基于MATLAB的有源濾波器的實現(xiàn)

1、 1 濾波器的基本概念 1.1 濾波原理 濾波器是一種選頻裝置，可以使信號中特定的頻率成分通過， 而極大地衰減 其它頻率成分。在測試裝置中，利用濾波器的這種選頻作用，可以濾除干擾噪聲 或進行頻譜分析。 廣義地講，任何一種信息傳輸?shù)耐ǖ溃劫|(zhì)）都可視為是一 種濾波器。因為，任何裝置的響應(yīng)特性都是激勵頻率的函數(shù)，都 可用頻域函數(shù)描述其傳輸特性。因此，構(gòu)成測試系統(tǒng)的任何一個 環(huán)節(jié)，諸如機械系統(tǒng)、電氣網(wǎng)絡(luò)、儀器儀表甚至連接導(dǎo)線等等， 都將在一定頻率范圍內(nèi)，按其頻域特性，對所通過的信號進行變 換與處理。 按照濾波器處理信號的性質(zhì)分為，模擬濾波器和數(shù)字濾波器。 屬于模擬濾波范圍。主要介紹模擬濾波器（連續(xù)時

2、不變系統(tǒng)）原理、 模型、主要參數(shù)、RC濾波器設(shè)計。盡管數(shù)字濾波技術(shù)已得到廣泛應(yīng)用，但模擬 濾波在自動檢測、自動控制以及電子測量儀器中仍被廣泛應(yīng)用。 1.2 濾波器分類 1.2.1根據(jù)濾波器的選頻作用分類 低通濾波器 從 OC頻率之間，幅頻特性平直，它可以使信號中低于-c的頻率成分幾乎不受 衰減地通過，而高于f 2的頻率成分受到極大地衰減。 圖 1.1 低通濾波器 圖 1.2 高通濾波器 高通濾波器 與低通濾波相反，從頻率c :，其幅頻特性平直。它使信號中高于 c的頻率 成分幾乎不受衰減地通過，而低于 c的頻率成分將受到極大地衰減。 帶通濾波器 它的通頻帶在 -CL CN之間。 CN它使信號中高

3、于而低于-CL的頻率成分可 以不受衰減地通過，而其它成分受到衰減。 帶阻濾波器 與帶通濾波相反，阻帶在頻率CL CN之間。它使信號中高于CL而低于 CN的頻率成分受到衰減，其余頻率成分的信號幾乎不受衰減地通過。 圖 1.3 帶通濾波器 圖 1.4 帶阻濾波器 低通濾波器和高通濾波器是濾波器的兩種最基本的形式，其它的濾波器都可本文所述內(nèi)容 種類、數(shù)學(xué) 以分解為這兩種類型的濾波器，例如：低通濾波器與高通濾波器的串聯(lián)為帶通濾 波器，低通濾波器與高通濾波器的并聯(lián)為帶阻濾波器。 圖 1.5 低通濾波器與高通濾波器的串聯(lián) 圖 1.6 低通濾波器與高通濾波器的并聯(lián) 1.2.2 根據(jù)“最佳逼近特性”標(biāo)準(zhǔn)分類

4、巴特沃斯濾波器 從幅頻特性提出要求，而不考慮相頻特性。巴特沃斯濾波器具有最大平坦幅 度特性，其幅頻響應(yīng)表達式為： 2 1 H（ce） =- （ 1.1） 1+（竺尸 C n為濾波器的階數(shù)；w為濾波器的截止角頻率， 當(dāng) w=w時，|H （wj| 2=1/2,所 以，W對應(yīng)的是濾波器的-3db點。巴特沃思低通濾波器是以巴特沃思函數(shù)作為 濾波器的傳遞函數(shù)H（s），以最高階泰勒級數(shù)的形式逼近濾波器的理想矩形特性。 切比雪夫濾波器 切貝雪夫濾波器也是從幅頻特性方面提出逼近要求的，其幅頻響應(yīng)表達式 為： 2 H 伸） 是決定通帶波紋大小的波動系數(shù)，0 0，則隨著時間增大至無窮，該濾波 器的輸出將出現(xiàn)不穩(wěn)定

5、。濾波器的零點選擇可任取 A(-s 2)的一半零點，這是因為 濾波器對Laplace域表示的傳遞函數(shù)并無特殊要求，但如果要求 H(s)具有最小 相位，零點也必須選擇在s左半平面。 2.3.1 模擬濾波器設(shè)計步驟 用戶對設(shè)計的濾波器提出設(shè)計要求，我們可以針對濾波器的設(shè)計要求設(shè)計濾 波器。通常用戶對模擬濾波器提出的要求有：(1)濾波器的性能指標(biāo)，包括截止 頻率-0(對于低通和高通)或上下邊界頻率1、 2， 通帶波紋、 阻帶衰減等； (2) 濾波器的類型， 通常為 Butterworth、Chebyshevl、Chebyshev II、Elliptic 或Bessel濾波器。我們根據(jù)濾波器的類型通常

