數(shù)列求和專題

1、*教育五環(huán)教學(xué)案日期：授課人：學(xué)生：科目：數(shù)學(xué)今日格言：柏拉圖說(shuō)： 數(shù)學(xué)是一切知識(shí)中的最高形式”課題數(shù)列求和專題教 學(xué) 目 標(biāo)高考對(duì)本節(jié)知識(shí)主要以解答題的形式考查以下兩個(gè)問(wèn)題：1.以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項(xiàng)公式，考查學(xué)生用等差、等比數(shù)列知識(shí)分析問(wèn)題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題.2.通過(guò)分組、錯(cuò)位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問(wèn)題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題.知 識(shí) 點(diǎn) 及 重 難 點(diǎn) 梳 理1.數(shù)列求和的方法技巧(1)分組轉(zhuǎn)化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的數(shù)列，即先分別求和，然后

2、再合并.(2)錯(cuò)位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和，其中an, bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(3)倒序相加法這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，也就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列 (反序)，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)若有公式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和.(4)裂項(xiàng)相消法利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或n項(xiàng)的差，通過(guò)相加過(guò)程中的相互抵消，最后只剩卜制限項(xiàng)的和.這種 1 一一 ，1111萬(wàn)法，適用于求通項(xiàng)為的數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中an若為等差數(shù)列，則.anan + 1anan+1 d an an + 1常見(jiàn)的

3、拆項(xiàng)公式：小1 1 -Jn n+ 1 n n+ 1=1x( 一),n n+ k k，n n+ k;, 1=11_12n 1 2n+12(2n 1 2n+1)' . 1 j= 1h/nTk一訴).+y/nTk k考點(diǎn)訓(xùn)練分組轉(zhuǎn)化求和法第一列第二列第三列A行3210第二行6414第三行9818列an中，a1, a2, a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2, a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿足:bn=an+(1)nln an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)

4、列進(jìn)行求和，在求和時(shí)要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論，最后再驗(yàn)證是否可以合并升-個(gè)公式.設(shè)數(shù)列an滿足ai = 2, a2+a4=8,且對(duì)任意nCN*,函數(shù)一、，,、，神 L ,，兀Cf(x)= (anan+1 + 3n+2)x+ an+lCOS Xan+2Sin x 滿足 f 20.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；.1(2)若bn = 2 an+襦，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)二錯(cuò)位相減求和法例2設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,且 S4=4S2, a2n=2an+1.(1)求

5、數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足 502+bn=1 去 nCN*,求bn的前 n 項(xiàng)和 Tn.錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前 n項(xiàng)和是一類重要方法.在應(yīng)用這種方法時(shí)，一定要抓住數(shù)列的特征，即數(shù)列的項(xiàng)可以看作是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得數(shù)列的求和問(wèn)題.設(shè)數(shù)列an滿足 ai = 2, an+i an= 3 22n 1(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn=nan,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消求和法均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿足4Sn= a2+i 4n 1, n C N*,且 (1)證明：a2= Wai + 5;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;證明：對(duì)一切正整數(shù)n，

6、有ai+at+-+U;<2-設(shè)各項(xiàng)a2, a5, ai4構(gòu)成等比數(shù)列.數(shù)列求和白方法：(1)一般地，數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，就先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備適用某種特殊方法的形式，從而選擇合適的方法求和得解.(2)已知數(shù)列前n項(xiàng)和Sn或者前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系式，求通項(xiàng)通常利用Si n = 1an=.已知數(shù)列遞推式求通項(xiàng)，主要掌握“先猜后證法” “化歸法” “累力口 (乘)法”等.Sn-Sn 1 n>2:fx已知、G,2 ,43(x>0)成等差數(shù)列.又?jǐn)?shù)列an(an>0)中,ai=3,此數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)于所有大于1的正

7、整數(shù)n都有Sn=f(Sn-1).(1)求數(shù)列an的第n+1項(xiàng)；(2)若舊是二，的等比中項(xiàng)，且 Tn為bn的前n項(xiàng)和，求Tn.規(guī)律總塔一;1 .數(shù)列綜合問(wèn)題一般先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是做好該類題型的關(guān)鍵.若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接運(yùn)用公式求解，否則常用下列方法求解：Si n= 1(1)an =Sn-Sn 1 n>2(2)遞推關(guān)系形如an+1- an= f(n),常用累加法求通項(xiàng).an + 1， 一 一一. (3)遞推關(guān)系形如 =f(n),常用累乘法求通項(xiàng). an(4)遞推關(guān)系形如 “an+1 = pan+q(p、q是常數(shù)，且pw1, qw。)”的數(shù)列求通項(xiàng)，此類通項(xiàng)問(wèn)題，常用待定 系數(shù)

