24-連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義：如果對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)

1、2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為為 X 的的分布函數(shù)分布函數(shù). . 定義：定義：設(shè)設(shè) X 為隨機(jī)變量，為隨機(jī)變量，x 是任意實數(shù)是任意實數(shù),稱函數(shù)稱函數(shù)( )(),F xP Xxx 分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)F ( x ) 單調(diào)不減，即單調(diào)不減，即F ( x ) 右連續(xù)，即右連續(xù)，即1212,()()xxF xF x0( )1lim( )1, lim( )0 xxF xF xF x(0)lim( )( )t xtxF xF tF xxyO()()() ( )( )P aXbP XbP XaF bF a(Xa)1(Xa)1( ) PPF a()()()P XaP XaP Xa()

2、P aXb()P aXb()P aXb(| |)P Xa()(0)(0)P XaF aF a(0)lim( ) (0)lim( )t xt xtxtxF xF tF xF t例例1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律如下，求的分布律如下，求X的分布函數(shù)的分布函數(shù)X123pk1/41/21/4( )P(X)F xx1x 012x 1423x343x 1例例2 已知離散型隨機(jī)變量已知離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為： 求求X的概率分布。的概率分布。X123pk1/21/102/50,1,1,12,2( )3,2351,3.xxF xxx2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率

3、密度( )( )dxF xf tt定義：定義：如果對于隨機(jī)變量如果對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x), 存存在非負(fù)函數(shù)在非負(fù)函數(shù)f(x), 使對于任意實數(shù)使對于任意實數(shù)x有有則稱則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量, 其中函數(shù)其中函數(shù)f(x)稱為稱為X的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù), 簡稱簡稱概率密度概率密度.( )0.f x ( )d()1.f xxF 211221()()()( )d .xxP xXxF xF xf xx在在 f ( x ) 的連續(xù)點處，的連續(xù)點處，( )( )f xF x對于任意實數(shù)對于任意實數(shù)a, PX=a=0. 與物理學(xué)中的質(zhì)量線密度的定義相類似()( )P

4、xXxxf xx 00()( )()( )( )xxF xxF xP xXxxf xF xlimlimxx ( )f xXx表示 落在點 附近的概率的多少例例1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度為具有概率密度為,03( )2,3420,.kxxxf xx其它(1)求常數(shù)求常數(shù)k.(2)求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù).(3)求求P(1X3.5)(1)由由 得得( )d1f xx3403d(2)d12xkxxx,036( )2,34,20,.xxxf xx其它16k ,03( )2,3420,.kxxxf xx其它O341/2f(t)22t6t( )( )xF xf t dtt0 x 003x06x

5、tdt34x303262xttdtdt4x 1(2)X(2)X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為22000312( )32 34414xxxF xxxxx (3) P(1X3.5)P(1X3.5)=F(3.5)-F(1)=F(3.5)-F(1)3.51( )f x dx或者例例2 一個靶子是半徑為一個靶子是半徑為2米的圓盤米的圓盤, 設(shè)擊中靶上任設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比, 并設(shè)射擊都能中靶并設(shè)射擊都能中靶, 以以X表示彈著點與圓心的距離表示彈著點與圓心的距離. 試求隨機(jī)變量試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù).若若0 x 2，P0 X

6、 x=kx2200( )/ 40212xF xxxx解：解：若若x0，因因X 0是不可能事件是不可能事件F(x)=PX x=0取取x=2, 有有P0 X 2=22k. 因為因為P0 X 2=1, 故得故得k=1/4, 即即P0 X x=x2/4若若x 2，因，因X x是必然事件，是必然事件，F(xiàn)(x)=PX x=1.定義：定義：X X具有概率密度具有概率密度稱稱X X在區(qū)間在區(qū)間( (a a, ,b b) )上服從上服從均勻分布均勻分布，記為，記為X XU(U(a a, ,b b) ) 1()c lcacclblP cXcldtcbaba 設(shè) -與 無關(guān)0 ( ) 1 xaxaF xaxbbax

