一道數(shù)學(xué)題的解法與變式探究

1、一道數(shù)學(xué)題的解法與變式探究許多看似十分簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題往往蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)容，例如本文提到的數(shù)學(xué)題就是這樣的一個(gè)例子，問(wèn)題本身雖然非常簡(jiǎn)單，但是如果深入研究，則無(wú)論是對(duì)于教師的教還是學(xué)生的學(xué)都能起到很好的作用 .數(shù)學(xué)題：已知在 ABC 中，°， P 是 AB上的點(diǎn)，則點(diǎn) P 到、的距離乘積的最大值是 _.一、解法探究：本題是一道入口較寬的考題，通常絕大多數(shù)學(xué)生都能用下面兩種解法求解.解法 1：如圖 1，根據(jù)三角形相似得xy=x （ 3-x）（ x），所以當(dāng)=，故 y=3-xx時(shí)， xy，因此取最大值3.解法 2：如圖 2 建立平面直角坐標(biāo)系， 線段 AB所在的直線方程為 +=1，即 4x+

2、3y=12. 設(shè) P（x， y）（ x， y0），因?yàn)?2=4x+3y2，故xy3，所以xy的最大值為3.評(píng)注：解法1 是初中生就能運(yùn)用的方法，解法2 是解析幾何法與基本不等式法的結(jié)合. 對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，在解法上值得進(jìn)一步探究的是解法2，因?yàn)橥ㄟ^(guò)對(duì)該解法的探究，能復(fù)習(xí)許多有關(guān)求最值的方法與知識(shí)點(diǎn). 這里我們先將解法2 抽象為問(wèn)題“已知正數(shù)x、y 滿足 4x+3y=12，求 xy 的最大值”,對(duì)該問(wèn)題我們可以得到以下的一些解決方法.方法 1：（消元法） xy=x• （ x）（ x）.方法 2：（不等式法） xy=• x•3y&#8

3、226;（） .方法 3：（三角換元法）設(shè) x=12cos2 ， 3y=12sin2 ，故 xy=12cos2•sin2 sin2 .方法 4：（等差中項(xiàng)法）設(shè) x= d， 3y=6+d，則 xy= （ d）（ d） d .方法 5：（等比中項(xiàng)法 +判別式法）設(shè) x=，y=Sq，則 +3Sq=12，整理得 3Sq2-12q+4S=0，因?yàn)榇朔匠逃薪?，所以判別式=144- 48S20，得 S23，故 xy=S23.說(shuō)明：消元法是一種基本方法；不等式鏈在求最值中有著非常重要的運(yùn)用；三角平方換元法是一種求最值很有效的方法；等差中項(xiàng)法與等比中項(xiàng)法是兩種突起的奇法，常能給人意想不到的

4、效果.二、變式探究：解法2 抽象問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求第一象限內(nèi)曲線上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離乘積的最大值，下面探究中學(xué)數(shù)學(xué)里一些常見(jiàn)曲線中的情況.變式 1：探究對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax （ a 0 且 a1）第一象限內(nèi)點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離乘積xy 的最值 .探究：因?yàn)椋?xy ）=（ xlogax ） =logax+x•logae=loga （ ex），所以若 0 a 1，則當(dāng) x（ 0，）時(shí)，（ xy ） 0；當(dāng) x（，）時(shí)，（ xy） 0，故當(dāng) x=時(shí)， xy 取最大值 loga=-logae ；若a 1，則當(dāng) x（ 0，）時(shí)，（ xy） 0；當(dāng) x（）時(shí)，（ xy ） 0，故當(dāng) x=時(shí)

5、， xy 取最小值 loga=-logae ，但與題設(shè)條件第一象限內(nèi)點(diǎn)矛盾 .變式 2：探究指數(shù)函數(shù) y=ax （ a 0 且 a1）第一象限內(nèi)點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離乘積 xy 的最值 .探究：因?yàn)椋?xy ） =（xax ） =ax+x•ax na=ax（ x1na），所以若 a 1，則當(dāng) x（ 0，）時(shí)，（ xy ） 0 恒成立，此時(shí) xy 無(wú)最值 . 若 a，當(dāng) x（ 0， logae ）時(shí)，（ xy ） 0；當(dāng) x（ logae ，）時(shí)，（ xy ） 0，故當(dāng) x= logae 時(shí)， xy 取最大值 logae•a logae=-logae.評(píng)注：變式

6、1 與變式 2 的求法用到了求最值問(wèn)題的另一種非常重要的方法求導(dǎo)法，該方法是求高次函數(shù)及非基本函數(shù)最值問(wèn)題的有效解決方法.變式 3：探究圓方程x2+y2=r2 第一象限內(nèi)點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離乘積xy 的最值 .探究：因?yàn)椋?xy ）2 x2（ r2-x2 ） =，故 xyr ，所以xy 的最大值為r.評(píng)注：本題也可以用三角平方換元法、求導(dǎo)法等方法解決 .變式 4：探究橢圓方程 +=1（ a， b0）第一象限內(nèi)點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離乘積 xy 的最值 .探究：因?yàn)椋?xy） x2•b2（） =-x4+b2x2 ，所以 （ xy ） =-x3+2b2x ，故當(dāng) x（ 0，a）時(shí)， （ xy ） 0，當(dāng) x（ a， a）時(shí)， （ xy ） 0，因此當(dāng) x=a 時(shí)，（ xy ）取最大值，故當(dāng) x=a 時(shí)， xy 取最大值 .評(píng)注：三角平方換元法也是求解本題的一種好方法 . 變式 5：探究雙曲線方程 -=1 （ a， b 0）第一象限內(nèi)點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離乘積xy 的最值 .探究：因?yàn)椋?xy ） =x2• （ b2）（） x b2x2，所以 （ xy ） =x3 2b2x，故當(dāng) x（ a，）時(shí)， （xy ） 0，因此 xy 無(wú)最大值 .變式 6：探究拋物線方程 x2 py（ p0）第一象限內(nèi)點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離乘積 xy 的最值 .探究：因?yàn)椋?xy