大學(xué)物理機(jī)械振動(dòng)課件

1、 8.1 8.1 簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng) 8.2 8.2 簡諧振動(dòng)的合成簡諧振動(dòng)的合成 8.3 8.3 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振* *8.4 8.4 振動(dòng)的分解振動(dòng)的分解* *8.5 8.5 非線性振動(dòng)簡介非線性振動(dòng)簡介廣義振動(dòng)廣義振動(dòng)：任一物理量：任一物理量( (如位移、電流等如位移、電流等) )在某一在某一 數(shù)值附近反復(fù)變化。數(shù)值附近反復(fù)變化。 振動(dòng)分類振動(dòng)分類非線性振動(dòng)非線性振動(dòng)線性振動(dòng)線性振動(dòng)受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)：物體在其平衡位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。：物體在其平衡位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。8-1 簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)最簡單最基本的線性振動(dòng)。最簡單

2、最基本的線性振動(dòng)。簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)：一個(gè)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體，如果其偏離：一個(gè)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體，如果其偏離平衡位置的位移平衡位置的位移x（或角位移或角位移 ）隨時(shí)間）隨時(shí)間t按余弦按余弦（或正弦）規(guī)律變化的振動(dòng)。（或正弦）規(guī)律變化的振動(dòng)。)tcos(Ax0 一、簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程一、簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程彈簧振子彈簧振子：彈簧：彈簧物體系統(tǒng)物體系統(tǒng) 平衡位置：平衡位置：彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置輕輕彈簧彈簧質(zhì)量忽略不計(jì)，形變滿足胡克定律質(zhì)量忽略不計(jì)，形變滿足胡克定律 物體物體可看作質(zhì)點(diǎn)可看作質(zhì)點(diǎn) kxOmkxF 22dtxdmkx mk 2 簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)微分方程微分方

3、程0222 xdtxd 其通解為：其通解為：)tcos(Ax0 簡諧振動(dòng)的微分方程簡諧振動(dòng)的微分方程簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程)tsin()tcos(200 20 )sin( tAx0222 xdtxd 二、二、描述簡諧振動(dòng)的特征量描述簡諧振動(dòng)的特征量)tcos(Ax0 1 1、振幅、振幅 A 簡諧振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位簡諧振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對(duì)值。移（或角位移）的絕對(duì)值。)tsin(Av0 000vv ,xx,t 初始條件初始條件00 cosAx 00 sinAv 2020)v(xA 000tanx 頻率頻率 單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)

4、的次數(shù)。2、周期周期 、頻率、角（圓）頻率頻率、角（圓）頻率對(duì)彈簧振子對(duì)彈簧振子 21 T角頻率角頻率 22 TkmT 2 mk 21 mk 固有周期、固有頻率、固有角頻率固有周期、固有頻率、固有角頻率周期周期T 物體完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間。物體完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間。 00 )Tt(cosA)tcos(A 2 T)sin(0 tA 0 是是t =0時(shí)刻的位相時(shí)刻的位相初位相初位相3、位相和初位相位相和初位相)tcos(Ax0 位相，決定諧振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)位相，決定諧振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)0 t位相差位相差 兩振動(dòng)位相之差。兩振動(dòng)位相之差。12 當(dāng)當(dāng)=2k ,k=0,1,2,兩振動(dòng)步調(diào)相同兩振動(dòng)

5、步調(diào)相同, ,稱稱同相同相當(dāng)當(dāng) = (2k+1) , k=0,1,2.兩振動(dòng)步調(diào)相反兩振動(dòng)步調(diào)相反, ,稱稱反相反相 0 2 超前于超前于 1 或或 1滯后于滯后于 2 位相差反映了兩個(gè)振動(dòng)不同程度的參差錯(cuò)落位相差反映了兩個(gè)振動(dòng)不同程度的參差錯(cuò)落 三、簡諧振動(dòng)的三、簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法 0t = 0Ax t+ 0t = tA)tcos(Ax0 oX用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相)tcos(a)tcos(Aam 002)tcos(Ax0 )2cos()sin(00 ttAm諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系

