選修5不等式選講

1、選彳多4- 5不等式選講第一節(jié)本節(jié)主要包括2個知識點:1.絕對值不等式的解法；絕對值不等式2,絕對值三角不等式.突破點(一)絕對值不等式的解法基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”(1)含絕對值白不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a= 0a<0|x|<ax| a<x<a?|x|>ax|x>acx< axC R|xw0R(2)|ax+ b|< c, |ax+ b|> c(c>0)型不等式的解法： |ax+ b|w c? cw ax + bw c; |ax + b| > c? ax+ b n c 或 ax+

2、 bw c.(3)|x- a|+ |x- b|>c, |x-a|+ |x- b|< c(c>0)型不等式的解法:利用絕對值不等式的幾何意義求解.利用零點分段法求解.構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解.考點貫通|抓高考命題的“形”與“神”考點絕對值小等式的解法典例解下列不等式：(1)|2x+1|-2|x-1|>0.x .(2)|x+ 3|- |2x-1|<x+1.解(1)法一：原不等式可化為|2x+1|>2|x-1|,兩邊平方得4x2+4x+1>4(x2-2x+ 1), 解得x>1,所以原不等式的解集為、x|x>1 :4L.4,x<-1,法二

3、：原不等式等彳于£2-(2x+1 " 2(x-1 >0或!一卜或觸1，l(2x+1 產(chǎn)(X1>0 中+ 1r2(xT>0.1 一11 1解得x>1,所以原不等式的解集為1x|x>1 t4 L4,(2)當(dāng)x<3時，X原不等式化為一(x+ 3)-(1-2x)<x+ 1,解得 x<10, x< 3.一1一當(dāng)3Wx<2時,X原不等式化為(x+ 3) (1 2x)<2+ 1,解得 x< 3< x< .5 5當(dāng)x.2時,x原不等式化為(x+ 3) + (1 2x)<2+ 1,解得 x>2，.

4、二 x>2. 2 ,、綜上可知，原不等式的解集為p|x< 5或x>2吃絕對值不等式的常用解法方法技巧(1)基本性質(zhì)法：對 aC R+, |x|<a? a<x<a,|x|>a? x< a 或 x>a.(2)平方法：兩邊平方去掉絕對值符號.(3)零點分區(qū)間法：含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分區(qū)間法去掉絕對值符號，將其轉(zhuǎn) 化為與之等價的不含絕又直符號的不等式(組)求解.能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.求不等式|x-1|- |x- 5|<2的解集.解：不等式|x1|x5|<2等價于x<1 ,.或p 1 0(x

5、 5 <21 w xw 5,x 1 + x 5<2T x>5, 或x 1 (x 5 12,x<1, -4<21 < x< 5, 或，2x<8或x>5,故原不等式的解集為 x|x<1 U x|1<x<4 U ?=x|x<4. 4<2,2.解不等式 x+|2x+ 3|>2.解：原不等式可化為卜<-2,-x-3>2或2,3x+3>2.解得x< 5或x>1. 3r11所以原不等式的解集是1x|xw 5或x> 3 ：3.已知函數(shù) f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)證明：一3

6、Wf(x)W3;(2)求不等式f(x)>x2- 8x+ 15的解集.解：(1)證明：f(x)=|x-2|-|x-5|- 3, x<2,= $2x7, 2<x<5, 當(dāng) 2Vx<5 時，3<2x7<3,3 , x> 5.所以一3W f(x)< 3.(2)由(1)可知，當(dāng) x< 2 時，f(x"x28x+15 即為 x2-8x+ 18<0,解集為空集；當(dāng) 2Vx<5 時，f(x)Rx28x+15 即為 x2-10x+ 22<0,解集為x|5->/3<x<5;當(dāng) x> 5 時，f(x&qu

7、ot;x28x+15 即為 x2-8x+ 12<0,解集為x|5< x< 6.綜上，不等式 f(x)>x28x+15的解集為x|5 ，3wxW6.4 .已知函數(shù) f(x)= |x- a|+ 3x,其中 a>0.(1)當(dāng)a=1時，求不等式f(x)>3x+2的解集；(2)若不等式f(x)W0的解集為x|x<- 1,求a的值.解：(1)當(dāng) a=1 時，f(x"3x+2可化為 |x1|>2.由此可得x>3或xw1.故不等式f(x)>3x+2的解集為x|x>3或xw 1.(2)由 f(x)w0 得|xa|+3xW0.此不等式可化

