絕對值的三角不等式典型例題

1、1.4 絕對值三角不等式教學目標：1. 理解絕對值的定義，理解不等式基本性質的推導過程；2. 掌握定理 1 的兩種證明思路及其幾何意義；3.理解絕對值三角不等式打4.會用絕對值不等式解決一些簡單冋題。定理 1 的證明及幾教學重點： 何意義。教學難點：換兀思想的滲透。教學過程：一、引入：證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應用一般不等式的基本性質之 外，經常還要用到關于絕對值的和、差、積、商的性質：（1） a+b 糾 a+b（ 2） a_b 蘭 a + b（3）|a b =a b（4）罰書甘 0）請同學們思考一下，是否可以用絕對值的幾何意義說明上述性質存在的道理？實際上，性質 a? b = a

2、b 和鳥= （b0）可以從正負數和零的乘法、除法 |b| b 法則直接推出；而絕對值的差的性質可以利用和的性質導出。因此，只要能夠證明 a + b 3|a+b 對于任意實數都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明?，F在請同學們討論一個問題：設a 為實數， a 和 a 哪個大 ?顯然 a -a，當且僅當 a 0 時等號成立（即在a 0 時，等號成立。在a ： 0時，等號不成立）。同樣，a】： - a.當且僅當 a_0 時，等號成立。含有絕對值的不等式的證明中，常常利用a 一 、a 一 -a 及絕對值的和的性質。二、典型例題：例 1、證明（ 1）a +|b Ka+b，證明 ( 1) 如果 a

3、+ b K0, 那么 a + b = a + b.所以 a +|b a + b= |a + b.女口 果 a + bc0, 那 么 a + b = (a + b). 所 以a 十 b 啟一 a + (b) = -(a + b) = a 十 b精選資料，歡迎下載（ 2）根據（ 1）的結果，有 a+b+| bAa+b b , 就是， a + b + b 斗 a 所以， a +b z a b 。例 2、證明 a - b 勻 a b 勻 a + b。例 3、證明 ab w|a c +|b c。思考：如何利用數軸給出例3 的幾何解釋？（設 A, B ，C 為數軸上的 3 個點，分別表示數a, b, c,

4、 則線段 AB 冬 AC CB. 當且僅當 C 在 A, B 之間時，等號成立。這就是上面的例3。特別的，取 c= 0（即 C 為原點），就得到例2 的后半部分。）探究：試利用絕對值的幾何意義，給出不等式a+|bA|a + b 的幾何解釋 ?定理 1 如果 a, b ? R ,那么 a + b 蘭 a + b .在上面不等式中 ,用向量 a,b 分別替換實數則當a，b 不共線時 ,由向量加法三角形法則： 向量a,b ,a - b 構成三角形 ，因此有 |a+b |<其幾何意義是什么？含有絕對值的不等式常常相加減，得到較為復雜的不等式，這就需要利用例1, 例 2 和例 3 的結果來證明。例

5、 4、已知c . c, 求證 ( x y) _ (a b) : c.xa < ，y_b <-2 2-a y_b(1)證明 （x 十 y） -（a + b） = | （x - a ）十（y - b ） < xcx a < 2x a + yb(2)由( 1), (2) 得： ( x + y) (a + b) vc例 5、已知 x <, y 圭彳 . 求證： 2x3y va 。證明 常x<§, 空，二2x<空， 空,34622由例 1 及上式， 2x 3y 蘭 2x +|3y|空=a。2 2注意：在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但

6、這種寫法，只能用于不等號方向相同的不等式。四、鞏固性練習：cc1、已知 A a c二 ，B b| 丁 求證： ( A B) (a b) c c。精選資料，歡迎下載cc2、 已知 x - <-, y -b <-.求證： 2x _3y _2a+3b c c。作業(yè)：習題 1.2 2 、3、51.4 絕對值三角不等式學案預習目標： 1.理解絕對值的定義，理解不等式基本性質的推導過程;2. 了解定理 1 的兩種證明思路及其幾何意義 ；3.理解絕對值三角不等式 .0預習內容：1 ?絕對值的定義： - R ,|a| =2. 絕對值的幾何意義：1 0.實數 a 的絕對值 |a| , 表示數軸上坐標