6、按下列步驟設(shè)計濾波器。 (1) 給定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率0(對于低通和高通)或上下邊 界頻率、匕；通帶波紋、阻帶衰減以及濾波器類型等(用戶給定)。 (2) 確定濾波器階數(shù) (3) 設(shè)計模擬低通原型濾波器。MATLAB言號處理工具箱的濾波器原型設(shè)計函 數(shù)有 butterap 、 cheblap、 cheb2ap、 ellipap 、 besselap。 按頻率變換設(shè)計模擬濾波器(低通、高通、帶通、帶阻)。MATLAB信號 處理工具箱的頻率變換函數(shù)有 lp2lp、Ip2hp、Ip2bp、lp2bs。 2.3.2模擬濾波器設(shè)計函數(shù) 上面濾波器的設(shè)計步驟比較麻煩，根據(jù)設(shè)計要求求解濾波器的最

7、小階數(shù)和邊 界頻率之后需要設(shè)計模擬原型濾波器并進行頻率轉(zhuǎn)換。其實 MATLAB這一系列 的過程組合成了更為方便的設(shè)計函數(shù)： butter,cheby1,cheby2,ellip,besself 。 這些函數(shù)稱為模擬濾波器完全設(shè)計函數(shù)。用戶在求得濾波器的最小階數(shù)和截止頻 率之后只需調(diào)用一次完全設(shè)計函數(shù)就可以自動完成所有設(shè)計過程，編程十分簡 單。這些工具函數(shù)適用于模擬濾波器的設(shè)計，但同樣也適用于數(shù)字濾波器。本節(jié) 只討論這些函數(shù)在模擬濾波器設(shè)計中的應(yīng)用。但要注意， MATLAB是將上述一系 列的步驟復(fù)合而已，并不是一種新的設(shè)計模擬濾波器的方法。 b,a=butter( n,wn ,ftype, s)

8、 z,p,k=butter( n,wn ,ftype, s) b,a=cheby1( n,Rp,w n,ftype, s) z,p,k=cheby1( n,Rp,w n,ftype, s) b,a=cheby2( n,Rs,w n,ftype, s) z,p,k=cheby2( n,Rs,w n,ftype, s) b,a=ellip( n,Rp,Rs,w n,ftype, s) z,p,k=cheby2( n,Rp,Rs,w n,ftype, s) b,a=besself( n,wn ,ftype, s) z,p,k=besself( n,wn ,ftype, s) 在上面的調(diào)用方式中，n為

9、濾波器的階數(shù)，wn為濾波器的截止頻率，單位 rad/s (wn0)； s為模擬濾波器，缺省時為數(shù)字濾波。 ftype 濾波器的類型可取為： high 高通濾波器，截止頻率為 wn= stop 帶阻濾波器，截止頻率為 wn=w1,w2 (ww2)。 ftype 缺省時為低通或帶通濾波器。 當(dāng)設(shè)計帶通濾波器時，截止頻率也為 wn=w1,w2 (w1w2)。a,b分別為濾波 器的傳遞函數(shù)分子和分母多項式系數(shù)向量；z,p,k分別為濾波器的零點、極點和 增益。Rp,Rs分別為所設(shè)計濾波器的通帶波紋和阻帶衰減,單位為dB。 濾波器的傳遞函數(shù)具有下面的形式： 、B(s) b(1) s +b(2)s2+b(n

10、 b + 1) H (s) - i A(s) a(1)s- +a(2)s-+ a(-a + 1) 若濾波器為帶通或帶阻型，則濾波器的階數(shù)為 2-,否則階數(shù)為- 2.4 濾波器最小階數(shù)選擇 前面所述的模擬濾波器設(shè)計中，濾波器階數(shù)是我們在編程時任意指定的。其 實它是決定濾波器品質(zhì)的主要參數(shù)之一。 通常在滿足性能指標(biāo)的前提下，階數(shù)應(yīng) 該盡可能小，以滿足易于實現(xiàn)、提高運算速度的要求。而在濾波器階數(shù)和濾波器 性能之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，我們通過這一函數(shù)關(guān)系可以求出滿足濾波性能指 標(biāo)的最低階數(shù)。下面介紹常用低通濾波器最小階數(shù)的確定原理及 MATLABS現(xiàn)； 接著介紹MATLAB!號處理工具箱中用來計算最小

11、階數(shù)和截止頻率的工具函數(shù)。 2.4.1濾波器最小階數(shù)選擇原理 以Butterworth低通模擬濾波器為例 模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)為：通帶邊界頻率 ，p，阻帶邊界頻率s,通帶 波紋Rp(dB)、阻帶衰減Rs(dB) 式中，N應(yīng)向上取整，則N為該濾波器的最小階數(shù)。 c表示為: 2.4.2 濾波器最小階數(shù)選擇函數(shù) 上面給出了 Butterworth濾波器的最小階數(shù)和截止頻率的選擇公式及程序 其實MATLA工具箱中運用濾波器的最小階數(shù)選擇公式給出了濾波器最小階數(shù)選 擇函數(shù)。幾種濾波器最小階數(shù)的選擇函數(shù)如下： n, wc=buttord(wp,ws,Rp,Rs, s); Bu (2.9) 2 Rp =

