4-3(2)-極值及其求法

1、第三節(jié)第三節(jié)(2) (2) 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)極值的求法一、函數(shù)極值的求法二、函數(shù)最值的求法二、函數(shù)最值的求法三、小結(jié)三、小結(jié)0000( )()(),( )(),()( )oxU xf xffxf xf xf xx 如如果果有有則則稱稱為為的的一一個(gè)個(gè)極極值值或或或或極極小小值值大大。0 ( )()yf xU x 定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義。一、函數(shù)極值的求法一、函數(shù)極值的求法極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念.問題：反之，駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？問題：反之，駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？駐駐點(diǎn)點(diǎn)不不一一定定是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)。3,00yxxx 例例如如是是

2、駐駐點(diǎn)點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)。費(fèi)馬定理：費(fèi)馬定理：可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)定理定理( (第一充分條件第一充分條件) )0 ( )f xx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)0()0.fx 的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且00000(1)(,)(,)xxfxxxfxf xx 如如果果在在內(nèi)內(nèi) 在在內(nèi)內(nèi) 則則在在取取極極大大值值；xyo 0 x00000(2)(,)(,)xxfxxxfxf xx 如如果果在在內(nèi)內(nèi) 在在內(nèi)內(nèi) 則則在在取取極極小小值值；xyo 0 x00000(3)(,)(,)xxxxfxf xx 如如果果在在和和內(nèi)內(nèi)，均均有有相相同同的的符符號(hào)號(hào) 則則在在不不取取極

3、極值值。xyo0 x xyo0 x 注意注意: : 連續(xù)而不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)連續(xù)而不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)|,0yxx例例如如：可能的極值點(diǎn)可能的極值點(diǎn)：駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)：駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求極值的步驟求極值的步驟: :(1)( )( );f xfx 找找出出 的的連連續(xù)續(xù)區(qū)區(qū)間間，并并求求出出(2)( );fx 由由找找出出可可能能的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)( (駐駐點(diǎn)點(diǎn)和和導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)) )(3)( ),;fx 檢檢查查在在可可能能極極值值點(diǎn)點(diǎn)兩兩邊邊的的符符號(hào)號(hào) 判判斷斷極極值值點(diǎn)點(diǎn).)4(求極值求極值例例1 1解解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2

4、xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfMm圖形如下圖形如下例例2 2解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xfM練習(xí)題練習(xí)

5、題解解.)1()1()(323的極值及單調(diào)區(qū)間的極值及單調(diào)區(qū)間求求 xxxf322)1()1(3)( xxxf313)1()1(32 xx312)1(3)711()1( xxx(1)(2)駐點(diǎn)駐點(diǎn):, 1 x導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):.117 x. 1 x(3)列表列表.求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號(hào)求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號(hào),判別增減性判別增減性,確定極值點(diǎn)和極值確定極值點(diǎn)和極值.x)(xf )(xf), 1( 1 )117, 1( 117)1 ,117(1)1,( 0非極值非極值極小值極小值0)1( f極極小小值值2 . 2)117( f極大值極大值 0 不存在不存在極大值極大值駐點(diǎn)駐點(diǎn):, 1 x導(dǎo)

6、數(shù)不存在的點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):,117 x. 1 x.)1()1()(323的極值及單調(diào)區(qū)間的極值及單調(diào)區(qū)間求求 xxxf )(xf312)1(3)711()1( xxx單調(diào)增加區(qū)間單調(diào)增加區(qū)間:)., 1 7(,11 單調(diào)減少區(qū)間單調(diào)減少區(qū)間:).1 ,117(定理定理( (第二充分條件第二充分條件) )00()0( )fxf xx(2)(2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，在在取取極極小小值值。0( )f xx設(shè)設(shè) 在在點(diǎn)點(diǎn)00()0,()0,fxfx處處具具有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,00()0( )fxf xx(1)(1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，在在取取極極大大值值；例例3 3解解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)

7、求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018 )2(f故極小值故極小值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下圖形如下Mm注意注意: :00()0,( ),.fxf xx 時(shí)時(shí)在在點(diǎn)點(diǎn)處處不不一一定定取取極極值值 仍仍用用第第一一充充分分條條件件例：例：f (x) x4 g(x) x3在點(diǎn)在點(diǎn)x 0是否有極值？是否有極值？解：解： f (x) 4x 3 f (0) 0 f (x) 12x2 f (0) 0 但當(dāng)?shù)?dāng)x 0時(shí)時(shí)

8、f (x) 0 當(dāng)當(dāng)x 0時(shí)時(shí)f (x) 0 所以所以 f(0) 為極小值為極小值 g (x) 3x2 g (0) 0 g (x) 6x g (0) 0 但但g(0)不是極值不是極值練練 習(xí)習(xí) 題題局部局部 0)(0 xf無無 1實(shí)際問題：實(shí)際問題：“產(chǎn)品最多產(chǎn)品最多”、“用料最省用料最省”、“成本成本最低最低”、“效率最高效率最高”這類問題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為這類問題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為求某一函求某一函數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問題值問題 二、函數(shù)最值的求法二、函數(shù)最值的求法定義定義: :( ),If x對(duì)對(duì)于于在在區(qū)區(qū)間間 上上有有定定義義的