8、為x> a,x a+ 3x< 0x<a,或，a x+ 3x< 0,x>a,即 a x<4x<a,或 a|xw -.結(jié)合a>0,解得x< -2,a即不等式f(x)< 0的解集為1x|xw 21不等式f(x)w0的解集為x|xw 1,a - 一 2= - 1,故 a= 2.突破點(二)絕對值三角不等式基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”絕對值三角不等式定理(1)定理1：如果a, b是實數(shù)，則|a+b|<|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab-0時，等號成立.(2)定理 2：如果 a, b, c是實數(shù)，那么 |a-c|< |a-b|+|b-

9、 c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a b)(b cG0 時，等號成立.考點貫通抓高考命題的“形”與“神”考點一證明絕對值不等式一 一一 一 _11 .1例 1已知 x, yC R,且 |x+y|w. |x-y|<4,求證：|x+5y|W1.證明|x+ 5y|=|3(x+ y)- 2(x-y)|.，由絕對值不等式的性質(zhì)，得|x+ 5y|=|3(x+ y) 2(x- y)| & |3(x + y)| + |2(x y)|1 c 1,=3|x+y|+ 2|x- y|w 3X-+2X 一= 1. 64即 |x+5y|w 1.方法技巧證明絕對值不等式的三種主要方法(1)利用絕對值的定義去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化

10、為普通不等式再證明.(2)利用三角不等式|a|-|b|< |aib|< |a|+ |b進行證明.(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進行證明.考點二絕對值不等式的恒成立問題例 2 設(shè)函數(shù) f(x) = x+ |x- a|.(1)當(dāng)a=2 017時，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若g(x)= |x+1|,求不等式 g(x) 2>xf(x)恒成立時a的取值范圍.解(1)由題意得，當(dāng)a=2 017時，2x-2 017, x> 2 017, f(x)= "2 017, x<2 017.因為f(x)在2 017, +8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的值域為2 017,

11、 +8).(2)由 g(x)= |x+1|,不等式 g(x) 2>xf(x)恒成立，知 |x+1|+|x a卜2 恒成立,即(|x+1|十|xa|)min>2.而 |x+ 1| + |x- a|> |(x+ 1)- (x-a)|= |1 + a|,所以|1 + a卜2,解得a>1或a< 3.故a的取值范圍為(8, - 3)U(1, +8).解：(1)證明：由1a>0,有 f(x)= x + a一1 ，+ |x-a|> x+a-(x-a1一，=+ a>2.當(dāng)且僅當(dāng) a能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失=1時等號成立.所以f(x)>2.(2)f(

12、3)= 3 + 1 +|3-a|. a一1當(dāng) a>3 時，f(3)=a + 1 a由 f(3)<5 得 3<a<5+21.,一，1當(dāng) 0V aW3 時，f(3)=6-a+-, a由 f(3)<5 彳導(dǎo)、一“1 .考點一設(shè)函數(shù) f(x)= x+二 十|xa|(a>0). a(1)證明:f(x) > 2;(2)若f(3)<5,求a的取值范圍. V5<aw3.綜上，a的取值范圍是近 5+標(biāo);2.考點二(2017 保定模擬)設(shè)函數(shù) f(x)=|x-1|+|x-a|(a R).(1)當(dāng)a=4時，求不等式f(x)>5的解集；(2)若f(x)>

13、;4對x C R恒成立，求a的取值范圍.一 , 一，一一、，一 x<1,八 1 解：(1)當(dāng)a=4時，不等式即為|x1|十|x4|>5,等價于，或，-2x+5>53>5x>4,或12x-5>5,解得xW0或x>5,故不等式f(x)>5的解集為x|xw 0或x> 5.(2)因為 f(x) = |x- 1| + |x- a| > |(x- 1) - (x- a)| = |a- 1|,所以 f(x)min=|a-1|,故|a1|>4,解得 a< 3或 a>5.故a的取值范圍為(8, 3U5, +8).3 .考點一已知函數(shù)f

14、(x)= ax2+xa的定義域為1,1.3(1)若 f(0) = f(1),解不等式 |f(x)1|<ax+4；5(2)若|a|W1,求證：|f(x)|W解：(1)f(0) = f(1),即a=a+1a,則 a=1,所以 f(x) = x2+ x + 1,所以不等式化為| x2+x|<x+3,4當(dāng)1Wx<0時，不等式化為 x2-x<-x + 3,4解得乎<x<0;當(dāng)0WxW1時，不等式化為一x2+x< x + 3,解得0Wx<T. 42綜上，原不等式的解集為僅乎<x<2.證明：由已知xC -1,1,所以|x|W1,又|a|W1,則|f

15、(x)| = |a(x2 1)+ x|w |a(x2- 1)| + |x|< |x2- 1|十 |x|= 1-|x|2+|x|=- |x| ； j+jw：.4.考點一(2017開封模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|, a<0.證明：f(x) + f 一；異2;1 一(2)若不等式f(x)+f(2x)<2的解集非空，求a的取值氾圍.解：(1)證明：函數(shù) f(x)=|xa|, a<0 ,則 f(x) + f : = |x a| 十= |xa|+ 1+a x(xa " C+a)= |x|+|x|>2vi=2(當(dāng)且僅當(dāng)|x|=1時取等號).(2)f(x)+f(2x

