最新選修-不等式選講知識(shí)點(diǎn)詳解+例題+習(xí)題含詳細(xì)答案

1、精品文檔選彳4-5不等式選講最新考綱：1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及 取等號(hào)的條件：(1)|a+bg|a|+|b|(a, bCR). (2)|a-b|<|a-c|+|c-b|(a, bCR).2. 會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax+ b|<c, |ax+ b|>c, |x-c|十|x b|a.3.了解柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會(huì)證 明.4.通過一些簡(jiǎn)單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、 反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法.基礎(chǔ)知識(shí)回顧 梳理識(shí)記自測(cè)JICHUZHISHi HUIGU逐知識(shí)旅理1 .

2、含有絕對(duì)值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)? f(x)>a 或 f(x)< a；(2)|f(x)|<a(a>0)? -a<f(x)<a；(3)對(duì)形如|x a|+|x-b|<c, |x -a|+|x- b|c的不等式,可利用絕對(duì)值不等 式的幾何意義求解.2 .含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)|a|b| <|a|<|a|+|b|.問題探究：不等式|a|b|& |a寄|& |a|+|b|中，"=”成立的條件分別是什么？提示：不等式|a|b|w|a+bg|a|+|b|,右側(cè)“=”成立的條件是ab>0

3、,左 側(cè)”=”成立的條件是ab&0且|a|引b|；不等式|a|b|&|ab|&|a|+|b|,右側(cè)”= 成立的條件是ab<0,左側(cè)"=”成立的條件是ab>0且|a|b|.3 .基本不等式定理1：設(shè)a, bCR,則a2+b2>2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí).等號(hào)成立.a b止理2：如果a、b為正數(shù)，則一二方«,當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí),等方成立.定理3:如果a、b、c為正數(shù)，則a + b+c>3/0bc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，3等號(hào)成立.精品文檔定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均值不等式)如果ai、a2、an為n個(gè)正數(shù)，則 2+.+=n/a

4、;，當(dāng)且僅當(dāng)a1=ag =a時(shí)，等號(hào)成立.4,柯西不等式(1)柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a, b, c, d為實(shí)數(shù)，則(a2+b2) (c2 + d2)他 + bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)等號(hào)成立.(2)若 ai,bi(iC N*)為實(shí)數(shù)，則(£a2)(£b2戶(£abi)2,當(dāng)且僅當(dāng) b=0(i = 1,2,，i = 1i = 1i =1n)或存在一個(gè)數(shù) k、使得 a=kb(i = 1,2、n)時(shí)，等號(hào)成立.(3)柯西不等式的向量形式：設(shè)內(nèi)B為平面上的兩個(gè)向量，則IWI6蘆|a印當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)向量同向或反向時(shí)等號(hào)成立.1 .判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打或"x”

5、)(1)對(duì)|a+b|引a|b|當(dāng)且僅當(dāng)a>b>0時(shí)等號(hào)成立.()對(duì)|ab|&|a|+|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab&0時(shí)等號(hào)成立.()|ax+ b|& c(c>0)的解等價(jià)于一c< ax+ b<c.()不等式|x- 11+ X+2|<2的解集為？.()(5)若實(shí)數(shù) x、y適合不等式 xy>1, x+y>-2,貝U x>0, y>0.()答案(1)X ，(5)，2.不等式|2x- 1|-x<1的解集是()A. x|0<x<2B, x|1<x<2C. x|0<x<1D. x|1<

6、x<3解析解法一：x=1時(shí)，滿足不等關(guān)系，排除C、D、B,故選A.r -1x 1, x>2，解法二：令 f(x) = <1 則 f(x)<1 的解集為x|0<x<2.J3x, x<2，答案A3 .設(shè)|a|<1, |b|<1,則|a+b|+|ab|與2的大小關(guān)系是A. |a+b|+|a-b|>2B. |a+b|+|ab|<2C. |a+b|+|ab| = 2D.不能比較大小解析|a+b|+|a-b|<|2a|<2.答案B4 .若 a, b, cC (0, +00),且 a+ b+c= 1,則«+ Jb + &

