且為為聚聚點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)DyxPyxfz ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 若若.),(),(000處處連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)在在則則稱稱yxPyxf要點(diǎn)：要點(diǎn)：III：多元函數(shù)的連續(xù)性：多元函數(shù)的連續(xù)性0, 00,),() 1 (222222yxyxyxxyyxf函數(shù)例：續(xù)、處處有極限，但不連、處處連續(xù)BA）外處處連續(xù)，、除（）連續(xù)，、僅在（0000DCA(2) (2) 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性例：例： 討論函討論函數(shù)數(shù) 0, 00,),(2222

14、22yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取,kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù))0 , 0(),(),( ,0 xkxyxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)（2方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)高階）、方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)高階）、隱函數(shù)的求導(dǎo)、多元函數(shù)的微分隱函數(shù)的求導(dǎo)、多元函數(shù)的微分要點(diǎn)：要點(diǎn)：I、方向?qū)?shù)、方向?qū)?shù)II ：二元抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；：二元抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；III ：隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；：隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；例例1：設(shè)

15、：設(shè), )()(1yxyxyfxz .2yxz 求求答案：答案：)()()(2yxyyxxyfyyxz IV ：多元函數(shù)全微分的計(jì)算；：多元函數(shù)全微分的計(jì)算；232uxyzxyz0(0, 1, 2)P 例例2：函數(shù)：函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處沿哪個(gè)方向處沿哪個(gè)方向 的方向?qū)?shù)最大？并求方向?qū)?shù)的最大值的方向?qū)?shù)最大？并求方向?qū)?shù)的最大值.例例1：設(shè)：設(shè), )()(1yxyxyfxz .2yxz 求求例例3：設(shè)設(shè), )(22yxfz 求求yxz 2例例3：設(shè)：設(shè), )(22yxfz 求求yxz 2解：解：zxyuxuudfdxz 22yxu xuufu )()(2ufxu yxz2)(2ufxyu )(

16、2ufyxu xyu)(ufu22yxu 例例4：設(shè)：設(shè),)(arctan22xyeyxz .dz求求答案：答案：)2()2(arctandyxydxyxedzxy 要點(diǎn)：要點(diǎn)：I、方向?qū)?shù)、方向?qū)?shù)II ：二元抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；：二元抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；III ：隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；：隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；IV ：多元函數(shù)全微分的計(jì)算；：多元函數(shù)全微分的計(jì)算；（2方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)高階）、方向?qū)?shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)高階）、隱函數(shù)的求導(dǎo)、多元函數(shù)的微分隱函數(shù)的求導(dǎo)、多元函數(shù)的微分例例3：設(shè)：設(shè)),(yxzz 02 zyxeze是由方程是由方程解：兩邊取全微分解：兩邊取全微分

17、.,2yxzdz , 02)( dzedzxydezyx,22dyexdxeyedzzzxy 所確定的二元函數(shù)，求所確定的二元函數(shù)，求整理并解得整理并解得,2 zxyeyexz)2(2 zxyeyeyyxz2)2()2()( zzxyzxyxyeyzeyeexyee2)2()2()2()( zyzxyzyxyeeyeeye例例3：設(shè)：設(shè)),(yxzz 02 zyxeze是由方程是由方程解：兩邊取全微分解：兩邊取全微分.,2yxzdz , 02)( dzedzxydezyx,22dyexdxeyedzzzxy 所確定的二元函數(shù)，求所確定的二元函數(shù)，求整理并解得整理并解得)2(2 zxyeyeyy

18、xz2)2()2()( zzxyzxyxyeyzeyeexyee32)2()2)(1( zzzxyxyexyeeee,2 zxyeyexz拉格朗日乘數(shù)法：拉格朗日乘數(shù)法： （1構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：),(),(),(yxyxfyxL （2聯(lián)解方程組，求出問題聯(lián)解方程組，求出問題 1 的所有可能的極值點(diǎn)。的所有可能的極值點(diǎn)。問題問題 1：求函數(shù)：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值稱為條件極值問題）。下的極值稱為條件極值問題）。),( yxLx0 ),(),(yxyxfxx ),( yxLy0 ),(),(yxyxfyy

