點(diǎn)線面關(guān)系練習(xí)題

1、知識(shí)梳理一、直線與平面平行1 .判定方法(1)定義法：直線與平面無公共點(diǎn)。(2)判定定理：一 / I(3)其他萬法：)a/ /、2 .性質(zhì)定理：aa a/bb二、平面與平面平行1 .判定方法(1)定義法：兩平面無公共點(diǎn)。a/ 飛b/(2)判定定理：aba b P ja1a/1(3)其他方法： ；/)/2.性質(zhì)定理：a a a /bb三、直線與平面垂直(1)定義：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直。(2)判定方法用定義.a b 、a c判定定理：b c Aa a bc Ja 、推論：a I ba / /b -(3)性質(zhì)： a b：a/b四、平面與平面垂直(1)定義

2、：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直線二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。a(2)判定定理a(3)性質(zhì)性質(zhì)定理 aa lA A lPPA 垂足為A，“轉(zhuǎn)化思想”面面平行線面平行線線平行面面垂直線面垂直線線垂直求二面角1 .找出垂直于棱的平面與二面角的兩個(gè)面相交的兩條交線，它們所成的角就是二面角的平面角2 .在二面角的棱上任取一點(diǎn) 0,在兩半平面內(nèi)分別作射線OAL l , OBL l ,則/ AOB>U做二面角的平面角例1.如圖，在三棱錐 S-ABC中，SA 底面ABC AB BC, DE垂直平分 SC,且分另交 AC于D,交SC于E,又SA=ABSB=BC求以BD為棱，以BD訝口 BDE

3、面的二面角的度數(shù)。求線面夾角定義：斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）方法：作直線上任意一點(diǎn)到面的垂線，與線面交點(diǎn)相連，利用直角三角形有關(guān)知識(shí)求得三角形其中一角就是該 線與平面的夾角。例1:在棱長(zhǎng)都為1的正三棱錐S- ABC中，側(cè)棱SA與底面ABC所成的角是.例2:在正方體 ABCD- A1B1C1D仲, BC1與平面AB1所成的角的大小是 ;BD1與平面AB1所成的角的大小是 ;CC1與平面BC1D所成的角的大小是 ; BC1與平面 A1BCD1所成的角白大小是 ; BD1與平面BC1D所成的角白大小是 ;例3:已知空間內(nèi)一點(diǎn) O出發(fā)的三條射線 OA OB

4、 OC兩兩夾角為60° ,試求OA與平面BOC所成的角的大小.求線線距離說明：求異面直線距離的方法有：（1）（直接法）當(dāng)公垂線段能直接作出時(shí)，直接求.此時(shí)，作出并證明異面直線的公垂線段，是求異面直線距離的關(guān)鍵.（2）（轉(zhuǎn)化法）把線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，如求異面直線、距離，先作出過且平行于的平面，則與距離就是、距離.（線面轉(zhuǎn)化法）.也可以轉(zhuǎn)化為過平行的平面和過平行于的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線距離.（面面轉(zhuǎn)化法）（3）（體積橋法）利用線面距再轉(zhuǎn)化為錐體的高用何種公式來求.（4）（構(gòu)造函數(shù)法）常常利用距離最短原理構(gòu)造二次函數(shù)，利用求二次函數(shù)最值來解.兩條異面直線間距離問題，教

5、科書要求不高（要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離），這方面的問題的其他解法，要適度接觸，以開闊思路，供學(xué)有余力的同學(xué)探求.例：在棱長(zhǎng)為的正方體中，求異面直線和之間的距離。線面平行（包括線面距離）例：已知點(diǎn)是正三角形所在平面外的一點(diǎn)，且，為上的高，、分別是、的中點(diǎn)，試判斷與平面內(nèi)的位置關(guān)系，并給予證明面面平行（包括面面距離）例1：已知正方體ABCD A1B1C1D1 ,求證 平面BA. / /平面BCQ例2:在棱長(zhǎng)為的正方體中，求異面直線和之間的距離.面面垂直例1:已知直線PA垂直正方形 ABC所在的平面，A為垂足。求證：平面 PAC平面PBD例2：已知直線PA垂直于 O所在的平面，A為垂足，AB為

6、 O的直徑，C是圓周上異于 A B的一點(diǎn)。求證：平面PAC平面PBG課后作業(yè)：、選擇題1.教室內(nèi)任意放一支筆直的鉛筆，則在教室的地面上必存在直線與鉛筆所在的直線（）A.平行B.相交C.異面D.垂直2.若m n是兩條不同的直線,T是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是（）A.若 n? B，則 mLaB.若 a n 丫 = m § n 丫 = n, m/ n,則 a / （3C.若 ml B , m/ a ,則 a ± （3D.若“_1丫，a_LB,則 B-Ly3 .（改編題）設(shè)P是 ABO在平面外一點(diǎn)，P到 AB%頂點(diǎn)的距離相等，而且P到 AB%邊的距離也相等， 那么 AB

