試驗二快速Fourier變換

1、實驗二快速傅里葉變換（FFT）及其應(yīng)用一、實驗?zāi)康? .在理論學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過本實驗，加深對FFT的理解，熟悉MATLAB 中的有關(guān)函數(shù)。2 .熟悉應(yīng)用FFT對典型信號進(jìn)行頻譜分析的方法。3 . 了解應(yīng)用FFT進(jìn)行信號頻譜分析過程中可能出現(xiàn)的問題，以便在實 際中正確應(yīng)用FFT。4 .熟悉應(yīng)用FFT實現(xiàn)兩個序列的線性卷積和相關(guān)的方法。二、實驗原理與方法在各種信號序列中，有限長序列信號處理占有很重要地位，對有限長序列， 我們可以使用離散Fouier變換（DFT）。這一變換不但可以很好的反映序列的頻譜 特性，而且易于用快速算法在計算機(jī)上實現(xiàn)，當(dāng)序列 x（n）的長度為N時，它的 DFT定義為:陽此）

2、=工秘）稗,% = Jn*-0反變換為：1 能）=行2伏）阪麻有限長序列的DFT是其Z變換在單位圓上的等距采樣，或者說是序列Fourier 變換的等距采樣，因此可以用于序列的譜分析。FFT并不是與DFT不同的另一種變換，而是為了減少DFT運(yùn)算次數(shù)的一種快速 算法。它是對變換式進(jìn)行一次次分解，使其成為若干小點(diǎn)數(shù)的組合，從而減少運(yùn) 算量。常用的FFT是以2為基數(shù)的，其長度 N”。它的效率高，程序簡單， 使用非常方便，當(dāng)要變換的序列長度不等于2的整數(shù)次方時，為了使用以2為基 數(shù)的FFT,可以用末位補(bǔ)零的方法，使其長度延長至 2的整數(shù)次方。（一）在運(yùn)用DFT進(jìn)行頻譜分析的過程中可能的產(chǎn)生三種誤差1.混

3、疊序列的頻譜是被采樣信號頻譜的周期延拓，當(dāng)采樣速率不滿足Nyquist定理時，就會發(fā)生頻譜混疊，使得采樣后的信號序列頻譜不能真實的反映原信號的 頻譜。避免混疊現(xiàn)象的唯一方法是保證采樣速率足夠高，使頻譜混疊現(xiàn)象不致出現(xiàn)，即在確定采樣頻率之前，必須對頻譜的性質(zhì)有所了解，在一般情況下，為了保證高于折疊頻率的分量不會出現(xiàn)，在采樣前，先用低通模擬濾波器對信號進(jìn)行濾波。2泄漏實際中我們往往用截短的序列來近似很長的甚至是無限長的序列，這樣可以使用較短的DFT來對信號進(jìn)行頻譜分析，這種截短等價于給原信號序列乘以一個矩形窗函數(shù)，也相當(dāng)于在頻域?qū)⑿盘柕念l譜和矩形窗函數(shù)的頻譜卷積，所得的頻譜是原序列頻譜的擴(kuò)展。泄漏

4、不能與混疊完全分開，因為泄漏導(dǎo)致頻譜的擴(kuò)展，從而造成混疊。為了減少泄漏的影響，可以選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)使頻譜的擴(kuò)散減至最小。3柵欄效應(yīng)DFT是對單位圓上Z變換的均勻采樣，所以它不可能將頻譜視為一個連續(xù)函 數(shù)，就一定意義上看，用DFT來觀察頻譜就好像通過一個柵欄來觀看一個圖景一 樣， 只能在離散點(diǎn)上看到真實的頻譜，這樣就有可能發(fā)生一些頻譜的峰點(diǎn)或谷點(diǎn)被“尖樁的柵欄”所攔住，不能別我們觀察到。減小柵欄效應(yīng)的一個方法就是借助于在原序列的末端填補(bǔ)一些零值，從而變動DFT的點(diǎn)數(shù)，這一方法實際上是人為地改變了對真實頻譜采樣的點(diǎn)數(shù)和位 置，相當(dāng)于搬動了每一根“尖樁柵欄”的位置，從而使得頻譜的峰點(diǎn)或谷點(diǎn)暴露 出來

5、。(二)用FFT計算線性卷積用 FFT 可以實現(xiàn)兩個序列的圓周卷積。在一定的條件下，可以使圓周卷積等于線性卷積。一般情況，設(shè)兩個序列的長度分別為 N1和N2,要使圓周卷積等 于線性卷積的充要條件是FFT的長度N> N + N2-1,對于長度不足N的兩個序列， 分別將他們補(bǔ)零延長到N。當(dāng)兩個序列中有一個序列比較長的時候，我們可以采用分段卷積的方法。有兩種方法：1 重疊相加法將長序列分成與短序列相仿的片段，分別用FFT對它們作線性卷積，再將分段卷積各段重疊的部分相加構(gòu)成總的卷積輸出。2重疊保留法這種方法在長序列分段時，段與段之間保留有互相重疊的部分，在構(gòu)成總的卷積輸出時只需將各段線性卷積部分

