返璞歸真自然和諧

1、.返璞歸真 自然和諧解幾何題難，難在作輔助線輔助線的類型總體上分為直線形和圓兩種，而在平時數(shù)學(xué)教學(xué)中，對輔助線的“重直輕曲”現(xiàn)象一直存在. 例如文便出現(xiàn)了避直就迂的現(xiàn)象舍棄較為簡捷的作輔助圓的方法，大用特用較為繁瑣的作直線形輔助線解題文還指出“構(gòu)造圓是一種巧法，應(yīng)該選用其他較為簡潔的通法”，筆者對此實在不敢茍同其實，作輔助圓不是一種巧法，而是一種重要的通法求解的方式；對于同一問題，若同時能用直線形和圓兩種不同的輔助線方法求解，往往用圓的求解方法更簡潔、更自然現(xiàn)從近年中考題中選取兩例，對它們進行幾種不同的方法求解，讓我們共同關(guān)注作輔助圓解題例（呼和浩特市中考）如圖，四邊形ABCD中，DCAB,B

2、C,ABACAD，則BD的長為（）A.B. C. D. 解法一：作相等線段，構(gòu)成直角三角形如圖，延長BA至E，使AEBA，連結(jié)DEADABAEBE，DEB是直角三角形ADAC，ADCACD，而CDAB，DAEADCACDCAB，等腰ADE、ABC的頂角相等CBA，又DE與BC不平行四邊形CDEB是等腰梯形，DEBC在RtBDE中，BD解法二：作垂線，構(gòu)成矩形如圖，過點作AFCD，垂足為；再過點、分別作CEAB于，DGBA的延長線于CDAB,則四邊形DGAF和四邊形AFCE都是矩形設(shè)AEx，在RtAFC中，AF2AC2CF2=2 2x2；在RtBCE中，CE2CB2BE2=2（x）2 ，又AFC

3、E；2x2 2（x）2解得x，把x代入CE22（x）2得又在ACD中，ADAC，AFCD，DFCFAE又AGDF，GBGAAB在RtDGB中，DB2DG2GB2（）2（）2 ，DB解法三：截取相等線段，構(gòu)成菱形如圖，在上取一點，使DE=AB=2，連結(jié)EB、EA交DB于DEAB, 且DE=AB，四邊形DEBA是平行四邊形又AD=AB，四邊形DEBA是菱形；BEADAC，而DCAB，四邊形EABC是等腰梯形EABC，由于菱形DEBA的對角線DB與EA互相垂直平分DB=2DF ，EFAE，在RtDEF中，DE=AB=2 , EFDF2DE2EF222()2，DF，BD2DF解法四：作輔助圓，用圓的性

4、質(zhì)如圖，以為圓心，的長為半徑作圓，延長交于，連結(jié)BE是的直徑，EDB900CDAB，CDBDBE，DEBC又BE+；在RtDE中，BD點評：解法一根據(jù)已知條件AB=AD，把題設(shè)已有圖形看成直角三角形的一部分，其中將BD看成直角邊，AD當(dāng)成斜邊上的中線，這樣用補形法作出相等線段構(gòu)成直角三角形，再運用直角三角形、等腰三角形、等腰梯形的性質(zhì)進行解答解法二通過作垂線把BD看成直角三角形的斜邊，再解決兩直角邊的長，這又運用矩形、等腰三角形的判定和性質(zhì)解題解法三運用截長法在線段CD上截取DE=AB，使之出現(xiàn)菱形，再利用菱形、等腰梯形的性質(zhì)解答前三種方法都是作直線形輔助線，用直角三角形或矩形或菱形等直線幾何

5、圖形的判定、性質(zhì)解題，體現(xiàn)出較為繁瑣的解題過程，雖為通法求解，但思維含量大，學(xué)生不易想到解法四根據(jù)題目已知條件：三條線段相等，且它們有公共端點，學(xué)生容易聯(lián)想到圓的集合定義，作出以有共同端點為圓心，以等線段長為半徑的圓，再用圓的有關(guān)性質(zhì)解題，顯得格外自然而簡捷，讓人耳目一新例（黃石市中考調(diào)研試題）已知：如圖，在ABC中，A600,BDAC于D,CEAB于E，求證：DEBC證法一：配中點，證全等分別取AB、AC的中點M、N，連MN（如圖）ADBAEC900，A600，ABDACE300ADABAM，AEACAN又為公共角，ADEAMN (SAS)則DEMNBC證法二：利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等證

