（整理版）向量中的三角形四“心”探究

1、向量中的三角形四“心探究三角形的四“心與平面向量有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，對(duì)這兩者進(jìn)行一定的探究，有助于我們更準(zhǔn)確把握向量的本質(zhì)在10年全國(guó)卷里有這樣一道高考題：o是平面上一定點(diǎn)，a、b、c是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足 ，那么p點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的 xa圖1.amoycpqnba外心 b內(nèi)心 c重心 d垂心簡(jiǎn)析：此題通過(guò)考察平面向量中的向量與相關(guān)運(yùn)算相關(guān)知識(shí)，來(lái)探究三角形中的四“心問(wèn)題 取 ， ，那么、是向量，如圖1，四邊形amqn是菱形，且aq是的角平分線 ， 即，點(diǎn)的軌跡就是射線，點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心，應(yīng)選b.這里我們很自然地會(huì)聯(lián)想：滿足條件的點(diǎn)p的軌跡通過(guò)的內(nèi)心，那么能不能構(gòu)造一個(gè)類似的向

2、量式子，使點(diǎn)p的軌跡通過(guò)的外心，重心或垂心？變題1：o是平面上一定點(diǎn)，a，b，c 是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足 ，那么p點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的 a外心 b內(nèi)心 c重心 d垂心簡(jiǎn)析：如圖2，取bc邊上的中點(diǎn)d，連接ad.bx.acdoy.p圖2p，圖2點(diǎn)的軌跡就是射線.點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心，應(yīng)選c.其實(shí)眾所周知，在平面向量中，三角形的重心還有一個(gè)非常重要的結(jié)論：點(diǎn)g為的重心的充要條件是：證明：假設(shè)點(diǎn)g是的重心，o是任意一點(diǎn)，易得，當(dāng)o與g重合時(shí)得；另一方面，以gc、gb為邊作平行四邊形gbec，那么，a、g、e三點(diǎn)共線，可知g必為的重心應(yīng)用1：全國(guó)聯(lián)賽的三邊長(zhǎng)，g為的重心，假設(shè)滿足，那么的形狀

3、是 a直角三角形 b等腰三角形 c等邊三角形 d鈍角三角形簡(jiǎn)析：g為重心，那么有代入，得，故，所以應(yīng)選c應(yīng)用2：全國(guó)聯(lián)賽 設(shè)o點(diǎn)在內(nèi)部，且有，那么 的面積與的面積比為 a2 b c3 dbocfe圖3簡(jiǎn)析：如圖3，延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使， 由題意知，可知o是的重心有，而同理得，所以，故有，所以選c.變題2：o是平面上一定點(diǎn)，a，b，c 是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足 ，那么p點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的 a外心 b內(nèi)心 c重心 d垂心y圖4b.acxop.簡(jiǎn)析：在式子的兩邊點(diǎn)乘，=0， 如圖4 點(diǎn)的軌跡過(guò)點(diǎn)a且垂直于邊bc，點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的垂心，應(yīng)選d.變題3：o是平面上一定點(diǎn)，a，b，c 是平面上

4、不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足 ，那么p點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的 a外心 b內(nèi)心 c重心 d垂心圖5p.bacdxoy.簡(jiǎn)析：如圖5，取bc邊上的中點(diǎn)d，如圖4所以式子可化簡(jiǎn)成在式子的兩邊點(diǎn)乘， = 0 ， 點(diǎn)的軌跡過(guò)邊bc的中點(diǎn)d且垂直于邊bc點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的外心，應(yīng)選a.通過(guò)前面幾個(gè)變題的探究，我們看到了平面向量與三角形四“心的內(nèi)在聯(lián)系，當(dāng)然三角形四“心在向量中的表現(xiàn)形式不是唯一的，我們?cè)賮?lái)欣賞其它的向量等式：1o是所在平面上的一點(diǎn)，假設(shè)有，那么o是 的內(nèi)心簡(jiǎn)證：，所以題中可變?yōu)椋?，可知，與共線，即：是的角平分線，同理可得：分別為的角平分線，所以o是的內(nèi)心2o是所在平面上的一點(diǎn)，假設(shè)有，那么o是的內(nèi)心簡(jiǎn)證：由題知，所以點(diǎn)o是的三條角平分線的交點(diǎn)，即o是的內(nèi)心3設(shè)o為所在平面上的一點(diǎn)，假設(shè) ，那么點(diǎn)o為的垂心 簡(jiǎn)證：由題得，即，同理可證、，所以o為的垂心4設(shè)外心為o，假設(shè)點(diǎn)m滿足，那么點(diǎn)m為垂心簡(jiǎn)證：， 而，故，所以有，同理，所以點(diǎn)m為垂心.5設(shè)o為所在平面上的一點(diǎn)，假設(shè)，點(diǎn)o為的外心 簡(jiǎn)證：由題可得所以：，故，可得點(diǎn)o為的外心向量的內(nèi)涵是十分豐富的，本文從向量這個(gè)角度對(duì)三角形的四“心進(jìn)行一定的總結(jié)歸納，使我們對(duì)三角形的四“心在向量中的表現(xiàn)形式有了進(jìn)一步的