19、 ),( yxL0 ),(yx （3進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問題進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷。中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷。（3） 條件極值。條件極值。例例1：在橢球面：在橢球面12222 zyx上，求距離平面上，求距離平面62 zyx的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：設(shè)解：設(shè) ( x , y , z ) 為橢球面上任意一點(diǎn)為橢球面上任意一點(diǎn)則該點(diǎn)到平面的距離為則該點(diǎn)到平面的距離為222)1(12|62| zyxd6|62| zyx問題問題1：在約束條件：在約束條件012222 zyx下，求距離下，求距離 d 的最大最小值。的最

20、大最小值。 由于由于 d 中含有絕對(duì)值，為便于計(jì)算，考慮將問題中含有絕對(duì)值，為便于計(jì)算，考慮將問題 1 轉(zhuǎn)化為下面的等價(jià)問題轉(zhuǎn)化為下面的等價(jià)問題問題問題2：在條件：在條件下，求函數(shù)下，求函數(shù)262)(),( zyxzyxf的最大最小值。的最大最小值。222)1(12|62| zyxd6|62| zyx問題問題1：在約束條件：在約束條件下，求距離下，求距離 d 的最大最小值。的最大最小值。012222 zyx012222 zyx（1作拉格朗日函數(shù)作拉格朗日函數(shù))()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx )(02622 yzyxLy )(（2聯(lián)解方程組聯(lián)解方程組

21、（1作拉格朗日函數(shù)作拉格朗日函數(shù))()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx )(02622 yzyxLy )(（2聯(lián)解方程組聯(lián)解方程組02622 zzyxLz )(012222 zyxL 求得兩個(gè)駐點(diǎn)：求得兩個(gè)駐點(diǎn)：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M對(duì)應(yīng)的距離為對(duì)應(yīng)的距離為|62121212|611 d632 6342 d例例1：在橢球面：在橢球面12222 zyx上，求距離平面上，求距離平面62 zyx的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：解： 問題問題1：在約束條件：在約束條件012222 zyx下，求距離下，求距離 d 的最大最小

22、值。的最大最小值。求得兩個(gè)駐點(diǎn)：求得兩個(gè)駐點(diǎn)：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M,6321 d對(duì)應(yīng)的距離為對(duì)應(yīng)的距離為,6342 d（3判斷：由于駐點(diǎn)只有兩個(gè)，且由題意知最近距判斷：由于駐點(diǎn)只有兩個(gè)，且由題意知最近距離和最遠(yuǎn)距離均存在。所以離和最遠(yuǎn)距離均存在。所以最近距離為最近距離為,6321 d最遠(yuǎn)距離為最遠(yuǎn)距離為,6342 d三、二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）三、二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)內(nèi)容（1二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算；二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算； Dydxdyxf),( baxxydyxfxd)()(21),( dcyyxdyxfyd)()(2

23、1),( 例例1：計(jì)算二重積分：計(jì)算二重積分,2xyDdxdyeDy由其中.1軸所圍成及yy 121e答案：答案：三、二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）三、二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)內(nèi)容（2二重積分中二次積分的交換次序；二重積分中二次積分的交換次序；例例 1 1 改改變變積積分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序的次序. 102112),(yydxyxfdy答案答案:例例2：試證：試證： ayaxbxdxfeyd00)()( aaxbxdxfexa0)()()(（3利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分； Ddyxf ),( Ddd

24、f )sin,cos(再根據(jù)再根據(jù) D 的極坐標(biāo)表示，將極坐標(biāo)下的二重積分的極坐標(biāo)表示，將極坐標(biāo)下的二重積分化為累次積分?；癁槔鄞畏e分。 DdxdyyxI22)1(例例3:計(jì)算計(jì)算:D由直線由直線 y = x 及曲線及曲線4xy 所圍平面區(qū)域。所圍平面區(qū)域。 )122(91 DdxdyyxRI222)2(xRyxD 22: )34(93R（4利用對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算二重積分；利用對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算二重積分；在二重積分的計(jì)算過程中，要注意對(duì)稱性。在二重積分的計(jì)算過程中，要注意對(duì)稱性。例例 4 計(jì)計(jì)算算dxdyyxD)(22 ，其其 D為為由由圓圓 yyx222 ，yyx422

