線性代數(shù)概念

1、線性代數(shù)概念作者:日期:第一講基本概念1.線性方程組的基本概念 線性方程組的一般形式為:an”a.ainXnh,a21 X1a22X2a2nXnb2,am1X1am2X2amnXnbm,其中未知數(shù)的個(gè)數(shù) n和方程式的個(gè)數(shù) m不必相等。線性方程組的解是一個(gè) n維向量 k,k2 ,kn （稱為解向量），它滿足：當(dāng)每個(gè)方程中的未知數(shù)Xi都用ki替代時(shí)都成為等式。線性方程組的解的情況有三種：無解，唯一解，無窮多解。對(duì)線性方程組討論的主要問題有兩個(gè)：（1）判斷解的情況。（2）求解，特別是在有無窮多解時(shí)求通解。bi b2bm 0的線性方程組稱為齊次線性方程組。n維零向量總是齊次線性方程組的解，稱為零解。因

2、此齊次線性方程組解的情況只有兩種：唯一解（即只要零解）和無窮多解（即有非零解）。把一個(gè)非齊次線性方程組的每個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)都換成0,所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的導(dǎo)出齊次線性方程組，簡(jiǎn)稱導(dǎo)出組。2.矩陣和向量（1）基本概念矩陣和向量都是描寫事物形態(tài)的數(shù)量形式的發(fā)展。由m n個(gè)數(shù)排列成的一個(gè) m行n列的表格，兩邊界以圓括號(hào)或方括號(hào)，就成為一個(gè) m n型矩陣。例如21011111022542 93331 8是一個(gè)4 5矩陣，對(duì)于上面的線性方程組，稱矩陣ai2amai2anb1Aa21a22a2n和A|a21a22a2nb2am1am2amnam1am2amnbm為其系數(shù)矩陣和增廣矩陣。增廣矩陣

3、體現(xiàn)了方程組的全部信息，而齊次方程組只用系 數(shù)矩陣就體現(xiàn)其全部信息。一個(gè)矩陣中的數(shù)稱為它的元素，位于第i行第j列的數(shù)稱為i, j位元素。元素全為0的矩陣稱為零矩陣，通常就記作 0。兩個(gè)矩陣A和B相等（記作 A B）,是指它的行數(shù)相等，列數(shù)也相等（即它們的類型 相同），并且對(duì)應(yīng)的元素都相等。由n個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組稱為一個(gè) n維向量，稱這些數(shù)為它的分量。書寫中可用矩陣的形式來表示向量，例如分量依次是ai,a2, ,an的向量可表示成aiai,a2, an 或 a2，請(qǐng)注意，作為向量它們并沒有區(qū)別，但是作為矩陣，它們不一樣（左邊是1 n矩陣，右邊是n 1矩陣）。習(xí)慣上把它們分別稱為行向量和列向量。（

4、請(qǐng)注意與下面規(guī)定的矩陣的行向量和列向量概念的區(qū)別。）一個(gè)m n的矩陣的每一行是一個(gè) n維向量，稱為它的行向量；每一列是一個(gè) m維向量, 稱為它的列向量。常常用矩陣的列向量組來寫出矩陣，例如當(dāng)矩陣A的列向量組為1, 2, , 0時(shí)（它們都是表示為列的形式?。┛捎汚 1, 2,矩陣的許多概念也可對(duì)向量來規(guī)定，如元素全為0的向量稱為零向量，通常也記作0。兩個(gè)向量 和 相等（記作 ），是指它的維數(shù)相等，并且對(duì)應(yīng)的分量都相等。（2）線性運(yùn)算和轉(zhuǎn)置線性運(yùn)算是矩陣和向量所共有的，下面以矩陣為例來說明。力口（減）法：兩個(gè) m n的矩陣A和B可以相加（減），得到的和（差）仍是 m n矩陣，記作A B A B ,

5、法則為對(duì)應(yīng)元素相加（減）。數(shù)乘：一個(gè)m n的矩陣A與一個(gè)數(shù)c可以相乘，乘積仍為m n的矩陣，記作cA,法 則為A的每個(gè)元素乘c。這兩種運(yùn)算統(tǒng)稱為線性運(yùn)算，它們滿足以下規(guī)律：加法交換律：ABBA。加法結(jié)合律：A B C A B C。加乘分配律：c A B cA cBo c d A cA dAo數(shù)乘結(jié)合律：c d A cd A。cA 0 c 0或A 0。轉(zhuǎn)置：把一個(gè)m n的矩陣A行和列互換，得到的n m的矩陣稱為 A的轉(zhuǎn)置，記作AT（或A）。有以下規(guī)律： AT T Ao A BT AT BTO cA T cAT o轉(zhuǎn)置是矩陣所特有的運(yùn)算， 如把轉(zhuǎn)置的符號(hào)用在向量上，就意味著把這個(gè)向量看作矩陣了。當(dāng)

