點線面關(guān)系練習(xí)題

1、知識梳理一、直線與平面平行1 .判定方法(1)定義法：直線與平面無公共點。(2)判定定理：一 / I(3)其他萬法：)a/ /、2 .性質(zhì)定理：aa a/bb二、平面與平面平行1 .判定方法(1)定義法：兩平面無公共點。a/ 飛b/(2)判定定理：aba b P ja1a/1(3)其他方法： ；/)/2.性質(zhì)定理：a a a /bb三、直線與平面垂直(1)定義：如果一條直線與一個平面內(nèi)的所有直線都垂直，則這條直線和這個平面垂直。(2)判定方法用定義.a b 、a c判定定理：b c Aa a bc Ja 、推論：a I ba / /b -(3)性質(zhì)： a b：a/b四、平面與平面垂直(1)定義

2、：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直線二面角，就說這兩個平面互相垂直。a(2)判定定理a(3)性質(zhì)性質(zhì)定理 aa lA A lPPA 垂足為A，“轉(zhuǎn)化思想”面面平行線面平行線線平行面面垂直線面垂直線線垂直求二面角1 .找出垂直于棱的平面與二面角的兩個面相交的兩條交線，它們所成的角就是二面角的平面角2 .在二面角的棱上任取一點 0,在兩半平面內(nèi)分別作射線OAL l , OBL l ,則/ AOB>U做二面角的平面角例1.如圖，在三棱錐 S-ABC中，SA 底面ABC AB BC, DE垂直平分 SC,且分另交 AC于D,交SC于E,又SA=ABSB=BC求以BD為棱，以BD訝口 BDE

3、面的二面角的度數(shù)。求線面夾角定義：斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）方法：作直線上任意一點到面的垂線，與線面交點相連，利用直角三角形有關(guān)知識求得三角形其中一角就是該 線與平面的夾角。例1:在棱長都為1的正三棱錐S- ABC中，側(cè)棱SA與底面ABC所成的角是.例2:在正方體 ABCD- A1B1C1D仲, BC1與平面AB1所成的角的大小是 ;BD1與平面AB1所成的角的大小是 ;CC1與平面BC1D所成的角的大小是 ; BC1與平面 A1BCD1所成的角白大小是 ; BD1與平面BC1D所成的角白大小是 ;例3:已知空間內(nèi)一點 O出發(fā)的三條射線 OA OB

4、 OC兩兩夾角為60° ,試求OA與平面BOC所成的角的大小.求線線距離說明：求異面直線距離的方法有：（1）（直接法）當(dāng)公垂線段能直接作出時，直接求.此時，作出并證明異面直線的公垂線段，是求異面直線距離的關(guān)鍵.（2）（轉(zhuǎn)化法）把線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，如求異面直線、距離，先作出過且平行于的平面，則與距離就是、距離.（線面轉(zhuǎn)化法）.也可以轉(zhuǎn)化為過平行的平面和過平行于的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線距離.（面面轉(zhuǎn)化法）（3）（體積橋法）利用線面距再轉(zhuǎn)化為錐體的高用何種公式來求.（4）（構(gòu)造函數(shù)法）常常利用距離最短原理構(gòu)造二次函數(shù)，利用求二次函數(shù)最值來解.兩條異面直線間距離問題，教

5、科書要求不高（要求會計算已給出公垂線時的距離），這方面的問題的其他解法，要適度接觸，以開闊思路，供學(xué)有余力的同學(xué)探求.例：在棱長為的正方體中，求異面直線和之間的距離。線面平行（包括線面距離）例：已知點是正三角形所在平面外的一點，且，為上的高，、分別是、的中點，試判斷與平面內(nèi)的位置關(guān)系，并給予證明面面平行（包括面面距離）例1：已知正方體ABCD A1B1C1D1 ,求證 平面BA. / /平面BCQ例2:在棱長為的正方體中，求異面直線和之間的距離.面面垂直例1:已知直線PA垂直正方形 ABC所在的平面，A為垂足。求證：平面 PAC平面PBD例2：已知直線PA垂直于 O所在的平面，A為垂足，AB為

6、 O的直徑，C是圓周上異于 A B的一點。求證：平面PAC平面PBG課后作業(yè)：、選擇題1.教室內(nèi)任意放一支筆直的鉛筆，則在教室的地面上必存在直線與鉛筆所在的直線（）A.平行B.相交C.異面D.垂直2.若m n是兩條不同的直線,T是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是（）A.若 n? B，則 mLaB.若 a n 丫 = m § n 丫 = n, m/ n,則 a / （3C.若 ml B , m/ a ,則 a ± （3D.若“_1丫，a_LB,則 B-Ly3 .（改編題）設(shè)P是 ABO在平面外一點，P到 AB%頂點的距離相等，而且P到 AB%邊的距離也相等， 那么 AB