9、的函函數(shù)數(shù)0,xIxI如如果果有有使使得得對(duì)對(duì)于于任任一一都都有有0( )()f xf x 0( ( )()f xf x 0()( )f xf xI則則稱稱是是函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上的的最最大大 值值。()小小0000(), ( )()( ( )(),()( )of xxU xf xf xf xf xf x 如如果果有有則則稱稱為為或或或或極極的的一一個(gè)個(gè)極極大大小小值值值值。0 ( )()yf xU x 定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義。局部概念局部概念整體概念整體概念oxyoxybaoxyabab( ) , ( )f xa bf x若若函函數(shù)數(shù)在在上上連連續(xù)續(xù)，則則 , .a

10、 b在在上上的的最最大大值值與與最最小小值值存存在在可能的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)：可能的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)： 區(qū)間端點(diǎn)、內(nèi)部駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)區(qū)間端點(diǎn)、內(nèi)部駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn) 連續(xù)函數(shù)的最值如果在區(qū)間內(nèi)部取得，最連續(xù)函數(shù)的最值如果在區(qū)間內(nèi)部取得，最值一定是極值。值一定是極值。求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的步驟求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的步驟: :1.求開區(qū)間內(nèi)部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求開區(qū)間內(nèi)部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)、駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)求區(qū)間端點(diǎn)、駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值。比較大小值。比較大小,哪個(gè)大哪個(gè)就是最大值哪個(gè)大哪個(gè)就是最大值,哪個(gè)小哪個(gè)就是最小值。哪個(gè)小哪個(gè)就是最小值。解解 因因?yàn)闉椋? )6(2)(1)

11、fxxx 解解方方程程得得12( )0,2,1.fxxx 計(jì)計(jì)算算 ( 3)23;(4)142;ff，(1)7;( 2)34ff 324231214 3,4.yxxx 例例求求函函數(shù)數(shù)在在上上的的最最大大值值與與最最小小值值找出找出端點(diǎn)端點(diǎn)、駐點(diǎn)駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)的值進(jìn)行比較的值進(jìn)行比較端點(diǎn)端點(diǎn)值值駐點(diǎn)駐點(diǎn)值值(4)142(1)7.ff 比比較較得得 最最值值，值值小小最最大大沒有沒有不可不可導(dǎo)點(diǎn)導(dǎo)點(diǎn)14123223 xxxy端端點(diǎn)點(diǎn)駐點(diǎn)駐點(diǎn)端端點(diǎn)點(diǎn)最大最大值值最小最小值值練練 習(xí)習(xí) 題題區(qū)間端點(diǎn)及極值點(diǎn)區(qū)間端點(diǎn)及極值點(diǎn) 80)4( y5)1( y106實(shí)際問題求最值應(yīng)注意實(shí)際問題求最值應(yīng)

12、注意: :(1) 建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù); ;(2) 求最值求最值; ; 若若目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)只只有有唯唯一一, ,則則該該點(diǎn)點(diǎn)的的函函最最駐駐點(diǎn)點(diǎn)大大數(shù)數(shù)值值即即為為所所求求的的( (或或最最小小) )值值例例5 5220808yxyxyxyx 由由直直線線，及及拋拋物物線線圍圍成成一一個(gè)個(gè)曲曲邊邊三三角角形形，在在曲曲邊邊上上求求一一點(diǎn)點(diǎn)，使使曲曲線線在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線與與直直線線及及所所圍圍成成的的三三角角形形面面積積最最大大解解如圖如圖,00(,),P xy設(shè)設(shè)曲曲邊邊上上的的點(diǎn)點(diǎn)為為則切線則切線PT),(2000 xxxyy TxyoPABC0002()PTyyxxx切切

13、線線的的方方程程,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(C)16)(218(212000 xxxSABC 0(08)xTxyoPABC8x , 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍去舍去 xx8)316( s. 0 .2174096)316(為極大值為極大值 s.274096)316(最大者最大者為所有三角形中面積的為所有三角形中面積的故故 s200011(8)(16)22ABCSxxx 0(08)x例例6 某房地產(chǎn)公司有某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月定為每月1000元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每月增加金每月增加50元時(shí)，就有一套公寓租不出去，元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)而租出去的房子每月需花費(fèi)100元的整修維護(hù)元的整修維護(hù)費(fèi)試問房租定為多少可獲得最大收入？費(fèi)試問房租定為多少可獲得最大收入？解解 設(shè)設(shè)房房租租每每月月為為 元元，x那那么么租租出出去去的的房房子子有有套套，100050()50 x 每月總收入為每月總收入為)(xR(100)x1000(50)50 x ( )R x 1( )(70)(100)()5050 xR xx 72,25x0)(