（整理版）全國高中數學競賽題

1、1978年全國高中數學競賽題一試題1y=log，問當x為何值時，() y>0；() y<0？2tanx=2 (180°<x<270°)，求cos2x，cos的值3設橢圓的中心為原點，它在x軸上的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點的距離是，求橢圓方程4方程2x29x+8=0，求作一個二次方程，使它的一個根為原方程兩根和的倒數，另一個根為原方程兩根差的平方5把半徑為1的四個小球疊成兩層放在桌面上：下層三個，上層一個，兩兩相切，求上層小球最高點離桌面的高度6如圖，設線段ab的中點為m，從線段ab上的另一點c向直線ab的一側引線段cd

2、，令線段cd的中點為n，bd的中點為p，mn的中點為q，求證：直線pq平分線段ac7證明：當n、k都是給定的正整數，且n>2，k>2時，n(n1)k1可以寫成n個連續(xù)偶數的和8證明：頂點在圓上的銳角三角形的三個角的余弦的和小于該三角形的周長之半9直線l1：y=4x和點p(6，4)，在直線l1上求一點q，使過pq的直線與直線l1以及x軸在第象限內圍成三角形面積最小10求方程組的整數解二試題1四邊形兩組對邊延長后分別相交，且交點的連線與四邊形的一條對角線平行，證明：另一條對角線的延長線平分對邊交點連成的線段2 分解因式：x12+x9+x6+x3+1 證明：對于任意角度，都有5+8cos

3、+4cos2+cos303設r為平面上以a(4，1)、b(1，6)、c(3，2)三點為頂點的三角形區(qū)域(包括三角形的邊界)試求當(x，y)在r上變動時，函數4x3y的極大值和極小值(須證明你的論斷)4設abcd為任意給定的四邊形，邊ab、bc、cd、ca的中點分別為e、f、g、h，證明：四邊形abcd的面積eghf(ab+cd)· (ad+bc)5設有十人各拿提桶一只到水龍頭前打水，設水龍頭注滿第i(i=1，2，10)個人的提桶需時ti分鐘，假定這些ti各不相同，問：() 當只有一個水龍頭可用時，應如何安排這十個人的次序，使你們的總的花費時間(包括各人自己接水所花時間)為最少？這時間

4、等于多少？(須證明你的論斷)() 當有兩個水龍頭可用時，應如何安排這十個人的次序，使你們的總的花費時間為最少？這時間等于多少？(須證明你的論斷)6設有一個邊長為1的正方形，試在這個正方形的內接正三角形中找出一個面積最大的和一個面積最小的，并求出這兩個面積(須證明你的論斷)1978年全國高中數學競賽題解答一試題1y=log，問當x為何值時，() y>0；() y<0？解：當x>3時，y=log(x+3)， x+3>1Þx>2時，y>0； 0<x+3<1，Þ3<x<2時，y<02tanx=2 (180°

5、<x<270°)，求cos2x，cos的值解：cos2x=；cosx=cos=3設橢圓的中心為原點，它在x軸上的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點的距離是，求橢圓方程解：由c=b，故a=c，ac=(1)=c(1)， c=，a=所求橢圓方程為+=14方程2x29x+8=0，求作一個二次方程，使它的一個根為原方程兩根和的倒數，另一個根為原方程兩根差的平方解：設方程兩根為x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=4所求方程兩根為t1，t2，t1=，t2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2=16= 所求方程為(x)(x)=0，即36x2161x+34

6、=05把半徑為1的四個小球疊成兩層放在桌面上：下層三個，上層一個，兩兩相切，求上層小球最高點離桌面的高度解：邊長為2的正四面體的高h=故所求高度=1+1=2+6如圖，設線段ab的中點為m，從線段ab上的另一點c向直線ab的一側引線段cd，令線段cd的中點為n，bd的中點為p，mn的中點為q，求證：直線pq平分線段ac證明：連np，取ac中點o，那么由于n、p分別為cd、bd中點，故npab，np=bc=(abac)=am=ao=om npmo為平行四邊形即po經過mn中點q即直線pq平分線段ac7證明：當n、k都是給定的正整數，且n>2，k>2時，n(n1)k1可以寫成n個連續(xù)偶數

