數(shù)理統(tǒng)計第一次試驗報告

1、一.實驗題目實驗1:經驗分布函數(shù)（1）取5及2=1, n=l00,產生n個服從N , 2分布的隨機數(shù)作為取自正態(tài)總體N, 2的樣本值Xi,L ,Xn,在同一坐標下畫出它的經驗分布函數(shù)，并與總體分布函數(shù)進行比較。（2）改變n,重做實驗（1）,體會格列文科定理的內涵。實驗2:直方圖假定某班60個男生身高（單位：cm）,數(shù)據(jù)如下：166,169,181,173,165,169,170,163,175,164,171,162,156,159,173,168,1 67,165,172,170,180,177,161,170,164,163,172,167,157,165,168,174,165,16 8

2、,162,163,159,163,167,173,161,160,165,160,173,164,166,152,163,164,176 ,160,164,167,158,172,167,168,167,170現(xiàn)在希望通過這些數(shù)據(jù)來確定該班身高的分布。解：基本步驟：第一步：找出數(shù)據(jù)的最大值181,最小值152,極差R=181-152=29;第二步：分組定組距。分組沒有通用原則，通常數(shù)據(jù)個數(shù)n 50時，分成10組以上，當n 50時，一般5組左右。分組數(shù)m確定后，可按E d 上來確m m 1 定組距do第三步：定分點，定區(qū)間：取起點a=151.5,終點181.5,從而作圖區(qū)間為151.5,181.

3、5（取各組的邊 界值比身高多一位小數(shù)，為的是使每個身高都落在一個組的內部）。第四步：列出樣本值落入各組的頻數(shù)和頻率。第五步：做頻率直方圖。直方圖是最常用的一種表現(xiàn)數(shù)據(jù)的方法，它通常把值域分成若干相等的區(qū) 問，于是數(shù)據(jù)就按區(qū)間分成若干組，每組做成一個矩形，其高和該組中數(shù)據(jù)的多 少成比例，其底為所屬區(qū)間，這些矩形就是直方圖，它給數(shù)據(jù)的分布一個直觀的 形象。直方圖以組距為底，以頻率為高作矩形?？梢韵胂?，若得到的數(shù)據(jù)很多，這時，直方圖的分組增多，組距變得很小，畫出的直方圖頂端階梯形近似一條曲線，于是可以用這條曲線近似描述該組數(shù)據(jù) 的分布規(guī)律。（2）改變實驗（1）中的組距，將得到的圖形與（1）得到的圖形

4、比較，你能得到什么結論?實驗3:設樣本Xi,L Xn取自總體U （a,b） ,a,b為未知參數(shù)，試求a, b的矩估計和極大似然估計。由計算可以得出a, b的矩估計量分別為:$1X3 n Xi2X , $1極大似然估計分別為:$2X1 , $2X卜面進行模擬:(1)取 a=0,b=1, N=50,產生N個服從U(a,b)分布的隨機數(shù)當做樣本，分別代入式中計算a, b的估計值,并與理論值 0,1比較;（2）將（1）重復10次，用10次估計值的平均值作為 a, b的估計，并與（1）的結果比較，體會其中包含的概率思想。實驗4:設總體X服從正態(tài)分布 N ,1 ,取 0,從總體抽取10組容量為20的樣本，

5、分別以X和X1作為總體均值的估計量，計算10組估計值并描在圖上。（將點描在坐標軸上） 從中你可以得到什么結論?圖1 ：以X作為估計量10.5. r . t-0.3-0.2-0.1-0.5-1圖2:以Xi作為估計量i .0.5'-2-1.5-1-0.5-0.511.5-0.5:-1 實驗5:已知X1,L ,Xn來自正態(tài)總體N , 2 ,其中 1,取 0.01,求置信度為0.99的置信區(qū)間。.分析與解答實驗1:經驗分布函數(shù)首先產生100個服從N(5,1)分布的隨機數(shù)作為樣本值X1,X2.X100.rnorm(100,mean=5,sd=1)114,83BS430工5.酶第"S.3

6、911T34.2«S4504.翦箝？。4.020857箱514.1MS234.41M44I.376C91UNJ45.7B3B9O5,1475503.27Q6Z5lB 1634173,日日464T5.9Q045146/717J10-4,5(61922144403016.2030923B3E7£094.441773.37£66B5,fil767a4,7(HtnS4/3314225.MH0B5.eeBl 3B134)5.152456M9Em曾父”5.345443«.&610414643083. JOD054 ,5255S.J231543 549502,