6、諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系toTa xax, T/4T/4 )2cos( tmx)2cos( tA)cos( taamx)cos(2 tA由圖可見：由圖可見：2 超超前前a2 x超超前前x t+ o Am ma 090090單擺單擺0222 dtd結(jié)論結(jié)論：單擺的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。單擺的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。角頻率角頻率, ,振動(dòng)的周期分別為：振動(dòng)的周期分別為：glTlg 220 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) sin sinmglM 四、簡諧振動(dòng)的實(shí)例四、簡諧振動(dòng)的實(shí)例gmfTCO mgldtdml 22擺球?qū)[球?qū)點(diǎn)的力矩點(diǎn)的力矩 mglM l/g 2 復(fù)擺復(fù)擺：繞不過質(zhì)心的水平固

7、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體：繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體0222 dtd結(jié)論結(jié)論：復(fù)擺的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。復(fù)擺的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。 sin當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)gmhCO22dtdJmgh Jmgh 2 解以鉛直線解以鉛直線OO為參考軸線，當(dāng)桿為參考軸線，當(dāng)桿在某一時(shí)刻處于角坐標(biāo)在某一時(shí)刻處于角坐標(biāo)(很小很小)處時(shí)，處時(shí)，重力重力mg對(duì)對(duì)O軸的力矩為軸的力矩為1sin22lMmgmgl 例例8-3如圖如圖8-7所示，長為所示，長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均質(zhì)細(xì)桿一端懸掛在水平軸的均質(zhì)細(xì)桿一端懸掛在水平軸O上，桿上，桿可在豎直面內(nèi)自由擺動(dòng)，當(dāng)擺幅很小時(shí)，可在豎直面內(nèi)自由擺動(dòng)，當(dāng)擺幅很小時(shí)，證明桿的運(yùn)動(dòng)

8、為簡諧振動(dòng)，并求其周期證明桿的運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)，并求其周期. 式中負(fù)號(hào)表示力矩與角坐標(biāo)反向式中負(fù)號(hào)表示力矩與角坐標(biāo)反向.22mglJ22222ddmglMJdtdtJ 若令若令 ，則上式可改寫為，則上式可改寫為2220ddt 因此，當(dāng)桿在豎直面內(nèi)作小角度擺動(dòng)時(shí)，桿的運(yùn)動(dòng)因此，當(dāng)桿在豎直面內(nèi)作小角度擺動(dòng)時(shí)，桿的運(yùn)動(dòng)是簡諧振動(dòng)，其周期為是簡諧振動(dòng)，其周期為222JTmgl2223lTg213Jml以彈簧振子為例以彈簧振子為例諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的系統(tǒng)的動(dòng)能動(dòng)能Ek+系統(tǒng)的系統(tǒng)的勢(shì)能勢(shì)能Ep某一時(shí)刻，諧振子速度為某一時(shí)刻，諧振子速度為v，位移為位移為x)sin(0 tA)tcos(A

9、x0 221 mEk )t(sinkA02221 221kxEp )t(coskA02221 諧振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能是時(shí)間的周期性函數(shù)諧振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能是時(shí)間的周期性函數(shù)五五 簡諧振動(dòng)的能量簡諧振動(dòng)的能量動(dòng)動(dòng)能能221 mEk )t(sinkA02221 勢(shì)勢(shì)能能221kxEp )t(coskA02221 情況同動(dòng)能。情況同動(dòng)能。pppEEE,minmax0min kE2max21kAEk 機(jī)械能機(jī)械能221kAEEEpk 簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒xtTEEpoEtEk由起始能量求振幅由起始能量求振幅kEkEA022 221kAE 一、同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻

10、率諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)是簡諧振動(dòng)合振動(dòng)是簡諧振動(dòng), , 其頻率仍為其頻率仍為 )cos(212212221 AAAAA112201122sinsintancoscosAAAA)cos()(111 tAtx)cos()(222 tAtx)cos(21 tAxxxx質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與同方向同頻率質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與同方向同頻率的諧振動(dòng)的諧振動(dòng) : :合振動(dòng)合振動(dòng) : :8-2 簡諧振動(dòng)的合成簡諧振動(dòng)的合成2A1AA1 2 1x2xx1M2MM如如 A1=A2 , , 則則 A=0, 2 , 1 , 0212 kk 兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)21AAA , 2 , 1 , 0)12(12 kk 兩分振動(dòng)相互減

