（整理版）　直接證明與間接證明2

1、38直接證明與間接證明導(dǎo)學(xué)目標： 1.了解直接證明的兩種根本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程及特點.2.了解間接證明的一種根本方法反證法，了解反證法的思考過程及特點自主梳理1直接證明(1)綜合法定義：利用條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的_，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論_，這種證明方法叫做綜合法框圖表示：(其中p表示條件，q表示要證的結(jié)論)(2)分析法定義：從_出發(fā)，逐步尋求使它成立的_，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(條件、定理、定義、公理等)這種證明的方法叫做分析法框圖表示：.2間接證明自我檢測1分析法是從要證的結(jié)論出發(fā)，尋求使它成立的()a充

2、分條件 b必要條件c充要條件 d既不充分又不必要條件2(·揭陽模擬)用反證法證明“如果a>b，那么>的假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是()a. b.<c.且< d.或<3設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，那么以下不等式中不恒成立的是()a|ac|ab|cb|ba2ac.<d|ab|24(·廣東)在集合a，b，c，d上定義兩種運算和如下：那么d(ac)等于()aa bb cc dd5(·東北三省四市聯(lián)考)設(shè)x、y、zr，ax，by，cz，那么a、b、c三數(shù)()a至少有一個不大于2 b都小于2c至少有一個不小于2 d都大于2探究點一綜合法例1a，b，c都是

3、實數(shù)，求證：a2b2c2(abc)2abbcca.變式遷移1設(shè)a，b，c>0，證明：abc.探究點二分析法例2(·馬鞍山月考)假設(shè)a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：lg lg lg >lg alg blg c.變式遷移2a>0，求證： a2.探究點三反證法例3假設(shè)x，y都是正實數(shù)，且xy>2，求證：<2與<2中至少有一個成立變式遷移3假設(shè)a，b，c均為實數(shù)，且ax22y，by22z，cz22x.求證：a，b，c中至少有一個大于0.轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(12分)(·上海改編)假設(shè)實數(shù)x、y、m滿足|xm|ym|，那么稱x比y遠離m.(1)

4、假設(shè)x21比1遠離0，求x的取值范圍(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3b3比a2bab2遠離2ab.(2)第(2)小題，實質(zhì)是證明不等式|a3b32ab|>|a2bab22ab|成立證明時注意提取公因式及配方法的運用【答題模板】(1)解由題意得1，即x211或x211.2分由x211，得x22，即x或x；由x211，得x.綜上可知x的取值范圍為(，)(，)4分(2)證明由題意知即證成立6分ab，且a、b都為正數(shù)，(ab)2，ab()2(ab)2，8分即證(ab)2(ab)20，即證(abab)(abab)0，需證0，10分即證(ab)(ab)20，a、b都為正數(shù)且ab，【突破

5、思維障礙】1準確理解題意，提煉出相應(yīng)不等式是解決問題的關(guān)鍵2代數(shù)式|a3b32ab|與|a2bab22ab|中的絕對值符號去掉為后續(xù)等價變形提供了方便【易錯點剖析】1推理論證能力較差，絕對值符號不會去2運用能力較差，不能有效地進行式子的等價變形或中間變形出錯1綜合法是從條件推導(dǎo)到結(jié)論的思維方法，它是從條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的推理，最后到達待證的結(jié)論即由因?qū)Ч?分析法是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的充分條件，最后到達題設(shè)的條件或已被證明的事實即執(zhí)果索因，用分析法尋找解題思路，再用綜合法書寫，這樣比擬有條理，叫分析綜合法3用反證法證明問題的一般步驟：(2)歸謬：將“反設(shè)作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過

6、正確的推理，導(dǎo)出矛盾與條件、的公理、定義、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾；(推導(dǎo)矛盾)(3)結(jié)論：因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)的謬誤既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立(結(jié)論成立)(總分值：75分)一、選擇題(每題5分，共25分)ax2bxc0 (a0)有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)時，以下假設(shè)中正確的選項是()a假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)b假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)c假設(shè)a、b、c至多有一個偶數(shù)d假設(shè)a、b、c至多有兩個偶數(shù)2(·濟南模擬)a，b，c為互不相等的正數(shù)，且a2c22bc，那么以下關(guān)系中可能成立的是()aa>b>c bb>c&

7、gt;acb>a>c da>c>b3設(shè)a、b、c(0，)，pabc，qbca，rcab，那么“pqr>0”是“p、q、r同時大于零的()a充分而不必要條件 b必要而不充分條件c充分且必要條件 d既不充分也不必要條件4(·上海普陀2月統(tǒng)考)a、b是非零實數(shù)，且a>b，那么以下不等式中成立的是()a.<1 ba2>b2c|ab|>|ab| d.>5(·廈門月考)如果a1b1c1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于a2b2c2的三個內(nèi)角的正弦值，那么()aa1b1c1和a2b2c2都是銳角三角形ba1b1c1和a2b2c2都是鈍角

8、三角形ca1b1c1是鈍角三角形，a2b2c2是銳角三角形da1b1c1是銳角三角形，a2b2c2是鈍角三角形二、填空題(每題4分，共12分)f(x)在0,1上有意義，且f(0)f(1)，如果對于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|<|x1x2|，求證：|f(x1)f(x2)|<.那么他的反設(shè)應(yīng)該是_7對于任意實數(shù)a，b定義運算a*b(a1)(b1)1，給出以下結(jié)論：對于任意實數(shù)a，b，c，有a*(bc)(a*b)(a*c)；對于任意實數(shù)a，b，c，有a*(b*c)(a*b)*c；對于任意實數(shù)a，有a*0a.那么以上結(jié)論正確的選項是_(寫出你認為正確的結(jié)論的所有序號