7、肥破”45 4.603230 4.72412S1*52719 «d<6C493 3.D12794 2322 營,.白3電號】5.70110 4.472104 3-505773：555C4H”札 5曲鴕.97111?£. 5223"4.5384094 gM髀5.250575.3W78IS；340S9«5*右”23P-59QIM67fi,577M64PQ'OB0636a1573D75,399156=.S0231ZS.L424L27 r 091104T7OB1S50260105.241655d,lB6C2D(7BJ1.5?2L96«.2

8、101734.0«LS633.27295«5.120409i5.&305304.062«6S5,316107石。口含0*35-Y4.051( 30iG9)4, l&SSei2u4«51Ci«1.9C200B5.4K253S.g4702Q3BM374ll5.AM7075.5822205.3324%4B«5l«0d100 4.533643根據(jù)產生的數(shù)據(jù)畫出正態(tài)分布的經驗分布函數(shù)：w<-(rnorm(100, mean = 5, sd = 1)curve(pnorm(X,mean(w),sd(w),Xlim=

9、c(0,20),col="blue",lwd=3)與總體正態(tài)分布函數(shù)進行比較：x <- seq(0,20,length.out=100)lines(x,pnorm(x,5,1),col="red")legend("bottomright",legend=paste("m=",c(5,5),"sd=",c(1,1),lwd=1,col=c("red","blue")m= 5 sd= 1m= 5 sd= 1101520當取n的值為200 ：w=(rnor

10、m(200, mean = 5, sd = 1)curve(pnorm(x,mean(w),sd(w),xlim=c(0,20),col="blue",lwd=3)x <- seq(0,20Jength.out=200)lines(x,pnorm(x,5,1),col="green")legend("bottomright",legend=paste("m=",c(5,5),"sd=",c(1,1),lwd=1,col=c("green","blue"

11、;)oa o<0OCMft om= 5 sd= 1m= 5 sd= 1101520當取n的值為300:w=(rnorm(300, mean = 5, sd = 1)curve(pnorm(x,mean(w),sd(w),xlim=c(0,20),col="blue",lwd=3)x <- seq(0,20Jength.out=300)lines(x,pnorm(x,5,1),col="orange")legend("bottomright",legend=paste("m=",c(5,5),"

12、sd=",c(1,1),lwd=1,col=c("blue","orange")設X1,X2，,Xn是取自總體X的隨機樣本，F(xiàn)n(x)是總體X的經驗分布函數(shù)，當 n8時由 格列汶科定理知：P(lim sup |Fn(x) F(x)| 0) 1n x L該定理當樣本容量 n充分大時，經驗分布函數(shù)Fn(x)可以作為總體分布函數(shù) F(x)的一個良好的 近似。實驗二：直方圖基本步驟：第一步：找出數(shù)據(jù)的最大值181,最小值152,極差R=181-152=29;第二步：分組定組距。分組沒有通用原則，通常數(shù)據(jù)個數(shù)n 50時，分成10組以上，當n 50時，一般

13、5組左右。分組數(shù)m確定后，可按旦d 上來確 m m 1定組距do第三步：定分點，定區(qū)間：取起點a=151.5,終點181.5,從而作圖區(qū)間為151.5,181.5(取各組的邊界值比身高多一位小數(shù)，為的是使每個身高都落在一個組的內部)第四步：列出樣本值落入各組的頻數(shù)和頻率。第五步：做頻率直方圖。直方圖是最常用的一種表現(xiàn)數(shù)據(jù)的方法，它通常把值域分成若干相等的區(qū)間， 于是數(shù)據(jù)就按區(qū)間分成若干組，每組做成一個矩形，其高和該組中數(shù)據(jù)的多少成比例，其底為所屬區(qū)間, 這些矩形就是直方圖，它給數(shù)據(jù)的分布一個直觀的形象。直方圖以組距為底，以頻率為高作矩形?？梢韵胂?，若得到的數(shù)據(jù)很多，這時，直方圖的分組增多，組距

14、變得很小，畫出的直方圖頂端階梯形近似一條曲線，于是可以用這條曲線近似描述該組數(shù)據(jù)的分布規(guī)律。【實驗步驟】? 第一步 自定義繪制頻數(shù)直方圖的函數(shù)HIST <- function(data,m)res <- 1:m; lable<- 1:m;A <- min(data)-1;B <- max(data)+1;dis <- (max(data)-min(data)%/%m + 1;for(j in 1:m)for(i in 1:length(data)if( datai>A+(j-1)*dis && datai <= B-(m-j)*d