8、法.可設(shè)an+1 +p(an+ N,經(jīng)過(guò)比較，求得 N則數(shù)列an+是一個(gè)等比數(shù)列.(5)遞推關(guān)系形如 “an+1 = pan+qn(q, p為常數(shù)，且pw1, qw。)”的數(shù)列求通項(xiàng)，此類型可以將關(guān)系式兩 邊同除以qn轉(zhuǎn)化為類型(4),或同除以pn+1轉(zhuǎn)為用迭加法求解.2 .數(shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型：(1)錯(cuò)位相減法求和時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問(wèn)題求解.(2)并項(xiàng)求和時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和.(3)分組求和時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能用公式法或錯(cuò)位相減法或裂項(xiàng)相消法或并項(xiàng)法求和的幾個(gè)數(shù)列的和求解.提醒：運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，相減后，要注意右邊的n+1項(xiàng)中白前n項(xiàng)，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列

9、，以及兩邊需除以代數(shù)式時(shí)注意要討論代數(shù)式是否為零.3 .數(shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解析問(wèn)題的能力.其中，建立數(shù)列模型是解決這類問(wèn)題的核心， 在試題中主要有：一是，構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用相應(yīng)的通項(xiàng)公式與求和公式求解；二是， 通過(guò)歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識(shí)求解.押題精練1 .在一個(gè)數(shù)列中，如果？ nC N*,都有anan+1an+2=k(k為常數(shù))，那么稱這個(gè)數(shù)列為等積數(shù)列，稱 k為這個(gè)數(shù) 列的公積.已知數(shù)列an是等積數(shù)列，且 a1=1, a2 = 2,公積為8,則a + a2+a3+ a2=.2 .秋末冬初，流感盛行，特別是甲型H1N1流感.*某醫(yī)院近30天每天入院治療甲流

10、的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列an,已知 a=1, a2=2, 且 an+2an= 1 + ( 1)n(n C N*),則該醫(yī)院 30 天入院治療甲流的人數(shù)為3.已知公差大于零的等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn,且滿足：a2a4=65, ai + as = 18.(1)若1<i<21, ai, a, a2i是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，求 i的值；(2)設(shè)bn 2n+1 s，否存在 個(gè)取小的常數(shù)m使信b+b2+ bn<m對(duì)于任忌的正思 維 拓 展一、填空題1111 一 1 .已知數(shù)列12, 34, 58, 716，則具刖n項(xiàng)和Sn =.2 .在等差數(shù)列an中，a1 = -2 013,其前n項(xiàng)和為S

11、n,若S： S；2,則S2 013的值等于.3 , 對(duì)于數(shù)列an, a=4, an+1=f(an), n=1,2,，則 a2 013=.x12345f(x)543124.設(shè)an是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，bn是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，記 Mn=ab1+ab2+ + abn,則數(shù)列Mn中不超過(guò)2 013的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為 . Si S2S15 ,5. 在等差數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和是Sn,右Si5>0, Si6<0,則在一，一，中取大的. ai a2ai5111i6. 數(shù)列an滿足 ai=1,且對(duì)任息的 m, nC N 都有 am+n= am+ an+ mn,則一+ +=ai

12、a2 a3a2 012n2n為奇數(shù)， 口7. 已知函數(shù) f(n)=_且 an = f(n) + f(n+1),則 ai +a2+a3+ a2 012=.一n2 n為偶數(shù)，8. 數(shù)列an中，已知對(duì)任意 nCN , a+a2+a3+ an=3n1,則 a2+a2+a3+ a2=. 一一、一 . .1 .9. 已知數(shù)列an滿足3an+i+an= 4(n> 1)且ai = 9,其刖n項(xiàng)之和為 Sn,則滿足不等式|Snn 6|不眾的取小125整數(shù)n是.二、解答題10. 已知等差數(shù)列an滿足：a5=9, a2+a6= 14.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若 bn= an+ qan(q>0),求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Sn.11. 將函數(shù)f(x) = sin ；x sin ；僅+2兀) 2x+3兀在區(qū)間(0, + 00)內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列 an(nC N*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=2nan,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn的表達(dá)式.3,12.已知首項(xiàng)