6、 是列向量時(shí)，T表示行向量，當(dāng)是行向量時(shí)，T表示列向量。向量組的線性組合：設(shè)1, 2, , s是一組n維向量，Ci,C2, ,Cs是一組數(shù)，則稱c11c2 2cs s為1, 2, , s的（以Cl,C2, ,Cs為系數(shù)的）線性組合。n維向量組的線性組合也是 n維向量。3 3） n階矩陣與幾個(gè)特殊矩陣行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣，行列數(shù)都為n的矩陣也常常叫做 n階矩陣。把n階矩陣的從左上到右下的對(duì)角線稱為它對(duì)角線。（其上的元素行號(hào)與列號(hào)相等。）下面列出幾類常用的 n階矩陣，它們都是考試大綱中要求掌握的。對(duì)角矩陣：對(duì)角線外的元素都為 0的n階矩陣。單位矩陣：對(duì)角線上的元素都為 1的對(duì)角矩陣，記作

7、E （或I ）。數(shù)量矩陣：對(duì)角線上的元素都等于一個(gè)常數(shù)c的對(duì)角矩陣，它就是 cEo上三角矩陣：對(duì)角線下的元素都為0的n階矩陣。下三角矩陣：對(duì)角線上的元素都為0的n階矩陣。對(duì)稱矩陣：滿足 AT A矩陣。也就是對(duì)任何i,j, i,j位的元素和 j,i位的元素總是 相等的n階矩陣。（反對(duì)稱矩陣：滿足AT A矩陣。也就是對(duì)任何i,j,i,j位的元素和j,i位的元素 之和總等于0的n階矩陣。反對(duì)稱矩陣對(duì)角線上的元素一定都是0。）4 .矩陣的初等變換和階梯形矩陣矩陣有以下三種初等行變換： 交換兩行的位置。 用一個(gè)也_0_的常數(shù)乘某一行的各元素。 把某一行的倍數(shù)加到另一行上。（稱這類變換為倍加變換）類似地，

8、矩陣還有三種初等列變換，大家可以模仿著寫出它們，這里省略了。初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換。階梯形矩陣：一個(gè)矩陣稱為階梯形矩陣，如果滿足：如果它有零行，則都出現(xiàn)在下面。如果它有非零行，則每個(gè)非零行的第一個(gè)非0元素所在的列號(hào)自上而下嚴(yán)格單調(diào)遞增。把階梯形矩陣的每個(gè)非零行的第一個(gè)非0元素所在的位置稱為臺(tái)角。簡(jiǎn)單階梯形矩陣：是特殊的階梯形矩陣，特點(diǎn)為：臺(tái)角位置的元素為1。 并且其正上方的元素都為 0。每個(gè)矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣和簡(jiǎn)單階梯形矩陣。這種運(yùn)算是在線性代數(shù)的各類計(jì)算題中頻繁運(yùn)用的基本運(yùn)算，必須十分熟練。請(qǐng)注意：1. 一個(gè)矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣并不是唯一的，但是其非

9、零行數(shù)和臺(tái)角位置是確定的。2. 一個(gè)矩陣用初等行變換化得的簡(jiǎn)單階梯形矩陣是唯一的。4.線性方程組的矩陣消元法線性方程組的基本方法即中學(xué)課程中的消元法：用同解變換把方程組化為階梯形方程組(即增廣矩陣為階梯形矩陣的方程組)。線性方程組的同解變換有三種： 交換兩個(gè)方程的上下位置。 用一個(gè)非0的常數(shù)乘某個(gè)方程。把某個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上。以上變換反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換。線性方程組求解的基本方法是消元法，用增廣矩陣或系數(shù)矩陣來進(jìn)行，稱為矩陣消元法。對(duì)非齊次線性方程組步驟如下：(1)寫出方程組的增廣矩陣 A|，用初等行變換把它化為階梯形矩陣B| 。(2)用B|判別解的情況：如果最下面的非