16、)=|xa|+|2xa|, a<0.當(dāng) x< a 時，f(x)+ f(2x) = a x+ a 2x= 2a 3x,則 f(x)+ f(2x)> a;aaa;當(dāng) a<x< -時，f(x) +f(2x)= xa+a 2x=x,則-<f(x) +f(2x)<當(dāng) x>機寸,f(x)+f(2x) = x a+ 2x a= 3x 2a,則 f(x) + f(2x)> 一 a 、則f(x)+ f(2x)的值域為 一a, + 00卜1不等式f(x) + f(2x)<1的解集非空，即為2> a,解得，a> - 1,由于a<0 ,則a

17、的取值范圍是(-1,0).全國卷5年真題集中演練 一一明知律1. (2016 全國乙卷)已知函數(shù) f(x) = |x+1|-|2x-3|.(1)畫出y=f(x)的圖象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集.x x一 4, x w 1 ,3解：由題意得f(x)=3" 2，T<x、2',.3-x+4, x>2，故y= f(x)的圖象如圖所示.(2)由f(x)的函數(shù)表達式及圖象可知， 當(dāng)f(x) =1時，可得x=1或x=3;當(dāng)f(x)= 1時，可得x=1或x= 5.3故 f(x)>1 的解集為x|1<x<3,f(x)< - 1 的解集為 f

18、x x<3或x>5 J.所以|f(x)卜1的解集為僅x<1或1<x<3或x>5 >2. (2016全國丙卷)已知函數(shù)f(x) = |2x-a|+a.(1)當(dāng)a=2時，求不等式f(x)W6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x1|.當(dāng)xCR時，f(x)+ g(x)>3,求a的取值范圍.解：(1)當(dāng) a=2 時,f(x)=|2x-2|+2.解不等式 |2x- 2|+ 2< 6 得一1 w x< 3.因此f(x)W6的解集為x|1WxW3.(2)當(dāng) xC R 時，f(x)+g(x)=|2xa|+a+|1 2x|>3,一x又x-2 +12

19、-xa2，所以解得a>2.所以a的取值范圍是2, +8).3. (2015 新課標(biāo)全國卷 I )已知函數(shù) f(x)=|x+1|-2|x-a|, a>0.(1)當(dāng)a=1時，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.解：(1)當(dāng)a=1時，f(x)>1 化為 |x+1|2|x1|1>0.當(dāng)XW 1時，不等式化為 X- 4>0,無解;當(dāng)1<x<1時，不等式化為 3x2>0,解得2Vx<1 ;3當(dāng)x> 1時，不等式化為 x+2>0,解得1Wx<2.,， 2、所以f(x)&g

20、t;1的斛集為"xgvxvZ Ax 1 2a, x< 1,0 B(2a+1,0),(2)由題設(shè)可得 f(x)= ;3x+1 2a, - 1<x<a, x+1 + 2a, x>a.所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為C(a, a+ 1), ABC的面積為2(a+1)2. 3由題設(shè)得2(a+ 1)2>6,故a>2. 3所以a的取值范圍為(2, +8).4. (2013 新課標(biāo)全國卷 I )已知函數(shù) f(x)=|2x-1|+|2x+a|, g(x) = x+3.其圖象如圖所示.由圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng) xC(0,2)時，y<0.所以

21、原不等式的解集是 x|0< x< 2.(2)當(dāng) xC -2, 1，寸,f(x)=1 + a.不等式 f(x)Wg(x)化為 1 + aWx+3.所以x> a- 2對xC -2, 2都成立.故-4a- 2,即 awf. 23從而a的取值范圍是卜1, 4 5. (2012新課標(biāo)全國卷)已知函數(shù)f(x)=|x + a|+|x-2|.(1)當(dāng)a= 3時，求不等式f(x)>3的解集；(2)若f(x)w|x 4|的解集包含1,2,求a的取值范圍.-2x+ 5, x< 2,解：(1)當(dāng) a=3 時,f(x)=l1, 2V x<3, 2x- 5, x > 3.當(dāng) x&

22、lt; 2 時，由 f(x)>3 得一2x+5>3,解得 xW1；當(dāng) 2V x<3 時，f(x)>3 無解；當(dāng) x>3 時，由 f(x)>3 得 2x5>3,解得 x>4;所以f(x) > 3的解集為x|xw 1或x> 4.(2)f(x)< |x- 4|? |x- 4|-|x- 2|>|x+ a|. 當(dāng) xC 1,2時，|x-4|-|x-2|>|x+a|? 4一 x一 (2 一 x)|x+a|? 2 - aw xw 2a.由條件得一2 aw 1 且 2 a> 2,即一3w aw 0.故滿足條件的a的取值范圍為3

