天大高數(shù)第十章習(xí)題課

1、1第一類第一類(對弧長對弧長)第二類第二類(對坐標(biāo)對坐標(biāo))兩類之間兩類之間的關(guān)系的關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式物理意義物理意義計算方法計算方法相似處相似處不同處不同處曲線積分曲線積分 Lsyxfd),( Lszyxfd),( LyQxPdd. ),( d),(, 0),( MyxfsyxfyxfL件的質(zhì)量件的質(zhì)量的曲線型構(gòu)的曲線型構(gòu)線密度為線密度為表示表示當(dāng)當(dāng) RdzyQxPL dd ABABsQPyQxP)dcoscos(dd L指曲線指曲線 AB coscos為有向曲線為有向曲線，其中其中 .(同同）切切線線方方向向與與曲曲線線方方向向相相余余弦弦上上任任一一點點處處切切線線的的方方向向AB .,

2、dd所作的功所作的功到點到點從點從點沿沿表示力表示力BALQPFyQxPWL )()(tytxAB ：設(shè)曲線設(shè)曲線 t1.都是化曲線積分為都是化曲線積分為 定積分計算。定積分計算。2.都要把曲線表示式都要把曲線表示式 代入被積函數(shù)。代入被積函數(shù)。tttsd)()(d22 積分下限積分下限 0)( 0)內(nèi)內(nèi)存存在在原原函函數(shù)數(shù) 并并求求出出它它證證: 令令2222,yxxQyxyP則則)0()(22222xyQyxxyxP可知可知存在原函數(shù)存在原函數(shù)),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxu 0)0(arctanxxyxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxOx

3、y)0 ,(x)0 , 1(),(yxO),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或或), 1 (y)0(arctanxxy判別判別: ,xQyPDyx),(求解步驟求解步驟:方法方法1 湊微分法湊微分法;方法方法2 利用積分與路徑無關(guān)的條件利用積分與路徑無關(guān)的條件.1. 求原函數(shù)求原函數(shù) u (x, y)2. 由由 d u = 0 知通解為知通解為 u (x, y) = C .全微分全微分方程方程( , )d ( , )( , )d( , )du x yu x yP x yxQ x

4、 yy若若存存在在使使( , )d( , )d0.P x yxQ x yy則則稱稱為為全全微微分分方方程程,P QD在在某某單單連連通通域域 內(nèi)內(nèi)有有連連續(xù)續(xù)一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 則則則則為為全全微微分分方方程程),(yxyxO423222(53)d(33)d0 xxyyxx yxyyy求求解解解解: 因為因為yP236yyx ,xQ故這是全微分方程故這是全微分方程. , 0, 000yx取則有則有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解為因此方程的通解為Cyyxyxx332253123)0 ,(x法法10d)33(d)35(222

5、324yyyxyxxyyxx求解法法2 此全微分方程的通解為此全微分方程的通解為 yu,)(2yy Cyxu),(xu, 則有則有)(d)35(),(324yxyyxxyxu待定，)()(233225yyyxyxx兩邊對兩邊對 y 求導(dǎo)得求導(dǎo)得yu由得由得與比較得與比較得331)(yy 取因此方程的通解為因此方程的通解為Cyyxyxx33225312332435yyxx22233yyxyx)(3322yyxyx21()dd0yxxyxx求求解解解解:21xyP 這是一個全微分方程這是一個全微分方程 .用湊微分法求通解用湊微分法求通解.將方程改寫為將方程改寫為0ddd2xxyyxxx即即, 0d

6、21d2xyx故原方程的通解為故原方程的通解為021d2xyx或或Cxyx221,xQ43224( , )(4,65),( , ).u x yxxyx yyu x y設(shè)設(shè)求求gradgrad提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuOyx),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxC第四節(jié) 43224grad ( , )(4,65),( , )u x yxxyx yyu x y設(shè)設(shè)求求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56

7、(422),(yxuxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxC422420( , )2()()( , )( , ).xA x yxy xyixxyju x yu x y 確確定定常常數(shù)數(shù) , ,使使在在右右半半平平面面上上的的向向量量為為某某二二元元函函數(shù)數(shù)的的梯梯度度，并并求求21, ( , )arctanyu x yCx 二、曲面積分的計算法二、曲面積分的計算法1. 基本方法基本方法曲面積分曲面積分第一類第一類( 對面積對面積 )第二類第二類( 對坐標(biāo)對坐標(biāo) )轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化二重積分二重積分(1) 選