11、弱兩分振動(dòng)相互減弱21AAA 分析分析若兩分振動(dòng)同相：若兩分振動(dòng)同相：若兩分振動(dòng)反相若兩分振動(dòng)反相: :)cos(212212221 AAAAA例例8-5已知兩個(gè)同方向同頻率簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方已知兩個(gè)同方向同頻率簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程分別為程分別為1230.05cos(10)()510.06cos(10)()5xtmxtm(1) 求其合振動(dòng)的振幅及初相位；求其合振動(dòng)的振幅及初相位；(2) 設(shè)另一同方向同頻率簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為設(shè)另一同方向同頻率簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為 ，問，問 為何值時(shí)為何值時(shí)x1x3的振的振幅最大？幅最大？ 為何值時(shí)為何值時(shí)x1x3的振幅最?。康恼穹钚。?30.07 cos(10)

12、 ()xtm33解解(1) 由題意知由題意知 將上述各值代入將上述各值代入(8-12)式，得合振動(dòng)的振幅式，得合振動(dòng)的振幅1122310.05 ,0.06,55AmAm221212212222cos()20.050.0620.050.06cos()58.92 10()AAAA Am合振動(dòng)的初相位為合振動(dòng)的初相位為 11221122sinsinarctancoscos30.05sin0.06sin55arctan30.05cos0.06cos55681224812AAAA或24812位于第三象限不合題意，故知合振動(dòng)的初位于第三象限不合題意，故知合振動(dòng)的初相位相位6812. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，(x1x

13、3)的振幅最的振幅最大，得大，得 313325k 332(0,1,2,)5kk當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，(x2x3)的振的振幅最大，得幅最大，得 3131(21)5k 3(21)(0,1,2,)5kk合振動(dòng)不是簡諧振動(dòng)合振動(dòng)不是簡諧振動(dòng)式中式中tAtA22cos2)(12 隨隨t 緩變緩變tt22cos2cos12 隨隨t 快變快變合振動(dòng)可看作振幅緩變的簡諧振動(dòng)合振動(dòng)可看作振幅緩變的簡諧振動(dòng)二二. . 同方向不同頻率簡諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率簡諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)分振動(dòng)tAtAx1112coscos tAtAx2222coscos 合振動(dòng)合振動(dòng)ttAx22cos22cos21212 21xxx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)

14、, ,ttAx 2cos)( 則則：1212 12 拍拍 合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象拍頻拍頻 : : 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù) =| 2- 1| xt tx2t tx1t t12 拍拍122 T或或：三、兩個(gè)相互垂直的簡諧振動(dòng)的合成：同頻率三、兩個(gè)相互垂直的簡諧振動(dòng)的合成：同頻率合振動(dòng)合振動(dòng))(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx分振動(dòng)分振動(dòng))cos(11 tAx)cos(22 tAy0(1)12 0221 )AyAx(xAAy12 合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且在第一、第三象限內(nèi)的直線在第一、第三象限內(nèi)的直線1

15、2AA斜斜率率質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移討論討論yx)tcos(AAyxS 222122)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx 12(2)0221 )AyAx(xAAy12 合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且在第二、第四象限內(nèi)的直線在第二、第四象限內(nèi)的直線12AA 斜斜率率質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移yx)tcos(AAyxS 222122)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx2(3)12 12212 AyAx合振動(dòng)的軌跡為以合振動(dòng)的軌跡為以x軸和軸和y軸軸為軸線的橢圓為軸線的橢圓)cos(

16、11 tAx質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針的。質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針的。yx)2cos(11 tAy)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAxyx2(4)12 合振動(dòng)的軌跡為以合振動(dòng)的軌跡為以x軸和軸和y軸軸為軸線的橢圓為軸線的橢圓)cos(11 tAx質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是逆時(shí)針的。質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是逆時(shí)針的。)2cos(11 tAy)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .0 時(shí)，逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)，逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。 0時(shí)，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。