7、b1 ( , )( )0 xa bf xba其他 f x0bxa1b a F x0bxa11,9001100( )11009000,.rf r其它例例3 設(shè)電阻值設(shè)電阻值R是一個隨機(jī)變量是一個隨機(jī)變量, 均勻分布在均勻分布在900 1100 . 求求R落在落在950 1050 的概率的概率.9501050PR10509501d0.5200r定義：若定義：若 X 的概率密度為的概率密度為則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布，記，記作作XE()X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ,0( ) 0 0,xexf x其他為常數(shù)00( )10 xxF xexxf (x)01F(x)0 x用指

8、數(shù)分布描述的實例有：用指數(shù)分布描述的實例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間電話問題中的通話時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命無線電元件的壽命動物的壽命動物的壽命對于任意的對于任意的 0 a 0)為常數(shù)為常數(shù), 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為m m,s s的的正態(tài)正態(tài)分布分布或或高斯高斯(Gauss)分布分布, 記為記為XN(m m,s s2).22()21( )e 2xf xxmss 為位置參數(shù)為位置參數(shù)( (決定對稱軸位置決定對稱軸位置) ) 為尺度參數(shù)為尺度參數(shù)( (決定曲線分散性決定曲線分散性) )max1 ( )12 ( )23( )0 xf xxfflim f

9、 xmms關(guān)于對稱0 f x2m1mxm0.5s1.0s f xx1.5s0.7980.3990.2660可用正態(tài)變量描述的實例：可用正態(tài)變量描述的實例：各種測量的誤差；各種測量的誤差； 人體的生理特征；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金屬線抗拉強度；金屬線抗拉強度；熱噪聲電流強度；熱噪聲電流強度； 學(xué)生的考試成績；學(xué)生的考試成績；221( )2txxedtX N(0，1)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 n 密度函數(shù)密度函數(shù)221( )2xxen 分布函數(shù)分布函數(shù)01ms( )yx5 . 0)0( ()1(

10、)xx ( )( )P aXbba （）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算12PX（）1P X （）(1)( 1)2 (1) 10.6826 0( ) 1()xxx 時,0( )xx時，的值可以查表( )P Xbb （）1( )P Xaa （）n 公式n 查表n 例 (0,1)X N(2)(1)0.97720.84130.1359( 1)1(1)1 0.84130.1587 1P X （）X N(0，1)一般正態(tài)分布的概率計算一般正態(tài)分布的概率計算2( ,),( )xXNF xmm ss 如果則n 定理定理2( ,)XNm s若n 概率計算概率計算()()()baP aXbmmss

11、()P aXb()P Xb()P Xa()()bammss ()bms 1()ams 2( ,)XNm s ()() (1)( 1)2 (1) 10.6826P XPXmsmsms (2 )2(2) 10.9544P Xms (3 )2 (3) 10.9974P Xms 99.74%3ms2msms68.26%2ms3msms95.44%3s s法則法則例例5 設(shè)XN(1，4)，求 P(0X 3故至少要進(jìn)行故至少要進(jìn)行 4 次獨立測量才能滿足要求次獨立測量才能滿足要求( )1 (1 0.5586)0.9nP A 例例8 8 某單位招聘某單位招聘155155人，按考試成績錄用，共人，按考試成績錄用，共有有526526人報名。假設(shè)報名者的考試成績?nèi)藞竺?。假設(shè)報名者的考試成績X X服從正服從正態(tài)分布，態(tài)分布，已知已知90分以上的分以上的12人，人，60分以下的分以下的83人，若從高分到低分依次錄取，某人成績?yōu)槿耍魪母叻值降头忠来武浫?，某人成績?yōu)?8分，問此人能否被錄??？分，問此人能否被錄?。?2900.0228526P X 83600.1588526P X 901 0.02280.9790