15、is ) resj=resj+1;lablej=paste(as.character(A+(j-1)*dis),"",as.character(B-(m-j)*dis) ;barplot(res,width=1,names.arg=lable);變量data用于存放數(shù)據(jù)，變量 m表示分組數(shù)? 第二步 改變分組個數(shù)，多次試驗m=5 的結果：IO151 -158 157- 164 163 T70 169-176 175 T82M=10的結果:oCMID151 - 155 157- 161 163- 167 169'173 175-179M=15的結果:151 - 154

16、 157 - 100 163 - 166 169 - 172 175- 178【實驗結論】組距越小，分組越細，對數(shù)據(jù)分布的刻畫就越精確，相反的，如果采用較大的組 距，更方便從整體上反應數(shù)據(jù)的大致分布情況。實驗三：(1)首先產生50個服從U (0,1 )分布的隨機數(shù) runif(50,min=0,max=1)：1 0,023519307J 0.8966914613 0.7記46955 19 0,12731124 25 0.499777 311 0,46248172 37 0.4e540742 43 0*45964103 491 0.346016480.952132260.11568770.026

17、305675 499 航 1300.119239S0.23504411,右REER42口0.89813197口.990958240.0970161 0,99887672 O.C6990C64 0.458必 44 0.15322103 0.05211966 D,140913 0.45155079 0.02913507 0.25459420 0.64256306 0.26965629 0.73552727 0.88507155 0 P 7450955 0.9C500D15 0,00520253 0.84722507 0.532451 0.59571119 0-75585151 0.340宛專慶 ,

18、0173S MB0 0.10123293 0,05256054 0.239002y8 0.2107155 0.9S295603 0.2£93際0 0.43623904 口 , 4f9S77r9 0.45822gg6矩估計:根據(jù)公式$1 X I- n Xi X 2首先計算出均值和方差:x1<-mean(x)x2<-var(x)將計算的結果帶入求取a的估計值：a1<-(x1-sqrt(3*x2)> runif (50f ir.in=O,max=l)> 父Iv-klu之ri (x)> print(kI)(1J> x2<-ver(«)

19、> print(x2)(11 0.07873117> al<-(xl-sqrt(3*x2)> print (al)1 -0.000300461同理根據(jù)公式$1X 3 Xi X 2可求出b的估計量：,；n i 1> bl<-(xl+sqrt(3*x2)> print(bl)LU 0.971t)31將運算重復10次，用10次估計值的平均值作為a, b的矩估計值a<-vector(mode="numeric",length=0)for(i in 1:10)ai<-ia2=0;for(i in 1:10)x<-runif(

20、50,min=0,max=1)x1<-mean(x)x2<-var(x)ai<-(x1-sqrt(3*x2)a2=a2+aia2/10> a2/：01 0,00393320同理將10次計算的結果求出平均值作為b的估計值a<-vector(mode="numeric",length=0)for(i in 1:10)ai<-ib2=0;for(i in 1:10)x<-runif(50,min=0,max=1)x1<-mean(x)x2<-var(x)ai<-(x1+sqrt(3*x2)b2=b2+aib2/10>

21、; b2/101J 1.004076極大似然估計：x<-runif(50,min=0,max=1)b1=min(x)b2=max(x)> b：1 G .01153014> DZ1 0,9S3S321將運算重復10次，用10次估計值的平均值作為a, b的極大似然估計值a<-vector(mode="numeric",length=0)for(i in 1:10)ai<-i bi<-ib1=0b2=0for(i in 1:10)x<-runif(50,min=0,max=1)ai=min(x)bi=max(x)b1=b1+aib2=b2

22、+bi> bl/LO1 0.007297444> b2/101 D . 97CJ7 62SI實驗結論：矩估計法生成的結果是0.003933, 1.004076極大似然估計法生成的結果是0.007297, 0.9797615從而可得出，兩種結果都還是比較接近理論值的，在此情況下，極大似然估計的估計效果比矩估計效果更理想實驗4:【實驗步驟】在R中輸入以下代碼：r<-matrix(rnorm(10*20),10,20)#抽取 10 組容量為 20 的樣本MEAN<-1:10MIN<-1:10#計算每一組樣本的均值和最小值plot(0,ylim=c(-5,2),col="white");for(i in 1:10)MEANi=mean(ri,);points(MEANi,pch=1,col="blue");MINi=min(ri,);points(MINi,pch=0,col="green");# 在同一坐標軸上畫出圖像，藍色表小均值，綠色表小最小值【實驗結論】o 河 _ OT -UO 0.60.81.01.21.4Index若取每次試驗的樣本容量為200,結論如下圖:o0.6