10、零行為0,0, ,0|d，則無解，否則有解。有解時(shí)看非零行數(shù)r (r不會(huì)大于未知數(shù)個(gè)數(shù) n), r n時(shí)唯一解；r n時(shí)無窮多解。 (推論：當(dāng)方程的個(gè)數(shù) m n時(shí)，不可能唯一解。)(3)有唯一解時(shí)求解的初等變換法：去掉B |的零行，得到一個(gè)n n 1矩陣B。| ° ,并用初等行變換把它化為簡(jiǎn)單階梯形矩陣 E | ，則就是解。對(duì)齊次線性方程組：(1)寫出方程組的系數(shù)矩陣 A,用初等行變換把它化為階梯形矩陣Bo(2)用B判別解的情況：非零行數(shù) r n時(shí)只有零解：r n時(shí)有非零解(求解方法在 第五章講)。(推論：當(dāng)方程的個(gè)數(shù) m n時(shí)，有非零解。)討論題1 .設(shè)A是n階矩陣，則(A) A是

11、上三角矢I陣A是階梯形矩陣。(B) A是上三角矩陣A是階梯形矩陣。(C) A是上三角矩陣A是階梯形矩陣。(D) A是上三角矩陣與A是階梯形矩陣沒有直接的因果關(guān)系。2 .下列命題中哪幾個(gè)成立？(1)如果A是階梯形矩陣，則 A去掉任何一行還是階梯形矩陣。(2)如果A是階梯形矩陣，則 A去掉任何一列還是階梯形矩陣。(3)如果 A| B是階梯形矩陣，則 A也是階梯形矩陣。(4)如果 A| B是階梯形矩陣，則 B也是階梯形矩陣。A(5)如果是階梯形矩陣，則 A和B都是階梯形矩陣。B第二講行列式一.概念復(fù)習(xí)1 .形式和意義形式：用n2個(gè)數(shù)排列成的一個(gè) n行n列的表格，兩邊界以豎線，就成為一個(gè)n階行列如果行

12、列式的列向量組為1, 2n,則此行列式可表本為aiia12aina21a22a2nanian2ann21意義：是一個(gè)算式，把這 n2個(gè)元素按照一定的法則進(jìn)行運(yùn)算，得到的數(shù)值稱為這個(gè)行列式的值。請(qǐng)注意行列式和矩陣在形式上和意義上的區(qū)別。當(dāng)兩個(gè)行列式的值相等時(shí)，就可以在它們之間寫等號(hào)?。ú槐匦问揭粯?，甚至階數(shù)可不同。）每個(gè)n階矩陣A對(duì)應(yīng)一個(gè)n階行列式，記作 A。行列式這一講的核心問題是值的計(jì)算，以及判斷一個(gè)行列式的值是否為0。2 .定義（完全展開式）2階和3階行列式的計(jì)算公式：alla12aiia22ai2a2i 0a21 a 22aila12a13a21a22 a23 aiia22a33ai2a

13、23a31ai3a21a32ai3a22a31aiia23a32ai2a21a33a31a32a33一般地，一個(gè)n階行列式aiia12aina21a22a2nanian2ann的值是許多項(xiàng)的代數(shù)和， 每一項(xiàng)都是取自不同行， 不同列的n個(gè)元素的乘積，其一般形式為:iji 2j2njn這里把相乘的n個(gè)元素按照行標(biāo)的大小順序排列，它們的列標(biāo)j1j2 jn構(gòu)成1,2, ,n的一個(gè)全排列（稱為一個(gè) n元排列），共有n!個(gè)n元排列，每個(gè)n元排列對(duì)應(yīng)一項(xiàng)，因此共有 n! 個(gè)項(xiàng)。所謂代數(shù)和是在求總和時(shí)每項(xiàng)先要乘1或1。規(guī)定 ji j2 jn為全排列jij2 jn的逆序數(shù)（意義見下面），則項(xiàng)ij1 2j2 an

