電容放電微分方程

1、常微分方程知識(shí)的應(yīng)用1研究電容器的充電和放電規(guī)律，應(yīng)用一階微分方程知識(shí)此問題主要出現(xiàn)在機(jī)電一體化專業(yè)的 電工學(xué)、電工電子技術(shù)等課程中， 主要應(yīng)用于研究電工電子技術(shù)中電容器充電及放電時(shí)電容電壓Uc、電流ic、電阻元件的端電壓Ur分別隨時(shí)間t的變化規(guī)律。所謂電容器是指電學(xué)中能儲(chǔ)存電 荷的裝置，電容器是常見的電路元件和電工設(shè)備。它的品種和規(guī)格很多，但是， 就其基本原理而言，都是由兩片金屬板被絕緣物質(zhì)隔離而成， 并在金屬板上引出 兩根端線。若在電容器二端接上直流電源 E,就在金屬板上分別聚集等量的正、 負(fù)電荷Q.當(dāng)電源撤除之后，電荷仍然積聚在極板上，此時(shí)電容器兩端有電壓 Uc. 因此，電容器有儲(chǔ)存電荷

2、的作用。同時(shí)在兩極板之間建立電場、并儲(chǔ)存電場能量。 若電容元件儲(chǔ)存的電荷量為 Q,其兩端電壓為Uc,則Q與Uc之比稱為電容元 件的電容量C,即C=Q/Uc (F).電容器能反復(fù)的充電與放電，電容器的充電與 放電有著重要的實(shí)用意義，如電子電路中的濾波電路、振蕩電路、微分及積分電 路等都是以電容的充、放電為基礎(chǔ)進(jìn)行工作的(如圖所示)。u小i實(shí)例1如圖所示的RC電路，已知在開關(guān)K合上前電容C上沒有電荷,電容C兩端的電場為零，電源的電動(dòng)勢(shì)為 E。把開關(guān)K合上，電源對(duì)電容C充 電，電容C上的電壓Uc逐漸升高，求電壓Uc隨時(shí)間t變化的規(guī)律。TEc分析：首先建立微分方程。根據(jù)回路電壓定律可知，電容C上的電壓

3、Uc與電阻R上的電壓Ur之和等于電源電動(dòng)勢(shì) E,即Uc+Ur=E.電容充電時(shí)，電容上 電量Q逐漸增加，根據(jù)電容性質(zhì)，Q與Uc有關(guān)系式Q=CUc.于是，i-dQndQUcXCdUJ代入U(xiǎn)c+Ri=E中，得到Uc （t）所滿足的微分方程為 dt dtdtRCdUC+Uc =E.然后，求此微分方程的通解與特解，便可得出電容器的充電規(guī) dt律。解答：（計(jì)算過程略） tUc =E（1 -e十）.實(shí)例2已知如圖所示的RC電路中，電容C的初始電壓為U0,當(dāng)開關(guān)K閉合時(shí)電容就開始放電，求開關(guān) K閉合后電路中的電流強(qiáng)度i的變化規(guī)律。解答：（計(jì)算過程略）U 0"Re2研究機(jī)械振動(dòng)現(xiàn)象，應(yīng)用二階線性常系數(shù)

4、微分方程知識(shí)此問題主要出現(xiàn)在機(jī)電一體化專業(yè)的機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)課程中，主要應(yīng)用于 研究無阻尼簡諧振動(dòng)、阻尼振動(dòng)、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)、共振等現(xiàn)象和規(guī)律。在機(jī)電 工程技術(shù)領(lǐng)域中，振動(dòng)現(xiàn)象比比皆是。例如，機(jī)床和刀具在加工時(shí)的振動(dòng)，各種 動(dòng)力機(jī)械的振動(dòng)，控制系統(tǒng)中的自激振動(dòng)等。隨著機(jī)械化工業(yè)的大力發(fā)展，當(dāng)前 不斷出現(xiàn)機(jī)械振動(dòng)的新設(shè)備和振動(dòng)新工藝，如振動(dòng)傳輸（振動(dòng)傳輸機(jī)），振動(dòng)篩選（共篩機(jī)），振動(dòng)研磨，振動(dòng)拋光，振動(dòng)沉樁，振動(dòng)消除內(nèi)應(yīng)力等，利用振動(dòng) 原理工作的機(jī)械設(shè)備，應(yīng)能產(chǎn)生預(yù)期的振動(dòng)。但是，振動(dòng)也會(huì)給物體帶來一定的 危害，主要表現(xiàn)為：振動(dòng)會(huì)引起工程結(jié)構(gòu)的變形破壞， 會(huì)影響精密儀器設(shè)備的功 能，降低加工精度和光