8、擇積分變量選擇積分變量 代入曲面方程代入曲面方程(2) 積分元素投影積分元素投影第一類第一類: 始終非負(fù)始終非負(fù)第二類第二類: 有向投影有向投影(3) 確定二重積分域確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面思思 考考 題題1) 二重積分是哪一類積分二重積分是哪一類積分? 答答: 第一類曲面積分的特例第一類曲面積分的特例.2) 設(shè)曲面設(shè)曲面,),( ,0:Dyxz問下列等式是否成立問下列等式是否成立?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不對不對 ! 對坐標(biāo)的積分與對坐標(biāo)的積分與 的的側(cè)有關(guān)側(cè)有關(guān) Dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(2. 基本

9、技巧基本技巧(1) 利用對稱性及重心公式簡化計算利用對稱性及重心公式簡化計算(2) 利用高斯公式利用高斯公式注意公式使用條件注意公式使用條件添加輔助面的技巧添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化計計算算第第二二類類曲曲面面積積分分一一般般有有以以下下三三種種方方法法：1、（一一投投影影，二二代代入入，三三直直接接投投影影法法看看符符號號）( , , )( ( , ), , ) (0022DyzP x y z dydzP x y zy z dydzx 曲曲面面的的法法向向量量與與 軸軸正正向向的的夾夾角角小小于于，

10、取取正正號號；大大于于，取取負(fù)負(fù)號號；等等于于 ，值值為為 ）( , , )( , ( , ), ) (0022DxzQ x y z dzdxQ x y x zz dzdxy 曲曲面面的的法法向向量量與與 軸軸正正向向的的夾夾角角小小于于，取取正正號號；大大于于，取取負(fù)負(fù)號號；等等于于 ，值值為為 ）( , , )( , , ( , ) (0022DxyR x y z dxdyR x y z x y dxdyz 曲曲面面的的法法向向量量與與 軸軸正正向向的的夾夾角角小小于于，取取正正號號；大大于于，取取負(fù)負(fù)號號；等等于于 ，值值為為 ）2、高高斯斯公公式式00+ 若若積積分分曲曲面面 是是閉閉

11、曲曲面面（或或通通過過添添加加輔輔助助有有向向曲曲面面，使使成成為為閉閉曲曲面面），單單，則則利利用用高高斯斯公公式式計計算算第第二二類類曲曲面面積積分分. .0+ 且且在在積積分分曲曲面面 （或或）及及其其所所圍圍閉閉區(qū)區(qū)域域,P Q R 內(nèi)內(nèi)，具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；+PQRxyz表表達(dá)達(dá)式式比比較較簡簡00+ 注注：添添加加輔輔助助有有向向曲曲面面，使使成成為為閉閉曲曲面面，應(yīng)應(yīng)考考慮慮00 的的側(cè)側(cè)來來確確定定側(cè)側(cè)，使使與與 所所圍圍成成閉閉曲曲面面后后同同為為外外側(cè)側(cè)（或或內(nèi)內(nèi)側(cè)側(cè)）。3轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為第第一一類類、曲曲面面積積分分計計算算。 ,PdydzQdxdzRdxd

12、y 對對于于曲曲面面積積分分若若不不能能用用高高斯斯公公式式，且且直直接接投投影影法法比比較較復(fù)復(fù)雜雜，則則可可考考慮慮積積分分曲曲面面 在在某某個個坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域是是否否比比較較簡簡單單。 ( , ),xyxoyDzzzz x yxy 例例：若若積積分分曲曲面面 在在面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域比比較較簡簡單單，則則將將積積分分曲曲面面 的的方方程程寫寫成成形形式式求求出出有有 2 2Dxy= (coscoscos )(coscoscos ) 1xyPdydzQdxdzRdxdyPQRdSPQRzzdxdy cos,cos,cos 是是 所所指指側(cè)側(cè)的的法法方方向向的的

13、方方向向余余弦弦。2222(),(1)xydxdzzdxdyzxyz 計計算算其其中中 是是曲曲面面在在第第一一卦卦限限部部分分，方方向向取取下下側(cè)側(cè)。146 1,()d .xyzxyS 設(shè)設(shè)曲曲面面 ：則則433d =0 x S （對對稱稱性性）1183ddd()dd333 2y Sx Sz SxyzSS22223(), 1 .? ? zxyxyzzM 已已知知曲曲面面殼殼的的面面密密度度求求此此曲曲面面殼殼在在平平面面以以上上部部分分 的的質(zhì)質(zhì)量量解解: 在在 xOy 面上的投影為面上的投影為 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyx

14、yxDdd)(4132213yxD2xzyO部部分分。上上側(cè)側(cè)的的是是曲曲面面，0 )0( dd22 yhzyxzzyxyoxyz解解類型：類型：II 型曲面積分型曲面積分 由第一卦限和第二卦限中的錐面由第一卦限和第二卦限中的錐面 1和和 2構(gòu)成構(gòu)成.221:yzx 其上側(cè)在其上側(cè)在yOz平面的投影為平面的投影為負(fù)負(fù)；其上側(cè)在其上側(cè)在yOz平面的投影為平面的投影為正正.222:yzx 21 yzDzyyyzdd22 yzDzyyyzdd222hyzohz = yDyz yzDzyyyzdd)(22Dyz 圖形？圖形？ y先先. 64h . 1 2. dd20220 zhyyzyz.也可以用下面

15、的方法：也可以用下面的方法：oxyz解解類型：類型：II 型曲面積分型曲面積分需貼補(bǔ)側(cè)面需貼補(bǔ)側(cè)面 （右側(cè)）右側(cè)）和半圓頂面和半圓頂面 半圓半圓（下側(cè)）（下側(cè)）. vxPd半圓半圓 xyDyxyxhyd)d(22hhDxy 圖形？圖形？ 極坐標(biāo)極坐標(biāo). 64h . )d(d sin02 0 hrrhr vyd hyxDzyxyxy22dddxyD，又因又因 0dd zyxy，半圓半圓 0dd zyxy. 6dd4hzyxy .部部分分。上上側(cè)側(cè)的的是是曲曲面面，0 )0( dd22 yhzyxzzyxy 半圓半圓的上側(cè)。求222212222:,)()(yxazzyxdxdyazaxdydzdx

16、dyazaxdydzazyxdxdyazaxdydz2212222)(1)()()(0 下側(cè)）解：補(bǔ)充曲面 z)()(11122dxdyazaxdydzdxdyazaxdydza)22(12dxdyadvzaaaD2312dxdyazdvadvaD.23ayzx1利用高斯公式計算二類曲面積分注意：利用高斯公式計算二類曲面積分注意：加的面不要太多加的面不要太多所得三重積分易算所得三重積分易算2222(),:(1)xydzdxzdxdyzxyz 計計算算第第一一卦卦限限部部分分方方向向取取下下側(cè)側(cè)。222()xzxyDDxydzdxzdxdyz dzdxzdxdy 解解：.641yzx333222

17、2222ddd ddd,:.xyzIyzzxxyrrrrxyzxyzR 計計算算曲曲面面積積分分，其其中中取取外外側(cè)側(cè)解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd3134222222:1,?xyzabc思思考考 本本題題 改改為為橢橢球球面面時時 應(yīng)應(yīng)如如何何計計算算提示提示: 2222,xyz 在在橢橢球球面面內(nèi)內(nèi)作作輔輔助助小小球球面面取取內(nèi)內(nèi)側(cè)側(cè)然后用高斯公式然后用高斯公式 .5322232222222,:1()xdydzydzdxzdxdyxyzabcxyz 計計算算取取外外側(cè)側(cè)。0,0SSSS 解解：作作以以原原點點為為心心，為為半半徑徑的的小小球球面面充充分分小小，使

18、使得得位位于于 內(nèi)內(nèi)。記記 與與所所圍圍空空間間域域為為，取取為為內(nèi)內(nèi)向向。dvzRyQxzyxzdxdyydzdxxdydzGauss)P()(S23222公式，由0Szyxzdxdyydzdxxdydz23222)(原式Szdxdyydzdxxdydz31dv313.43431332121I2232222(2)(1)1(0) ,5169d dd dd d()zxyzxyzyzxz xyIxyz 設(shè)設(shè) 是是曲曲面面取取上上側(cè)側(cè) 計計算算2221:,zxy 取取下下側(cè)側(cè)使使其其包包在在 內(nèi)內(nèi)解解: 取足夠小的正數(shù)取足夠小的正數(shù) , 作曲面作曲面21則則Ozyx21,xOy為為平平面面上上夾夾于