14、jn所乘的是1 JlJ2 jn o全排列的逆序數(shù)即小數(shù)排列在大數(shù)右面的現(xiàn)象出現(xiàn)的個(gè)數(shù)。逆序數(shù)可如下計(jì)算：標(biāo)出每個(gè)數(shù)右面比它小的數(shù)的個(gè)數(shù)，它們的和就是逆序數(shù)。例如求436512的逆序數(shù)：3 2 3 2 0 0436512， 4365123 2 3 2 0 0 10。至此我們可以寫出 n階行列式的值：a11 a2a1na21 a22a2nj"2 jn11j1 a2j2 anjn °32 jnan1 an2ann這里表示對(duì)所有n元排列求和，稱此式為 n階行列式的完全展開式。j1 j2 jn用完全展開式求行列式的值一般來說工作量很大。只在有大量元素為0,使得只有少數(shù)項(xiàng)不為0時(shí)，才可

15、能用它作行列式的計(jì)算。例如對(duì)角行列式，上（下）三角行列式的值就等 于主對(duì)角線上的元素的乘積，因?yàn)槠渌?xiàng)都為0。3 .化零降階法把n階行列式的第i行和第j列劃去后所得到的 n 1階行列式稱為i,j位元素aj的余子式，記作M j。稱Aj1 i jM j為元素aj的代數(shù)余子式。定理（對(duì)某一行或列的展開）行列式的值等于該行（列）的各元素與其代數(shù)余子式乘積之和。命題 第三類初等變換（倍加變換）不改變行列式的值?；憬惦A法用命題把行列式的某一行或列化到只有一個(gè)元素不為0,再用定理，于是化為計(jì)算一個(gè)低1階的行列式。化零降階法是實(shí)際計(jì)算行列式的主要方法，因此應(yīng)該熟練掌握。4 .其它性質(zhì)行列式還有以下性質(zhì)： 把

16、行列式轉(zhuǎn)置值不變，即ATI |A。 某一行（列）的公因子可提出。于是，cA cn A。對(duì)一行或一列可分解，即如果某個(gè)行（列）向量，則原行列式等于兩個(gè)行列式之和，這兩個(gè)行列式分別是把原行列式的該行（列）向量換為或所得到的行列式。例如12， 1， 2, 把兩個(gè)行（列）向量交換，行列式的值變號(hào)。 如果一個(gè)行（列）向量是另一個(gè)行（列）向量的倍數(shù)，則行列式的值為0。0。如果A與B都是方陣（不必同階）某一行（列）的各元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和A Bl °范德蒙行列式：形如的行列式（或其轉(zhuǎn)置）。它由因此范德蒙行列式不等于01i11a1a2a3an2222aia2a3ann i

17、n in inaa2a3an,an所決定,它的值等于,an兩兩不同。對(duì)于元素有規(guī)律的行列式（包括n階行列式），常?？衫眯再|(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算，例如直接化為三角行列式等。5.克萊姆法則克萊姆法則應(yīng)用在線性方程組的方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)n （即系數(shù)矩陣為n階矩陣）的情形。此時(shí)，如果它的系數(shù)矩陣的行列式的值不等于0,則方程組有唯一解，這個(gè)解Di/D,D2/D, ,Dn/D ,這里D是系數(shù)行列式的值，Di是把系數(shù)行列式的第i個(gè)列向量換成常數(shù)列向量所得到的行列式的值。說明與改進(jìn)：按法則給的公式求解計(jì)算量太大， 沒有實(shí)用價(jià)值。因此法則的主要意義在理論上， 用在 對(duì)解的唯一性的判斷，而在這方面法則不夠。法則的改進(jìn)：

18、系數(shù)行列式不等于 0是唯一解的 充分必要條件。實(shí)際上求解可用初等變換法：對(duì)增廣矩陣 A| 作初等行變換，使得A變?yōu)閱挝痪仃嚕篈| E| , 就是解。用在齊次方程組上：如果齊次方程組的系數(shù)矩陣A是方陣，則它只有零解的充分必要條件是A 0。第三講矩陣一.概念復(fù)習(xí)1 .矩陣乘法的定義和性質(zhì)定義2. 1當(dāng)矩陣A的列數(shù)和B的行數(shù)相等時(shí)，和 A和B可以相乘，乘積記作 AB。AB的行數(shù)和A相等，列數(shù)和B相等。AB的i,j位元素等于A的第i個(gè)行向量和B的第jbnb12b1s設(shè)Aa21a22a2n,Bb21b22b2sam1am2amnbn1bn2bns個(gè)列向量（維數(shù)相同）對(duì)應(yīng)分量乘積之和。C11C21c12c