5、潔度，加劇構(gòu)件的疲勞和磨損，從而影響機(jī)器和結(jié)構(gòu)物的 工作性能，并縮短其使用壽命。隨著現(xiàn)代化機(jī)械結(jié)構(gòu)日益復(fù)雜， 運(yùn)轉(zhuǎn)速度日益提 高，振動(dòng)可能造成的危害將更加突出。為此，在機(jī)械設(shè)計(jì)時(shí)，必須充分考慮并研 究機(jī)械的振動(dòng)現(xiàn)象。實(shí)例運(yùn)用二階線性微分方程知識(shí)，分析、研究阻尼振動(dòng)現(xiàn)象及特點(diǎn)。分析：把空氣阻力的影響考慮進(jìn)去。由實(shí)驗(yàn)可知，空氣阻力Fi與物體的運(yùn)動(dòng)速度成正比： = -ki dx ,其中ki為比例系數(shù)（ki>0）,稱為阻尼系數(shù)，負(fù)號(hào)表示,2.,出 m dt m阻力與運(yùn)動(dòng)方向相反。這時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)方程為 d等+顯,以+Kx = 0,這是二階常系數(shù)線性齊次方程，其特征方程為片+匕九+K = o ,特

6、征根為 m m, 2k1 _ ki 14km222%2=.然后，分 k1 - 4km >0、 k1 -4km=0、 k1 -4km <0 二種2m解的情況進(jìn)行討論。最后，分析得出阻尼振動(dòng)現(xiàn)象及特點(diǎn)。解答：(計(jì)算過程略)當(dāng)ki2 -4km <0時(shí)，腦、九2為一對(duì)共腕復(fù)數(shù)，其微分方程的通解為 ki tki tx(t) =e 2m (ci cosoM+c2sin st),或改寫為 x(t) = e 2m Ai sinQit+Q).此解含有周期函數(shù)，因而物體產(chǎn)生振動(dòng)，振動(dòng)角頻率 弗=.km-ki .但是隨著時(shí)間的延2m續(xù)，振幅越來越小，最后位移消失、物體停止振動(dòng)。這種振幅隨時(shí)間而減小

7、的振 動(dòng)，稱之為阻尼振動(dòng)。阻尼振動(dòng)現(xiàn)象在實(shí)際應(yīng)用中很有意義。3研究電學(xué)中的振蕩現(xiàn)象，應(yīng)用二階線性常系數(shù)微分方程知識(shí)此問題主要出現(xiàn)在機(jī)電一體化專業(yè)的電工電子技術(shù)課程中，應(yīng)用于研究 電磁振蕩現(xiàn)象和規(guī)律。與機(jī)械振蕩相仿，在有些電路中電荷和電流也會(huì)作周期性 變化，這稱為電磁振蕩，能產(chǎn)生電磁振蕩的電路稱為振蕩電路。 如圖所示的電路， 它包括電阻R,電容C,電感L及電動(dòng)勢(shì)E=Eocos0t ,則根據(jù)電學(xué)知識(shí)可建立關(guān) 于電容器上儲(chǔ)存的電量 Q=Q ( t)的微分方程：d2QdQ iL2- R Q = Eocos t (i) dt2dt C電磁振蕩也分為阻尼振蕩、受迫振蕩、電共振等幾種形式。例如共振現(xiàn)象，當(dāng)方 程(i)中電動(dòng)勢(shì)的頻率切等于LRC回路的固有頻率時(shí)，也會(huì)使電路出現(xiàn)共振現(xiàn) 象。含有電動(dòng)勢(shì) E的LRC