7、amp;的最大值為()A. 1B.也C. 3D. 2解析(g+衽 + 加)2=(1xVa+1xVb+1xVC)2w (12+12+12)(a+b+ c)= 3.1 , 一 ，、當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=a時(shí)，等方成立.3''' ('Ja+ jb+ VC)? w 3.故g+ys+加的最大值為y3.故應(yīng)選c.答案C5 .若存在實(shí)數(shù)x使X-a|+ |x 1|03成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析利用數(shù)軸及不等式的幾何意義可得x到a與到1的距離和小于3,所以a的取值范圍為一2<a<4.答案一20a&4剖析互動(dòng)突破考點(diǎn)互動(dòng)探究K AO DI ANHUDON Q

8、T AN JHJ考點(diǎn)一含絕對(duì)值的不等式的解法解X a|+Xb|c(或& c)型不等式，其一般步驟是：(1)令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根.(2)把這些根由小到大排序，它們把定義域分為若干個(gè)區(qū)間.(3)在所分區(qū)間上，去掉絕對(duì)值符號(hào)組成若干個(gè)不等式，解這些不等式，求 出它們的解集.(4)這些不等式解集的并集就是原不等式的解集.解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)娜サ艚^對(duì)值符號(hào)(2015山東卷)不等式X-1|-X- 5|<2的解集是()A. ( 8, 4)B. (oo, 1)C. (1,4)D. (1,5)、一，551、E(2014湖南卷)若關(guān)于x的不等式|ax2|<3的

9、解集為“一§<x<§汽則a解題指導(dǎo)切入點(diǎn)：“脫掉”絕對(duì)值符號(hào)；關(guān)鍵點(diǎn)：利用絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn) 行分類討論.解析(1)當(dāng)x<1時(shí)，不等式可化為一(x-1)+(x-5)<2,即一4<2,顯然成 立，所以此時(shí)不等式的解集為(一8,1)；當(dāng)10x&5時(shí)，不等式可化為x-1 + (x- 5)<2,即2x 6<2,解得x<4,又 1<x<5,所以此時(shí)不等式的解集為1,4);當(dāng)x>5時(shí)，不等式可化為(x- 1)-(x-5)<2,即4<2,顯然不成立，所以此時(shí) 不等式無解.綜上，不等式的解集為(以,4).故選

10、A.(2)lax 2|<3,1<ax<5.當(dāng)a>0時(shí)，-<x<5,與已知條件不符; a a當(dāng)a=0時(shí)，x R,與已知條件不符;51 51當(dāng)a<0時(shí)，a<x<a，又不等式的斛集為“ 3<x<3 '，故>一 &答案(1)A (2)-3用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟：(1)求零點(diǎn)；(2)劃區(qū)間、去絕對(duì)信號(hào);(3)分別解去掉絕對(duì)值的不等式；(4)取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏 區(qū)間的端點(diǎn)值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知函數(shù) f(x)=|x+ a|+|x-2|.(1)當(dāng)a= 3時(shí)，求不等式f(x戶3的解集；(2)若f(x)

11、&k 4|的解集包含1,2,求a的取值范圍.，2x+ 5, x02,解(1)當(dāng)2= 3 時(shí)，f(x)=41, 2Vx<3, 、2x 5, x>3.當(dāng)x02時(shí)，由f(x)3得一2x+ 5>3,解得x0 1;當(dāng) 2Vx<3 時(shí)，f(x) > 3 無解；當(dāng)x>3時(shí)，由 心)3得2乂一53,解得x> 4;所以f(x)3的解集為x|x& 1或x>4.(2)f(x)< |x-4|? x-4|-|x-2|>x + a|.當(dāng) xC 1,2時(shí)，x-4|-x-2|>|x+ a|? 4 x(2 x)|x+a|? 2a0x&2

12、a.由條件得一2a01 且 2-a>2,即一30a<0.故滿足條件的a的取值范圍為3,0.考點(diǎn)二利用絕對(duì)值的幾何意義或圖象解不等式對(duì)于形如|xa|+ |x- b|>CM£ |x a|+|xb|<c的不等式，利用絕對(duì)值的幾何意 義或者畫出左、右兩邊函數(shù)的圖象去解不等式，更為直觀、簡(jiǎn)捷，它體現(xiàn)了數(shù)形 結(jié)合思想方法的優(yōu)越性.的喟副圜眼|x a|+ |x- b|的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與點(diǎn)a和點(diǎn)b的距離之和,應(yīng) 注意x的系數(shù)為1.(1)(2014重慶卷)若不等式|x 1|+|x+2|>a2+2a + 2對(duì)任意實(shí)數(shù)x包成立， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)不等式