7、C）A.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形C.是等邊三角形D.不是A、B、C所述的三角形4 .把等腰直角 ABCg斜邊上的高 AD折成直二面角 B-ACC,則BD與平面ABC所成角的正切值為（）5 .如圖，已知 ABC為直角三角形，其中/ ACB= 90。，M為AB的中點，PM垂直于 AC所在平面，那么（）=PB>PC=PBPC=PB=PC豐 PB PC二、填空題：6 .正四棱錐S ABCD勺底面邊長為2,高為2, E是邊BC的中點，動點 P在表面上運動，并且總保持PEI AC則動點P的軌跡的周長為.7 . a、B是兩個不同的平面， m n是平面a及3之外的兩條不同直線，給出四個論

8、斷：ml n；a，B ； n，B ； ml a .以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：.三、解答題11 .如圖（1）,等腰梯形 ABC由，AD/ BC AB= AD ZABC= 60° , E是BC的中點，如圖（2）,將 AB曰替AE折起, 使二面角 B-AE-C成直二面角，連接 BC BD F是CD的中點，P是棱BC的中點.（1）求證：AE! BD（2）求證：平面 PEFL平面 AECD判斷DE能否垂直于平面 ABC并說明理由12.如圖，已知PA(1求證：MN(2)求證：MN矩形ABCD所在平面。M , N分別是AB, PC的中點。面PADCD(

9、3)若 PDA 450,求證：MN 面PCD12 .如圖所示，已知BCD43, /BC注90°,BC= CD-1,ABL平面BCD / ADB= 60°,E、F 分別是 ACAD上AE AF 、的動點，且k而1入(0入1).AC AD(1)求證：不論 人為何值，總有平面 BEFL平面ABC(2)當(dāng)人為何值時，平面 BEFL平面ACD13 .如圖，在矩形 ABC珅，AB= 2BC P、Q分別為線段 AB CD的中點，EPL平面ABCD求證：DPL平面EPC(2)問在EP上是否存在點F使平面AFDL平面BFO若存在，求出FP族彳機參考答案求二面角,它們所成的角就分析：找二面角的

10、平面角，有一種方法是找出垂直于棱的平面與二面角的兩個面相交的兩條交線 是二面角的平面角EC 工 BEC±DB解:n WC_L平面 EDE 二 3C_LDBSA_L平面 ABC =SA_LDB .皿平面SA"就北、=ZEDC 是二面“角EDE-C的平面角設(shè)則 BC=SB=忑SAI平面ABC BC±ABBC1EB在 Rt A SAC 中，SA=1, SC=2/ ECA=30 ,在 Rt A DEC中，/ DEC=90 ,/ EDC=60 ,所求的二面角為60 。求線線距離解法1:（直接法）如圖:取的中點，連結(jié)、分別交、于、兩點，易證：，. .為異面直線與的公垂線段，易

11、證：.小結(jié)：此法也稱定義法，這種解法是作出異面直線的公垂線段來解.但通常尋找公垂線段時，難度較大.解法2:（轉(zhuǎn)化法）如圖： 平面， .與的距離等于與平面的距離，在中，作斜邊上的高，則長為所求距離，小結(jié)：這種解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離.解法3:（轉(zhuǎn)化法）如圖： 平面平面，與的距離等于平面與平面的距離. 平面，且被平面和平面三等分； 所求距離為.小結(jié)：這種解法是線線距離轉(zhuǎn)化為面面距離.解法4:（構(gòu)造函數(shù)法）如圖：任取點，作于點，作于點，設(shè)，則，且則故的最小值，即與的距離等于.小結(jié)：這種解法是恰當(dāng)?shù)倪x擇未知量，構(gòu)造一個目標(biāo)函數(shù)， 通過求這個函數(shù)的最小值來得到二異面直線之間的距離.解法5:（體積橋

12、法）如圖：當(dāng)求與的距離轉(zhuǎn)化為求與平面的距離后，設(shè)點到平面的距離為，則. 即與的距離等于.小結(jié)：本解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，再將線面距離轉(zhuǎn)化為錐體化為錐體的高，然后用體積公式求之.這種方法在后面將要學(xué)到.線面平行例：分析1:如圖，觀察圖形，即可判定平面，要證明結(jié)論成立，只需證明與平面內(nèi)的一條直線平行.觀察圖形可以看出：連結(jié)與相交于，連結(jié)，就是適合題意的直線.怎樣證明？只需證明是的中點.證法1:連結(jié)交于點， 是的中位線，在中，是的中點，且，為的中點. 是的中位線，.又平面，平面， ，平面.分析2:要證明平面，只需證明平面平面，要證明平面平面，只需證明，而，可由題設(shè)直接推出.證法2:，.,為的中位線， 平面，平面，平面.同理：平面，平面平面，又二.平面, ，平面.面面平行例一：證明：二.為正方體，又平面，故平面.同理平面.平面平面.例二：根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證：連結(jié)，分別交平面和平面于和因為和分別是平面的垂線和斜線，在平面內(nèi),由三垂線定理：，同理：，平面，同理可證：平面，平面和平面間的距離為線段長度.如圖所示:在對角面中，為的中點，為的中點，和的距離等于兩平行平面和的距離為.面面垂直例1:例2:A斑圓O勺直徑C是圓周上異于A、B的一點BC ACPA 平面 ABC-cBC 平面 PACBC PABC平面ABC平面平面PAC平