23、,0.課時達標(biāo)檢測基礎(chǔ)送分題一一高考就考那幾點，練通就能把分撿1.已知函數(shù) f(x)=|x+ m|-|5-x|(m R).(1)當(dāng)m=3時，求不等式 f(x)>6的解集；(2)若不等式f(x)< 10對任意實數(shù)x恒成立，求 m的取值范圍.解：(1)當(dāng) m=3時，f(x)>6,即|x+3|5x卜6,不等式的解集是以下三個不等式組解集的并集.x>5,x+ 3一(x 5 >6,解得x>5;3Vx<5,或1解得4Vx<5;慎+ 3 + (x 5 >6, xV 一 3,或,解集是？.一 x 一 3+ (x 5 F6,故不等式f(x)>6的解集為

24、x|x>4.(2)f(x)= |x+ m|- |5- x|< |(x+ m) + (5- x)|= |m+ 5|,由題意得|m + 5|wi0,則I0wm+5W 10,解得15W mW 5,故m的取值范圍為15,5.2. (2017 鄭州模擬)設(shè)函數(shù) f(x)=|x+2|-|x- 1|.(1)求不等式f(x)>1的解集；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)+4> |1 2m|有解，求實數(shù) m的取值范圍.-3, x< -2,解：(1)函數(shù) f(x)可化為 f(x)=42x+1, - 2<x<1,3, x>1,當(dāng)xw 2時，f(x) = - 3<0,

25、不合題意；當(dāng)一2Vx<1 時，令 f(x)= 2x+ 1>1 ,得 x>0,即 0Vx<1;當(dāng) x> 1 時，f(x)=3>1,即 x> 1.綜上，不等式f(x)>1的解集為(0, +8).(2)關(guān)于 x 的不等式 f(x) + 4>|12m|有解等價于(f(x)+4)max>|1 2m|,由(1)可知 f(x)max=3(也可由 |f(x)|=|x+2|一|x 1|W|(x+2)(x1)|=3,得 f(x)max=3), 即 |1 2m|W7,解得一3WmW4.故實數(shù)m的取值范圍為3,4.3. (2017長春卞莫擬)已知函數(shù)f(x)

26、 = |x-2|-|x+1|.(1)解不等式f(x)>1;ax x + 1(2)當(dāng)x>0時，函數(shù)g(x)=(a>0)的最小值大于函數(shù)f(x),試求實數(shù) a的取值范x圍.解：(1)當(dāng)x>2時，原不等式可化為 x-2-x-1>1,解集是?.當(dāng)一1WxW2時，原不等式可化為 2xx1>1,即一1Wx<0;當(dāng)x<1時，原不等式可化為2x+x+1>1 ,即x<1.綜上，原不等式的解集是x|x<0.1(2)因為 g(x)= ax+- 1 >2ya1 )x當(dāng)且僅當(dāng)x= "a時等號成立，所以 g(x)min= 2>/a-

27、1 , a1 - 2x, 0<x< 2,當(dāng) x>0 時，f(x)= *所以 f(x)C 3,1),3, x>2,所以2-1>1,即a>1,故實數(shù)a的取值范圍是1, +8).4.設(shè)函數(shù) f(x)=|kx- 1|(kCR).(1)若不等式f(x)W2的解集為ix|-1<x<1求k的值；3(2)若f(1) + f(2)<5,求k的取值范圍.解： 由|kx1|W2,得一2Wkx1W2,即一1wkxW3,所以一 ；wxwi, 3 3由已知，得k=1,所以k=3.1一，(2)由已知,得 |k1|+|2k1|<5.當(dāng) kw 時,-(k-1)-(2k

28、-1)<5,得 k>- 1,此時一1111<k<2；當(dāng) 2<kW1 時，(k1)+(2k1)<5,得 k<5,此時萬<kW1；當(dāng) k>1 時，(k-1)+(2k-1)<5,得k( 此時1<k<3.綜上，k的取值范圍是(T, 3)5.已知函數(shù) f(x)=|2x-a|+|2x + 3|, g(x) = |x1|+2.(1)解不等式：|g(x)|<5；(2)若對任意的x1CR,都有x2C R,使得f(x1)=g(x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍.解：(1)由 |x 1|+2|<5,得一5<|x1|+2<5,