9、)8(·揭陽模擬)三棱錐sabcbc平面sac；平面sbc平面sab；sbac.三、解答題(共38分)9(12分)非零向量a、b，ab，求證：.10(12分)(·寧波月考)a、b、c>0，求證：a3b3c3(a2b2c2)(abc)11(14分)(·寧波月考)a、b、c(0,1)，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同時大于.38直接證明與間接證明自主梳理1(1)推理論證成立(2)要證明的結(jié)論充分條件2不成立矛盾自我檢測1a由分析法的定義可知2d因為>的否認是，即或<.3dd選項成立時需得證ab>0.a中|ab|cb|(ab)(cb

10、)|ac|，b作差可證；c移項平方可證4a由所給的定義運算知acc，dca.5cabcxyz6，因此a、b、c至少有一個不小于2.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引綜合法證明不等式，要特別注意根本不等式的運用和對題設(shè)條件的運用這里可從根本不等式相加的角度先證得a2b2c2abbcca成立，再進一步得出結(jié)論證明a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，三式相加得a2b2c2abbcca，3a23b23c2(a2b2c2)2(abbcca)(abc)2.a2b2c2(abc)2；a2b2c2abbcca，a2b2c22(abbcca)abbcca2(abbcca)，(abc)23(abbcca)變式遷移

11、1證明a，b，c>0，根據(jù)根本不等式，有b2a，c2b，a2c.三式相加：abc2(abc)即abc.例2解題導(dǎo)引當所給的條件簡單，而所證的結(jié)論復(fù)雜，一般采用分析法含有根號、對數(shù)符號、絕對值的不等式，假設(shè)從題設(shè)不易推導(dǎo)時，可以考慮分析法證明要證lglglg>lg alg blg c，只需證lg>lg(a·b·c)，只需證··>abc.(中間結(jié)果)因為a，b，c是不全相等的正數(shù)，那么>0，>0，>0.且上述三式中的等號不全成立，所以··>abc.(中間結(jié)果)所以lglglg>lg a

12、lg blg c.變式遷移2證明要證 a2，只要證 2a.a>0，故只要證 22，即a24 4a2222，從而只要證2，只要證42，即a22，而該不等式顯然成立，故原不等式成立與條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器(2)利用反證法證明問題時，要注意與之矛盾的定理不能是用此題的結(jié)論證明的定理，否那么，將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯誤證明假設(shè)<2和<2都不成立，那么有2和2同時成立，因為x>0且y>0，所以1x2y，且1y2x，兩式相加，得2xy2x2y，所以xy2，這與條件xy>

13、;2相矛盾，因此<2與<2中至少有一個成立變式遷移3證明假設(shè)a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0.ax22y，by22z，cz22x，x22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)2(3)0，又(x1)2(y1)2(z1)20，3>0，(x1)2(y1)2(z1)2(3)>0.式與式矛盾，假設(shè)不成立，即a，b，c中至少有一個大于0.課后練習(xí)區(qū)1b2c由a2c2>2ac2bc>2acb>a，可排除a、d，令a2，c1，可得b，可知c可能成立3c必要性是顯然成立的，當pqr>0時，假設(shè)p、q、r不同時大于零，那么其中兩個為負，一個為正，不妨

14、設(shè)p>0，q<0，r<0，那么qr2c<0，這與c>0矛盾，即充分性也成立4d<1<0a(ab)>0.a>b，aba可能大于0，也可能小于0，因此a(ab)>0不一定成立，即a不一定成立；a2>b2(ab)(ab)>0，ab>0，只有當ab>0時，a2>b2成立，故b不一定成立；|ab|>|ab|(ab)2>(ab)2ab>0，而ab<0也有可能，故c不一定成立；由于>>0(ab)a2b2>0.a，b非零，a>b，上式一定成立，因此只有d正確5d由條件知，a

15、1b1c1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，那么a1b1c1是銳角三角形，假設(shè)a2b2c2是銳角三角形，由得那么，a2b2c2，這與三角形內(nèi)角和為相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以a2b2c2是鈍角三角形6“x1，x20,1，使得|f(x1)f(x2)|<|x1x2|，那么|f(x1)f(x2)|7解析按新定義，可以驗證a*(bc)(a*b)(a*c)；所以不成立；而a*(b*c)(a*b)*c成立，a*0(a1)(01)1a.所以正確的結(jié)論是.8解析由三視圖知，在三棱錐sabc中，底面abc為直角三角形且acb90°，即bcac，又sa底面abc，bcsa，由于saaca，bc平面sac

16、.正確由推證不出.9證明ab，a·b0.(2分)要證，只需證：|a|b|ab|，(4分)平方得：|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22a·b)，(8分)只需證：|a|2|b|22|a|b|0，(10分)即(|a|b|)20，顯然成立故原不等式得證. (12分)10證明a2b22ab，a、b、c>0，(a2b2)(ab)2ab(ab)，(3分)a3b3a2bab22ab(ab)2a2b2ab2，a3b3a2bab2.(6分)同理，b3c3b2cbc2，a3c3a2cac2，將三式相加得，2(a3b3c3)a2bab2b2cbc2a2cac2.(9分)3(a3b3c3)(a3a2ba2c)(b3b2ab2c)(c3c2ac2b)(abc)(a2b2