13、|x+ 1|x 2|>k的解集為R,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是解題指導(dǎo)切入點(diǎn)：絕對(duì)值的幾何意義；關(guān)鍵點(diǎn)：把包成立問題轉(zhuǎn)化為最 值問題.解析(1) = x- 1|+x+2|>|(x-1)-(x- 2)| = 3, a2+ 1a+2<3,解得 -1；取w a< -1；.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是1-折 二1(2)解法一：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，設(shè)數(shù) x, 1,2在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別 為P, A, B,則原不等式等價(jià)于PAPB>k恒成立.AB = 3,即|x+1|x 2|> 3.故當(dāng)k< 3時(shí)，原不等式包成立.解法二：令 y= |x+1|一|x 2|,3, x0 1,貝U

14、 y= 2 2x- 1, 1<x<2,3, x>2,要使x+ 1|x 2|>k恒成立，從圖象中可以看出，只要 k< 3即可.故k<(2)( 8, 3)3才兩足題意.一 1 -Vi7 -1答案(1)14y,解含參數(shù)的不等式存在性問題，只要求出存在滿足條件的x即可；不等式的 恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為最值問題，即 f(x)<a恒成立？ a>f(x)max, f(x)>a恒成立？ a<f(x)min.匚】對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2015唐山一模)已知函數(shù) f(x)=|2x a|+a, aC R, g(x)=|2x1.若當(dāng)g(x)&5時(shí)，何有f(x)&l

15、t;6,求a的最大值；(2)若當(dāng)xC R時(shí)，恒有f(x) + g(x)>3,求a的取值范圍.解(1)g(x)&5? |2x-1|< 5? -5<2x-1<5? -2<x< 3; f(x)< 6? |2x- a|w 6a? a 602x a06a? a3&x& 3.依題意有，a-3< -2, a< 1.故a的最大值為1.(2)f(x) + g(x) = |2x a|+|2x-1| + a>|2x- a- 2x+1|+a= |a- 1|+a,當(dāng)且僅當(dāng)(2xa)(2x1)00時(shí)等號(hào)成立.解不等式|a1|+a13,得a

16、的取值范圍是2, + oo).考點(diǎn)三不等式的證明與應(yīng)用不等式的證明方法很多，解題時(shí)既要充分利用已知條件，又要時(shí)刻瞄準(zhǔn)解題 目標(biāo)，既不僅要搞清是什么，還要搞清干什么，只有兼顧條件與結(jié)論，才能找到 正確的解題途徑.應(yīng)用基本不等式時(shí)要注意不等式中等號(hào)成立的條件.(2015新課標(biāo)全國卷H )設(shè)a, b, c, d均為正數(shù)，且a+b=c+ d,證明：若ab>cd,則3+優(yōu)>a+的；(2/Ja +Vb>Vc+ 也是 |a b|<|c d | 的充要條件.解題指導(dǎo)切入點(diǎn)：不等式的性質(zhì)；關(guān)鍵點(diǎn)：不等式的包等變形.證明(1)因?yàn)?g+Vb)2 = a+ b+2>/ab, (Vc+V

17、d)2 = c+d + 2/cd,由題設(shè)a+b=c+d, ab>cd得(血+也)2>(加+加)2因此 a+ b> c+ d.(2)若 |ab|<|cd|,則(ab)2<(c d)2,即(a+b)2 4ab<(c+d)2 4cd.因?yàn)?a+b=c+ d,所以 ab>cd.由(1)得獨(dú) +Vb>&+&.若,a+ b> ,c+ d,則(，a+ . b)2>( , c+ . d)2,即a+b + 2 ab>c+d + 2cd.因?yàn)?a+b=c+d,所以 ab>cd.于是(ab)2= (a+b)24ab<(c+