29、所以一7<|x 1|<3,解不等式得一2Vx<4, 所以原不等式的解集是 x| 2<x<4.(2)因為對任意的 xK R,都有 x2 R,使得 f(x1)=g(x2)成立，所以y|y=f(x)? y|y=g(x),又 f(x)= |2x-a|+ |2x+ 3|>|(2x-a) (2x+ 3)| = |a+3|,g(x)=|x1|+2>2,所以|a+3|>2,解得a> 1或aw5,所以實數(shù)a的取值范圍是(一- 5 U - 1, 十 °°).6.設(shè)函數(shù) f(x)=|2x-1|-|x+4|.(1)解不等式：f(x)>0;

30、(2)若f(x)+3|x+ 4|>|a1對一切實數(shù) x均成立，求a的取值范圍.解：(1)原不等式即為|2x-1|-|x+4|>0,當(dāng)xw4時，不等式化為 12x+x+4>0,解得x<5,xW 4,._的解集是x|xw -4.|2x-1|-|x+4|>01當(dāng)4<x<1時，不等式化為 1 2x x4>0,4<x<,解得x< 1,即不等式組S 2的解集是x| 4<x< 1.J2x-1|-|x+4|>0當(dāng)x> 1時,不等式化為 2x- 1-x-4>0,解得x>5,>1x>一 一即不等式組S

31、 2的解集是x|x>5.|2x-1|-|x+ 4|>0綜上，原不等式的解集為 x|x< 1或x>5.(2) . f(x) + 3|x+ 4|=|2x-1|+2|x+4|=|1-2x|+ |2x+ 8|> |(1 2x) + (2x+ 8)| = 9.，由題意可知|a-1|<9,解得一8<a< 10,故a的取值范圍是8, 10.7.已知函數(shù)f(x)=|2xa|+a(其中a為常數(shù)).(1)若集合x|- 4& x< 3是關(guān)于x的不等式f(x)< 6的解集的子集，求實數(shù)a的取值范圍；(2)在(1)的條件下，若存在實數(shù)n使f(n)wmf

32、(n)成立，求實數(shù) m的取值范圍.解：由|2xa| + aW6 得|2xa|W6a, a 6w 2x aw 6 a,即 a 3w xW 3)*o- a 3w 4,aw 1.即實數(shù)a的取值范圍為(8, 1.(2)由題可知，只需 m>f(n)+f(n)min即可.令 ”n) = f(n) + f(n),在(1)的條件下 a< - 1,則 Mn)=|2n a|+|2n+a|+2a+|(2n a)(2n+a)|+2a= |2a|+2a=0,當(dāng)且僅當(dāng)(2n-一 11a)(2n + a)w0,即 aw n w a 時取等3.Mn)的最小值為0,故實數(shù)m的取值范圍是0, +8).8.已知函數(shù) f

33、(x)=|3x+2|.(1)解不等式 f(x)<4-|x-1|;11(2)已知 m+n=1(m, n>0),右|xa|f(x)wm+n(a>0)恒成立，求頭數(shù) a的取值氾圍.解：(1)不等式 f(x)<4-|x-1|,即 |3x+2|+|x1|<4.當(dāng) x< 2時，即一3x2 x+1<4,解得一5<x<2;當(dāng)一xw 1 時，即 3x+2 x+1<4, 3433解得一：w x<:；當(dāng)x>1時，即3x+2+x1<4,無解. 32綜上所述，原不等式的解集為4|-5<x<2：工+ 1= I1 + 當(dāng)且僅當(dāng)m=n

34、= 2時等號成立.令 g(x) = |x a| f(x)= |x a| |3x+ 2| =J 22x+ 2+ a, x<-,31 4x2+a, 一 $xWa, 2x 2 a, x>a. (m+ n)= 1+ 1 + n+m>4, m n m nm n，x= 2時，g(x)max = 2+ a,要使不等式恒成立, 33只需 g(x)max= /+aW4,即 0<a<10. 33所以實數(shù)a的取值范圍是第二節(jié)基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1 .基本不等式定理1:如果a, bCR,那么a2+b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.定理2：如果a, b>0

35、,那么支曬 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立，即兩個正數(shù)的 算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均.、一 ，一一一 .a+b+ c 3j定理3：如果a, b, cC R+,那么 一->3/0bc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b= c時，等號成立.32 .比較法(1)作差法的依據(jù)是：a- b>0? a>b. A 一(2)作商法：若 B>0,欲證AAB,只需證>1.3 .綜合法與分析法(1)綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的 推理、論證而得出命題成立.(2)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條 件或一個明顯

36、成立的事實 (定義，公理或已證明的定理，性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立.考點貫通抓高考命題的“形”與“神”考點一比較法證明不等式例1設(shè)a, b是非負(fù)實數(shù)，求證：a2+b2>Vab(a+b).證明因為 a2+ b2- <ab(a+ b)=(a2 a/ab)+ (b2 b-ab)=aVa(Va- /b)+ bVb(Vb- va)=(m-3)(a干-byb)=尾b2)(a2 b3),bl 與 a3 - 22因為 a>0, b>0,所以不論a> b>0,還是0w aw b 都有a12所以尾一b1)(a"- b2"0,所以 a? + b? >