7、的和解：設開始的一個偶數為2m，那么此n個連續(xù)偶數的和為(2m+2m+2n2)×n÷2=n(2m+n1)令n(n1)k1= n(2m+n1)，那么(n1)k1(n1)=2m無論n為偶數還是奇數，(n1)k1(n1)均為偶數，故m=(n1)k1(n1)為整數 從(n1)k1(n1)開始的連續(xù)n個偶數的和等于n(n1)k1由于n、k給定，故(n1)k1(n1)確定故證8證明：頂點在圓上的銳角三角形的三個角的余弦的和小于該三角形的周長之半解：設此三角形三個角為a、b、c，那么其三邊長分別為2sina，2sinb，2sinc此題即證明 cosa+cosb+cosc<sina+

8、sinb+sinc由于ab>90°，故90°>a>90°b>0，Þsina>sin(90°b)=cosb，同理，sinb>cosc，sinc>cosa，三式相加，即得證9直線l1：y=4x和點p(6，4)，在直線l1上求一點q，使過pq的直線與直線l1以及x軸在第象限內圍成三角形面積最小解：設q(a，4a)，(a>1)那么直線pq方程為y4=(x6)，令y=0，得x=6= s=··4a=10(a+1+)=10(a1+2)10(2+2)=40當且僅當a=2時s取得最小值即所求點為

9、q(2，8)10求方程組的整數解解：x3y3z33xyz=(xyz)(x2y2z2xyyzzx)=0，故xyz=6故x=3，y=1，z=2，等共6組解二試題1四邊形兩組對邊延長后分別相交，且交點的連線與四邊形的一條對角線平行，證明：另一條對角線的延長線平分對邊交點連成的線段證明：如下圖，bdef，作bged交ac于g，那么=，從而gdbc，即bcdg為平行四邊形p為bd中點，從而q為ef中點2 分解因式：x12+x9+x6+x3+1 證明：對于任意角度，都有5+8cos+4cos2+cos30解：令=cosisin (x31)( x12+x9+x6+x3+1)=x151=(xk)而x31=(x

10、1)(x5)(x10)故x12+x9+x6+x3+1=(xk) 令x=cos，那么5+8cos+4cos2+cos3=5+8x+4(2x21)+4x33x=4x3+8x2+5x+1=(x+1)(2x+1)20在x1時成立3設r為平面上以a(4，1)、b(1，6)、c(3，2)三點為頂點的三角形區(qū)域(包括三角形的邊界)試求當(x，y)在r上變動時，函數4x3y的極大值和極小值(須證明你的論斷)解：令4x3y=t，那么此直線在x軸上的截距即為t分別以a、b、c的值代入，得相應的t=13，14，18即4x3y的極大值為14，極小值為184設abcd為任意給定的四邊形，邊ab、bc、cd、ca的中點分

11、別為e、f、g、h，證明：四邊形abcd的面積eghf(ab+cd) (ad+bc)證明：連ef、fg、gh、he，取bd中點p，連ep、pg易證s四邊形efgh=s四邊形abcd而s四邊形efgh=eghfsineofeghf但ep=ad，pg=bcep+pgeg，故 (ad+bc)eg，同理，(ab+cd)hf故eghf(ab+cd) (ad+bc)，從而，四邊形abcd的面積eghf(ab+cd) (ad+bc)5設有十人各拿提桶一只到水龍頭前打水，設水龍頭注滿第i(i=1，2，10)個人的提桶需時ti分鐘，假定這些ti各不相同，問：() 當只有一個水龍頭可用時，應如何安排這十個人的次序

12、，使你們的總的花費時間(包括各人自己接水所花時間)為最少？這時間等于多少？(須證明你的論斷)() 當有兩個水龍頭可用時，應如何安排這十個人的次序，使你們的總的花費時間為最少？這時間等于多少？(須證明你的論斷)解：當只有1個水龍頭可用時，所需時間為10t1+9t2+8t3+t10，假設當1i<j10時，ti>tj，那么其余人不動，交換第i個人與第j個人的次序，那么所需時間改變量10t1+(11i)ti+(11j)tj+t10(10t1+(11i)tj+(11j)ti+)=(11i)(titj)+(11j)(tjti)=(tjti)(ij)>0即這樣交換后，所需時間變少 應使注滿桶所需的時間少的人先注水不妨設t1<t2<<t10，那么所需時間為10t1+9t2+8t3+t10 設t1<t2<<t10，那么安排t1、t3、t5、t7、t9在一個龍頭，t2、t4、t6、t8、t10在另一個龍頭且注水時間短的先注水這樣，共需時間5(t1+t2)+4(t3+t4)+3(t5+t6)+2(t7+t8)+(t9+t10)6設有一個邊長為1的正方形，試在這個正方形的內接正三角形