2011屆高考數(shù)學(xué) 雙曲線復(fù)習(xí)好題精選

1、雙曲線題組一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2010·汕頭一模)中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的實軸與虛軸相等，一個焦點到一條漸近線的距離為，則雙曲線方程為 ()Ax2y21 Bx2y22Cx2y2 Dx2y2解析：由題意，設(shè)雙曲線方程為1(a>0)，則ca，漸近線yx，a22.雙曲線方程為x2y22.答案：B2已知雙曲線的兩個焦點為F1(，0)、F2(，0)，M是此雙曲線上的一點，且滿足·0，| |·| |2，則該雙曲線的方程是 ()A.y21 Bx21C.1 D.1解析：·0，MF1MF2，|MF1|2|MF2|240，(|MF1|MF2|)2|

2、MF1|22|MF1|·|MF2|MF2|2402×236，|MF1|MF2|62a，a3，又c，b2c2a21，雙曲線方程為y21.答案：A題組二雙曲線的幾何性質(zhì)3.(2009·寧夏、海南高考)雙曲線1的焦點到漸近線的距離為 ()A2 B2 C. D1解析：雙曲線1的焦點為(4,0)或(4,0)漸近線方程為yx或yx.由雙曲線的對稱性可知，任一焦點到任一漸近線的距離相等，d2.答案：A4(2010·普寧模擬)已知離心率為e的曲線1，其右焦點與拋物線y216x的焦點重合，則e的值為 ()A. B. C. D.解析：拋物線焦點坐標(biāo)為(4,0)，則a2716

3、，a29，e.答案：C5(2009·江西高考)設(shè)F1和F2為雙曲線1(a0，b0)的兩個焦點，若F1，F(xiàn)2，P(0,2b)是正三角形的三個頂點，則雙曲線的離心率為 ()A. B2 C. D3解析：tan60°，4b23c24(c2a2)3c2c24a24e2:答案：B6(2010·廣州模擬)已知點F是雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是 ()A(1，) B(1,2) C(1,1) D(2,1)解析：如圖，要使ABE為銳角三角形，只

4、需AEB為銳角，由雙曲線對稱性知ABE為等腰三角形，從而只需滿足AEF<45°. 又當(dāng)xc時，y，tanAEF<1，e2e2<0，又e>1，1<e<2.答案：B題組三直線與雙曲線的位置關(guān)系7.(2010·西安調(diào)研)過點P(4,4)且與雙曲線1只有一個交點的直線有 ()A1條 B2條 C3條 D4條解析：如圖所示，滿足條件的直線共有3條答案：C8設(shè)雙曲線1的右頂點為A，右焦點為F，過點F作平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則AFB的面積為_解析：由題意知，A(3,0)，F(xiàn)(5,0)，漸近線斜率k±，則直線方程為y(x5

5、)，代入1，得x，y，即B(，)，SAFB×2×.答案：題組四雙曲線的綜合問題9.(2010·德州模擬)P為雙曲線x21右支上一點，M、N分別是圓(x4)2y24和(x4)2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為_解析：雙曲線的兩個焦點為F1(4,0)、F2(4,0)，為兩個圓的圓心，半徑分別為r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值為(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.答案：510(1)已知雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱，且與圓x2y210相交于點P(3，1)，若此圓過點P的切線與雙曲線的一條

6、漸近線平行，求此雙曲線的方程；(2)已知雙曲線的離心率e，且與橢圓1有共同的焦點，求該雙曲線的 方程解：(1)切點為P(3，1)的圓x2y210的切線方程是3xy10.雙曲線的一條漸近線與此切線平行，且雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱，兩漸近線方程為3x±y0.設(shè)所求雙曲線方程為9x2y2(0)點P(3，1)在雙曲線上，代入上式可得80，所求的雙曲線方程為1.(2)在橢圓中，焦點坐標(biāo)為(±，0)，c，又e，a28，b22.雙曲線方程為1.11已知雙曲線C：y21，P是C上的任意點(1)求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；(2)設(shè)點A的坐標(biāo)為(3,0)，求|PA|的

7、最小值解：(1)證明：設(shè)P(x1，y1)是雙曲線上任意一點，該雙曲線的兩條漸近線方程分別是x2y0和x2y0，點P(x1，y1)到兩條漸近線的距離分別是和.它們的乘積是·.點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|2(x3)2y2(x3)21(x)2.|x|2，當(dāng)x時，|PA|2的最小值為，即|PA|的最小值為.12(文)已知橢圓C1的方程為y21，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點(1)求雙曲線C2的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且·2(其

8、中O為原點)，求k的取值范圍解：(1)設(shè)雙曲線C2的方程為1，則a2413，c24，由a2b2c2，得b21，故C2的方程為y21.(2)將ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點，得k2且k21. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x 1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又·2，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23， 由得k21，故k的取值范圍為(1，)(，1)(理)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為(，0)(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線：ykxm(k0，m0)與雙曲線C交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過點A(0，1)，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)由已知得a，c2.又a2b2c2，得b21.故雙曲線C的方程為y21.(2)聯(lián)立整理得(13k2)x26kmx3m230.直線與雙曲線有兩個不同的交點，可得m2>3k21且k2. 設(shè)M(x1，y1)，N(x