12、-10lgH j i (2.10) 式可寫成： c Rs H j 川 i；=10 以截止頻率-c (幅值下降3dB)為1，化為相對c的相對頻率一，貝U上 同理，當(dāng)=軋時，H(序卜10 20 Rs = 10lg H(jco 綜合上面兩式可得: 切比雪夫濾波器 切貝雪夫濾波器也是從幅頻特性方面提出逼近要求的，其幅頻響應(yīng)表達式 為: 是決定通帶波紋大小的波動系數(shù)，0 0，則隨著時間增大至無窮，該濾波 器的輸出將出現(xiàn)不穩(wěn)定。濾波器的零點選擇可任取 A(-s 2)的一半零點，這是因為 濾波器對Laplace域表示的傳遞函數(shù)并無特殊要求，但如果要求 H(s)具有最小 相位，零點也必須選擇在s左半平面。 2

13、.3.1 模擬濾波器設(shè)計步驟 用戶對設(shè)計的濾波器提出設(shè)計要求，我們可以針對濾波器的設(shè)計要求設(shè)計濾 波器。通常用戶對模擬濾波器提出的要求有：(1)濾波器的性能指標(biāo)，包括截止 頻率-o(對于低通和高通)或上下邊界頻率、 2， 通帶波紋、 阻帶衰減等； (2) 濾波器的類型， 通常為 Butterworth、Chebyshevl、Chebyshev II、Elliptic 或Bessel濾波器。我們根據(jù)濾波器的類型通常按下列步驟設(shè)計濾波器。 (1) 給定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率0(對于低通和高通)或上下邊 界頻率、匸；通帶波紋、阻帶衰減以及濾波器類型等(用戶給定)。 (2) 確定濾波器階數(shù)

14、(3) 設(shè)計模擬低通原型濾波器。MATLAB言號處理工具箱的濾波器原型設(shè)計函 數(shù)有 butterap 、 cheb1ap、 cheb2ap、 ellipap 、 besselap。 按頻率變換設(shè)計模擬濾波器(低通、高通、帶通、帶阻)。MATLAB信號 處理工具箱的頻率變換函數(shù)有 lp2lp、Ip2hp、Ip2bp、Ip2bs。 232模擬濾波器設(shè)計函數(shù) 上面濾波器的設(shè)計步驟比較麻煩，根據(jù)設(shè)計要求求解濾波器的最小階數(shù)和邊 界頻率之后需要設(shè)計模擬原型濾波器并進行頻率轉(zhuǎn)換。其實 MATLAB這一系列 的過程組合成了更為方便的設(shè)計函數(shù)： butter,cheby1,cheby2,ellip,besse

15、lf 。 這些函數(shù)稱為模擬濾波器完全設(shè)計函數(shù)。用戶在求得濾波器的最小階數(shù)和截止頻 率之后只需調(diào)用一次完全設(shè)計函數(shù)就可以自動完成所有設(shè)計過程，編程十分簡 單。這些工具函數(shù)適用于模擬濾波器的設(shè)計，但同樣也適用于數(shù)字濾波器。本節(jié) 只討論這些函數(shù)在模擬濾波器設(shè)計中的應(yīng)用。但要注意， MATLAB是將上述一系 列的步驟復(fù)合而已，并不是一種新的設(shè)計模擬濾波器的方法。 b,a=butter(n,wn,ftype, s) z,p,k=butter( n,wn ,ftype, s) b,a=cheby1(n,Rp,wn,ftype, s) z,p,k=cheby1( n,Rp,w n,ftype, s) b,a

16、=cheby2(n,Rs,wn,ftype, s) z,p,k=cheby2(n,Rs,wn,ftype, s) b,a=ellip(n,Rp,Rs,wn,ftype, s) z,p,k=cheby2(n,Rp,Rs,wn,ftype, s) b,a=besself(n,wn,ftype, s) z,p,k=besself( n,wn ,ftype, s) 在上面的調(diào)用方式中，n為濾波器的階數(shù)，wn為濾波器的截止頻率，單位 rad/s (wn0)； s為模擬濾波器，缺省時為數(shù)字濾波。 ftype 濾波器的類型可取為： high 高通濾波器，截止頻率為 wn= stop 帶阻濾波器，截止頻率為

17、wn=w1,w2 (ww2)。 ftype 缺省時為低通或帶通濾波器。 當(dāng)設(shè)計帶通濾波器時，截止頻率也為 wn=w1,w2 (w11 CN 極點和增益 圖 3.4 Chebyshev I 型模擬原型濾波器平方幅頻圖 與Butterworth濾波器相比(圖3.1 )，可以看到：在相同的階數(shù)下，Chebyshev I型模擬原型濾波器具有更窄(更陡)的過渡帶。但這種特性是以犧牲了通帶的 單調(diào)平滑特性(而成為波紋狀)為代價的。如果我們不想犧牲通帶內(nèi)的單調(diào)平滑 特性有無辦法設(shè)計階數(shù)較小而過渡帶較窄的濾波器呢？這就涉及到 Chebyshev II型濾波器。 3.2.2 Chebyshev II 型濾波器

