（整理版）　二項分布及其應用

1、67二項分布及其應用n次獨立重復試驗的模型及二項分布.3.能解決一些簡單的實際問題自主梳理1條件概率及其性質(zhì)(1)設a，b為兩個事件，且p(a)>0，稱p(b|a)為在事件a發(fā)生的條件下，事件b發(fā)生的條件概率(2)條件概率具有的性質(zhì)：_；如果b和c是兩個互斥事件，那么p(bc|a)_.2相互獨立事件(1)設a，b為兩個事件，假設p(ab)p(a)p(b)，那么稱事件a與事件b_.(2)假設a與b相互獨立，那么p(b|a)_，p(ab)_.(3)假設a與b相互獨立，那么_，_，_也都相互獨立(4)假設p(ab)p(a)p(b)，那么_3二項分布(1)獨立重復試驗是指在相同條件下可重復進行的

2、，各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的(2)在n次獨立重復試驗中，用x表示事件a發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件a發(fā)生的概率為p，那么p(xk)cpk(1p)nk，k0,1,2，n.此時稱隨機變量x服從二項分布記作_自我檢測1兩人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為，那么密碼被譯出的概率為()a0.45 b0.05 c0.4 2(·三明月考)一學生通過一種英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試兩次，那么其中恰有一次通過的概率是()a. b. c. d.3隨機變量x服從二項分布xb，那么p(x2)等于(

3、)a. b. c. d.4p(ab)，p(a)，那么p(b|a)等于()a. b. c. d.5(·臨沂調(diào)研)一次測量中出現(xiàn)正誤差和負誤差的概率都是，在5次測量中至少3次出現(xiàn)正誤差的概率是()a. b. c. d.探究點一條件概率例1在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件試求：(1)第一次取到不合格品的概率； (2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率變式遷移11號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球，問：(1)從1號箱中取出的是紅球的條件下，從2

4、號箱取出紅球的概率是多少？(2)從2號箱取出紅球的概率是多少？探究點二相互獨立事件例2(·寧波模擬)甲、乙兩名射擊運發(fā)動，分別對一目標射擊一次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，求(1)兩人都射中的概率；(2)兩人中恰有一人射中的概率；(3)兩人中至少一人射中的概率；(4)兩人中至多一人射中的概率變式遷移2甲、乙、丙三人分別獨立做一道題，甲做對的概率是，三人都做對的概率是，三人全做錯的概率是.(1)求乙、丙兩人各自做對這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三人恰有一人做對這道題的概率探究點三獨立重復試驗與二項分布例3(·天津漢沽一中月考)將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴缦聢D的

5、容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣?，小球在下落過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入a袋或b袋中，小球每次遇到黑色障礙物時向左、右兩邊下落的概率都是.(1)求小球落入a袋中的概率p(a)；(2)在容器入口處依次放入4個小球，記為落入a袋中小球的個數(shù)，試求3的概率變式遷移3粒子a位于數(shù)軸x0處，粒子b位于數(shù)軸x2處，這兩顆粒子每隔1秒鐘向左或向右移動一個，設向右移動的概率為，向左移動的概率為.(1)求4秒后，粒子a在點x2處的概率；(2)求2秒后，粒子a、b同時在x2處的概率1一般地，每一個隨機試驗都在一定的條件下進行，而這里所說的條件概率，那么是當試驗結(jié)果的一局部信息(即在原隨機試驗的根底上，

6、再加上一定的條件)，求另一事件在此條件下發(fā)生的概率求條件概率，必須理解條件概率的定義及公式，公式中的p(ab)是指事件a、b同時發(fā)生的概率2一般地，事件a是否發(fā)生對事件b發(fā)生的概率沒有影響，即p(b|a)p(b)，這時，我們稱兩個事件a、b相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件事件的獨立是一種對等的性質(zhì)如果事件a對事件b獨立，那么就可以說事件a與b相互獨立顯然，必然事件與任何事件是相互獨立的3獨立重復試驗：假設n次重復試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果，那么稱這n次試驗是獨立的4獨立重復試驗概率公式的特點：關于pn(k)cpk(1p)nk，它是n次獨立重復試驗中某事件a恰