6、直接連接起來，省掉了輸出段的直接相加。(三)用FFT計算相關(guān)函數(shù)兩個長為N的實離散時間序列x(n)與y(n)的互相關(guān)函數(shù)定義為N 1N Arxy(m) = '：，x(n)y(n m)="x(n m)y(n) =x( m) y(m) n q0m q0rxy(n)的離散付里葉變換為：Rxy(k) = X*(k)Y(k),0<k<N -1當(dāng)x(n) = y(n)時，得到x(n)的自相關(guān)函數(shù)為：N1 N2 j三1rxx(m)=Z x(n)x(n+m) = 7rz |X(k) e Nn衛(wèi)N y利用FFT求兩個有限長序列線性相關(guān)的步驟(設(shè) x(n)長N1 , y(n)長N2)

7、:(1)為了使兩個有限長序列的線性相關(guān)可用其圓周相關(guān)代替而不產(chǎn)生混淆，選擇周期N =2L > Ni +N2 -1 ,以便使用FFT,將x(n) , y(n)補(bǔ)零至長為N(2)用 FFT計算 X(k),Y(k),0 <k < N -1(3) Rxy(k) =X*(k)Y(k),0<k <N -1(4)對 Rxy(k)作 IFFT;取后 N 1項，得 rxy (m) N + 1 < m < -1 ;取前 N 項，得 rxy (m) 0 < m < N -1 o三、實驗內(nèi)容及步驟實驗中用到的信號序列：a)高斯(Gaussia。序歹！Jjn -P)

8、2xa(n) = e q 0 < n <150 其它b)衰減正弦序列,、ensin(2nfn) xb(n)=-0< n< 15其它c(diǎn))三角波序列'n 0 E n E 3xc(n) = <8-n4WnW70 其它d)反三角波序列4 - n 0 < n < 3xd(n) =n44 < n < 7、0 其它 上機(jī)實驗內(nèi)容：(1)觀察高斯序列的時域和幅頻特性，固定信號Xa(n)中參數(shù)p = 8,改變q的值，使q分別等于2, 4, 8,觀察它們的時域和幅頻特性，了解當(dāng)q取不同值時，對信號序列的時域幅頻特性的影響；固定 q =8,改變p ,使p

9、分別等于8, 13, 14,觀察參數(shù)p變化對信號序列的時域及幅頻特性的影響，觀察 p等于多少時， 會發(fā)生明顯的泄漏現(xiàn)象，混疊是否也隨之出現(xiàn)？記錄實驗中觀察到的現(xiàn)象， 繪出 相應(yīng)的時域序列和幅頻特性曲線。(2)觀察衰減正弦序列xb(n)的時域和幅頻特性，a = 0.1 , f =0.0625 ,檢查譜峰出現(xiàn)位置是否正確，注意頻譜的形狀，繪出幅頻特性曲線，改變 f ,使f分 別等于0.4375和0.5625,觀察這兩種情況下，頻譜的形狀和譜峰出現(xiàn)位置，有 無混疊和泄漏現(xiàn)象？說明產(chǎn)生現(xiàn)象的原因。(3)觀察三角波和反三角波序列的時域和幅頻特性，用N=8點(diǎn)FFT分析信號序列xc(n)和xd(n)的幅頻特

10、性，觀察兩者的序列形狀和頻譜曲線有什么異同？繪 出兩序列及其幅頻特性曲線。在xc(n)和xd(n)末尾補(bǔ)零，用N=32點(diǎn)FFT分析這兩個信號的幅頻特性，觀 察幅頻特性發(fā)生了什么變化？兩種情況下的 FFT頻譜還有相同之處嗎？這些變 化說明了什么？(4) 一個連續(xù)信號含兩個頻率分量，經(jīng)采樣得x(n) =sin2二 0.125n cos2二(0.125 f )n n = 0,1, N -1已知N =16, Af分別為1/16和1/64,觀察其頻譜；當(dāng)N =128時，3不變， 其結(jié)果有何不同，為什么？(5)用 FFT 分別實現(xiàn) xa(n) (p=8,q = 2)和 凡)(a = 01 , f = 0.

11、0625) 的16點(diǎn)圓周卷積和線性卷積。(6)產(chǎn)生一 512點(diǎn)的隨機(jī)序列xe(n),并用x/n)和xe(n)作線性卷積，觀察卷積前后xe(n)頻譜的變化。要求將xe(n)分成8段，分別采用重疊相加法和重疊保 留法。(7)用 FFT 分別計算 xa(n) (p=8, q=2)和 xb(n) ( a = 0.1 , f = 0.0625 ) 的16點(diǎn)圓周相關(guān)和線性相關(guān)，問一共有多少個結(jié)果，它們之間有何異同點(diǎn)。(8)用 FFT 分別計算 xa(n) (p=8, q=2)和 xb(n) ( a = 0.1 , f = 0.0625 ) 的自相關(guān)函數(shù)。四、實驗思考題1 .實驗中的信號序列xc(n)和Xd(n),在單位圓上的Z變換頻譜Xc(ej。)和Xd(ej與會相同嗎？如果不同，說出哪一個低頻分量更多一些，為什么？2 .對一個有限長序列進(jìn)行DFT等價于將該序列周期延拓后進(jìn)行 DFS展開， 因為DFS也只是取其中一個周期來計算，所以FF