（整理版）全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題

1、1978年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題一試題1y=log，問當(dāng)x為何值時(shí)，() y>0；() y<0？2tanx=2 (180°<x<270°)，求cos2x，cos的值3設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)，它在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)的距離是，求橢圓方程4方程2x29x+8=0，求作一個(gè)二次方程，使它的一個(gè)根為原方程兩根和的倒數(shù)，另一個(gè)根為原方程兩根差的平方5把半徑為1的四個(gè)小球疊成兩層放在桌面上：下層三個(gè)，上層一個(gè)，兩兩相切，求上層小球最高點(diǎn)離桌面的高度6如圖，設(shè)線段ab的中點(diǎn)為m，從線段ab上的另一點(diǎn)c向直線ab的一側(cè)引線段cd

2、，令線段cd的中點(diǎn)為n，bd的中點(diǎn)為p，mn的中點(diǎn)為q，求證：直線pq平分線段ac7證明：當(dāng)n、k都是給定的正整數(shù)，且n>2，k>2時(shí)，n(n1)k1可以寫成n個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和8證明：頂點(diǎn)在圓上的銳角三角形的三個(gè)角的余弦的和小于該三角形的周長(zhǎng)之半9直線l1：y=4x和點(diǎn)p(6，4)，在直線l1上求一點(diǎn)q，使過pq的直線與直線l1以及x軸在第象限內(nèi)圍成三角形面積最小10求方程組的整數(shù)解二試題1四邊形兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后分別相交，且交點(diǎn)的連線與四邊形的一條對(duì)角線平行，證明：另一條對(duì)角線的延長(zhǎng)線平分對(duì)邊交點(diǎn)連成的線段2 分解因式：x12+x9+x6+x3+1 證明：對(duì)于任意角度，都有5+8cos

3、+4cos2+cos303設(shè)r為平面上以a(4，1)、b(1，6)、c(3，2)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包括三角形的邊界)試求當(dāng)(x，y)在r上變動(dòng)時(shí)，函數(shù)4x3y的極大值和極小值(須證明你的論斷)4設(shè)abcd為任意給定的四邊形，邊ab、bc、cd、ca的中點(diǎn)分別為e、f、g、h，證明：四邊形abcd的面積eghf(ab+cd)· (ad+bc)5設(shè)有十人各拿提桶一只到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第i(i=1，2，10)個(gè)人的提桶需時(shí)ti分鐘，假定這些ti各不相同，問：() 當(dāng)只有一個(gè)水龍頭可用時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序，使你們的總的花費(fèi)時(shí)間(包括各人自己接水所花時(shí)間)為最少？這時(shí)間

4、等于多少？(須證明你的論斷)() 當(dāng)有兩個(gè)水龍頭可用時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序，使你們的總的花費(fèi)時(shí)間為最少？這時(shí)間等于多少？(須證明你的論斷)6設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，試在這個(gè)正方形的內(nèi)接正三角形中找出一個(gè)面積最大的和一個(gè)面積最小的，并求出這兩個(gè)面積(須證明你的論斷)1978年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題解答一試題1y=log，問當(dāng)x為何值時(shí)，() y>0；() y<0？解：當(dāng)x>3時(shí)，y=log(x+3)， x+3>1Þx>2時(shí)，y>0； 0<x+3<1，Þ3<x<2時(shí)，y<02tanx=2 (180°

5、<x<270°)，求cos2x，cos的值解：cos2x=；cosx=cos=3設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)，它在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)的距離是，求橢圓方程解：由c=b，故a=c，ac=(1)=c(1)， c=，a=所求橢圓方程為+=14方程2x29x+8=0，求作一個(gè)二次方程，使它的一個(gè)根為原方程兩根和的倒數(shù)，另一個(gè)根為原方程兩根差的平方解：設(shè)方程兩根為x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=4所求方程兩根為t1，t2，t1=，t2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2=16= 所求方程為(x)(x)=0，即36x2161x+34

6、=05把半徑為1的四個(gè)小球疊成兩層放在桌面上：下層三個(gè)，上層一個(gè)，兩兩相切，求上層小球最高點(diǎn)離桌面的高度解：邊長(zhǎng)為2的正四面體的高h(yuǎn)=故所求高度=1+1=2+6如圖，設(shè)線段ab的中點(diǎn)為m，從線段ab上的另一點(diǎn)c向直線ab的一側(cè)引線段cd，令線段cd的中點(diǎn)為n，bd的中點(diǎn)為p，mn的中點(diǎn)為q，求證：直線pq平分線段ac證明：連np，取ac中點(diǎn)o，那么由于n、p分別為cd、bd中點(diǎn)，故npab，np=bc=(abac)=am=ao=om npmo為平行四邊形即po經(jīng)過mn中點(diǎn)q即直線pq平分線段ac7證明：當(dāng)n、k都是給定的正整數(shù)，且n>2，k>2時(shí)，n(n1)k1可以寫成n個(gè)連續(xù)偶數(shù)