6、相似（如圖6）ADBAEC900，A600，AB2AD,AC2AE，又為公共角ADEABCDEBC證法三：證對頂三角形相似（如圖8）設(shè)BD、CE相交于ADBAEC900，A600ABDACE300BF2EF, CF2DF 又 BFCEFDBCFEDF DEBC證法四：作輔助圓（如圖9）取BC的中點，連DF、EFBDCBEC900DFEFBC=CF=BFB、C、D、E在以BC為直徑的圓上，且為圓心A600DBA300DFE600DEF是等邊三角形DEDFBC點評：由結(jié)論的形式易想到要構(gòu)造三角形的中位線，但要證明這兩條線段（線段MN、DE）相等卻難解法一正是遵循這樣的思路，充分利用含600角的直角

7、三角形的邊的關(guān)系，得到兩對相等線段AD=AM、AE=AN，再利用三角形全等實現(xiàn)證題解法二利用兩個含600角的直角三角形，得出短直角邊與斜邊之比為1：2，從而出現(xiàn)比例式，再利用“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等”證三角形相似，進一步運用相似的性質(zhì)證題解法三通過觀察題設(shè)圖形，發(fā)現(xiàn)其中隱含有兩對對頂三角形CDF和BEF，DEF與CDF，利用前者(兩個含300角的直角三角形)的直角邊與斜邊關(guān)系，得出后者的一對對頂三角形相似，并運用相似的性質(zhì)進行證題前三種證法雖然都是運用直線形知識進行的通法求解，但解答此題對考生的識圖、辨圖的能力和要求較高上面的證法看似精煉、簡潔，但解題思維過程的長度被隱藏，其難度是我們老師無

8、法想象的實際上在考試中，鮮有學(xué)生能用前三種方法來解題其實，也有不少考生采用作輔助圓的方法來解決問題這是因為題目的已知條件和圖形已具備作輔助圓的鮮明特征：BDC和BCE都是直角三角形，且它們有公共邊BC，取BC的中點后，用圓的定義構(gòu)造以BC為直徑的圓，再綜合運用圓的有關(guān)性質(zhì)，則問題易于解決從上面兩例可以看出：根據(jù)已知條件，添加適當(dāng)?shù)妮o助圓，可使分散的條件集中，隱蔽的條件明顯，為溝通條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系而起到事半功倍的作用相比其他三種直線形解法，作輔助圓解題較為貼近學(xué)生的認知水平，也接近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，符合學(xué)生通常的思維習(xí)慣，有利于學(xué)生的理解和接受，有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意

9、識因此作輔助圓是數(shù)學(xué)解題中一種不可缺少、不可忽視的通用的思維方法平時教學(xué)中，對于可作輔助圓的一類問題應(yīng)作詳細分析、重點講解，應(yīng)展示解題的思維過程，讓學(xué)生知道為什么能夠做出輔助圓，作出輔助圓的目的，之后又怎樣去運用圓的性質(zhì)解答等等，這樣能使學(xué)生體會到作輔助圓的由來和用圓知識解題的簡捷；進行例題講解后，還應(yīng)該及時補充一定量的相關(guān)習(xí)題，進行專題訓(xùn)練，這樣學(xué)生就會熟練掌握，融匯貫通、熟能生巧，進而把輔助圓作為一種必不可少的解題工具、思維方法，自覺運用到解題中去不少幾何問題明明可用作輔助圓的方法解決，學(xué)生為什么棄之不用呢？經(jīng)筆者調(diào)查、分析和思考，主要原因有這么幾種：（1）學(xué)生不習(xí)慣把圓作為解決問題的工具