18、Chebyshev II型低通模擬濾波器的平方幅值響應(yīng)函數(shù)為: =A 2 二 1 亠：2C2 1 C -c 式中各項參數(shù)的意義同上。 Chebyshev II型模擬濾波器的特點是：阻帶內(nèi)具有等波紋的起伏特性，而 在通帶內(nèi)是單調(diào)、平滑的，階數(shù)愈高，頻率特性曲線愈接近矩形。傳遞函數(shù)既有 極點又有零點。 Chebyshev II型模擬濾波器零點為z(1),z(2),z(n z)，極點為 p(1),p(2),p(np)，濾波器的增益為K。 MATLAB號處理工具箱提供函數(shù) cheb2ap設(shè)計N階Chebyshev II型模擬濾 波器的原型。由于Chebyshev II型濾波器阻帶內(nèi)有波紋，通帶內(nèi)單調(diào)平

19、滑，則 必須給定阻帶衰減 Rs,前面已經(jīng)講過，通帶波紋和阻帶衰減都是相對于增益 1 的下降，因此，Rp和Rs越大則與通帶增益1的差距越大。因此，阻帶衰減 Rs 越大對應(yīng)的濾波器濾波效果越好，通常 Rs的取值要大于16dB該函數(shù)通常調(diào)用 格式為： z,p,k=cheb2 ap(N,Rs) 式中，N為濾波器的階數(shù)；Rs為阻帶波紋，單位dB;乙p,k為濾波器的零極 點和增益。 圖 3.5 Chebyshev II 型模擬原型濾波器平方幅頻圖 可見Chebyshev II型濾波器在通帶內(nèi)是單調(diào)平滑的，而阻帶內(nèi)卻出現(xiàn)了波 紋。隨著濾波器階數(shù)的增高，其幅頻特性越接近矩形。 由前面的講解可知，Butterw

20、orth濾波器具有單調(diào)平滑的頻率特性，但在過 渡帶寬相同的條件下，所需的濾波器階數(shù)較高(即設(shè)計的濾波器濾波速度較慢， 成本較高)。而ChebyshevI和II型濾波器在通帶或阻帶內(nèi)有波紋出現(xiàn)，但在過 渡帶寬相同的條件下，所需的濾波器階數(shù)較低(即設(shè)計的濾波器濾波速度較快， 成本較低)。 323 應(yīng)用舉例 x(t)二si n2*：*30*t 0.5*cos 2* 二 *300*t 2*sin 2* 二 *800*t 為輸入 (3.5) 信號， 設(shè)計一個5階的chebyshev I型帶通濾波器， 通帶波紋3dB,下邊界頻率 500二rad/s，上邊界頻率1000二rad/s，繪制幅頻響應(yīng)圖。給出該濾

21、波器的脈沖 響應(yīng)、階躍響應(yīng)。模擬濾波器的輸出并給出模擬輸入信號和模擬輸出信號的 Fourier振幅譜。 程序如下： N=5;Rp=3;w1=500*pi;w2=1000*pi; % 濾波器階數(shù)、阻帶衰減 z,p,k=cheb1ap(N,Rp); % 設(shè)計 Chebyshev I 型原型低通濾波器 b,a=zp2tf(z,p,k); % 轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式 Wo=sqrt(w1*w2); % 中心頻率 Bw=w2-w1; %頻帶寬度 bt,at=lp2bp(b,a,Wo,Bw); % 頻率轉(zhuǎn)換 h,w=freqs(bt,at); % 計算復(fù)數(shù)頻率響應(yīng) figure(1) subplot(2,2,

22、1),semilogy(w/pi,abs(h); % 繪制幅頻響應(yīng) xlabel(A ngular freque ncy/pi);grid on ;title(Mag nitude); subplot(2,2,2),plot(w/pi,a ngle(h)*180/pi);% 繪制相頻響應(yīng) xlabel(A ngular freque ncy/pi); ylabel(Phase/Ao);grid on ;title(Phase an gle) H=tf(bt,at); % 在 MATLAB表示此濾波器 h1,t1=impulse(H); % 繪出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)圖 subplot(2,2,3),p

23、lot(t1,h1);xlabel(Time/s);title(lmpluse resp on se) h2,t2=step(H); % 繪出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)圖 subplot(2,2,4),plot(t2,h2);xlabel(Time/s);title(Step resp on se) figure(2) dt=1/2000; t=0:dt:0.1; % 給出模擬濾波器輸出的時間范圍 u=si n( 2*pi*30*t)+0.5*cos(2*pi*300*t)+2*si n(2*pi*800*t); subplot(221),plot(t,u) % 繪制模擬輸入信號 xlabel(Time/

24、s);title(I nput sig nal) ys,ts=lsim(H,u,t); % 模擬系統(tǒng)的輸入u時的輸出 subplot(222),plot(ts,ys) % 繪制模擬輸出信號 xlabel(Time/s),title(Output signal); subplot(223),plot(0:le ngth(u)-1)/le ngth(u)*4000,abs(fft(u);% 繪輸入信號振幅譜 title(Spectra of in put sig nal ),xlabel(A ngular freque ncy/pi) Subplot(224) Y=fft(ys); plot(1:

25、le ngth(Y)/le ngth(Y)*4000,abs(Y); % 繪制輸出信號振幅譜 title(Spectra of output sig nal) xlabel(A ngular freque ncy/pi) 圖 3.6 Chebyshev I 型濾波器的幅頻響應(yīng)、相頻響應(yīng)、脈沖相應(yīng)和階躍響應(yīng) 圖 3.7 濾波器模擬輸入和輸出信號的時間域和振幅譜 程序輸出結(jié)果見圖3.6和圖3.7。圖3.6給出了該程序的幅頻圖、相頻圖、 脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)。幅頻圖清楚地給出了的通帶范圍和阻帶范圍。 圖3.7給出 了模擬輸入、輸出信號的時間域波形及頻率域振幅譜。 可以看到通過該濾波器處 理后，成功地濾

26、除了通帶范圍之外的信號。 但要注意，由該濾波器的相頻特性可 知，該濾波器并不是線性相位。 3.3 橢圓濾波器 橢圓(Elliptic) 模擬低通原型濾波器的平方幅值響應(yīng)函數(shù)為: (3.6) 式中，為小于1的正數(shù)，表示波紋情況； c為低通濾波器的截止頻率 (Cutoff frequency )，N為濾波器的階數(shù)，E 為橢圓函數(shù)，其定義已超出 本課程的范圍，我們直接利用。 橢圓濾波器的特點：在通帶和阻帶內(nèi)均具有等波紋起伏特性，與以上濾波器 原型相比，相同的性能指標(biāo)所需的階數(shù)最小，但相頻響應(yīng)具有明顯的非線性。 MATLAB言號處理工具箱提供 Elliptic 模擬低通濾波器原型設(shè)計函數(shù) ellipa

27、p。由于橢圓濾波器通帶和阻帶均有波紋，因此函數(shù)的輸入?yún)?shù)中通帶波 紋和阻帶衰減均需給出。該函數(shù)調(diào)用形式為： 式中，n為butterworth 濾波器階數(shù)；Rp,Rs分別為通帶波紋和阻帶衰減， 單位dB,通常濾波器的通帶波紋的范圍為 1-5dB，阻帶衰減的范圍大于15dB 乙p,k分別為濾波器的零點、極點和增益。 11 圖 3.8 橢圓模擬原型濾波器平方幅頻圖 可見階數(shù)為6的橢圓濾波器的過渡帶已相當(dāng)窄(陡)，但這種特性的獲得是 以犧牲通帶和阻帶的單調(diào)平滑特性為代價的?？梢钥吹綖V波器的階數(shù)越高平方幅 頻響應(yīng)越接近于矩形。 331應(yīng)用舉例 設(shè)計一個高通橢圓濾波器，設(shè)計性能指標(biāo)為：通帶邊界頻率 wp=

28、1500Hz阻 帶邊界頻率 ws=1000Hz通帶波紋 Rp=1dB阻帶衰減 Rs=100dB假設(shè)一個信號 x(t) =3sin 2 二 f,t 0.5cos2 二 f2t，其中 f1=400Hz,f2=1600Hz。信號的采樣頻率為 10000Hz試將原信號與通過該濾波器的模擬信號進行比較。 wp=1500*2*pi;ws=1000*2*pi;Rp=1;Rs=100; % 濾波器設(shè)計參數(shù) N,Wn=ellipord(wp,ws,Rp,Rs,s); % 求濾波器的最小階數(shù)和截止頻率 w=l in space(1,3000,1000)*2*pi; % 給出計算復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)的頻率點 b,a=ell

29、ip(N,Rp,Rs,Wn,high,s); % 設(shè)計高通橢圓濾波器 H=freqs(b,a,w); magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H); figure(1) plot(w/(2*pi),20*log10(magH); % 以頻率為橫軸繪幅頻響應(yīng) xlabel(Freque ncy/Hz);ylabel(Mag nitude/dB); title(Ellip an alog highpass filter); hold on ;plot(1000 1000,ylim); % 阻帶邊界 grid on figure(2) % 給出另一個圖形窗口 dt=1/10000

30、; f1=400;f2=1600;% 信號中所含頻率成分 t=0:dt:0.04;% 時間序列 x=3*si n(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t); % 輸入信號 H=tf(b,a); y,t1=lsim(H,x,t); % 模擬輸出 subplot(211),plot(t,x),title( In put sig nal) % 繪輸入信號 subplot(212),plot(t1,y) % 繪制輸出信號 title(Output sig nal),xlabel(Time/s) 圖 3.9 濾波器的幅頻響應(yīng)圖 圖 3.10 濾波器的輸入和輸出信號 程序運行結(jié)果見圖3.