37、; qab(a + b).方法技巧作差比較法證明不等式的步驟(1)作差；(2)變形；(3)判斷差的符號；(4)下結(jié)論.其中“變形”是關(guān)鍵，通常將差變形 成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù).考點二綜合法證明不等式L -ill例2 已知a, b, c>0且互不相等，abc= 1.試證明：Va +Vb+ ,一十1十二 a b c證明因為a, b, c>0,且互不相等，abc=1, 所以5+也+衣=出+量+陪1111:十一 一+一 b c a c2 + 2 +1 1一十一 b c'即 F+ 福+ &V1 + 1+ 1. a b c方法技巧綜合

38、法證明時常用的不等式(1)a2>0.(2)|a|>0.(3)a2+ b2>2ab,它的變形形式有：a2+b2>2|ab|; a2+b2>-2ab; (a+b)2>4ab;a2+b2>1(a+ b)2；苧>山；.(4)工ab,它的變形形式有:a + -> 2(a>0); ： + 9> 2(ab>0); ab aa ba+ -< 2(ab<0).b a考點三分析法證明不等式例 3 (2017 沈陽模擬)設(shè) a, b, c>0,且 ab+ bc+ ca=1.求證：(1)a+b+ c> 3;(2)般+ y&

39、amp; N*小(*+小+加證明(1)要證 a+b+c> >/3,由于 a, b, c>0,因此只需證明(a+b+ c)2>3.即證：a2+ b2+ c2+ 2(ab+ bc+ ca)> 3,而 ab+ bc+ ca= 1,故只需證明：a2+ b2+c2 + 2(ab+ bc+ ca)> 3(ab+bc+ ca).即證：a2+ b2+ c2> ab+ bc+ ca.a2 b2 b2 c2 c2 a22 .22 , 一，而這可以由 ab+bc+caw-2+丁 =a2+b2+c2(當(dāng)且僅當(dāng) a=b= c時等號 成立)證得.所以原不等式成立.a : b &#

40、39;' c a + b+ cbc+J 丁晶.在(1)中已證a+b+c> <3.因此要證原不等式成立，,a+ , b+ ,c,即證 a , bc+ b , ac+ c ab< 1,即證 a . bc+ b , ac+ c . ab< ab+ bc+ ca.而 a bc= ab ac<ab+ ac2， ab+ bcbc+ acb ac<2，c ,ab< -2所以 a , bc+ b , ac+ c , ab< ab+ bc+ ca(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=W3時等號成立).所以原不等式成立.3方法技巧分析法的應(yīng)用當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法，

41、且和重要不等式(a2+b2>2ab)、基本不等式府w 等，a>0, b>0聲有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來 尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1 .考點三已知 a>b>c,且 a+b+c= 0,求證：.b2 ac<J3a.證明：要證Jb2 ac<木a,只需證b2 ac<3a2.a+ b+c= 0, c= a+b,只需證 b2+a(a+ b)<3a2,只需證2a2abb?>0,只需證(a-b)(2a+ b)>0,只需證(a b)(a c)>0

42、. a>b>c,a b>0, a c>0. ' (a b)( a c)>0 顯然成立，故原不等式成立.2 .考點已知 a> b>0,求證：2a3- b3>2ab2-a2b.證明：2a3 b3 (2ab2 a2b)= 2a(a2 b2)+ b(a2- b2)=(a2- b2)(2a+ b)= (a- b)(a+ b)(2a+ b).因為 a>b>0)所以 ab>0)a+b>0,2a+b>0)從而(ab)(a+b)(2a+ b)>0,即 2a3-b3>2ab2-a2b.3 .考點二已知a, b, c,

43、 d均為正數(shù)，且 ad= bc.(1)證明：若 a+d>b+ c,則 |ad卜|b c|;(2)t 4a2+ b2Vc2+ d2 = :a4 + c4 + b4+ d4,求實數(shù) t 的取值范圍.解：(1)證明：由 a+d>b+ c,且 a, b, c, d 均為正數(shù)，得(a+ d)2>(b+ c)2,又 ad= bc, 所以(a d->(b cj,即 |a d|>|b c|.(2)因為(a2 + b2)(c2 + d2) = a2c2+ a2d2 + b2c2 + b2d2= a2c2 + 2abcd+ b2d2= (ac+ bd)2,所以 t Za? + b?d