10、我們知道，圓是平面幾何中的基本圖形，也是除直線圖形之外的另一特殊曲線圖形；圓是初中數(shù)學(xué)極其重要的章節(jié), 在平幾中舉足重輕，它比較系統(tǒng)的研究了圓的概念、性質(zhì)、圓中有關(guān)的角、點與圓、直線與圓、圓與圓、圓與正多邊形之間的位置、數(shù)量關(guān)系雖然現(xiàn)行教材對圓的內(nèi)容作了大幅度刪減，比如：弦切角、相交弦、切割線、四點共圓等，但圓的基本知識、結(jié)構(gòu)、框架還在，相比其他章節(jié)，其知識點仍然龐雜，性質(zhì)定理繁多，運用靈活特別是圓與三角形、四邊形、多邊形、全等、相似、幾何變換、函數(shù)圖像相結(jié)合后，綜合性強，難度大，學(xué)生難以在短時間內(nèi)學(xué)好另外，圓一章被安排在九年級上冊，在相似、二次函數(shù)之前，講授圓時，由于受內(nèi)容限制，大都只按部就

11、班，學(xué)完課本的知識點，便草草了事；而與其它知識點相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容（特別是與相似）都沒有納入教學(xué)之中，而圓與相似相結(jié)合是初中數(shù)學(xué)最為華彩的篇章這樣，對圓的學(xué)習(xí)僅僅停留在淺層次的運用上，對圓的深層次的運用幾乎為空白最終導(dǎo)致不少學(xué)生對圓的內(nèi)容較陌生，甚至談“圓”色變 （2）缺少對圓輔助線的歸納和總結(jié)現(xiàn)行教材雖經(jīng)專家精心設(shè)計，但在平時教學(xué)中，我們?nèi)圆荒苷毡拘?，而?yīng)不斷加強相關(guān)內(nèi)容的總結(jié)、反思和拓展學(xué)習(xí)圓的內(nèi)容時，應(yīng)適時補充與圓有關(guān)一些重要定理、性質(zhì)，并進行運用，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生對圓的內(nèi)容的深入探討和細致研究，這樣便能充分挖掘教材潛在的教學(xué)功能，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力得到進一步的培養(yǎng)和提高平時教學(xué)中，讓

12、學(xué)生體會到圓是平幾的重要圖形，它不僅能反映圖形中諸多角的關(guān)系，也能建立很多線段間的關(guān)系應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)圓的基本運用、輔助線做法構(gòu)造輔助圓的基本思路是：根據(jù)圓的定義添補輔助圓、根據(jù)“圓周角的性質(zhì)”作輔助圓、根據(jù)圓內(nèi)（外）角與圓周角的關(guān)系作輔助圓、根據(jù)“任何三角形都有一個外接圓” 作輔助圓、根據(jù)點與圓的位置關(guān)系作輔助圓、根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)作輔助圓、根據(jù)圓與圓的交點個數(shù)作輔助圓等，解題時應(yīng)因題而異，靈活處理（3）對作輔助圓的作用認識不夠圓是平面幾何中的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力、空間轉(zhuǎn)換能力、邏輯推理能力有著重要作用在中考數(shù)學(xué)試卷中，不光體現(xiàn)在基礎(chǔ)知識檢測上，也體現(xiàn)在綜合解題能力上例如：

13、由圓和直線圖形、函數(shù)圖象可以組合成一些復(fù)雜的綜合題，由圓的一些性質(zhì)和平面直角坐標系、函數(shù)、方程、面積等知識就組成了涉及面廣、圖形變化大、綜合性強的中考壓軸題解答它們，往往要較強的分析問題、解決問題的能力學(xué)生在初學(xué)圓時，一些題目往往無從下手，這時如果能夠添加適當(dāng)?shù)妮o助線，問題就簡單的多了作輔助圓求解幾何問題，能化繁為簡、化難為易，彰顯了獨特的解題魅力，它滲透了一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，能拓展思路、開闊視野，甚至也會獲得問題解決有易如反掌、勢如破竹的快樂體驗，真可謂“直線誠可貴，曲線價更高” 在教學(xué)過程中，既要重視作直線型輔助線的解法，也要重視作輔助圓的解法，以培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察、深刻的思維與探究能力