31、9和圖3.10?？梢娝O(shè)計的高通濾波器完全符合要求， 在阻帶邊界下降的分貝數(shù)達100dB。并且通帶和阻帶均有波紋，這正是橢圓濾波 器的特點。將該濾波器模擬輸入 400Hz和1600Hz的信號后，輸出結(jié)果完全濾除 了 400HZ低頻成分，只含有1600HZ的信號。 3.4 Bessel 濾波器 前面講過的各類原型濾波器均沒有繪出其相位隨頻率的變化特性(相頻特 性)。在后面 的數(shù)字信號處理學(xué)習(xí)中將會看到它們的相位特性是非線性的。本節(jié) 所介紹的Bessel濾波器就能最大限度地減少相頻特性的非線性，使得通帶內(nèi)通 過的信號形狀不變(拷貝不走樣)。 Bessel模擬低通濾波器的特點是在零頻時具有最平坦的群

32、延遲，并在整個 1 通帶內(nèi)群延遲幾乎不變。在零頻時的群延遲為1畀 。由于這一特點，Bessel 2N N!丿 模擬濾波器通帶內(nèi)保持信號形狀不變。 但數(shù)字 Bessel濾波器沒有平坦特性， 因 此MATLAB!號處理工具箱只有模擬Bessel濾波器設(shè)計函數(shù)。 函數(shù)besselap用于設(shè)計Bessel模擬低通濾波器原型，調(diào)用格式為： 式中，N為濾波器的階數(shù)，小于25。乙p,k為濾波器的零點、極點和增益。 圖 3.11 Bessel 模擬原型濾波器相頻圖 可見，Bessel濾波器具有最優(yōu)的線性相頻特點，但這個特點的獲得是以犧 牲窄過渡帶為代價的，即濾波器的幅頻平方特性與矩形特性相差甚遠。 3.4.1

33、應(yīng)用舉例 設(shè)計一個六階 Bessel 低通模擬濾波器，截止頻率為 2000rad/s,繪制濾波器的頻率特性 圖。假設(shè)一個信號 x(t) =7sin 2- f1t 6cos2二 f2t，其中 f1=400Hz,f2=1000Hz。信號的采 樣頻率為 10000Hz。試將原信號與通過該濾波器的模擬信號進行比較。 N=6; %濾波器階數(shù) Wn=2000; %邊界頻率 b,a=besself(N,Wn); % 設(shè)計 Bessel 濾波器 figure(1) freqs(b,a); % 繪出濾波器的復(fù)數(shù)頻率特性 figure(2) dt=1/10000; % 信號采樣間隔 f1=100;f2=1000;

34、 % 輸入兩個頻率成分 t=0:dt:0.1; x=7*si n(2*pi*f1*t)+6*cos(2*pi*f2*t); % 輸入信號 H=tf(b,a); % 濾波器在NATLA療統(tǒng)中的表示 y,t1=lsim(H,x,t); % 模擬濾波器的輸出 subplot(211),plot(t,x),title( In put sig nal) % 繪出輸入信號 subplot(212),plot(t1,y) % 繪出輸出信號 title(Output sig nal),xlabel(Time/s) 圖 3.12 Bessel 濾波器的頻率特性 圖 3.13 Bessel 濾波器的輸入和輸出 程

35、序運行結(jié)果為圖3.12和圖3.13。雖然模擬Bessel濾波器的幅頻特性不 如其他濾波器好，但其相頻特性為線性的。因此圖 3.13中的輸出信號與輸入的 低頻信號形狀不變，只是有延遲。 前面介紹了那么多個濾波器原型，我們可以得出以下結(jié)論： Butterworth濾 波器在通帶和阻帶內(nèi)均具有平滑單調(diào)的特點， 但在相同過渡帶寬的條件下，該濾 波器所需的階數(shù)最多。Chebyshev I和II型濾波器在通帶或阻帶內(nèi)具有波紋， 但在相同過渡帶寬的條件下，該濾波器所需的階數(shù)比 Butterworth濾波器要少。 橢圓濾波器在通帶和阻帶內(nèi)均有波紋出現(xiàn)，但在相同過渡帶寬的條件下，該濾波 器所需的階數(shù)最少。Bes

36、sel濾波器具有最寬的過渡帶，但具有最優(yōu)的線性相頻 特性。因此沒有絕對“好”的濾波器，要根據(jù)解決問題的不同選擇不同的濾波器， 因此，每一種濾波器的設(shè)計方法我們都要熟練掌握。 4 模擬有源濾波器設(shè)計應(yīng)用舉例 4.1 有源一階濾波電路 4.1.1 一階濾波電路 如果在一階RC低通電路的輸出端，再加上一個電壓跟隨器，使之與負載很 好隔離開來，就構(gòu)成一個簡單的一階有源 RC低通濾波電路，由于電壓跟隨器的 輸入阻抗很高，輸出阻抗很低，因此，其負載能力很強。 ?如果希望電路不僅有濾波功能，而且能起放大作用，則只要將電路中的電 壓跟隨器改為同相比例放大電路即可。如圖 4.1。 圖 4.1 一階低通濾波電路

37、(1)傳遞函數(shù) (2) ?RC低通電路的傳遞函數(shù)為 對于電壓跟隨器，其通帶電壓增益 A。等于同 相比例放大電路的電壓增益 AVF，即 (4.2) 因此，可導(dǎo)出電路的傳遞函數(shù)為Vp(s)二 1 1 sRC Vi(s) (4.1) A(滬沁)譏 V|(S) 1 +s/(Cn 1 + S 式中n=1/(RC)，n稱為特征角頻率。 由于傳遞函數(shù)中分母為S的一次幕，故上述濾波電路稱為一階低通有源濾 (4.5) 圖 4.2 幅頻響應(yīng) 4.1.2應(yīng)用實例 若圖4.1中R =4JR2 =1只=2SC =4F,則由上述公式可得傳遞函數(shù)為 10 A( s) ，特征角頻率為 c = 8rad / s。 s+8 對傳