17、時(shí)，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。三、兩個(gè)相互垂直的簡諧振動(dòng)的合成：不同頻率三、兩個(gè)相互垂直的簡諧振動(dòng)的合成：不同頻率可看作兩頻率相等而可看作兩頻率相等而 2- 1隨隨t 緩慢變化合運(yùn)動(dòng)緩慢變化合運(yùn)動(dòng)軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。 軌跡稱為軌跡稱為李薩如圖形李薩如圖形yxA1A2o o- -A2- -A1簡諧振動(dòng)的合成簡諧振動(dòng)的合成)()(xyxyt 4023 xyyx,:兩分振動(dòng)頻率相差很小兩分振動(dòng)頻率相差很小兩振動(dòng)的頻率成兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比整數(shù)比李薩如圖形李薩如圖形21:31:32 :一、一、 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)阻阻尼尼振振動(dòng)動(dòng)能量隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱阻尼振動(dòng)或減幅振動(dòng)。能量隨時(shí)

18、間減小的振動(dòng)稱阻尼振動(dòng)或減幅振動(dòng)。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能。作用，系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼：輻射阻尼：振動(dòng)以波的形式向外傳播振動(dòng)以波的形式向外傳播，使振動(dòng)能量使振動(dòng)能量向周圍輻射出去。向周圍輻射出去。8-3 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振阻尼振動(dòng)的振動(dòng)方程阻尼振動(dòng)的振動(dòng)方程（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）振子動(dòng)力學(xué)方程振子動(dòng)力學(xué)方程22dtxdmdtdxkx 振子受阻力振子受阻力dtdxF 022022 xdtdxdtxd mk 0 系統(tǒng)固有角頻率系統(tǒng)固有角頻率

19、m2 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)弱介質(zhì)阻力是指振子運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)，弱介質(zhì)阻力是指振子運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)，介質(zhì)對(duì)物體的阻力僅與速度的一次方成正比介質(zhì)對(duì)物體的阻力僅與速度的一次方成正比 阻力系數(shù)阻力系數(shù)t弱阻尼弱阻尼)(tx弱阻尼弱阻尼 每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，周期越接近于諧振動(dòng)。周期越接近于諧振動(dòng)。0 )cos(0 teAxt220 0220222 T阻尼振動(dòng)的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動(dòng)的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期臨界阻尼臨界阻尼t(yī))(tx臨界阻尼臨界阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是較快地系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是較快地回到平衡位置并停下來回到平衡

20、位置并停下來0 過阻尼過阻尼t(yī))(tx過阻尼過阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是非常緩系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是非常緩慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置0 二、二、 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)。振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動(dòng)力作用下的受迫振動(dòng)的方程弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動(dòng)力作用下的受迫振動(dòng)的方程ptHtddxkxtdxdmcos22 tphxtddxtdxdcos22022 令令0,2kHhmmm周期性外力周期性外力策動(dòng)力策動(dòng)力ptcosFF0 穩(wěn)定解穩(wěn)定解)ptcos(Ax (1)頻率頻率: : 等于策動(dòng)力的頻率等于策動(dòng)力的頻率 (2)振幅振

21、幅: :2/12222204)(pphA (3)初相初相: :2202tanpp 特點(diǎn)特點(diǎn): :穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按簡諧振動(dòng)的規(guī)律變化穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按簡諧振動(dòng)的規(guī)律變化)cos()(cos0 ptAteAxt阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)三、三、共振共振在一定條件下在一定條件下, , 振幅出現(xiàn)極大值振幅出現(xiàn)極大值, , 振動(dòng)劇烈的現(xiàn)象。振動(dòng)劇烈的現(xiàn)象。1 1、位移共振、位移共振(1)共振頻率共振頻率 : :2202 p(2)共振振幅共振振幅 : :2202 hA*8-4、振動(dòng)的分解、振動(dòng)的分解振動(dòng)的分解振動(dòng)的分解：把一個(gè)振動(dòng)分解為若干個(gè)簡諧振動(dòng)。：把一個(gè)振動(dòng)分解為若干個(gè)簡諧振動(dòng)。諧振分析諧振分析：將任一周期性振動(dòng)分解為各個(gè)諧振動(dòng)之和。：將任一周期性振動(dòng)分解為各個(gè)諧振動(dòng)之和。若周期振動(dòng)的頻率為若周期振動(dòng)的頻率為 : : 0則各分振動(dòng)的頻率為則各分振動(dòng)的頻率為: : 0、2 0、3 0( (基頻基頻 , , 二次諧頻二次諧頻 , , 三次諧頻三次諧頻 , ) , )按傅里葉級(jí)數(shù)展開按傅里葉級(jí)數(shù)展開)()(tfTtf 10cos2)(nnnt