7、C）A.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形C.是等邊三角形D.不是A、B、C所述的三角形4 .把等腰直角 ABCg斜邊上的高 AD折成直二面角 B-ACC,則BD與平面ABC所成角的正切值為（）5 .如圖，已知 ABC為直角三角形，其中/ ACB= 90。，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于 AC所在平面，那么（）=PB>PC=PBPC=PB=PC豐 PB PC二、填空題：6 .正四棱錐S ABCD勺底面邊長(zhǎng)為2,高為2, E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PEI AC則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為.7 . a、B是兩個(gè)不同的平面， m n是平面a及3之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論

8、斷：ml n；a，B ； n，B ； ml a .以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：.三、解答題11 .如圖（1）,等腰梯形 ABC由，AD/ BC AB= AD ZABC= 60° , E是BC的中點(diǎn)，如圖（2）,將 AB曰替AE折起, 使二面角 B-AE-C成直二面角，連接 BC BD F是CD的中點(diǎn)，P是棱BC的中點(diǎn).（1）求證：AE! BD（2）求證：平面 PEFL平面 AECD判斷DE能否垂直于平面 ABC并說明理由12.如圖，已知PA(1求證：MN(2)求證：MN矩形ABCD所在平面。M , N分別是AB, PC的中點(diǎn)。面PADCD(

9、3)若 PDA 450,求證：MN 面PCD12 .如圖所示，已知BCD43, /BC注90°,BC= CD-1,ABL平面BCD / ADB= 60°,E、F 分別是 ACAD上AE AF 、的動(dòng)點(diǎn)，且k而1入(0入1).AC AD(1)求證：不論 人為何值，總有平面 BEFL平面ABC(2)當(dāng)人為何值時(shí)，平面 BEFL平面ACD13 .如圖，在矩形 ABC珅，AB= 2BC P、Q分別為線段 AB CD的中點(diǎn)，EPL平面ABCD求證：DPL平面EPC(2)問在EP上是否存在點(diǎn)F使平面AFDL平面BFO若存在，求出FP族彳機(jī)參考答案求二面角,它們所成的角就分析：找二面角的

10、平面角，有一種方法是找出垂直于棱的平面與二面角的兩個(gè)面相交的兩條交線 是二面角的平面角EC 工 BEC±DB解:n WC_L平面 EDE 二 3C_LDBSA_L平面 ABC =SA_LDB .皿平面SA"就北、=ZEDC 是二面“角EDE-C的平面角設(shè)則 BC=SB=忑SAI平面ABC BC±ABBC1EB在 Rt A SAC 中，SA=1, SC=2/ ECA=30 ,在 Rt A DEC中，/ DEC=90 ,/ EDC=60 ,所求的二面角為60 。求線線距離解法1:（直接法）如圖:取的中點(diǎn)，連結(jié)、分別交、于、兩點(diǎn)，易證：，. .為異面直線與的公垂線段，易

11、證：.小結(jié)：此法也稱定義法，這種解法是作出異面直線的公垂線段來解.但通常尋找公垂線段時(shí)，難度較大.解法2:（轉(zhuǎn)化法）如圖： 平面， .與的距離等于與平面的距離，在中，作斜邊上的高，則長(zhǎng)為所求距離，小結(jié)：這種解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離.解法3:（轉(zhuǎn)化法）如圖： 平面平面，與的距離等于平面與平面的距離. 平面，且被平面和平面三等分； 所求距離為.小結(jié)：這種解法是線線距離轉(zhuǎn)化為面面距離.解法4:（構(gòu)造函數(shù)法）如圖：任取點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，設(shè)，則，且則故的最小值，即與的距離等于.小結(jié)：這種解法是恰當(dāng)?shù)倪x擇未知量，構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)， 通過求這個(gè)函數(shù)的最小值來得到二異面直線之間的距離.解法5:（體積橋

12、法）如圖：當(dāng)求與的距離轉(zhuǎn)化為求與平面的距離后，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則. 即與的距離等于.小結(jié)：本解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，再將線面距離轉(zhuǎn)化為錐體化為錐體的高，然后用體積公式求之.這種方法在后面將要學(xué)到.線面平行例：分析1:如圖，觀察圖形，即可判定平面，要證明結(jié)論成立，只需證明與平面內(nèi)的一條直線平行.觀察圖形可以看出：連結(jié)與相交于，連結(jié)，就是適合題意的直線.怎樣證明？只需證明是的中點(diǎn).證法1:連結(jié)交于點(diǎn)， 是的中位線，在中，是的中點(diǎn)，且，為的中點(diǎn). 是的中位線，.又平面，平面， ，平面.分析2:要證明平面，只需證明平面平面，要證明平面平面，只需證明，而，可由題設(shè)直接推出.證法2:，.,為的中位線， 平面，平面，平面.同理：平面，平面平面，又二.平面, ，平面.面面平行例一：證明：二.為正方體，又平面，故平面.同理平面.平面平面.例二：根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證：連結(jié)，分別交平面和平面于和因?yàn)楹头謩e是平面的垂線和斜線，在平面內(nèi),由三垂線定理：，同理：，平面，同理可證：平面，平面和平面間的距離為線段長(zhǎng)度.如圖所示:在對(duì)角面中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，和的距離等于兩平行平面和的距離為.面面垂直例1:例2:A斑圓O勺直徑C是圓周上異于A、B的一點(diǎn)BC ACPA 平面 ABC-cBC 平面 PACBC PABC平面ABC平面平面PAC平