38、遞函數(shù)用MATLA仿真，求系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng) 其程序為： b=10; %濾波器傳遞函數(shù)分子多項式系數(shù) a=1 8; %濾波器傳遞函數(shù)分母多項式系數(shù) figure(1),freqs(b,a) %第一種輸出方法 h,w=freqs(b,a); %計算濾波器的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng) mag=abs(h);pha=angle(h); %得到濾波器的幅頻和相頻響應(yīng) figure(2),subplot(2,1,1),loglog(w,mag); % 運用雙對數(shù)坐標(biāo)繪制幅頻響應(yīng) grid on; xlabel(A ngular freque ncy);ylabel(Mag nitude); subplot(2,

39、1,2),semilogx(w,pha*180/pi) %運用半對數(shù)坐標(biāo)繪相頻響應(yīng)(4.3) 波路。 (2) 幅頻響應(yīng) ? 對于實際的頻率來說，式(4.3)中的s可用s=r 代入，由此可得 Vo(j ) Ao A( I ): (冷)1 + j(上) % (4.4) |A(j 卄 o 1 () -n grid on; xlabel(A ngular freque ncy); ylabel(Phase/degrees); 圖 4.3 兩種方法對應(yīng)的相頻響應(yīng)和幅頻響應(yīng) 4.2 雙二階濾波電路 4.2.1雙二階電路 所謂“雙二階電路”指的是能夠?qū)崿F(xiàn)雙二階函數(shù)(即傳輸函數(shù)的分子、分母 都是二階函數(shù))的電

40、路。雙二階電路可以實現(xiàn)各種類型的二階函數(shù)， 例如二階低 通、高通、帶通、具有傳輸零點以及全通等濾波器。 4.2.2應(yīng)用實例 我們知道雙二階電路能構(gòu)成多種濾波器， 現(xiàn)有如下多運放二階電路，下面我 們將通過以下電路進行討論仿真。 圖 4.4 ken多運放二階電路 我們分析其主電路是由一個相加器 A1,和兩個積分器A2、A3組成的，由上 圖可以看出，第一個放大器 A1的輸出： R2(R R3)VI R(R R3M -R(R RJV3 (Rl R2)R3 第二個放大器的輸出和第三個放大器的輸出都是反相積分器, 系為： 由以上三式可求得 上述的H (s)都是一般的雙二階函數(shù)，我們將函數(shù)分母用極點頻率 效

41、品質(zhì)因數(shù)Q 值來表示，即將 H (s)改寫為標(biāo)準(zhǔn)形式:(4.6 ) 它們電壓的關(guān) H(s)=vm 2 C1C2R3 R9S .Ri(R R3) R2(RI R2) R9C2s R2 (4.7) VI R3(R R2) .R(R R3) R3(Rl R2) &C2S R3 (4.8) Hs)護需. G C2 R3 R9s 2 C1C2R9R8s R(R &) R(Ri R2) R R9C2S - R3 (4.9) -0和等 V3 i H3(s)=VTFTn ； x； irad/s V2 -s H 2 (s) 2 ； Q2 i ； - 20 二 i rad / s VI s2 si

42、 Vi s Hi(s) 一 =7 ； Qi =i ； =irad /s VI s2 si 對傳遞函數(shù)用MATLA仿真，其程序為： b=0 0 1; a=1 1 1; % 濾波器傳遞函數(shù)分母多項式系數(shù) figure(1),freqs(b,a) ； %第一種方法 h,w=freqs(b,a); % 計算濾波器的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng) mag=abs(h);pha=a ngle(h); % 得到濾波器的幅頻和相頻響應(yīng) figure(2),subplot(2,1,1),loglog(w,mag);% 雙對數(shù)坐標(biāo)繪制幅頻響應(yīng) grid on; xlabel(A ngular freque ncy);ylabel(

43、Mag nitude); subplot(2,1,2),semilogx(w,pha*180/pi) % 運用半對數(shù)坐標(biāo)繪相頻響應(yīng) grid on; xlabel(A ngular freque ncy); ylabel(Phase/degrees); H(s) = A b0s2 bs b (4.10) 經(jīng)變形即可得出每一個傳遞函數(shù)的等效品質(zhì)因素 Q和截止頻率，0: H3(s)中: ，30 Q3 R(R &) C! R? R3 ( R| R2 ) R C1C2R2R3 H?(s) 中: 20 Q? R Rg ( R + R3 ) 2 Cl R3 18 ( R 1 R2 ) R 2 Ci