7、好發(fā)生k次的概率其中，n是重復試驗次數(shù)，p是一次試驗中某事件a發(fā)生的概率，k是在n次獨立試驗中事件a恰好發(fā)生的次數(shù)，需要弄清公式中n、p、k的意義，才能正確運用公式(總分值：75分)一、選擇題(每題5分，共25分)1(·湖北)投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上為事件a，“骰子向上的點數(shù)是3”為事件b，那么事件a，b中至少有一件發(fā)生的概率是()a. b.c. d.2(·溫州月考)位于坐標原點的一個質(zhì)點p按以下規(guī)那么移動：質(zhì)點每次移動一個；移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是.質(zhì)點p移動五次后位于點(2,3)的概率是()a.5 bc5cc3

8、dcc53設每門高射炮擊中飛機的概率為0.6，今有一架飛機來犯，問需要幾門高射炮射擊，才能至少以99%的概率擊中它()a3 b4 c5 d64(·合肥模擬)一個電路如下圖，a、b、c、d、e、f為6個開關，其閉合的概率都是，且是相互獨立的，那么燈亮的概率是()a. b.c. d.5同時拋擲三顆骰子：設a“三個點數(shù)都不相同，b“至少有一個6點，那么p(b|a)為()a. b.c. d.二、填空題(每題4分，共12分)6(·湖北)一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9，那么服用這種新藥的4個病人中至少3人被治愈的概率為_(用數(shù)字作答)7(·重慶)加工某一零件需經(jīng)過

9、三道工序，設第一、二、三道工序的次品率分別為、，且各道工序互不影響，那么加工出來的零件的次品率為_8(·福建)某次知識競賽規(guī)那么如下：在主辦方預設的5個問題中，選手假設能連續(xù)正確答復出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪假設某選手正確答復每個問題的概率都是0.8，且每個問題的答復結(jié)果相互獨立，那么該選手恰好答復了4個問題就晉級下一輪的概率等于_三、解答題(共38分).求：(1)這名學生在途中遇到紅燈次數(shù)的分布列；(2)這名學生首次遇到紅燈或到達目的地而停車時所經(jīng)過了的路口數(shù)的分布列；(3)這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率10(12分)(·六安模擬)設b和c分別是先后拋擲一枚

10、骰子得到的點數(shù)，用隨機變量表示方程x2bxc0實根的個數(shù)(重根按一個計)(1)求方程x2bxc0有實根的概率；(2)求的分布列；(3)求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x2bxc0有實根的概率11(14分)甲、乙兩個乒乓球選手進行比賽，他們的水平相當，規(guī)定“七局四勝，即先贏四局者勝，假設甲先贏了前兩局，求：(1)乙取勝的概率；(2)比賽打滿七局的概率；(3)設比賽局數(shù)為，求的分布列67二項分布及其應用自主梳理1(2)0p(b|a)1p(b|a)p(c|a)2.(1)相互獨立(2)p(b)p(b|a)p(a)p(a)p(b)(3)a與與b與(4)a與b相互獨立3.(2)xb(n，p)自我

11、檢測1c2.c3.d4.b5.d課堂活動區(qū)例1解題導引求條件概率的通常方法是利用條件概率公式p(b|a).這就需要求p(ab)和p(a)如果事件具有等可能特點，還可以看作是根本領件空間改變后的古典概型，利用p(b|a)來計算解設a第一次取到不合格品，b第二次取到不合格品(1)p(a).(2)方法一根據(jù)條件概率的定義計算，需要先求出事件ab的概率：p(ab)×，所以有p(b|a).方法二事件a發(fā)生的條件下，事件空間包含的根本領件個數(shù)為na100199個事件a發(fā)生的條件下，事件b包含4個根本領件p(b|a).變式遷移1解記事件a：最后從2號箱中取出的是紅球；事件b：從1號箱中取出的是紅球