19、22c1 sC2 sC ABCm1 cm2cms貝Uq ai1b1j ai2b2jainbnj °矩陣的乘法在規(guī)則上與數(shù)的乘法有不同：矩陣乘法有條件。矩陣乘法無交換律。矩陣乘法無消去律，即一般地由AB 0推不出A 0或B 0。由AB AC和A 0推不出B C。（無左消去律）由BA CA和A 0推不出B C 。（無右消去律）請(qǐng)注意不要犯一種常見的錯(cuò)誤：杷數(shù)的乘法的性質(zhì)簡(jiǎn)單地搬用到矩陣乘法中來。矩陣乘法適合以下法則:加乘分配律ABCAB AC , A B C AC BC。數(shù)乘性質(zhì)cA B c AB o 結(jié)合律AB C A BC AB T BTATo2. n階矩陣的方哥和多項(xiàng)式任何兩個(gè)n階

20、矩陣A和B都可以相乘，乘積 AB仍是n階矩陣。并且有行列式性質(zhì)：AB A B。如果AB BA,則說A和B可交換。方哥 設(shè)k是正整數(shù)，n階矩陣A的k次方哥Ak即k個(gè)A的連乘積。規(guī)定 A0 E。顯然A的任何兩個(gè)方哥都是可交換的，并且方哥運(yùn)算符合指數(shù)法則：AkAhAkho AkhAkho但是一般地ABk和AkBk不一定相等!n階矩陣的多項(xiàng)式設(shè)fxamXm am iXm 1 ax a0,對(duì)n階矩陣A規(guī)定mam Aam 1Am 1a1AaoE。稱為A的一個(gè)多項(xiàng)式。請(qǐng)?zhí)貏e注意在常數(shù)項(xiàng)上加單位矩陣E。乘法公式 一般地，由于交換性的障礙，小代數(shù)中的數(shù)的因式分解和乘法公式對(duì)于 n階 矩陣的不再成立。但是如果公式

21、中所出現(xiàn)的 n階矩陣互相都是乘法交換的， 則乘法公式成立。 例如當(dāng)A和B可交換時(shí)，有：A B 2 A2 2AB B2 ；2 _ 2_ABA BA BA BA Bom二項(xiàng)展開式成立： A B mCrmAm iBi等等。i 1前面兩式成立還是 A和B可交換的充分必要條件。同一個(gè)n階矩陣的兩個(gè)多項(xiàng)式總是可交換的。一個(gè)n階矩陣的多項(xiàng)式可以因式分解。3 .分塊法則矩陣乘法的分塊法則是簡(jiǎn)化矩陣乘法的一種方法。對(duì)兩個(gè)可以相乘的矩陣A和B ,可以先用縱橫線把它們切割成小矩陣(一切 A的縱向切割和 B的橫向切割一致！)，再用它們 來作乘法。(1)兩種常見的矩陣乘法的分塊法則A11A12BnB12A11B11A1

22、2B21A11B12AI2 B22A21A22B21B22A21B11A22 B21A21B12A22 B22(2)要求Aj的列數(shù)Bjk和的行數(shù)相等。準(zhǔn)對(duì)角矩陣的乘法: 形如0A2的矩陣稱為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其中A,A2, ,Ak都是方陣。兩個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣A10 A0-0B100A200B20B0Ak00Bk如果類型相同，即Ai和Bi階數(shù)相等,ABAiBi0AkBk(2)乘積矩陣的列向量組和行向量組設(shè)A是m n矩陣B是n s矩陣。A的列向量組為n , B的列向量組為AB的列向量組為s，則根據(jù)矩陣乘法的定義容易看出(也是分塊法則的特殊情形)AB的每個(gè)列向量為:1,2,A 1,A2,Ab1,b2, ,bn

23、 Tb1b2 2bn n。應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)可以得到：如果bli , b2i ,bnii A 1bii1 b2i 2bnin °即：乘積失邱車AB的第i個(gè)列向量i是A的列向量組1, 2, n的線性組合，組合系數(shù)就是B皿i個(gè)列向量 i的各分量。類似地，乘積失邱車AB的Hi個(gè)行向量是B的行向量組的線性組合， 組合系數(shù)就是 A加第J個(gè)行向量的各分量。以上規(guī)律在一般教材都沒有強(qiáng)調(diào)，但只要對(duì)矩陣乘法稍加分析就不難得出。它們無論在理論上和計(jì)算中都是很有用的。(1)當(dāng)兩個(gè)矩陣中，有一個(gè)的數(shù)字很簡(jiǎn)單時(shí)，直接利用以上規(guī)律寫出乘積矩陣的各個(gè) 列向量或行向量，從而提高了計(jì)算的速度。(2)利用以上規(guī)律容易得到下