18、d)24cd= (c -d)2.因止匕 |ab|<|c d|.綜上，衽>五+,是|ab|<|c d|的充要條件.屈匾皿陶明分析法是證明不等式的重要方法，當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不 等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)， 可用分析 法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.G對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（2014新課標(biāo)全國卷H ）設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a+ b+c= 1.證明: (1)ab+bc+ ac<"3a2 b2 c2 (2”+U1.證明 由 a2+b212ab, b2+ c2>2bc, c2+a212ca 得 a

19、2+b2+c21ab+ bc+ ca.由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2 + 2ab+ 2bc+ 2ca=1.所以 3(ab+ bc+ ca) < 1,即 ab+ bc+ ca< 1.32, 22一，a._ bc_(2)因?yàn)閎" + b>2a, 7+02b, 7+ a>2c,bca222故 b + + ' + (a+ b+ c) >2(a+ b+ c),2c- > a+b+c. aa b2 c2 ,所以 77+十 > 1.b c a方法規(guī)律總結(jié)方法技巧1,絕對(duì)值不等式求解的根本方向是去除絕對(duì)值符號(hào).2,絕對(duì)值不等式在求

20、與絕對(duì)值運(yùn)算有關(guān)的最值問題時(shí)需靈活運(yùn)用，同時(shí)還 要注意等號(hào)成立的條件.3.在證明不等式時(shí)，應(yīng)根據(jù)命題提供的信息選擇合適的方法與技巧.如在 使用柯西不等式時(shí)，要注意右邊為常數(shù).易錯(cuò)點(diǎn)睛1 .對(duì)含有參數(shù)的不等式求解時(shí)，分類要完整.2 .應(yīng)用基本不等式和柯西不等式證明時(shí)要注意等號(hào)成立的條件.課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(七十)一、填空題1 .不等式|2x 1|<3的解集為.解析|2x 1|<3? -3<2x- 1<3? 1<x<2.答案(1,2)2 .若不等式|kx 4|02的解集為x|1&x& 3,則實(shí)數(shù)k=.解析. |kx 4|<2,- - 2<k

21、x-4<2, . - 2<kx< 6.不等式的解集為x|1<x< 3, . .k= 2.答案23.不等式|2x+ 1|+x1|<2的解集為. .1-解析當(dāng)x02時(shí)，原不等式等價(jià)為(2x+1)(x1)<2,即一3x<2, x>221 .13,此時(shí)一3<x0 -2.當(dāng)一2<x<1 時(shí)，原不等式等價(jià)為(2x+1) (x1)<2,即 x<0,此時(shí)一鼻<0.當(dāng)x> 1時(shí)，原不等式等價(jià)為(2x+ 1)+(x-1)<2,即3x<2, x<2 此23時(shí)不等式無解，綜上，原不等式的解為-o2一 32

22、3Vx<0,即原不等式的解集為3答案2, 0)4,已知關(guān)于 x的不等式|x- 1| + XI<k無解，則實(shí)數(shù) k的取值范圍是 解析X1|十|x|引x1x|=1, .當(dāng) k<1 時(shí)，不等式 |x 1|+X|0k無解, 故 k<1.答案J00, 1) (2015西安統(tǒng)考)若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x 5|+ x+3|<a無解，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是.解析x-5|+x+3|>|(x-5)-(x+ 3)| = 8, 故 a<8.答案(00, 86. (2015重慶卷)若函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x a|的最小值為 5,則實(shí)數(shù) a =解析當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=3

23、|x+1|0,不滿足題意；當(dāng)a<1時(shí)，f(x) =<-3x-1 + 2a, x< a, x-1 -2a, a<x< -1, f(x)min = f(a)= 3a1 + 2a = 5,解得 a= 6;當(dāng) a> l3x+1-2a, x>-1,，3x 1 + 2a, x 0 - 1,1 時(shí)，f(x)=< x+1+2a, - 1<x<a,f(x)min=f(a)= a+1 + 2a = 5,解彳4 a3x+ 1 2a, x>a,=4.答案6或47.若關(guān)于x的不等式|a|方|x+ 1|+|x 2|存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是解析.f(