44、? = t( ac+ bd).由于，a4 + c4 > Qac, ：b4 + d4 > y/2 bd,又已知 t 7a + b2Vc2 + d2 = a4 + c4 + 7b + d4,則 t(ac+bd)nM2(ac+bd),故 t>J2,當(dāng)且僅當(dāng) a=c, b= d時取等號.全國卷5年真題集中演練 一一明規(guī)律1 1 _一 ，1. (2016全國甲卷)已知函數(shù)f(x)= x Q + x+Q , M為不等式f(x)<2的解集.(1)求 M ;(2)證明：當(dāng) a, bCM 時，|a+ b|<|1 + ab|.11-2x, x< Q,一11斛：(1)f(x)=&

45、lt; 1, 2<x<2，12x, x>2-當(dāng) xw2 時，由 f(x)<2 得一2x<2,解得 x> - 1,所以一1<xW：；1 1，一當(dāng)2<x<2時，f(x)<2恒成立；1. 1當(dāng)x>鼻時，由f(x)<2得2x<2,解得x<1,所以W*.所以 f(x)<2 的解集 M = x|-1<x<1.(2)證明：由(1)知，當(dāng) a, bCM 時，1<a<1, - 1<b<1 ,從而(a+b)2(1 + ab)2= a2+b2 a2b2 1 = (a2- 1)(1 b2)&l

46、t;0.因此 |a+ b|<|1 + ab|.2. (2015新課標(biāo)全國卷n )設(shè)a, b, c, d均為正數(shù)，且 a+b=c+d,證明：(1)若ab>cd,貝U而>,+ 血；(2pja + Vb>Vc+ 珀是 |a- b|<|c- d| 的充要條件.證明：(1)因為(ya+4b)2=a+b+2犧，(,c+ ,d)2= c+ d+2 cd,由題設(shè) a+b=c+ d, ab>cd,得(，a+ b)2>( ,c+ d)2.因此.a+ b> c+ , d.(2)必要性：若 |a- b|<|c-d|,則(a-b)2<(c- d)2,即(a+

47、b)2-4ab<(c+ d)2 4cd.因為 a+b= c+d,所以 ab>cd.由(1),得 F + gb>&+4d.充分性：若 Va+Vb>Vc+而，則(小!+洞2>(#+洞2,即 a+ b+2 ab>c+d+2 cd.因為 a+b= c+d,所以 ab>cd.于是(a- b)2= (a+ b)2-4ab<(c+ d)2-4cd= (c- d)2.因此 |a-b|<|c-d|.綜上，a+ b> . c+. <是|ab|v |cd|的充要條件.1 13. (2014 新課標(biāo)全國卷 I )右 a>0, b>0

48、,且一十；= Vab. a b求a3+b3的最小值；(2)是否存在a, b,使得2a+3b= 6?并說明理由.得ab>2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=黃時等號成立.故 a3+b3>2ab3>42,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=6時等號成立.所以a3+b3的最小值為4廬.(2)由(1)知，2a + 3b > 2/6Tab > 473.由于45>6,從而不存在 a, b,使得2a+3b= 6.4. (2013新課標(biāo)全國卷n )設(shè)a, b, c均為正數(shù)，且 a+b+c= 1.證明:1(1) ab+ bc+ ac< 2;3 b2+ J. b c a證明：(1)由 a2+b2>2a

49、b, b2 + c2>2bc, c2+ a2>2ca, 得 a2+ b2+ c2>ab+ bc+ ca, 一 . .1 一 .一當(dāng)且僅當(dāng)a=b= c=1時取等號.由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+ 2ca= 1.所以 3(ab+ bc+ ca)< 1,即 ab+ bc+ ca< 1.32 .22一 ,a .4 b - c -(2)因為 b+b>2a,+ c>2b, a+a>2c,2.22上，a b c故二十一十一十(a+ b+ c)丁 2(a+ b+c), b c ab2 c2、-1->a+ b+ c, c

50、 a，一 .，1 ，一，一當(dāng)且僅當(dāng)a=b= c= 1時取等號.3所以 a2'+，+c2>i. b c a課時達標(biāo)檢測 基礎(chǔ)送分題 一一高考就考那幾點，練通就能把分撿1 .已知函數(shù)f(x)=|x+3|+|x-1|,其最小值為 t求t的值；1 4 9(2)右正頭數(shù)a, b滿足a+b=t,求證：a+6>4.解：(1)因為 |x+ 3|+|x-1|=|x+3|+|1-x|>|x+3+1-x| = 4,所以 f(x)min= 4,即 t= 4.- ab1414 a , b 1 b a 5*4 a b 4.(2)證明：由(1)得 a+b=4,故4+4=1, a+b= q+b，q+

