初中數(shù)學(xué)三角形的內(nèi)切圓

1、 如圖是一塊三角形木料，木工師傅要如圖是一塊三角形木料，木工師傅要從中裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下從中裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？的圓的面積盡可能大呢？ABC7.9 三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)切圓ABC例例1 作圓，使它與已知三角形的各邊都相切作圓，使它與已知三角形的各邊都相切（1）作圓的關(guān)鍵是什么）作圓的關(guān)鍵是什么?提出以下幾個問題進行討論：提出以下幾個問題進行討論：（2）假設(shè)）假設(shè) I是所求作的圓，是所求作的圓， I與三與三角形三邊都相切，圓心角形三邊都相切，圓心I應(yīng)滿足什么應(yīng)滿足什么條件條件?（3 3）這樣的點）這樣的點I應(yīng)在什么位置應(yīng)在什么位置? （4 4）

2、圓心）圓心I確定后半徑如何找？確定后半徑如何找？結(jié)論：與三角形的各邊都相切的圓可以作一個且只可以作結(jié)論：與三角形的各邊都相切的圓可以作一個且只可以作出一個出一個ABCIMNDABCM例例1 作圓，使它與已知三角形的各邊都相切作圓，使它與已知三角形的各邊都相切已知：已知： ABC（如圖）（如圖）求作：與求作：與ABC的各邊都相切的圓的各邊都相切的圓作法：作法：1、作、作ABC、 ACB的平分線的平分線BM與與CN，交點為，交點為I. 2、過點、過點I作作IDBC，垂足為，垂足為D. 3、以、以I為圓心，為圓心，ID為半徑作為半徑作 I， I就是所求的圓就是所求的圓.N ID 1、 如圖如圖1，A

3、BC是是 O的的 三角形。三角形。 O是是ABC的的 圓，點圓，點O叫叫ABC的的 ，它是三角形它是三角形 的交點。的交點。外接外接內(nèi)接內(nèi)接外心外心三邊中垂線三邊中垂線13、如圖、如圖2，DEF是是 I的的 三角形，三角形， I是是DEF的的 圓，點圓，點I是是 DEF的的 心，它是三角心，它是三角形形 的交點。的交點。2、定義：與三角形各邊都相切的圓、定義：與三角形各邊都相切的圓叫做叫做 ，內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的的圓心叫做三角形的 ，這，這個三角形叫做個三角形叫做 。ABCO圖圖1IDEF圖2三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)切圓內(nèi)心內(nèi)心圓的外切三角形圓的外切三角形外切外切內(nèi)切內(nèi)切內(nèi)內(nèi)角平分

4、線角平分線三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形內(nèi)心的性質(zhì)：1、三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等；、三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等；2、三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上；、三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上； 1、三角形的外心到三角形各個頂點的距離相等；、三角形的外心到三角形各個頂點的距離相等； 2、三角形的外心在三角形三邊的垂直平分線上；、三角形的外心在三角形三邊的垂直平分線上； 三角形外心的性質(zhì)三角形外心的性質(zhì)：CABIDEFO名稱名稱確定確定方法方法圖形圖形性質(zhì)性質(zhì)外心外心內(nèi)心內(nèi)心ABCOABCO三 角 形三 角 形三 邊 中三 邊 中垂 線 的垂 線 的交點交點三角形三角形三條角三條角平分線平分線

5、的交點的交點（ 三 角（ 三 角形 外 接形 外 接圓 的 圓圓 的 圓心）心）（三角（三角形內(nèi)切形內(nèi)切圓的圓圓的圓心）心）1.OA=OB=OC；2.外心外心不一定在三角形的內(nèi)不一定在三角形的內(nèi)部部1.到三邊的距離相等；到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分分別平分BAC、ABC、ACB；3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部內(nèi)心在三角形內(nèi)部 判斷題：判斷題：1、三角形的內(nèi)心到三角形各個頂點的距離相等（、三角形的內(nèi)心到三角形各個頂點的距離相等（ ）2、三角形的外心到三角形各邊的距離相等、三角形的外心到三角形各邊的距離相等 （ ）3、等邊三角形的內(nèi)心與外心重合；、等邊三角形的內(nèi)心與外心重合； （ ）4、三

6、角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部（、三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部（ ）5、菱形一定有內(nèi)切圓（、菱形一定有內(nèi)切圓（ ）6、矩形一定有內(nèi)切圓（、矩形一定有內(nèi)切圓（ ）錯錯錯錯對對對對 錯錯 對對定義：與多邊形各邊都相切的圓定義：與多邊形各邊都相切的圓叫做叫做 ，這個，這個多邊形叫做多邊形叫做 。 多邊形的內(nèi)切多邊形的內(nèi)切 圓圓圓的外切多邊形圓的外切多邊形內(nèi)切內(nèi)切外切外切如上圖，四邊形如上圖，四邊形DEFG是是 O的的 四四 邊形，邊形， O是四邊形是四邊形DEFG的的 圓，圓，DEFG.O 例例2 如圖，在如圖，在ABC中，點中，點O是內(nèi)心，是內(nèi)心， （1）若）若ABC=50， ACB=70，求，求