24、x)=|x+1|+|x 2| =-2x+1(x< -1 ),<3( 1<x<2 ,2x-1(x> 2),. f(x戶 3.要使 |a|>|x+ 11+ |x2| 有解，|a|>3,即 a0 3 或 a>3.答案(00, -3U3, +oo)8.已知關(guān)于x的不等式|x-a|+1-x>0的解集為R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是2 2 2斛析(a+ b+c)+b+cj=(洞2+(洞2+(而2 vj|)+ 就5)2 2 2、八 a+b+/2.2 2 2 一a + b + 2的最小值為2答案210 . (2014 陜西卷)設(shè) a, b, m, nC R,且

25、a2+ b2 = 5, ma+ nb=5,貝U，m2+ n2 的最小值為.解析由柯西不等式，得(a2+b2)(m2+n2)>(am+bn)；即 5(m2+ n2) >25,m2 + n2>5,當(dāng)且僅當(dāng)an=bm時(shí)，等號(hào)成立.，m2+ n2的最小值為J5.答案布11 .對(duì)任意 x, y R, |x-1|+|x|+y- 1|+|y+1|的最小值為:解析-X-1|+|x| + |y-1|+|y+1|= (|1-x| + X|) + (|1 y|+|1 + y|)|(1x) + x|+|(1 y)+(1 + y)|= 1 + 2 = 3,當(dāng)且僅當(dāng)(1 x) x>0, (1 -y

26、) (1+y)>0,即 0<x< 1, -1<y<1 時(shí)等號(hào)成 立，；|x1|+|x| + |y1|+|y+1|的最小值為 3.答案3412 .右不等式|x+1|x4|a+-，對(duì)任息的xCR恒成乂，則頭數(shù) a的取 a值范圍是.4 -解析只要函數(shù)f(x)=|x+ 1|x4|的最小值不小于a + a即可.由于|x+ 1|41一一|x 4|< |(x+1)-(x- 4)|=5,所以-5<|x+1|-|x-4|<5,故只要一5>a+-即 a可.當(dāng)a>0時(shí)，將不等式5>a + 4整理，得a2 + 5a+4<0,無解；當(dāng)a<0時(shí)

27、， a將不等式5>a + 4整理，得a2+5a+4>0,則有a0 4或一1 &a<0.綜上可知, a實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 8, -4U-1,0).答案(8, 41,0)二、解答題13 .已知不等式 2|x3|+|x4|<2a.(1)若a=1,求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求 a的取值范圍.解(1)當(dāng)a= 1時(shí)，不等式即為2|x 3|+|x-4|<2,若 x>4,則 3x 10<2, x<4,舍去；若 3Vx<4,貝U x2<2, .3<x<4;若 x< 3,貝U 10- 3x<2,

28、. |<x<3.3lr 8綜上，不等式的解集為X 3Vx<4 1Fi34-I(2)設(shè) f(x) = 2|x3|+|x 4|,則，3x 10, x>4,f(x)=4x 2, 3Vx<4,、103x, x<3.作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示.由圖象可知，f(x) > 1 ,11 -2a>1, a>2 即a的取值氾圍為14. (2015 新課標(biāo)全國卷 I )已知函數(shù) f(x)=|x+1| 2|x- a|, a>0.當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.解(1)當(dāng) a=

29、1 時(shí)，f(x)>1 化為|x+ 1|-2|x- 1|- 1>0.當(dāng)x0 1時(shí)，不等式化為x-4>0,無解；當(dāng)1<x<1時(shí)，不等式化為3x-2>0,解得2Vx<1;3當(dāng)x> 1時(shí)，不等式化為x+ 2>0,解得10x<2.所以f(x)>1的解集為僅3Vx<2 r. x 1 一 2a, x< 一 1,(2)由題設(shè)可得，f(x)=3x+12a, -1<x< a,所以函數(shù)f(x)的圖象與x、一x+ 1 + 2a, x>a.(2a-1、3, 0 !, B(2a+1,0), C(a, a+1), AABC的面積為3(a+1)2.322 一由題設(shè)得2(a+ 1) >6,故a>2.3所以a的取值范圍為(2, + oo).15.設(shè)函數(shù) f(x) = |x 1|+|x a|.(1)若a= 1,解不等式f(x)>3;(2)如果？ x R, f(x)>2,求a的取值范圍.解(1)當(dāng)2= 1 時(shí)，f(x)=M 1|+M+1|,一2x, x< 1,f(x)=&