44、C2 R3 R Hi(s)中: . i0 R| (R R2) Qi Ci R3 Rg(Ri R2) R CiC2 R3 & & 不同的參數(shù)將導(dǎo)致不同的頻率特性, 為i，電容為 i JF。則有傳遞函數(shù)為: 為了簡單起見，不妨設(shè)圖4.4圖的電阻 圖形如圖4.5所示： 圖 4.5 V3 端輸出低通濾波器的相頻特性 修改程序為：b=0 -1 0; % 濾波器傳遞函數(shù)分子多項式系數(shù) 圖 4.6 V2 端輸出帶通濾波器的相頻特性 圖 4.7 V1 端輸出高通濾波器的相頻特性 由圖4.5-4.7我們看出，由不同點取輸出，可得到不同類型的傳遞函數(shù)，由 第一級取輸出得高通函數(shù)；第二級取輸出得帶通

45、函數(shù)；由第三級輸出則得低通函 數(shù)。經(jīng)上可知低通與高通串聯(lián)可的得到帶通濾波器，與第一章所講內(nèi)容相同。 4.3 二階有源帶阻濾波電路 帶通濾波電路是用來使某一頻段的信號通過，而讓該頻段以外的信號全部抑 制或衰減。與帶通濾波電路相反，帶阻濾波電路是用來抑制或衰減某一頻段的信 號，而讓該頻段以外的所有信號通過。 在第一章中，我們提及過高通濾波器和低通濾波器并聯(lián)就可以組成帶阻濾波 器。我們這里要討論的是另一種方案，即雙 T帶阻濾波器。 電路如圖4.8所示，其中 Rf =(AVF -1)尺。由節(jié)點導(dǎo)納方程不難導(dǎo)出電路的傳遞 函數(shù)為 圖 4.8 雙 T 帶阻濾波電路 1 式中0=,既是特征角頻率也是帶阻濾波

46、電路的中心角頻率； RC R 1 AVF =代=1 *為帶阻濾波的通帶電壓增益；Q o 尺 2(2-傀) 設(shè)計一個阻帶濾波電路的選頻性較好的濾波電路。 根據(jù)上面所提及的原理性知識，我們通過改變電路中各元件的參數(shù)來得到性 能較好的濾波電路。 情況一：取-0=1，A =1 ,則 Q =0.5 由式4.12可知圖4.8中個個元器件的 參數(shù)分別為： R 二 T，C =VlF ； 因為 AD =1 =1，所以不妨取 R1 Rf =1； R1 s2 +1 由上述參數(shù)所得出的傳遞函數(shù) G(s)二 一 s +2s + 1 其圖形如圖4.6 修改程序為：b=1 0 0; % 其圖形如圖4.7 濾波器傳遞函數(shù)分子

47、多項式系數(shù) A(s)二 V(s) V(s) AU1 (巴)2 % s s 2 1 2(2-心) ()2 蛍0 0 相1 (七)2 1 j j 2 1 Q (4.12) 進行matlab仿真程序如下： b=1 0 1; a=1 2 1; % 濾波器傳遞函數(shù)分母多項式系數(shù) figure(1),freqs(b,a) ; %第一種方法 h,w=freqs(b,a); % 計算濾波器的復(fù)數(shù)頻率響應(yīng) mag=abs(h); pha=angle(h); %得到濾波器的幅頻和相頻響應(yīng) figure(2),subplot(2,1,1),loglog(w,mag);% 雙對數(shù)坐標(biāo)繪制幅頻響應(yīng) grid on; x

48、label(A ngular freque ncy); ylabel(Mag nitude); subplot(2,1,2),semilogx(w,pha*180/pi) % 運用半對數(shù)坐標(biāo)繪相頻響應(yīng) grid on; xlabel(A ngular freque ncy); ylabel(Phase/degrees); 圖 4.9 情況一下的帶阻濾波器頻率響應(yīng) 情況二:-0 = 1rad / s， Ao =1.5,則 Q =1 由式4.12可知圖4.8中個個元器件的參數(shù)分： R = 11，C =1F ； R 因為Ao =1.5，所以不妨取R =2 , Rf = 11 ； & 愈好，即

49、阻斷的頻率范圍愈窄 結(jié)束語 在剛拿到畢業(yè)設(shè)計的題目及要求時， 感覺自己有種無能為力的感覺，因為當(dāng) 時我們的老師并沒有講很多關(guān)于濾波器方面的知識， 而與電容電感這些元器件有 關(guān)的計算向來就比較麻煩，自己就有點怕，但是還好自己并沒有被這種心理所馴 服，自己在網(wǎng)上收資料，去圖書館，看模電書，自己一點點的學(xué)。先在模電書上 第七章的一階RC低通高通濾波電路的引入開始，了解RC低通濾波電路的特點和 RC高通濾波電路的特點；并在深入了解其相應(yīng)的計算后，通過有源濾波器的學(xué) 習(xí)更加深入的了解了低通濾波、高通濾波、帶阻濾波和帶通濾波的特點，及其實 現(xiàn)方案，當(dāng)然書本上的知識有限，要想再深一步的了解還要通過上網(wǎng)、 圖書館查 閱相關(guān)的資料，彌補了課本知識的不足。經(jīng)過幾天的查閱資料分析電路的原理圖， 終于把這個設(shè)計做好了，而且經(jīng)過軟件的仿真證明了我所做的設(shè)計在誤差允許的 范圍內(nèi)是正確的。