25、及及直直線線 yx3 0 ， 03 xy 所所圍圍成成的的平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域. )32(15例例5：計(jì)算：計(jì)算 DyxyxddxeyI)1()(22其中其中 D 由直線由直線 y = x , y = 1 , 及及x = 1 所圍平面區(qū)域所圍平面區(qū)域)32( 四、第一、二類曲線積分，第一、二類曲面積分格林公式、四、第一、二類曲線積分，第一、二類曲面積分格林公式、高斯公式。高斯公式。（1曲線和曲面積分的基本概念和基本計(jì)算方法；曲線和曲面積分的基本概念和基本計(jì)算方法；（2基本公式基本公式格林公式格林公式 DLdxdyyPxQQdyPdx)(高斯公式高斯公式 RdxdyQdzdxPdydz dxdy

26、dzzRyQxP)(主要作用：將平面曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分主要作用：將平面曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分主要作用：將曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分主要作用：將曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分（3基本應(yīng)用：基本應(yīng)用：格林公式和高斯公式的兩類典型應(yīng)用題：格林公式和高斯公式的兩類典型應(yīng)用題：2. 平面曲線積分平面曲線積分“ 封口法封口法 ” 和和 “ 挖洞法挖洞法 ”。 LQdyPdx與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域 G 內(nèi)內(nèi)yPxQ （4基本計(jì)算技巧基本計(jì)算技巧1. 利用對(duì)稱性；利用對(duì)稱性；2. 利用曲線或曲面方程化簡(jiǎn)被積函數(shù)；利用曲線或曲面方程化簡(jiǎn)被積函數(shù)；3. 利用關(guān)系式利用關(guān)系式),(dxdydzdxdy

27、dzdS)cos,cos,(cos 將對(duì)不同的坐標(biāo)的曲面積分化為同一個(gè)曲面積分；將對(duì)不同的坐標(biāo)的曲面積分化為同一個(gè)曲面積分；4. 利用積分與路徑無關(guān)，適當(dāng)改變積分路徑，簡(jiǎn)利用積分與路徑無關(guān)，適當(dāng)改變積分路徑，簡(jiǎn)化平面曲線積分。化平面曲線積分。11054:222 zyx例例1：設(shè)橢球面：設(shè)橢球面 的表面積為的表面積為a，那么，那么 Sdzyxzyx)245(22220a提示：利用曲面方程及對(duì)稱性提示：利用曲面方程及對(duì)稱性例例2：設(shè)：設(shè), 1:3232 yxL那么那么 Ldsyxxy32323提示：利用曲線方提示：利用曲線方程及對(duì)稱性程及對(duì)稱性0例例3： zdxdyydzdxxdydz1:2222

28、22 czbyaxcba 4提示：利用高斯公式及提示：利用高斯公式及橢球體的體積。橢球體的體積。例例4：設(shè)：設(shè) f (x) 在在 ( 0 , + ) 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，L 是由點(diǎn)是由點(diǎn)提示：利用積分與路徑無關(guān)，并取新路徑：提示：利用積分與路徑無關(guān)，并取新路徑：A ( 1 , 2 ) 到點(diǎn)到點(diǎn) B ( 2 , 8 ) 的直線段，計(jì)算的直線段，計(jì)算 Ldyxxyfxdxxyfxyxy)(1)(222222322 xy （30）例例5：計(jì)算：計(jì)算 zdxdyyydxdzxxzdydz22 由拋物面由拋物面22yxz 與圓柱面與圓柱面122 yx及坐標(biāo)面在第一卦限中所圍曲面外側(cè)。及坐標(biāo)面