7、的和解：設(shè)開始的一個(gè)偶數(shù)為2m，那么此n個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和為(2m+2m+2n2)×n÷2=n(2m+n1)令n(n1)k1= n(2m+n1)，那么(n1)k1(n1)=2m無論n為偶數(shù)還是奇數(shù)，(n1)k1(n1)均為偶數(shù)，故m=(n1)k1(n1)為整數(shù) 從(n1)k1(n1)開始的連續(xù)n個(gè)偶數(shù)的和等于n(n1)k1由于n、k給定，故(n1)k1(n1)確定故證8證明：頂點(diǎn)在圓上的銳角三角形的三個(gè)角的余弦的和小于該三角形的周長(zhǎng)之半解：設(shè)此三角形三個(gè)角為a、b、c，那么其三邊長(zhǎng)分別為2sina，2sinb，2sinc此題即證明 cosa+cosb+cosc<sina+

8、sinb+sinc由于ab>90°，故90°>a>90°b>0，Þsina>sin(90°b)=cosb，同理，sinb>cosc，sinc>cosa，三式相加，即得證9直線l1：y=4x和點(diǎn)p(6，4)，在直線l1上求一點(diǎn)q，使過pq的直線與直線l1以及x軸在第象限內(nèi)圍成三角形面積最小解：設(shè)q(a，4a)，(a>1)那么直線pq方程為y4=(x6)，令y=0，得x=6= s=··4a=10(a+1+)=10(a1+2)10(2+2)=40當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)s取得最小值即所求點(diǎn)為

9、q(2，8)10求方程組的整數(shù)解解：x3y3z33xyz=(xyz)(x2y2z2xyyzzx)=0，故xyz=6故x=3，y=1，z=2，等共6組解二試題1四邊形兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后分別相交，且交點(diǎn)的連線與四邊形的一條對(duì)角線平行，證明：另一條對(duì)角線的延長(zhǎng)線平分對(duì)邊交點(diǎn)連成的線段證明：如下圖，bdef，作bged交ac于g，那么=，從而gdbc，即bcdg為平行四邊形p為bd中點(diǎn)，從而q為ef中點(diǎn)2 分解因式：x12+x9+x6+x3+1 證明：對(duì)于任意角度，都有5+8cos+4cos2+cos30解：令=cosisin (x31)( x12+x9+x6+x3+1)=x151=(xk)而x31=(x

10、1)(x5)(x10)故x12+x9+x6+x3+1=(xk) 令x=cos，那么5+8cos+4cos2+cos3=5+8x+4(2x21)+4x33x=4x3+8x2+5x+1=(x+1)(2x+1)20在x1時(shí)成立3設(shè)r為平面上以a(4，1)、b(1，6)、c(3，2)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包括三角形的邊界)試求當(dāng)(x，y)在r上變動(dòng)時(shí)，函數(shù)4x3y的極大值和極小值(須證明你的論斷)解：令4x3y=t，那么此直線在x軸上的截距即為t分別以a、b、c的值代入，得相應(yīng)的t=13，14，18即4x3y的極大值為14，極小值為184設(shè)abcd為任意給定的四邊形，邊ab、bc、cd、ca的中點(diǎn)分

11、別為e、f、g、h，證明：四邊形abcd的面積eghf(ab+cd) (ad+bc)證明：連ef、fg、gh、he，取bd中點(diǎn)p，連ep、pg易證s四邊形efgh=s四邊形abcd而s四邊形efgh=eghfsineofeghf但ep=ad，pg=bcep+pgeg，故 (ad+bc)eg，同理，(ab+cd)hf故eghf(ab+cd) (ad+bc)，從而，四邊形abcd的面積eghf(ab+cd) (ad+bc)5設(shè)有十人各拿提桶一只到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第i(i=1，2，10)個(gè)人的提桶需時(shí)ti分鐘，假定這些ti各不相同，問：() 當(dāng)只有一個(gè)水龍頭可用時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序

12、，使你們的總的花費(fèi)時(shí)間(包括各人自己接水所花時(shí)間)為最少？這時(shí)間等于多少？(須證明你的論斷)() 當(dāng)有兩個(gè)水龍頭可用時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序，使你們的總的花費(fèi)時(shí)間為最少？這時(shí)間等于多少？(須證明你的論斷)解：當(dāng)只有1個(gè)水龍頭可用時(shí)，所需時(shí)間為10t1+9t2+8t3+t10，假設(shè)當(dāng)1i<j10時(shí)，ti>tj，那么其余人不動(dòng)，交換第i個(gè)人與第j個(gè)人的次序，那么所需時(shí)間改變量10t1+(11i)ti+(11j)tj+t10(10t1+(11i)tj+(11j)ti+)=(11i)(titj)+(11j)(tjti)=(tjti)(ij)>0即這樣交換后，所需時(shí)間變少 應(yīng)使注滿桶所需的時(shí)間少的人先注水不妨設(shè)t1<t2<<t10，那么所需時(shí)間為10t1+9t2+8t3+t10 設(shè)t1<t2<<t10，那么安排t1、t3、t5、t7、t9在一個(gè)龍頭，t2、t4、t6、t8、t10在另一個(gè)龍頭且注水時(shí)間短的先注水這樣，共需時(shí)間5(t1+t2)+4(t3+t4)+3(t5+t6)+2(t7+t8)+(t9+t10)6設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，試在這個(gè)正方形的內(nèi)接正三角形