7、BOC的度數(shù)的度數(shù)ABCO（2 2）若）若A=80 A=80 ，則，則BOC=BOC= 度。度。（3 3）若）若BOC=100 BOC=100 ，則，則A=A= 度。度。解解（1）點點O是是ABC的內(nèi)心，的內(nèi)心， OBC= OBA= ABC= 25 同理同理 OCB= OCA= ACB=35 BOC=180 （OBC OCB） = 180 60 =120 13020（4）試探索：）試探索： A與與BOC之間存在怎樣之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由。的數(shù)量關(guān)系？請說明理由。理由：理由： 點點O是是ABC的內(nèi)心，的內(nèi)心， OBC= ABC， OCB= ACB OBC OCB = （ABC+ AC

8、B） = （180 A ）= 90 A在在ABC中，中， BOC =180 （ OBC OCB ） = 180 （ 90 A ）= 90 + AABCO答：答： BOC =90 + A例例2：如圖，設(shè)：如圖，設(shè)ABC的邊的邊BC=a，CA=b，AB=c，s=（a+b+c）/2，內(nèi)切圓，內(nèi)切圓O與各邊分別相切于與各邊分別相切于D，E，F(xiàn)。求證：求證：AD=AF=s-a，BE=BD=s-b，CF=CE=s-c。ABCDEFO（三）、特殊三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法：（三）、特殊三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法： R= c2 r =a+b-c2ABCOIabc直角三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法直角三

9、角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法 思考題：思考題： 如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在進入鎮(zhèn)區(qū)的道路交叉口的三角如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在進入鎮(zhèn)區(qū)的道路交叉口的三角地處建造了一座鎮(zhèn)標(biāo)雕塑，以樹立起文明古鎮(zhèn)的形象。已知地處建造了一座鎮(zhèn)標(biāo)雕塑，以樹立起文明古鎮(zhèn)的形象。已知雕塑中心雕塑中心M到道路三邊到道路三邊AC、BC、AB的距離相等，的距離相等，ACBC，BC=30米，米，AC=40米。請你幫助計算一下，鎮(zhèn)標(biāo)雕塑中心米。請你幫助計算一下，鎮(zhèn)標(biāo)雕塑中心M離道路三邊的距離有多遠？離道路三邊的距離有多遠？ACB古鎮(zhèn)區(qū)古鎮(zhèn)區(qū)鎮(zhèn)鎮(zhèn)商商業(yè)業(yè)區(qū)區(qū)鎮(zhèn)工業(yè)區(qū)鎮(zhèn)工業(yè)區(qū).MEDF解：解： 雕塑中心雕塑中心M到道路三邊的距離到道路三邊的距離相等相等點點M

10、是是ABC的內(nèi)心，連結(jié)的內(nèi)心，連結(jié)AM、BM、CM，設(shè)，設(shè) M的半徑為的半徑為r米，米， M分別切分別切AC、BC、AB于點于點D、E、F，則，則MDAC， ME BC， MF AB，則，則MD= ME= MF=r，在在Rt ABC 中，中，AC=40，BC=30， AB=50 ABC的面積為的面積為 ACBC= 4030= 600，又，又 ABC的面積為的面積為 （ACMD+BC ME+AB MF）=20 r+15 r+25 r=60 r60 r= 600， r=10答：鎮(zhèn)標(biāo)雕塑中心離道路三邊的距離為答：鎮(zhèn)標(biāo)雕塑中心離道路三邊的距離為10米。米。ACB古鎮(zhèn)區(qū)古鎮(zhèn)區(qū)鎮(zhèn)鎮(zhèn)商商業(yè)業(yè)區(qū)區(qū)鎮(zhèn)工業(yè)區(qū)鎮(zhèn)工

11、業(yè)區(qū).MEDF 課堂小結(jié)：課堂小結(jié)： 1 1、本節(jié)課從實際問題入手，探索得出三角形內(nèi)切圓的作本節(jié)課從實際問題入手，探索得出三角形內(nèi)切圓的作法法 . 2 2、通過類比三角形的外接圓與圓的內(nèi)接三角形概念得出、通過類比三角形的外接圓與圓的內(nèi)接三角形概念得出三角形的內(nèi)切圓、圓的外切三角形概念，并介紹了多邊形的三角形的內(nèi)切圓、圓的外切三角形概念，并介紹了多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形的概念。內(nèi)切圓、圓的外切多邊形的概念。 3 3、學(xué)習(xí)、學(xué)習(xí) 時要明確時要明確“接接”與與“切切”的含義、弄清的含義、弄清“內(nèi)心內(nèi)心”與與“外心外心”的區(qū)別，的區(qū)別， 4 4、利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)解題時，要注意整體思想的運、利

12、用三角形內(nèi)心的性質(zhì)解題時，要注意整體思想的運用，在解決實際問題時，要注意把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。用，在解決實際問題時，要注意把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。 謝謝謝謝, 再見再見 ！ 20032003年年1212月月1717日日 例3 三條公路AB、AC、BC兩兩相交與A、B、C三點（如圖所示）。已知ACBC，BC=3千米，AC=4千米?，F(xiàn)想在ABC內(nèi)建一加油站M，使它到三條公路的距離相等，請你幫助計算一下，加油站M應(yīng)建在離公路多遠的地方？ACB讀句畫圖：以點讀句畫圖：以點O為圓心，為圓心，1cm為半徑畫為半徑畫 O作直線作直線m與與 O相切于點相切于點D，作直線，作直線n與與 O相切于點相切于點E，直線直線m與直線與直線n相交于點相交于點A