29、在第一卦限中所圍曲面外側(cè)。提示：利用高斯公式及三重積分柱面坐標(biāo)提示：利用高斯公式及三重積分柱面坐標(biāo) 203例例6：計(jì)算：計(jì)算 LyydyxeydxexyI)(cos)12(再由坐標(biāo)原點(diǎn)沿再由坐標(biāo)原點(diǎn)沿 x 軸到軸到 B (2 , 0)。解：解：xy0 )1, 1( A其中，其中，L 為由點(diǎn)為由點(diǎn) A (1 , 1) 沿曲線沿曲線2xy 到坐標(biāo)原點(diǎn)，到坐標(biāo)原點(diǎn)，2B)1, 2(C分析：應(yīng)用格林公式分析：應(yīng)用格林公式補(bǔ)充：補(bǔ)充：CABCL :1 1)(cos)12(Lyydyxeydxexy 1)(cos)12(LLyydyxeydxexyI Dyydxdyexe)12(D 10)2(cosdye

30、yy 12)12(dxex 21012ydxxdy)221(sine )318(e 11sin e2xy BAxBAdyxfydxxfexffxf.) 1 , 1 (),0 , 0()()(),(,21)0()(時(shí)的積分值與路徑無關(guān)，并求當(dāng)使得曲線積分求連續(xù)可導(dǎo)，且例：設(shè)五、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別，條件收斂與絕對(duì)收斂、五、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別，條件收斂與絕對(duì)收斂、冪級(jí)數(shù)的收斂域，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)。冪級(jí)數(shù)的收斂域，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)。（1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法，比值判別法，根值判別法，比較判別法，比值判別法，根值判別法，收斂的必要條件收斂的必要條件幾何級(jí)數(shù)、幾何

31、級(jí)數(shù)、P 級(jí)數(shù)和調(diào)和級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)和調(diào)和級(jí)數(shù)2. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)：交錯(cuò)級(jí)數(shù)： 萊布尼茨定理萊布尼茨定理3. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：絕對(duì)收斂和條件收斂。絕對(duì)收斂和條件收斂。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nnu收斂性判斷的一般步驟：收斂性判斷的一般步驟：（1檢驗(yàn)檢驗(yàn)（3用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法檢驗(yàn)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法檢驗(yàn) 1|nnu是否收斂？是否收斂？則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，從而收斂，則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，從而收斂，（4假設(shè)假設(shè) 1|nnu發(fā)散，發(fā)散，但是用比值或根值法判斷的但是用比值或根值法判斷的則原級(jí)數(shù)也發(fā)散。則原級(jí)數(shù)也發(fā)散。0lim nnu是否成立？是否成立？ 若否，則原級(jí)數(shù)發(fā)散若否，則原級(jí)數(shù)發(fā)散若是或若是或0lim nnu難求

32、，則進(jìn)行下一步；難求，則進(jìn)行下一步；若是，若是，否則，進(jìn)行下一步；否則，進(jìn)行下一步；（2若原級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)或交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)若原級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)或交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則可用正項(xiàng)級(jí)數(shù) 或萊布尼茨判別法檢驗(yàn)其收斂性，否則進(jìn)行下一步或萊布尼茨判別法檢驗(yàn)其收斂性，否則進(jìn)行下一步（5用性質(zhì)或其它方法。用性質(zhì)或其它方法。（2冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)（1利用極限利用極限 |lim1nnnaa（2判定冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)判定冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)Rx 確定收斂半徑確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間及收斂區(qū)間 處的收斂性，處的收斂性， 0nnnxa收斂域的一般步驟：收斂域的一般步驟：（3收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。),(RR nnna |lim或或 1R說明說明1冪級(jí)數(shù)中不能出現(xiàn)冪級(jí)數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項(xiàng)缺項(xiàng)”。 00)(nnnxxa（2對(duì)冪級(jí)數(shù)對(duì)冪級(jí)數(shù)要先做變換要先做變換0 xxt （3求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)（1利用極限利用極限 |lim1nnnaa（2判定冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)判定冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)Rx 確定收斂半徑確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間及收斂區(qū)間 處的收斂性，處的收斂性， 0nnnxa收斂域的一般步驟：收斂域的一般步驟：（3收斂域等于收斂區(qū)間加