12、那么p(b)，p()1p(b)，(1)p(a|b).(2)p(a|)，p(a)p(ab)p(a)p(a|b)p(b)p(a|)p()××.(2)復雜事件的概率拆分為幾個互斥事件的和事件，然后利用互斥事件的概率加法公式進行求解(3)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有：利用相互獨立事件的概率乘法公式；正面計數(shù)較繁或難以入手時，可以從對立事件入手計算解(1)記事件a：甲射中目標；事件b：乙射中目標兩人都射中的概率為p(ab)p(a)p(b)0.8×0.90.72.(2)兩人中恰有一人射中包括“甲中乙不中、“甲不中乙中兩種情況，其對應事件為互斥事件，那么p(a)p(

13、b)p(a)p()p()p(b)0.080.180.26.(3)方法一兩人至少有一人射中包括“兩人都射中和“兩人有一人射中兩種情況，其概率為p(ab)p(b)p(a)p(a)p(b)p()p(b)p(a)p()0.720.260.98.方法二因為“兩人至少有一人射中與“兩人都未射中互為對立事件所以“兩人至少有一人射中的概率為：1p( )1p()p()10.2×0.10.98.(4)方法一至多有一人射中包括“有一人射中和“兩人都未射中，故所求概率為p( )p(a)p(b)p()p()p(a)p()p()p(b)0.020.080.180.28.方法二“至多有一人射中的對立事件為“兩人都

14、射中，故所求概率為1p(ab)1p(a)p(b)10.720.28.變式遷移2解(1)設甲、乙、丙三人各自做對這道題分別為事件a、b、c，那么p(a)，由題意得，解得p(b)，p(c)或p(b)，p(c)，所以乙、丙兩人各自做對這道題的概率為和或和.(2)設“甲、乙、丙三人恰有一人做對這道題為事件d，那么p(d)p(a)p()p()p()p(b)p()p()p()p(c)，所以甲、乙、丙三人恰有一人做對這道題的概率是.例3解題導引因為小球每次遇到黑色障礙物相互獨立，且每次向左(或向右)的概率都是，因此該試驗屬n次獨立重復試驗注意n3，p.獨立重復試驗，是在同樣的條件下重復地、各次之間相互獨立地

15、進行的一種試驗在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的解(1)方法一記小球落入b袋中的概率p(b)，那么p(a)p(b)1，由于小球每次遇到黑色障礙物時一直向左或者一直向右下落，小球?qū)⒙淙隻袋，所以p(b)33，p(a)1.方法二由于小球每次遇到黑色障礙物時，有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時小球?qū)⒙淙隺袋p(a)c3c3.(2)由題意，b.p(3)c31.變式遷移3解(1)要求4秒后，粒子a在x2處的概率，即求粒子a四次移動中恰有三次向右移動發(fā)生的概率：c()3().(2)要使粒子a、b在2秒后同時在點x2處，粒子

16、a一定要往右移動2次，而粒子b往右和左各一次，所求概率為：2·c.課后練習區(qū)60.947 77.9解(1)由b，分布列為p(k)ck6k，k0,1,2,3，6.(2分)所以的分布列為0123456p(4分)(2)k表示這名學生首次停車時經(jīng)過的路口數(shù)，即在前k個路口沒有遇上紅燈，但在第k1個路口遇上紅燈，那么的取值可能為0,1,2,3,4,5,6，其中6表示路上沒有遇上紅燈當0k5時，p(k)·k；當k6時，p(6)6.(9分)所以的分布列為0123456p··()2·()3·()4·()5()6(10分)(3)這名學生在途中

17、至少遇到一次紅燈的事件概率為p(1)1p(0)1()6.(12分)10解(1)根本領件總數(shù)為6×636，假設使方程有實根，那么b24c0，即b2.當c1時，b2,3,4,5,6；當c2時，b3,4,5,6；當c3時，b4,5,6；當c4時，b4,5,6；當c5時，b5,6；當c6時，b5,6，所求事件個數(shù)為54332219，因此方程x2bxc0有實根的概率為.(4分)(2)由題意知，0,1,2，那么p(0)，p(1)，p(2)，故的分布列為012p(8分)(3)記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件m，“方程x2bxc0有實根為事件n，那么p(m)，p(mn)，p(n|m).(12分)11解(1)當甲先贏了