19、于 與與之之間間的的部部分分 且且取取下下側(cè)側(cè))2(133I1212I 131ddd dddxyzyzxzxy 2第二項添加輔助面第二項添加輔助面, 再用高斯公式再用高斯公式, 21Ozyx23222)(dddddzyxyxzxzyzyxId1zyxO注意曲面的方向注意曲面的方向 !得0dV 232220()dxdyxy 56xyDxyzoh 1 構(gòu)成封閉曲面，構(gòu)成封閉曲面，1 .1 圍成空間區(qū)域圍成空間區(qū)域222222(coscoscos ),0(0),cos,cos,cos( , , ).xyzdSxyzzzh hx y z 計計算算其其中中 為為介介于于及及之之間間的的部部分分的的下下側(cè)

20、側(cè)是是 在在處處的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦解解xyxoyD空空間間曲曲面面在在面面上上的的投投影影域域為為2221:()zh xyh補(bǔ)補(bǔ)充充取取上上側(cè)側(cè)57 1)coscoscos(222dSzyx , 0)(dvyx zdvdSzyx2)coscoscos(1222.214h xyDxyzoh 1 根據(jù)對稱性可知根據(jù)對稱性可知 hyxhzdzrdrd220202 dvzyx)(222221:(0),xyzaz為為 在在第第一一卦卦限限的的部部分分，則則有有（ ）。 ;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC 22222

21、()2d ,22 .IxyzyzSxyzxz 計計算算曲曲面面積積分分其其中中 是是球球面面解解: Szxd)22(32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用對稱性用重心公式22222() d ,2().IxySxyzxyz 計計算算其其中中 是是球球面面利用對稱性可知利用對稱性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解:(1,1,1),顯顯然然球球心心為為3半半徑徑為為x利用重心公式利用重心公式SxdSd例例 6 6計算曲面積分計算曲面積分yzdxdydzdxyxdydzy

22、I4)1(2)18(2 , ,其中其中 是由曲線是由曲線)31(01 yxyz繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所成的曲面, ,它的法向量與它的法向量與y軸正向的夾角恒大于軸正向的夾角恒大于2 . .解解22110zyyyzxx 繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為xyzo132 * *I且有且有dxdydzzRyQxP)(* dxdydzyyy)4418( dv xzDxzdydxdz3122 3120202dydd 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 欲求欲求zzd222222d,0,.SI

23、zzHxyzxyR 計計算算其其中中 是是介介于于平平面面之之間間的的圓圓柱柱面面分析分析: 若將曲面分為前后若將曲面分為前后(或左右或左右)兩片兩片,則計算較繁則計算較繁. zRSd2d則則HzRzRI022d2RHarctan2Hxyz解解: 取曲面面積元素取曲面面積元素OyxzLO221 59.? ?xyxOyzyS 求求橢橢圓圓柱柱面面位位于于面面上上方方及及平平面面下下方方那那部部分分柱柱面面 的的側(cè)側(cè)面面積積解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLdxz

24、yO 2222222222,:( , , )0( , , )d.xyzxyxyzaf x y zzxyIf x y zS 當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)， 當(dāng)當(dāng)計計算算222222221122:,.zxyzaxyxyaza解解 錐錐面面與與上上半半球球面面的的 交交線線為為1, 設(shè)設(shè)為為上上半半球球面面夾夾于于錐錐面面間間的的部部分分則則 1d)(22SyxI1yxD 22212( , ),x yxoyDx yxya它它在在面面上上的的投投影影域域為為1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxdd思考思考: 若被積函數(shù)改為若被積函數(shù)改為),(zyx

25、f,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)計算結(jié)果如何計算結(jié)果如何 ? ? xzyO1yxD67向量點積法向量點積法,1,),(:yxffyxfz法向量為設(shè) RdxdyQdzdxPdydzIdxdyRfQfPyx)()(dxdyRQPcoscoscoscos221cosyxx解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有有zyxzdd)(22()cosdzxS Oyxz2 2 ()()d dzxxzxy 原原式式22212()dddd ,()0 2.? ?zxyzzxyzxyzz 計計算算曲曲面面積積分分其其中中 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面介介于于平平面面及及之之間間部部分分的的下下側(cè)側(cè)2cos()d dcoszxxy 2211cosyx 原式 =)( x)(2xzyxzddOyxz2)( xxyxD22214()xy 原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxz上Szzyx2cosdd下Szzyx2cosdd222222S1,2ddd ddd.coscoscosSxyzyzzxxyIxxyzz 設(shè)設(shè)