24、面幾個(gè)簡(jiǎn)單推論：用對(duì)角矩陣 從左側(cè)乘一個(gè)矩陣，相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的各行向量；用對(duì)角矩陣 從右側(cè)乘一個(gè)矩陣，相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的各列向量。數(shù)量矢I陣kE乘一個(gè)矩陣相當(dāng)于用 k乘此矩陣；單位矩陣乘一個(gè)矩陣仍等于該矩陣。兩個(gè)同階對(duì)角矩陣的相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘。求對(duì)角矩陣的方哥只需把對(duì)角線上的每個(gè)元素作同次方哥。（3）矩陣分解：當(dāng)一個(gè)矩陣 可以構(gòu)造一個(gè)矩陣 B,使得CC的每個(gè)列向量都是另一個(gè)AB。A的列向量組的線性組合時(shí),例如設(shè)A 一，C 2,3,2,令131B 21 0 ,則 C AB。112（4）初等矩陣及其在乘法中的作用對(duì)單位矩陣E作一次初等（

25、行或列）交換，所得到的矩陣稱為初等矩陣。有三類初等矩陣:E i, j :交換E的i , j兩行（或列）所得到的矩陣。E i c :用非0數(shù)c乘E的第i行（或列）所得到的矩陣，也就是把E的對(duì)角線上的第i個(gè)元素改為c。E i, j c i j ：把E的第j行的c倍加到第i行上（或把第i列的c倍加到第j列上） 所得到的矩陣，也就是把 E的i,j位的元素改為c。命題 對(duì)矩陣作一次初等行（列）變換相當(dāng)于用一個(gè)相應(yīng)的初等矩陣從左（右）乘它。4 .矩陣方程和可逆矩陣（伴隨矩陣）（1）矩陣方程矩陣不能規(guī)定除法，乘法的逆運(yùn)算是解下面兩種基本形式的矩陣方程：（1） AX B o （II） XA B o這里假定A是

26、行列式不為 0的n階矩陣，在此條件下，這兩個(gè)方程的解都是存在并且 唯一的。（否則解的情況比較復(fù)雜。）當(dāng)B只有一列時(shí)，（I）就是一個(gè)線性方程組。由克萊姆法則知它有唯一解。如果 B有s 列，設(shè)B 1, 2, , s，則X也應(yīng)該有s列，記X X1，X2, ,Xs,則有AXi 一 i 1,2, ,s，這是s個(gè)線性方程組。由克萊姆法則，它們都有唯一解，從而 AX B有唯 一解。這些方程組系數(shù)矩陣都是 A,可同時(shí)求解，即得（I）的解法：勝A皿旦并列作矩陣 A B ,對(duì)它作初等行變換，使得A變?yōu)閱挝痪仃?，此時(shí) B變?yōu)閒t_X_。AB EX（II）的解法：對(duì)兩邊轉(zhuǎn)置化為（I）的形式：AT XT BT。再用解（

27、I）的方法求出XT, 轉(zhuǎn)置得X。AT BTE XT矩陣方程是歷年考題中常見的題型，但是考試真題往往并不直接寫成（I）或（II）的形式，要用恒等變形簡(jiǎn)化為以上基本形式再求解。（2）可逆矩陣的定義與意義定義 設(shè)A是n階矩陣，如果存在n階矩陣B ,使得AB E , BA E ,則稱A為可 逆矩陣。此時(shí)B是唯一的，稱為 A的逆矩陣，通常記作 A1。如果A可逆，則A在乘法中有消去律:AB 0 B 0； AB AC B C。（左消去律）； BA 0 B 0 ； BA CA B C。（右消 去律）如果A可逆，則A在乘法中可移動(dòng)（化為逆矩陣移到等號(hào)另一邊）：AB C B A 1C。BA C B CA 1。由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法：（I） AX B 的解 X A1B。（II） XA B 的解 X BA1。這種解法想法自然，好記憶，但是計(jì)算量比初等變換法大（多了一次矩陣乘積運(yùn)算）。（3）矩陣可逆性的判別與性質(zhì)定理 n階矩陣A可逆 A 0。證明 " "對(duì)AA 1 E兩邊取行列式，得 |A