51、4/=z+1+篇+g>4+ 2、/4*3= 5+1 =9，當(dāng)且僅當(dāng)b= 2a,即a=4, b="8時取等號，故；4a b 44332 .設(shè)不等式一2<|x1|x+2|<0 的解集為 M, a, bC M.11.1證明：&a+6b <4;(2)比較|1 4ab|與2|ab|的大小，并說明理由.3, x< -2,解：(1)證明：記 f(x)=|x-1|-|x+2|= i-2x-1, - 2<x<1, -3, x R 1.由一2< 一2x1<0 解得一1<x<1， 22則 m= L12 j111111111所以3a+

52、6b4間+6同<2+6'=4.(2)由(1)得 a2< b2<；.因為 |1 一 4ab12 4|a b=(1 8ab+16a2b?) 4(a? 2ab+ bj = (4a? 1)(4 b?1)>0.所以 |1 -4ab|2>4|a-b|2,故 |1-4ab|>2|a-b|. *3 .(2017廣州*II擬)已知定義在 R上的函數(shù)f(x)=|x-m|+ |x|,m N，存在實數(shù)x使f(x)<2 成立.(1)求實數(shù)m的值；(2)若“，專 1, f(a)+f(3)=4,求證：4+：> 3.解：(1)因為 |x m|+ |x|>|(x-m

53、)-x|= |m|.要使不等式|xm|十|x|<2有解,則|m|<2,解得一2<m<2.因為mC N*,所以m = 1.(2)因為 a, 1, f(x)=2x-1(x>1),所以 f( a) + f( 9=2a 1 + 2 3- 1 = 4,即 a+ 3= 3,4 1 14 1所以一+下=三一十7("+ 3) a 3 3 1a 6 /同15+2后1t3.(當(dāng)且僅當(dāng)"=(，即"=2, 3= 1時等號成立),a p故 4+ ->3.a 34 . (1)已知 a, b 都是正數(shù)，且 aw b,求證：a3+b3>a2b+ab2;a

54、2b2 + b2c2+c2a2(2)已知a, b, c都是正數(shù)，求證： ->abc.a b+ c證明：(1)(a3+ b3)- (a2b+ ab2)= (a+ b)(a- b)2.因為a, b都是正數(shù)，所以a+ b>0.又因為awb,所以(a- b)2>0.于是(a + b)(a b)2>0,即(a3+b3)(a2b+ ab2)>0,所以 a3+b3>a2b+ ab2.(2)因為 b2+c2>2bc, a2>0,所以 a2(b2+c2)>2a2bc.同理，b2(a2+ c2) > 2ab2c. c2(a2+b2)A2abc2.c2a2

55、>abc(a相加得 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)>2a2bc+ 2ab2c+ 2abc2,從而 a2b2+ b2c2+ + b+ c).由a, b, c都是正數(shù)，得a+b+c>0,a2b2 + b2c2+c2a2因此> abc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b= c時取等號).a+ b+ c5 .已知 x, yCR,且 |x|<1, |y|<1.求證：”+入>廠2-.1 x 1 y 1 xy證明:2 v 1 - x 當(dāng)且僅當(dāng)a=b= c= 1時等號成立. +1 - y21121 _ x2 + 1 _ y2y±£ L 乞風(fēng) 1. |xy|

56、,2、2：；-，1 |xy| 1 xy，原不等式成立.6. (2017長沙卞II擬)設(shè) & 丫均為實數(shù).證明:|cos(a+ 3)|w |cos o|+ |sin 6,|sin(a+ 3)|w |cos o|+ |cos 6;若 a+ 3+尸 0,證明：|cos o|+ |cos H+ |cos |> 1.證明:(1)|cos(a+ 3)|= |cos acossin osin 產(chǎn) |cos ocos 日+ |sin osin 產(chǎn) |cos o|+ |sin 露|sin( a+ 3)|= |sin acos 3+ cos osin gw |sin o(cos .十 |cos as

57、in gw |cos(x|+ |cos g.(2)由(1)知,|cosa+ (葉圳W|cos C+|sin( 3+ »|w |cos a|+ |cos (十|cos d，而 a+ 葉產(chǎn) 0,故 |cos a|+ |cos 日十|cos 仔 cos 0= 1.7. (2017 重慶模擬)設(shè) a, b, cCR 且 a+b+c=1.c2 1求證：(1)2ab+bc+ ca+ y< 2;a2+c2丁b2+a2 c2+b2+> 2.a2+c2b2+a2c2+b2b 十 c + a身卻陪卻第1S=ag+*b/少所以ca +2a+2b+ 2c=2,證明：(1)因為 1= (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2caR 4ab+2bc+2ca+c2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，2所以 2ab+ bc+ ca+ 2= 2(4ab+ 2bc+ 2ca+ c2)< ±.a2+c2 2ac b2+a2 2ab c2 + b2 2bc(2)因為 b b c