7、為a 的點 A _- ? -f-i*-05 Ja20.- 兩個實數 a,b ，它們在數軸上對應的點分別為代 B ,那么 |a _ b | 的幾何意義是 _3. 定理 1 的內容是什么？其證法有幾種？4. 若實數 a,b 分別換成向量 a,b 定理 1 還成立嗎？5. 定理 2 是怎么利用定理 1 證明的？探究學習：1、絕對值的定義的應用例 1 設函數f (x) = x +1 - x -4.1 解不等式 f(x) 2 ；2 求函數 y = f(x) 的最值 .2. 絕對值三角不等式：探究 |a| , |b| , |a-b| 之間的關系 . a b 0 時,如下圖 ， 容易得： |a b|_|a|

8、 |b|.-* * -* - >- r ： * -? * O ah a+b x”+b 占0 0 a b ： 0 時,如圖 ,容易得： |a，b| _|a| |b|.b a+b 0 a xQ 0+b b精選資料，歡迎下載 a b =0 時,顯然有： |a b| |a|b|.綜上，得定理 1 如果 a,b? R ,那么 |a b| |a| |b|. 當且僅當 _時,等號成在上面不等式中 ,用向量 a,b 分別替換實數 a,b ,則當寸；不共線時 ，由向量加法三角形法則 ：向量 a,b ,a - b 構成三角形 ,因此有 |a b l _ 1 a| |b|它的幾何意義就是：_定理 1的證明：定

9、理 2 如果 a,b,c ? R,那么 |a_c|a-b| b-c| .當且僅當 _ 時，等號成3、定理應用例 2 （ 1） a,bR 證明 a+ba b，cc（2）已知 x -a| . ；：亍， y -b| . ；： ? ，求證（x y） -（a b ） : c. 。課后練習：a b1.當 a、b ? R 時，不等式:-1 成立的充要條件是A. ab = 0Ba2 b20C . ab ： 0D . ab 0精選資料，歡迎下載2. 對任意實數 x , |x 1|2| .a 恒成立，則 a 的取值范圍是 _;3. 對任意實數 x , |x-1|x 3h ： a 恒成立，則 a 的取值范圍是 _4

10、. 若關于 x 的不等式 | x 一 4 | - |x 3h ： a 的解集不是空集，則a 的取值范圍是_5. 方程 | 卷| =韻的解集為不等式 1 亡卜亡的解集是 _6. 已知方程 | 2 x -1| -|2 x ? 1|=a 1 有實數解，則 a 的取值范圍為 _ 。7.畫出不等式 |x + y 蘭 1 的圖形，并指出其解的范圍。利用不等式的圖形解不等式1卜+1 乂一 1<:1; 2x+2y".8.解不等式 :1 °> 2x 1 < x13X+1| + X+2A3 ; 4" 、X+2-X-1+3A09. 1 、已知 x : a, y詩. 求

11、證:2x 3y < a。4精選資料，歡迎下載2 °、 已知 x 亠 4，_b<6 .求證： "- 旳- 羽+甌:c o3、已知A a , B 'b( A B C ） -（a b c ） | ；： s10.1 °、已知x c 掐， y <掐. 求證：xy va.y2 ”、已知x <ch, y ACA O.求證：一 ch. y精選資料，歡迎下載參考答案 :課后練習1、 B.2、 a v 33、 a > 44、 a> 75、 -3 vxv =-2 或 x> =0 x<0 或 x>26、 -3<=a<-17、 先考慮不等式在平面直角坐標系內第一象限的情況。在第一象限內不等式等價于:x_0， y_0 ,x y1 .其圖形是由第一象限中直線y = 1 - x 下方的點所組成。同樣可畫出二、三、四象限的情況。從而得到不等式x ? y 乞 1 的圖形是以原點O 為中心，四個等點分別在坐標軸上的正方形。不等式解的范圍一目了然。探究 :利用不等式的圖形解不等式1. |x +1 - X C1 ； 2答案： 1、-0.5<x<0.52.為8、1、 0&l